Mines Physique 2 PSI 2019

Thème de l'épreuve Physique des arbres
Principaux outils utilisés mécanique des fluides, mécanique du point et du solide
Mots clefs arbre, cavitron, chute, déracinement, loi de Coulomb, mécanique en référentiel non galiléen

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                       

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
        

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


A2019 --- PHYSIQUE II PSI

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT Atlantique, ENSAE PARISTECH,
CHIMIE PARISTECH.

Concours Centrale-Supélec (Cycle International),
Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVEP.

CONCOURS 2019
DEUXIÈME ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Durée de l'épreuve : 4 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

PHYSIQUE II - PSI
L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur

d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant 
les
raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Physique IT, année 2019 -- filière PSI

Physique des arbres

Dans tout le problème, exprimer ou déterminer une grandeur signifie en donner 
une expression
littérale. En revanche calculer une grandeur signifie en donner une valeur 
numérique avec au
plus deux chiffres significatifs. Les vecteurs sont surmontés d'une flèche ( g 
) dans le cas général
ou d'un chapeau s'ils sont unitaires (]|u,|| = 1).

Dans tout le problème le champ de pesanteur g = -- qü, est uniforme et le 
référentiel terrestre
galiléen. Les données numériques utiles ainsi qu'un formulaire sont rassemblés 
en fin d'énoncé.

I. -- Physique du cavitron

En phase liquide, les molécules exercent entre elles des forces attractives 
(assurant entre autres
la cohésion du liquide) qui permettent au liquide de supporter des forces de 
traction équivalentes
à des pressions négatives.

La vie d'un arbre suppose une montée efficace de la sève (assimilée dans toute 
la suite à de
l'eau) sur une hauteur qui peut atteindre quelques dizaines de mètres. Ceci 
conduit à l'exis-
tence de zones de pression négative, où l'état liquide de l'eau est métastable 
: sous l'effet d'une
petite perturbation, des bulles de vapeur d'eau peuvent se former. Ceci se 
produit significa-
tivement lorsqu'un arbre subit un stress hydrique associant une forte 
évaporation (due à un
fort ensoleillement) et une faible ressource en eau (due à des sols désséchés). 
La circulation de
la sève est alors gênée par la formation de bulles de gaz au sein de 
l'écoulement. Pour tester
quantitativement la sensibilité des espèces au stress hydrique, des chercheurs 
de l'INRA ont
mis au point un dispositif appelé CAVITRON.

I.A. -- Pressions négatives

J 1 -- Exprimer la pression p dans un arbre assimilé à une colonne d'eau 
verticale emprisonnée
dans un tube fermé au sommet, supposée en équilibre mécanique sous l'effet des 
seules forces
de pression et de pesanteur, en fonction de la masse volumique p. de l'eau, de 
la cote z mesurée
à partir du sol, de l'intensité de la pesanteur g et de la pression po imposée 
par l'atmosphère
au niveau du sol via les racines. Calculer l'altitude z,, à partir de laquelle 
la pression devient
négative. Commenter la valeur obtenue.

(a) (b) Pour les questions 2 à 5 on ne prendra en compte ni g
: ta. F ni po. Sur la figure 1(a), on envisage un volume V d'eau

F en équilibre dans un cylindre d'axe (O,ü,) et de section

> », fermé par un piston de surface S$ et de masse nulle
| sur lequel un opérateur exerce lentement une force de
© traction Ê = Fü, avec F > 0 et &. vertical ascendant.

Eau à la

pression p J 2 -- Exprimer la pression dans l'eau en fonction de

F et S. Quel est son signe ?

FIGURE 1 -- Cylindre vertical L'opérateur veut créer au sein de l'eau liquide, 
une bulle

de vapeur d'eau sphérique de rayon r en tirant le piston

sur une hauteur z et en maintenant la force F constante 1(b). On néglige la 
quantité d'eau
contenue dans la bulle devant V, ce qui revient à l'assimiler à une bulle de 
vide.

1 3 -- On considère le système constitué d'une bulle vide de rayon r et de 
l'interface qui
la sépare de l'eau à la pression p. Exprimer le travail infinitésimal 0W, des 
forces de pression
quand le rayon de la bulle passe de r à r + dr. En déduire l'expression de la 
contribution des
forces pressantes à l'énergie potentielle £, du système.

Page 1/7 Tournez la page S.V.P.
Physique IT, année 2019 -- filière PSI

On admet qu'il convient d'ajouter à cette énergie potentielle une énergie 
potentielle de tension
superficielle de la forme 7 Z où » est l'aire de l'interface entre l'eau 
liquide et l'eau vapeur et
où la constante positive + est le coefficient de tension superficielle de l'eau.

1 4 -- Montrer que l'énergie potentielle totale du système s'exprime sous la 
forme d'un po-
lynôme de degré 3 en r dont on précisera les coefficients. Montrer qu'elle 
admet un maximum
en r. = --2%./p. On pose x = r/r. et E, = E,(r.). Calculer r. et E, pour p = 
--2,0 MPa. Tracer
la courbe e(x) = E,(x)/E, pour x EUR [0,2].

1 5 -- Ce modèle n'est évidemment valide que pour r < r, où r, est le rayon de la bulle que l'on considèrera égal à 2r.. Montrer que dans le cadre de ce modèle, l'état liquide sans bulle est un état d'équilibre stable mais qu'il n'est pas le plus stable : on dit qu'il est métastable. Quelle énergie faut-il apporter au système pour qu'il évolue spontanément vers l'équilibre le plus stable ? Quel est cet état ? Cette évolution est-elle envisageable si p -- --2,0 MPa ? I.B. -- Conductance hydraulique On envisage un écoulement d'eau, de masse volumique p. et de viscosité dynamique 7, dans un tuyau cylindrique d'axe (O,ü,) horizontal, de longueur 2R et de section circulaire de rayon a. Les faces d'entrée et de sortie de ce cylindre sont centrées sur les points A,(x = --R) et A2(x = À) de l'axe (O,u,) où l'on impose respectivement des pressions p1 et p2. L'ensemble est représenté sur la figure 2(a). On repère un point M dans l'eau par ses coordonnées cylindriques (r,0,x) d'axe (O,u,), avec --R < x < R,0 < r < a et 0 < 0 < 27. Lorsque l'on impose une différence de pression p1 -- »2 positive et constante, un écoulement d'eau incompressible et stationnaire apparaît. Cet écoulement est décrit par un champ des vitesses ü = v(r,x) üz indépendant de 0 et un champ de pression p(x) indépendant de r et 0. Uz Z Z À = ES w dr uw | R y A, 2a A2 > T
| O TL
(a)
FIGURE 2 -- Cylindre horizontal
Dans toute la partie [.B, on considère ce cylindre sans rotation, soit w = 0.
J 6 -- Montrer que v(r,x) est indépendant de x. On le notera v(r) dans la suite.

On s'intéresse au système fermé (.7,) constitué du fluide compris à l'instant { 
dans le cylindre
d'axe (O,ü,;) et de rayon r < a, entre les abscisses x et x + dx. Le fluide situé au delà de r exerce sur la surface latérale de (.7,) une force surfacique tangentielle de la forme : dr = E Ne de où 7% est la viscosité dynamique de l'eau et EUR = +1. ds Or 1 7 -- Indiquer, en justifiant qualitativement la réponse, le choix du signe de EUR correspondant à la situation étudiée. Exprimer la résultante des forces de viscosité sur (.7,). Justifier sans calcul que la quantité de mouvement du système (.7,) est indépendante du temps. En déduire la relation : dp 27e Ov dx Tr Or d Justifier le fait que est une constante. En déduire l'expression de p(x) en fonction de p1, po, dx x et À. Page 2/7 Tournez la page S.V.P. Physique IT, année 2019 -- filière PSI On définit la conductance hydraulique Gy -- du tuyau, où D), est le débit volumique. P1 -- P2 J 8 -- Déduire des questions précédentes l'expression de v(r) en fonction de r, me, P1, Po, à et À. Exprimer G} en fonction de 7., R et a. D 1 9 -- Exprimer la vitesse moyenne T -- -- en fonction de à, p1, po, R et n.. Vérifier que la a force de viscosité subie par la tranche d'eau située à l'instant t dans le tuyau entre les abscisses x et x + dx s'écrit : dE = -- 8r me 0 Ar Uz (1) J 10 -- Calculer v et le nombre de REYNOLDS Re pour à = 0,02 mm (rayon typique des canaux dans lesquels la sève s'écoule), p; -- p = 10° Pa et R -- 0,4 m. Que peut-on en conclure sur la nature de l'écoulement ? IC. -- Le cavitron Pour tester les effets du stress hydrique sur la conductance, on coupe une branche d'arbre quasi- rectiigne de longueur 2R que l'on met en communication avec deux récipients contenant de l'eau, non représentés sur la figure 2(a), dans des conditions telles que la pression aux extrémités x = --R et x = +R de la branche vaut toujours p, = p(x = --R) et ps = p(x = +R). On fait maintenant tourner l'ensemble autour de l'axe (O,ü,) avec une vitesse angulaire w > 0
constante et suffisamment élevée pour que la pesanteur soit négligeable dans 
l'écoulement. On
assimile la branche à un unique canal cylindrique d'axe (Ou) et de rayon a dans 
lequel s'écoule
la sève toujours assimilée à de l'eau.

J 11 -- On étudie le mouvement de l'eau dans le référentiel (Z,) solidaire de 
la branche.
Soit une particule de fluide de masse dm = p.d7, d'abscisse x et de vecteur 
vitesse vu, dans
le référentiel (%,). On admet que la rotation de la branche agit sur le 
mouvement de cette
particule par l'intermédiaire de deux forces volumiques fa -- pu°rüx et fo -- 
--2p.ù À V.
Vérifier l'homogénéité de ces formules et représenter ces forces volumiques sur 
une figure dans
deux cas d'abscisses opposées. Citer un exemple de la vie courante dans lequel 
la force fa peut
être ressentie.

On adopte désormais pour l'écoulement de l'eau dans la branche d'arbre en 
rotation un modèle
semblable à celui introduit à la question 9. On fait l'hypothèse que le champ 
de pression ne
dépend que de x, que l'écoulement est uniforme de vitesse vu, et que la paroi 
exerce sur la
tranche de fluide située entre x et x + dx une force de viscosité donnée par la 
relation (1).

1 12 -- Montrer que la pression dans le domaine x > 0 s'écrit :

pew*(R--x*) 8mv(x--R)
_ 2 _ a'

p(x > 0) = p

On montre de manière analogue (travail non demandé) que :

pew*(R--x*) 8mv(rx+R)
2 _ a'

p(x < 0) = p -- 1 13 -- En déduire les expressions de p(x = 0) et v en fonction de p1, Po, Pe, Me, w et R. Vérifier que la rotation est sans effet sur la conductance hydraulique G# de la branche. Pour imposer les pressions p, et p, on place aux extrémités de la branche des réservoirs remplis partiellement d'eau avec des quantités légèrement différentes. Ces réservoirs sont solidaires de la branche en rotation à vitesse angulaire w. Page 3/7 Tournez la page S.V.P. Physique IT, année 2019 -- filière PSI Lorsque l'équilibre est établi, la surface libre de l'eau dans les réservoirs devient verticale du fait des forces d'inertie. La branche, les réservoirs et la présence d'eau indiquée en gris sont représentés sur la figure 2(b). On crée des ouvertures -- non représentées sur la figure 2(b) -- dans les réservoirs vers l'at- mosphère, de telle sorte que l'air -- qui occupe la partie des réservoirs non occupée par l'eau -- impose la pression », respectivement en x, = --L + d et en x2 = L avec L

du stress hydrique par les chercheurs de l'INRA. Calculer la valeur 
correspondante de la pres-
SiOn P1 -- p2. Proposer une interprétation sommaire de la baisse de conductance 
hydraulique
lorsque des bulles de gaz se forment.

6 --5 --4 --3 2 I] 0
FIGURE 3 -- Perte de conductance relative

FIN DE LA PARTIE I
II. -- Chute d'arbres

II. A. -- Chute d'un arbre mort

Un bücheron assimilé à un point matériel B de masse m souhaite abattre un arbre 
mort assimilé
à un cylindre homogène de masse M avec M > m, de hauteur A et de section droite 
carrée de
côté 2a représenté sur la figure 4(a).

Il tire pour celà sur un câble fixé en C à l'arbre, de longueur BC = L et de 
masse négligeable.
afin de faire tourner l'arbre autour de l'axe (O,u,) dirigé par le vecteur &,, 
= ü, A ü.

L'arbre étant mort, on néglige l'action de ses racines, de telle sorte qu'au 
moment où l'arbre
commence à tourner, les actions de contact qu'il subit se limitent à une force 
ñ, = Tu,+Nu
appliquée au point © et satisfaisant aux lois de COULOMB avec un coefficient de 
frottement f. De
même les actions du sol sur le bücheron sont décrites par une force r, -- Tux + 
Nu, appliquée
au point B et satisfaisant aux lois de COULOMB avec le même coefficient de 
frottement f. Les
composantes T1, N,, T; et N, ont des valeurs algébriques. Le câble est supposé 
tendu. On note
F la force exercée par le câble sur l'arbre au point EUR, supposée parallèle au 
câble et F sa norme.
Les angles sont orientés positivement dans le sens trigonométrique autour de 
(O,üu,) et on note

a l'angle (positif) entre BÔ et BC.

Page 4/7 Tournez la page S.V.P.
Physique IT, année 2019 -- filière PSI

24
À À
A -ÿ) S
OO
H |
z
NES O S > "O s
(b) (c)
FIGURE 4 -- Chute d'un arbre
J 16 -- Le bücheron est supposé ne pas glisser dans la situation initiale 
décrite par la figure

A(a). Exprimer N, et T2 en fonction de F, a, m et g. En déduire l'expression de 
la valeur
maximale F,%x de F' en fonction de f, m, get a.

J 17 -- L'arbre est supposé au repos dans la situation initiale décrite par la 
figure 4(a).
Exprimer N, et T, en fonction de F, à, M et qg. En déduire que pour 0 < F < F,,% le glissement n'est pas possible en ©. 1 18 -- Exprimer le moment [, du poids de l'arbre par rapport à l'axe (O,ü,) dans la situation initiale décrite par la figure 4(a). 1 19 -- Soit l'3 le moment par rapport à l'axe (O,ü,) exercé par le bûcheron sur l'arbre via le câble. Quelle est la valeur minimale de l'Z permettant à l'arbre de pivoter autour de l'axe (O,ü,) ? J 20 -- En supposant F constant, justifier (avec ou sans calculs, mais rigoureusement) qu'il existe une valeur optimale a, de l'angle a. On suppose que, quelque soit l'angle &, l'action du bûcheron est telle que l'on est à la limite du glissement : F prend la valeur Fax. J 21 -- Montrer que le moment l£ par rapport à l'axe (O,ü,,) exercé par le bûcheron via le cable s'écrit l'p -- avec (a) . En déduire l'expression de à, en fonction mg (a) _ fsina coesa de f. Vérifier que a» = 7 pour j = 1. J 22 -- On donne M = 10° kg, H -- 20 m, a = 0,5 m, m -- 10° kg et f -- 1. Calculer la force Fax et la longueur de corde £ nécessaires pour initier la rotation de l'arbre. Commenter. On suppose que l'arbre a commencé sa rotation autour de l'axe (O,ü,), repérée par l'angle 8 que fait OÙ avec (O,ü,). 1 23 -- Après avoir fait une figure représentant la situation et faisant apparaître les différents paramètres, exprimer l'énergie potentielle de pesanteur Æ, de l'arbre en fonction de M, g, H, a et 0. Le büûcheron opère de manière quasi-statique c'est-à-dire sans communiquer d'énergie cinétique à l'arbre. À partir de quel angle 0, peut-il lâcher le câble ? Page 5/7 Tournez la page S.V.P. Physique IT, année 2019 -- filière PSI II.B. -- Chute d'un arbre vivant sous l'effet du vent Dans cette partie, on s'intéresse à la chute d'un arbre vivant, de hauteur A, sous l'effet d'un coup de vent violent. On néglige le rôle du poids de l'arbre : son mouvement résulte uniquement d'une compétition entre l'action du sol via les racines et l'action du vent. J 24 -- Proposer un ordre de grandeur de la vitesse U pour un vent violent. En évaluant un nombre sans dimension que l'on définira pour un arbre de section carrée de côté 2a -- 1 m, justifier qu'il convient de décrire l'action d'un vent soufflant dans la direction %, sur une tranche d'arbre (supposé vertical à ce stade) comprise entre z et z + dz , figure 4(b), par une force élémentaire de la forme dF, -- 2aC,;paU*dzü, où p, est la masse volumique de l'air et C, un coefficient aérodynamique. 1 25 -- L'arbre étant vertical, exprimer le moment total [, des actions du vent par rapport à l'axe &, en fonction de C,, pa, à, H et U. J 26 -- Lorsque l'arbre commence à pencher, on repère son mouvement par l'angle 0 représenté sur la figure 4(c). Le moment l, varie en fonction de @ et on constate que l°,(4) est proportionnel à (cos 0)" avec n entier. Proposer une valeur de l'entier n en justifiant votre réponse. Dans toute la suite, on omet la dépendance de L, en 0 car celui-ci reste inférieur à 10°. F, [10°N.m] L'action du sol sur l'arbre est décrite ñ 10 par un moment résistant [, par rap- 0 #9 Ji port à l'axe (O,üu,), qui met en jeu des Ç Ol°] phénomènes complexes comme l'élasti- ; cité des racines, un déracinement par- x : tiel, l'entraînement de la terre, etc. Des x essais de traction via un cable comme dans la partie IT.A ont permis de re- -- 10 Hi; ES ES lever les variations de T, (en 10° Nm) - : en fonction de 0 (en degrés) de la fi- . | gure » dans le domaine Y > 0 auquel on
se limite. Cette figure fait notamment
apparaître une variation brutale au voi-
sinage de Y = 0 que l'on modélise par
-- 20 une discontinuité telle que F,(0) = 0 et

FIGURE 5 -- Mesures du moment résistant. La taille l,(0:) = lo. Par ailleurs, 
au-delà d'un

des carrés représente l'incertitude de mesure. certain angle 6, l'arbre est 
totalement
déraciné, de telle sorte que [", = 0. Dans

le domaine 0 < 0 < 6,., on modélise les mesures expérimentales de [, par un polynôme du deuxième degré de la forme : Ï l l l l l I l l l l l l I l l l l l k I l l l l l l I l I l l l l l l I l l = l l l I l l l l l l I " Ô 02 l', -- Lo £ + 4 B. -- x) avec lo < 0 (2) 1 27 -- Quelles valeurs doit-on donner aux paramètres 0. et G afin qu'il rende compte des mesures de la figure 5. Exprimer l'angle 4, pour lequel [, atteint sa valeur minimale et la valeur [',}, de ce minimum. Vérifier la cohérence entre les résultats expérimentaux et les valeurs de 0,,/0. et l/To issues du modèle. Du point de vue de sa dynamique, l'arbre est désormais assimilé à une barre mince en rotation autour de l'axe (O,ü,) avec un moment d'inertie J, soumis au moment constant l} et au moment l',(0) décrit par le modèle de l'équation (2). Initialement l'arbre est au repos en 0 = 0 Page 6/7 Tournez la page S.V.P. Physique IT, année 2019 -- filière PSI en présence d'un vent de vitesse ÜU indépendante du temps et on s'interroge sur son évolution. On définit le paramètre p = l,/ lol. 1 28 -- Discuter graphiquement selon la valeur de p la possibilité pour l'arbre de rester en équilibre en Y -- 0. Cet équilibre est-il stable? Discuter graphiquement selon la valeur de p l'existence et la stabilité de positions d'équilibre en 4, 0. Dans le cas où il existe une position d'équilibre stable inférieure à @., expliquer sans calculs pourquoi on ne peut néanmoins pas être certain que l'arbre résiste au vent. On se propose de trancher cette question. Les conditions initiales restent 0 = 0 et 0 = 0. J 29 -- Montrer que la vitesse angulaire de l'arbre se met sous la forme 57 02 = To] 0 P(u) où P(u) est un trinôme du second degré pour la variable réduite u -- 0/0. que l'on explicitera en fonction de l'unique paramètre p = l,/|[[]. En déduire, en précisant soigneusement le raisonnement adopté, la valeur minimale p,. de p permettant au vent de déraciner l'arbre. Calculer la vitesse minimale ÜU,. du vent permettant de déraciner l'arbre correspondant au graphe de la figure 5 sachant que À = 20 m et a = 0,5m. On prendra C = 0,5. On se place désormais dans le cas p -- 2 1 30 -- Déterminer les bornes du mouvement de l'arbre. En réalité l'arbre finit par atteindre une position 0, où il reste immobile. Interpréter qualitativement ce résultat. FIN DE LA PARTIE II Données numériques -- intensité de la pesanteur : g = 1 x 10!m-:s"° -- masse volumique de l'eau : p. = 1 x 10° kg - m * -- pression atmosphérique au niveau du sol : pp = 1 x 10° Pa -- viscosité dynamique de l'eau : 7 = 1 X 10*kg:m ls"! -- coefficient de tension superficielle de l'eau : + = 7 x 107?N:m -- masse volumique de l'air : p, = 1kg : m * -- viscosité dynamique de l'air : M = 2 X 10°kg-m ls"! 1 Formulaire Lois de Coulomb : Un solide en contact quasi-ponctuel sur un support subit de la part du support des actions de contact équivalentes à une force F° que l'on peut décomposer en une composante normale V et une composante tangentielle T°. En l'absence de glissement, on a [T|| < f||W|| où f est le coefficient de frottement. En présence de glissement, la composante tangentielle T'est dirigée dans la direction opposée à celle du vecteur-vitesse de glissement et on à [T| = f|]N||. Expression de la divergence d'un champ de vecteurs en coordonnées cylindriques (r,0,x) divz-- 1 (rar) 4 1 Oag da; Tr. Or r_ OÙ OX < À la mémoire d'Olivier Cervera (1964-2018), auteur de ce sujet. >

FIN DE L'ÉPREUVE

Page 7/7

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 2 PSI 2019 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Romain Anankine (professeur en CPGE) ; il a été relu
par Amélie Gay (ENS Lyon) et Stéphane Ravier (professeur en CPGE).

Ce sujet porte sur différents aspects de la physique des arbres.
· La première partie aborde l'influence du stress hydrique sur le transport de
la sève dans les canaux d'une branche d'arbre. On commence par s'intéresser à 
la pression nécessaire pour que la sève puisse monter jusqu'à la cime
des arbres, soit à plusieurs dizaines de mètres pour les plus grands spécimens.
On conclut qu'il est nécessaire d'envisager des pressions négatives pour 
expliquer cette montée. Une difficulté supplémentaire se pose en cas de fortes 
chaleurs par exemple : le manque d'eau peut être à l'origine d'un stress 
hydrique
dont une conséquence, fâcheuse pour l'arbre, est l'apparition de bulles de gaz
dans la sève. Après avoir étudié la stabilité d'une situation avec bulle, la 
suite
de cette partie vise à expliquer le fonctionnement d'un dispositif mis au point
à l'Institut national de recherche agronomique (Inra), le cavitron, qui permet
de faire des mesures quantitatives en laboratoire de la conductance hydraulique 
d'une branche. Pour cela, on commence par l'étude de l'écoulement dans
une conduite régulière, qui modélise les vaisseaux que l'on trouve dans le tissu
xylémique d'un arbre, afin d'introduire la notion de conductance hydraulique.
Il s'agit simplement d'étudier un écoulement de Poiseuille, d'abord en 
référentiel galiléen, puis en référentiel tournant. Même si les principaux 
éléments sont
rappelés, le fait que la mécanique en référentiel non galiléen ne soit pas au
programme de PSI peut déstabiliser. Cela ne concerne toutefois que quelques
questions. Cette partie traite essentiellement de mécanique des fluides.
· La seconde partie traite de la dynamique de la chute d'un arbre. On 
s'intéresse
à deux cas « extrêmes » pour le modèle retenu : une situation où l'arbre est
comme posé sur le sol, situation appelée « arbre mort » mais qui peut tout
aussi bien désigner un arbre bien vivant, mais coupé à sa base par un bûcheron.
C'est en effet ce dernier qui est à la manoeuvre pour faire basculer l'arbre.
Dans la deuxième situation, on tente de quantifier la vitesse du vent nécessaire
pour faire osciller voire arracher un arbre, retenu au sol grâce à ses racines.
Cette partie utilise davantage le programme de première année avec notamment
la mécanique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe et les lois de 
Coulomb.
Ce sujet, de difficulté raisonnable, constitue une bonne révision des chapitres
abordés, sur un thème original.

Indications
Partie I
1 Utiliser la loi de la statique des fluides pour un fluide incompressible. 
Prendre
garde à l'orientation de l'axe vertical.
2 Effectuer un bilan des forces sur le piston sans masse.
3 Écrire le travail élémentaire sous la forme Wp = -dEp .
5 Penser à l'énergie thermique apportée par le milieu ambiant.
6 Utiliser l'équation de conservation de la masse.
7 Effectuer un bilan des forces sans oublier les forces de pression s'exerçant 
sur les
surfaces en x et en x + dx. Remarquer que l'équation demandée est équivalente à
une égalité F(x) = G(r) avec x et r deux variables indépendantes.
8 Intégrer l'équation trouvée à la question 7.
-
11 f i,1 est appelée communément « force centrifuge ».
12 Reprendre le bilan des forces effectué à la question 7 et ajouter les forces 
d'inertie.
13 Utiliser la continuité de la pression en x = 0.
14 Faire un bilan de forces analogue à la question 12 dans chacun des 
réservoirs, en
supposant l'équilibre relatif du fluide.
Partie II
16 Appliquer le théorème du centre d'inertie au bûcheron à l'équilibre et 
introduire
la loi de Coulomb dans le cas d'une absence de glissement.
17 Appliquer le théorème du centre d'inertie sur l'arbre à l'équilibre.
18 Se servir du bras de levier pour calculer le moment du poids.
19 L'arbre est à l'équilibre si le moment du poids est compensé par le moment 
exercé
par le bûcheron.
21 Dans l'expression du moment B , remplacer F par Fmax déterminée à la 
question 16. Chercher l'angle  qui minimise ().
22 Se rappeler que le moment B doit dépasser une valeur minimale, établie à la
question 19, pour mettre l'arbre en rotation.
23 Sur le schéma, bien représenter l'angle que fait OG avec la verticale et 
repérer la
relation géométrique qu'il a avec .
26 Lorsque l'arbre est penché, le moment des actions du vent est modifié : le 
bras de
levier varie et la surface apparente de l'arbre qui fait face au vent également.
28 Un équilibre existe si |r | = v . Étudier le comportement de l'arbre si 
l'angle 
augmente : l'écart à la position d'équilibre est-il amplifié ou au contraire 
amorti
par le couple résistant |r | ?
29 Utiliser le théorème de l'énergie cinétique pour un solide en rotation 
autour d'un
axe fixe. Le vent peut déraciner l'arbre si la vitesse angulaire  ne peut 
s'annuler.
30 Déterminer les racines du polynôme P(u) qui permettent d'avoir  = 0.

Physique des arbres
I. Physique du cavitron
1 La relation fondamentale de la statique des fluides s'écrit, avec l'axe (Oz) 
vertical
ascendant (voir la figure ci-dessous) :
dp
= -e g
dz
L'eau étant supposée incompressible, la masse volumique e est constante, ce qui
permet d'intégrer la relation précédente entre la cote z = 0 où p(0) = p0 et 
une cote
quelconque z, ce qui donne
p(z) = p0 - e gz
La pression dans le fluide devient négative si la hauteur d'eau est supérieure à
zm =

p0
= 10 m
e g

z

-

g
p(z)

p0

0

Pour des arbres de hauteur supérieure à 10 m, la pression de l'eau est négative 
et
inférieure à la pression de vapeur saturante de l'eau. Cela conduit soit à la 
formation
de bulles de vapeur, soit au maintien de l'eau liquide dans un état métastable.
Il est essentiel de préciser que l'axe (Oz) est vertical ascendant, sans quoi le
signe dans la relation fondamentale de la statique des fluides change.
), le piston de sec2 Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, lié à 
l'axe (O, -
u
z

-

-

tion S est sans masse donc m a = 0 . Il est soumis à la force pressante de 
l'eau p S -
u
z
-

et à la force exercée par l'opérateur Fu . On ignore la force pressante due à 
l'atz

mosphère et l'effet de la pesanteur sur le champ de pression dans l'eau est 
négligé.
), on obtient
Ainsi, en projetant le théorème du centre d'inertie sur l'axe (O, -
u
z
p=-

F
<0 S La pression de l'eau est négative et la nucléation de bulles de vapeur est possible. 3 La bulle (de volume V et de rayon r) reçoit un travail Wp = -p dV qui fait passer son rayon de r à r +dr. La bulle étant sphérique, son volume a pour expression V = 4 r3 /3 et varie de façon infinitésimale de dV = 4r2 dr. Ainsi, le travail élémentaire reçu vaut Wp = -4r2 p dr La force F étant constante, p l'est aussi et on peut exprimer le travail comme 4 3 te Wp = -d r p + C 3 Ce travail peut s'écrire sous la forme Wp = -dEp , où Ep est l'énergie potentielle associée aux forces pressantes Ep = 4 3 r p 3 L'énergie potentielle étant définie à une constante additive près, sans signification physique, on peut poser Ep (0) = Cte = 0. 4 À l'énergie potentielle issue des forces de pression Ep , on ajoute l'énergie potentielle de tension superficielle Ep =  e , avec  = 4r2 l'aire de la surface de la bulle. Par conséquent, l'énergie potentielle totale du système est un polynôme de degré 3 Ep = 4 pr3 + 4 e r2 3 Ici p < 0 (question 2), donc le coefficient du monôme de degré 3 est négatif. Ep admet des extrema aux valeurs de rayon r pour lesquelles dEp = 0 = 4r (pr + 2 e) dr r soit ou r = 0 r = rc = - 2 e p La valeur r = 0 correspond à un minimum local nul de l'énergie potentielle tandis que Ep admet un maximum en r = rc pour lequel Ea = Ep (rc ) = 16 e 3 3p2 Numériquement, avec p = -2,0 Mpa, rc = 70 nm et Ea = 1,4 · 10-15 J On exprime (x) = Ep (x)/Ea en fonction de x = r/rc (x) = 4 p 4 e r3 + r2 3 2 3 16 e /3p 16 e3 /3p2 = -2 r3 3 (-2 e/p) +3 r2 2 (-2 e/p) (x) = x2 (3 - 2x) Sa dérivée (x) = 6x (1 - x) s'annule en x = 0 et en x = 1. Pour x  1, (x) est équivalent au monôme de plus bas degré : (x)  3x2 . Pour x  1, (x) est, au contraire équivalent au monôme de plus haut degré : (x)  -2x3 . De plus, (0) = (1,5) = 0 et (2) = -4. Ainsi, (x) possède un minimum local en x = 0, un maximum global en x = 1 et tend vers - pour x qui tend vers +, comme le montre le graphique suivant.