Mines Physique 2 PC 2019

Thème de l'épreuve Physique des arbres
Principaux outils utilisés mécanique des fluides, mécanique du point et du solide
Mots clefs arbre, cavitron, chute, déracinement, loi de Coulomb, mécanique en référentiel non galiléen

Corrigé

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Mines Physique 2 PC 2019 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Romain Anankine (professeur en CPGE) ; il a été relu
par Amélie Gay (ENS Lyon) et Stéphane Ravier (professeur en CPGE).

Ce sujet porte sur différents aspects de la physique des arbres.
· La première partie aborde l'influence du stress hydrique sur le transport de
la sève dans les canaux d'une branche d'arbre. On commence par s'intéresser à 
la pression nécessaire pour que la sève puisse monter jusqu'à la cime
des arbres, soit à plusieurs dizaines de mètres pour les plus grands spécimens.
On conclut qu'il est nécessaire d'envisager des pressions négatives pour 
expliquer cette montée. Une difficulté supplémentaire se pose en cas de fortes 
chaleurs par exemple : le manque d'eau peut être à l'origine d'un stress 
hydrique
dont une conséquence, fâcheuse pour l'arbre, est l'apparition de bulles de gaz
dans la sève. Après avoir étudié la stabilité d'une situation avec bulle, la 
suite
de cette partie vise à expliquer le fonctionnement d'un dispositif mis au point
à l'Institut national de recherche agronomique (Inra), le cavitron, qui permet
de faire des mesures quantitatives en laboratoire de la conductance hydraulique 
d'une branche. Pour cela, on commence par l'étude de l'écoulement dans
une conduite régulière, qui modélise les vaisseaux que l'on trouve dans le tissu
xylémique d'un arbre, afin d'introduire la notion de conductance hydraulique.
Il s'agit simplement d'étudier un écoulement de Poiseuille, d'abord en 
référentiel
galiléen, puis en référentiel tournant. Cela ne concerne toutefois que quelques
questions. Cette partie traite essentiellement de mécanique des fluides.
· La seconde partie traite de la dynamique de la chute d'un arbre. On 
s'intéresse
à deux cas « extrêmes » pour le modèle retenu : une situation où l'arbre est
comme posé sur le sol, situation appelée « arbre mort » mais qui peut tout
aussi bien désigner un arbre bien vivant, mais coupé à sa base par un bûcheron.
C'est en effet ce dernier qui est à la manoeuvre pour faire basculer l'arbre.
Dans la deuxième situation, on tente de quantifier la vitesse du vent nécessaire
pour faire osciller voire arracher un arbre, retenu au sol grâce à ses racines.
Cette partie utilise davantage le programme de première année avec notamment
la mécanique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe et les lois de 
Coulomb.
Ce sujet, de difficulté raisonnable, constitue une bonne révision des chapitres
abordés, sur un thème original.

Indications
Partie I
1 Utiliser la loi de la statique des fluides pour un fluide incompressible. 
Prendre
garde à l'orientation de l'axe vertical.
2 Effectuer un bilan des forces sur le piston sans masse.
3 Écrire le travail élémentaire sous la forme Wp = -dEp .
5 Penser à l'énergie thermique apportée par le milieu ambiant.
6 Utiliser l'équation de conservation de la masse.
7 Effectuer un bilan des forces sans oublier les forces de pression s'exerçant 
sur les
surfaces en x et en x + dx. Remarquer que l'équation demandée est équivalente à
une égalité F(x) = G(r) avec x et r deux variables indépendantes.
8 Intégrer l'équation trouvée à la question 7.
12 Reprendre le bilan des forces effectué à la question 7 et ajouter les forces 
d'inertie.
13 Utiliser la continuité de la pression en x = 0.
14 Faire un bilan de forces analogue à la question 12 dans chacun des 
réservoirs, en
supposant l'équilibre relatif du fluide.
Partie II
16 Appliquer le théorème du centre d'inertie au bûcheron à l'équilibre et 
introduire
la loi de Coulomb dans le cas d'une absence de glissement.
17 Appliquer le théorème du centre d'inertie sur l'arbre à l'équilibre.
18 Se servir du bras de levier pour calculer le moment du poids.
19 L'arbre est à l'équilibre si le moment du poids est compensé par le moment 
exercé
par le bûcheron.
21 Dans l'expression du moment B , remplacer F par Fmax déterminée à la 
question 16. Chercher l'angle  qui minimise ().
22 Se rappeler que le moment B doit dépasser une valeur minimale, établie à la
question 19, pour mettre l'arbre en rotation.
23 Sur le schéma, bien représenter l'angle que fait OG avec la verticale et 
repérer la
relation géométrique qu'il a avec .
26 Lorsque l'arbre est penché, le moment des actions du vent est modifié : le 
bras de
levier varie et la surface apparente de l'arbre qui fait face au vent également.
28 Un équilibre existe si |r | = v . Étudier le comportement de l'arbre si 
l'angle 
augmente : l'écart à la position d'équilibre est-il amplifié ou au contraire 
amorti
par le couple résistant |r | ?
29 Utiliser le théorème de l'énergie cinétique pour un solide en rotation 
autour d'un
axe fixe. Le vent peut déraciner l'arbre si la vitesse angulaire  ne peut 
s'annuler.
30 Déterminer les racines du polynôme P(u) qui permettent d'avoir  = 0.

Physique des arbres
I. Physique du cavitron
1 La relation fondamentale de la statique des fluides s'écrit, avec l'axe (Oz) 
vertical
ascendant (voir la figure ci-dessous) :
dp
= -e g
dz
L'eau étant supposée incompressible, la masse volumique e est constante, ce qui
permet d'intégrer la relation précédente entre la cote z = 0 où p(0) = p0 et 
une cote
quelconque z, ce qui donne
p(z) = p0 - e gz
La pression dans le fluide devient négative si la hauteur d'eau est supérieure à
zm =

p0
= 10 m
e g

z

-

g
p(z)

p0

0

Pour des arbres de hauteur supérieure à 10 m, la pression de l'eau est négative 
et
inférieure à la pression de vapeur saturante de l'eau. Cela conduit soit à la 
formation
de bulles de vapeur, soit au maintien de l'eau liquide dans un état métastable.
Il est essentiel de préciser que l'axe (Oz) est vertical ascendant, sans quoi le
signe la relation fondamentale de la statique des fluides change.
), le piston de sec2 Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, lié à 
l'axe (O, -
u
z

-

-

tion S est sans masse donc m a = 0 . Il est soumis à la force pressante de 
l'eau p S -
u
z
-

et à la force exercée par l'opérateur Fu . On ignore la force pressante due à 
l'atz

mosphère et l'effet de la pesanteur sur le champ de pression dans l'eau est 
négligé.
), on obtient
Ainsi, en projetant le théorème du centre d'inertie sur l'axe (O, -
u
z
p=-

F
<0
S

La pression de l'eau est négative et la nucléation de bulles de vapeur est 
possible.
3 La bulle (de volume V et de rayon r) reçoit un travail Wp = -p dV qui fait
passer son rayon de r à r +dr. La bulle étant sphérique, son volume a pour 
expression
V = 4 r3 /3 et varie de façon infinitésimale de dV = 4r2 dr. Ainsi, le travail
élémentaire reçu vaut
Wp = -4r2 p dr

La force F étant constante, p l'est aussi et on peut exprimer le travail comme

4 3
te
Wp = -d
r p + C
3
Ce travail peut s'écrire sous la forme Wp = -dEp , où Ep est l'énergie 
potentielle
associée aux forces pressantes
Ep =

4 3
r p
3

L'énergie potentielle étant définie à une constante additive près, sans 
signification
physique, on peut poser Ep (0) = Cte = 0.
4 À l'énergie potentielle issue des forces de pression Ep , on ajoute l'énergie 
potentielle de tension superficielle Ep =  e , avec  = 4r2 l'aire de la surface 
de la bulle.
Par conséquent, l'énergie potentielle totale du système est un polynôme de 
degré 3
Ep =

4
pr3 + 4 e r2
3

Ici p < 0 (question 2), donc le coefficient du monôme de degré 3 est négatif.
Ep admet des extrema aux valeurs de rayon r pour lesquelles

dEp
= 0 = 4r (pr + 2 e)
dr r
soit

ou

r = 0

r = rc = -

2 e
p

La valeur r = 0 correspond à un minimum local nul de l'énergie potentielle 
tandis
que Ep admet un maximum en r = rc pour lequel
Ea = Ep (rc ) =

16 e 3
3p2

Numériquement, avec p = -2,0 Mpa,
rc = 70 nm

et

Ea = 1,4 · 10-15 J

On exprime (x) = Ep (x)/Ea en fonction de x = r/rc
(x) =

4
p
4 e
r3 +
r2
3
2
3 16 e /3p
16 e3 /3p2

= -2

r3
3

(-2 e/p)

+3

r2
2

(-2 e/p)

(x) = x2 (3 - 2x)
Sa dérivée

 (x) = 6x (1 - x)

s'annule en x = 0 et en x = 1. Pour x  1, (x) est équivalent au monôme de plus
bas degré : (x)  3x2 . Pour x  1, (x) est, au contraire équivalent au monôme de
plus haut degré : (x)  -2x3 . De plus, (0) = (1,5) = 0 et (2) = -4. Ainsi, (x)
possède un minimum local en x = 0, un maximum global en x = 1 et tend vers -
pour x qui tend vers +, comme le montre le graphique suivant.