Mines Physique 1 PSI 2018

Thème de l'épreuve Interaction laser plasma à haut éclairement
Principaux outils utilisés mécanique classique, électromagnétisme, physique des plasmas
Mots clefs plasma, modèle de Bohr, force de Lorentz

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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A2018 ­ PHYSIQUE I PSI ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT Atlantique, ENSAE PARISTECH. Concours Centrale-Supélec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP. CONCOURS 2018 PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Durée de l'épreuve : 3 heures L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : PHYSIQUE I - PSI L'énoncé de cette épreuve comporte 9 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Physique I, annee 2018 -- filiere PSI Interaction laser plasma a haut eclairement Au debut des annees 2000, des mecanismes de generation d'impulsions electromagnetiques tres breves et de forte intensite, jusque la theoriques, ont ete concretises sur le plateau de Saclay notamment par le Laboratoire d'Optique Appliquee de l'Ensta ParisTech et le Laboratoire de Physique a Haute Intensite du Cea. Lorsqu'un faisceau laser de forte puissance est focalise sur de la matiere (gaz ou solide), cette derniere est ionisee quasi­instantanement et se transforme alors en un plasma globalement neutre. L'interaction entre le champ electromagnetique du laser et le plasma ainsi forme met en jeu une physique particulierement riche et complexe. Sous certaines conditions, un rayonnement laser de haute frequence (UV ou X) peut etre emis par ce plasma. Dans le domaine temporel, ce rayonnement peut etre associe a des impulsions tres breves dont la duree se situe dans la gamme des femto-secondes (10-15 s) voire atto-secondes (10-18 s). Les applications de ce type de laser sont maintenant largement mises en place en recherche, dans l'industrie et dans le domaine des applications biomedicales. Nous proposons d'etudier certains de ces mecanismes d'emission issus de l'interaction laser-plasma. Hormis le nombre i tel que i2 = -1, les nombres complexes sont soulignes : z C. Les vecteurs ! pour un champ electrique ; seront traditionnellement surmontes d'une fleche, par exemple E sauf s'ils sont unitaires et seront alors surmontes d'un chapeau, par exemple u !x tel que #! ux # = 1. Les resultats numeriques attendus sont des ordres de grandeur comportant au plus deux chiffres significatifs. Quatre documents d'information sont rassembles a la fin du sujet. I. -- Generation d'harmoniques dans les gaz I.A. -- Champ laser et champ coulombien. Cette partie s'appuie principalement sur le document i. On adopte dans un premier temps une description semi-classique de l'atome d'hydrogene dans le referentiel du proton suppose fixe : -- la position de l'electron est reperee par le vecteur !r et sa vitesse par le vecteur !v ; -- l'electron est assimile a un point materiel de masse m 9.10-31 kg et de charge q = -e ou e = 1,6.10-19 C designe la charge elementaire ; -- l'electron est anime d'un mouvement circulaire, de rayon r = #!r# et de vitesse v = #!v # ; -- on neglige le poids de l'electron ; h -- la norme du moment cinetique est quantifiee : mrv = n! ou ! = 2 10-34 J · s designe la constante de Planck reduite et n est un entier naturel non nul. 1 -- Donner l'expression de la force electrique coulombienne subie par l'electron, due au proton. Montrer qu'il s'agit d'une force centrale qui derive d'une energie potentielle Wp dont on determinera l'expression. 2 -- Determiner l'expression de l'energie mecanique Wm de l'electron sur son orbite circulaire de rayon r, en fonction de r, e et 0 = 9.10-12 F·m-1 . Montrer que le rayon de la trajectoire s'ecrit sous la forme r = a0 n2 ou l'on exprimera a0 en fonction de 0 , h, m, et e. Preciser la valeur de n lorsque l'electron est dans son etat fondamental. Calculer la valeur numerique en electron-volt de l'energie mecanique de l'etat fondamental notee -W0 . Page 1/9 Tournez la page S.V.P. Physique I, annee 2018 -- filiere PSI 3 -- On donne a0 = 21 .10-10 m, calculer la valeur de la norme du champ electrique coulombien Ec ressenti par l'electron dans son etat fondamental. Calculer la puissance P de l'impulsion laser. Determiner, notamment en fonction de P , les expressions de l'amplitude du champ electrique laser avant son passage a travers la lentille E = E0 (z = -f ) et au niveau du foyer Ef = E0 (z = 0). En utilisant les valeurs numeriques (fournies dans le tableau du document i relatives a la cible gaz ), comparer Ec et Ef . Que peut-on en conclure ? I.B. -- Un mecanisme en trois etapes Cette partie s'appuie principalement sur le document ii. Pour simplifier le probleme, on limite l'etude au mouvement de l'electron le long d'un axe (O,! ux ) perpendiculaire a (O,! uz ) et x represente la coordonnee de l'electron le long de l'axe (O,! ux ). L'impulsion laser est modelisee par une onde electromagnetique plane. Le champ electrique du laser, au niveau de l'atome d'hydrogene situe au foyer du faisceau s'ecrit ! E(z,t) = Ef cos (0 t - k0 z) u !x c. Le noyau, constitue d'un proton, est situe en O, pour 0 t T , avec 0 = 20 = k0 c = 2 0 il est suppose fixe. 4 -- Justifier que pour l'etude du mouvement de l'electron, on peut negliger le terme k0 z dans l'expression du champ electrique du laser. 5 -- Donner l'expression de l'energie potentielle d'interaction Wp entre le proton et l'electron en fonction de l'abscisse x. Verifier qu'elle correspond bien a l'allure donnee sur la figure ii.a 6 -- Donner l'expression de la force de Lorentz subie par l'electron et causee par le champ electromagnetique du laser. Rappeler la relation de structure pour une onde electromagnetique plane harmonique. On la supposera applicable localement. A quelle condition, supposee verifiee par la suite, cette force est-elle conservative ? Determiner, en fonction de e, Ef , 0 , t et x, l'energie potentielle Wp,las (x,t) associee a cette force ainsi que l'expression de l'energie potentielle totale Wp,tot (x,t) = Wp (x) + Wp,las (x,t). Preciser le sens du champ electrique dans la situation de la figure ii.b . 7 -- Justifier qu'il y a deux instants privilegies par cycle optique ou l'ionisation, c'esta-dire la traversee de la barriere de potentiel, est la plus facile. Determiner x0 , la position correspondant au maximum de Wp,tot selon x. Determiner l'expression de Ef,i correspondant a une ionisation en x = x0 a l'un des instants privilegies. Cette ionisation est-elle possible dans les conditions experimentales precisees dans le tableau du document i, avec une cible gaz ? On s'interesse maintenant a la deuxieme etape du mecanisme representee sur la figure ii.c . L'ionisation a lieu a un instant ti > 0. On considere qu'elle confere une vitesse negligeable (v(t = ti ) 0) a l'electron et qu'elle s'effectue au niveau du noyau (x(t = ti ) x0 0). Pour ! t ti , l'electron n'est soumis qu'au champ electrique du laser E(t) = Ef cos (0 t) u !x . 8 -- Ecrire l'equation du mouvement, puis determiner, en fonction de e, Ef , m, 0 , t et ti , l'expression de la vitesse x(t), de la position x(t) pour t ti . A posteriori, quelle condition doit etre verifiee pour que x0 soit bien negligeable lors de l'etude du mouvement de l'electron dans le champ laser. Page 2/9 Tournez la page S.V.P. Physique I, annee 2018 -- filiere PSI On s'interesse enfin a la troisieme etape du mecanisme representee sur la figure ii.d . 9 -- Determiner l'expression de l'energie cinetique Wc de l'electron lors de sa recombinaison avec le noyau a un instant t > ti . Exprimer sa valeur moyenne sur une periode 'Wc ( en fonction de e, Ef , m et 0 . On admet que l'energie cinetique maximale de l'electron est donnee par la relation Wc, max 3,2 'Wc ( et on donne 'Wc ( 60 eV. Lors de cette recombinaison, l'electron retombant dans son etat fondamental, un photon est emis. On interprete cette emission comme etant celle d'une impulsion breve dont l'etendue du spectre correspond a la frequence maximale possible d'un photon issu de la recombinaison. Estimer un ordre de grandeur de la duree T de cette impulsion. L'emission de ces impulsions lumineuses tres breves a lieu deux fois par periode : une fois apres une ionisation du cote des x > 0 et une autre #0 ! fois apres une ionisation du cote des x < 0. 2 On modelise le train d'impulsions emis par l'atome par un signal s(x,t) = 0 #0 s+ (x,t)+s- (x,t). Au niveau de l'atome, on considere que s+ (0,t) = s0 (t) et s- (0,t) = -s0 (t - T20 ) ou la fonction s0 (t) est periodique de periode "¡(0,!) T0 . Une allure possible de s+ (0,t) et s- (0,t) est donnee par la figure 1. Figure 1 ­ Graphe On souhaite determiner les pulsations presentes dans le spectre associe du signal s(0,t) au signal s(t). "+(0,!) 10 -- Justifier le fait qu'il suffit de raisonner sur un signal sinusoidal : s0 (t) = S0 cos (t). Donner les expressions des signaux s+ (x,t) et s- (x,t) recus a une distance x de l'atome. A quelle condition reliant a 0 = 2 , le signal s(x,t) est-il d'amplitude maximale ? Preciser les T0 caracteristiques spectrales du train d'impulsions breves emises lors de l'interaction d'un laser avec un plasma peu dense. II. -- Generation d'harmoniques sur un miroir plasma Cette partie s'appuie principalement sur le document iii. Dans le cas ou la cible est initialement un solide, l'emission d'impulsions breves se fait par conversion d'energie entre les oscillations d'un plasma et une impulsion lumineuse breve. Ions II.A. -- Pulsation propre % Electrons Dans un premier temps on souhaite determiner la pulsation propre des oscillations d'un plasma dans un pro$ & & 0 '(!) +¡ ¡¡ bleme unidimensionnel. Initialement, pour t < 0, le 2 2 plasma est neutre, immobile et localise entre les abscisses x = -L/2 et x = +L/2. Le vide regne de part et d'autre du plasma. On note n la densite particulaire des electrons, de masse m et de charge q = -e. On etudie le mouvement d'ensemble des electrons consecutif a une perturbation se produisant a l'instant t = 0. On considere que les ions restent fixes et qu'a chaque instant t > 0 la distribution des electrons reste homogene sur une longueur L. Etudier le mouvement du nuage revient alors a etudier celui d'un electron situe au centre de la distribution, a l'abscisse X(t). L'effet de la perturbation peut donc se resumer a un deplacement impulsionnel du nuage electronique par rapport aux ions : pour t < 0 on a X(t) = 0 et X(0) = X0 > 0. 11 -- Tracer l'allure de la densite volumique de charge (x). Determiner le champ electrique qui regne a l'interieur du plasma, ou la densite volumique de charge est nulle. Determiner l'equation du mouvement d'un electron"du plasma et en deduire que la pulsation propre du ne2 . plasma est donnee par la relation p = m 0 Page 3/9 Tournez la page S.V.P. Physique I, annee 2018 -- filiere PSI II.B. -- Propagation dans un plasma homogene On souhaite etudier la propagation d'une onde electromagnetique plane, de vecteur d'onde !k et de pulsation , dans un plasma homogene au sein duquel on neglige l'agitation thermique. ! = m(B), ! avec ! = e(E) ! et B On cherche les champs electrique et magnetique sous la forme E & & ! = E!0 ei(t-k·&r) et B ! = B!0 ei(t-k·&r) . E 12 -- Rappeler les equations de Maxwell. Le plasma etant suppose peu dense, localement neutre et le mouvement des electrons etant suppose non-relativiste, exprimer la conductivite complexe du milieu puis determiner l'equation de propagation d'une onde electromagnetique dans le plasma. Montrer que la relation de dispersion s'ecrit 2 = p2 + k 2 c2 . La pulsation etant fixee, en deduire qu'a partir d'une certaine densite particulaire electronique critique nc , que l'on explicitera, la propagation n'est pas possible dans le plasma. Qu'advient-il alors de l'onde electromagnetique ? On s'interesse maintenant a la propagation, sous incidence normale, de l'onde electromagnetique dans la zone heterogene de la surface du plasma. Cette zone de transition entre le vide et l'interieur homogene est modelisee par une evolution exponentielle de la densite particulaire electronique decrite sur la figure iii.b . On considere que la relation de dispersion etablie a la question precedente est encore valable, mais avec p = p (x). 13 -- Determiner l'abscisse xc correspondant a la reflexion de l'onde electromagnetique. On reprend la situation de la question precedente a l'exception notable du fait que l'onde electromagnetique arrive desormais sur la surface avec un angle d'incidence . On s'interesse a la propagation de cette onde dans le plan (xOy). La relation de dispersion precedente est toujours supposee valable. 14 -- Justifier que la composante du vecteur d'onde le long de la surface, c'est-a-dire la composante ky , se conserve au cours de la propagation. En deduire l'abscisse xr de reflexion de l'onde electromagnetique en fonction de xc , L et . Comparer ce resultat avec celui obtenu sous incidence normale. II.C. -- Excitation d'ondes plasma a la surface. ! On modelise dans cette partie la seconde etape du mecanisme decrit dans le document iii. Dans un premier temps, on raisonne sur une seule dimension d'espace : x. On suppose qu'un paquet d'electron traverse la surface vers les x > 0 avec une vitesse !v = v! ux constante. Courbes On choisit l'origine des temps lorsque le paquet passe en x = -3L. (($,!)=cste Lors de son passage, il excite localement des ondes plasma (voir Paquet figure 2) qui se mettent a osciller comme dans la partie II.A avec d'électrons X(x,t) = X0 cos (x,t). $ 0 ¡3& 15 -- Donner l'expression de l'instant t0 (x) de passage du paFigure 2 ­ Cas 1D quet d'electron a l'abscisse x. Determiner, pour t > t0 (x), l'expression de la phase (x,t) en un point d'abscisse x. On prendra (x,t = t0 (x)) = 0 et on exprimera le resultat en fonction de t, t0 (x) et p (x) puis en fonction de t, v, L, x et max , ou max designe la pulsation plasma associee a la densite particulaire maximale nmax . g On definit le vecteur d'onde des oscillations plasma !kp = -grad (x,t) et on admet que les oscillations plasma ne peuvent emettre une onde electromagnetique que lorsque !kp · u !x = 0. 16 -- Montrer que les oscillations plasma peuvent effectivement emettre un rayonnement mais qu'elles n'auraient pas pu le faire si elles avaient ete excitees par un paquet d'electrons se deplacant vers les x < 0. Page 4/9 Tournez la page S.V.P. Physique I, annee 2018 -- filiere PSI ) ) s tron 'élec ement l pe d Nap nt loca a ta m exci le plas On reprend l'etude de la question 16 mais en la traitant a deux dimensions. Pour simplifier, on suppose que le Front d'onde -(¡3&,)) paquet d'electrons, de vitesse !v = v! ux , injecte en M0 laser sous l'effet du laser vers l'interieur du plasma, passe par l'abscisse x = -3L a l'instant meme ou le front d'onde du laser arrive en M0 (voir ci-contre). 17 -- Determiner le decalage temporel entre les arrivees du front d'onde laser aux points M0 et M . En $ deduire l'expression du temps t0 (x,y) du passage du pa-0(¡3&,0) * quet d'electrons en un point (x,y) de la zone heterogene. +, 0 ¡3& En reprenant la condition d'emission de la question preZone Plasma Vide hétérogène cedente, avec desormais = (x,y,t), montrer que les homogène de surface points d'emission sont localises sur un droite que l'on caracterisera. Expliquer pourquoi l'on parle d' Emission Coherente de Sillage (ECS). Conclure cette partie en precisant les proprietes remarquables du spectre de l'ECS. III. -- Interaction d'une impulsion avec une feuille mince Cette partie s'appuie principalement sur le document iv. L'impulsion laser est celle decrite dans le document i dans le cas d'une cible solide. On etudie l'effet de l'expansion du plasma dans le vide sur le spectre du rayonnement emis afin d'estimer un ordre de grandeur de la temperature du plasma dans un modele simplifie. 18 -- Justifier que si la temperature e du plasma est assez elevee, alors on pourra, en premiere approximation, modeliser le plasma comme un gaz parfait. Montrer alors que la temperature e du plasma reste inchangee pendant l'expansion du plasma dans le vide. 19 -- Determiner l'expression de nL, max en fonction en de , L et de la densite particulaire electronique n0, max avant expansion. En deduire l'expression de la pulsation plasma maximale L, max en fonction de , L et de la pulsation plasma 0, max associee a la densite particulaire n0, max . Pour des eventuelles applications numeriques, on prendra par la suite 0, max 18,7 0 . On suppose dans un premier modele que la temperature e des electrons du plasma est independante de l'epaisseur de la cible choisie. 20 -- Estimer dans ce modele et a partir de la figure iv.b, un ordre de grandeur de la temperature electronique e du plasma. On suppose dans un second modele que l'energie cinetique totale des electrons du plasma ne depend pas de l'epaisseur du plasma. On note 0 l'epaisseur de la feuille la plus epaisse lors de l'experience (0 = 100 nm) et L0 la longueur caracteristique du gradient de ce plasma d'epaisseur 0 . 21 -- Comment varie alors la temperature electronique e du plasma avec l'epaisseur ? Determiner l'expression de L, max en fonction de , 0, max , 0 et L0 . Que penser de ces deux modeles compte-tenu des spectres experimentaux de la figure iv.b ? Page 5/9 Tournez la page S.V.P. Physique I, annee 2018 -- filiere PSI Document i : Modelisation du faisceau laser incident Le faisceau laser est modelise de la facon suivante : . (/0 !) -- L'amplitude du champ laser est constante durant la duree #0 . 0 (/) de l'impulsion T = 50 fs (1 fs = 10-15 s) et elle est nulle avant et apres cette impulsion (Fig i.a). La periode des os! cillations du champ laser est notee T0 et correspond dans le vide a une longueur d'onde 0 = 800 nm. L'energie totale de l'impulsion laser est WT . -- Le faisceau presente une symetrie cylindrique d'axe (Oz). ¡.0 (/) # Dans un plan transverse (z = constante), l'eclairement Fig. i.a ­ Amplitude laser I(r,z) est uniforme dans un disque de rayon R(z) et il est nul au-dela (fig i.b). On rappelle la relation entre l'eclairement I(r,z) (en W · m-2 ) et l'amplitude du champ laser E(r,z) : I(r,z) = 12 0 cE(r,z)2 ou 0 designe la permittivite du vide et c = 3.108 m · s-1 la celerite de la lumiere dans le vide. On notera I0 (z) et E0 (z) l'eclairement et le champ electrique sur l'axe r = 0. 1 (20 /) 10 (/) 50 i.c 7 i.b 4 / 6 2 0 Cible au foyer 3 -- Le faisceau est focalise, par une lentille de dis2/0 tance focale f et de diametre egal a celui du p 7 7 faisceau laser D, sur une cible ( gaz ou so230 30 / lide ). L'angle est le demi-angle au sommet 6 du cone sous lequel est vue la lentille depuis la cible, placee au foyer O (fig. i.c). i.d -- L'allure du faisceau au voisinage du foyer O est representee sur la figure i.d , il est caracterise R2 0 et par les relations z0 = 00 , tan R 0 # Durée impulsion $ %2 8 R(z) = R0 1 + zz0 . Les conditions physiques experimentales sont rassemblees ci-contre. Diamètre faisceau 4 5 F Document ii : Cas ou la cible est un gaz La cible etant un gaz, on peut, pour comprendre le mecanisme d'emission d'impulsions attosecondes, se ramener a l'interaction d'un champ electrique laser avec un atome, par exemple l'hydrogene. Avant l'arrivee de l'impulsion laser, l'electron de l'atome d'hydrogene est au repos dans son etat fondamental caracterise par une energie potentielle negative -W0 . On represente, en mecanique quantique, l'electron par un paquet d'ondes stationnaires. (Fig ii.a) Page 6/9 Tournez la page S.V.P. Physique I, annee 2018 -- filiere PSI 89($) ii.a $ 80 89($) ii.b $0 $ ionisation 80 Electron à l'état fondamental 89($) 89($) ii.c ii.d photon 8c 8c $ $ accélération 80 recombinaison Dans le cadre d'un modele semi-classique qui donne des resultats satisfaisants, on peut decomposer le mecanisme d'emission d'impulsions en trois etapes : -- Premiere etape (Fig ii.b) : sous l'influence du champ laser, le puits de potentiel dans lequel se trouve l'electron de l'atome d'hydrogene est modifie et la hauteur de la barriere de potentiel s'annule. L'electron s'extrait alors de l'attraction coulombienne due au noyau atomique. En realite l'ionisation peut avoir lieu par effet tunnel avant l'annulation de la barriere de potentiel. Nous n'etudierons pas cette possibilite dans ce probleme. -- Deuxieme etape (Fig ii.c) : l'electron, libere de l'attraction du noyau, est accelere par le champ laser. Il peut revenir vers le noyau avec une energie cinetique Wc -- Troisieme etape (Fig ii.d) : lors de son retour sur le noyau, l'electron se recombine avec le noyau et emet un photon d'energie h. Les trois etapes de ce mecanisme se deroulent au cours d'un cycle optique du laser dont la periode est notee T0 . Document iii : Cas ou la cible est solide Laser réfléchi Lorsque la cible est un solide , le plasma forme des le debut de l'arrivee de l'impulsion laser est tres dense. Comme la cible est totaleCible ment ionisee, la densite particulaire en electron ne vaut : ne = Z × ni ou ni est la densite particulaire atomique du solide et Z le nombre * $ de charge de l'element. * Le faisceau laser peut s'y reflechir comme sur un miroir. On parle alors de miroir plasma . Les impulsions breves sont emises, lors Laser incident de l'interaction du faisceau laser avec ce miroir plasma , dans Fig. iii.a ­ Miroir la direction du faisceau reflechi. On considere que cette direction satisfait les lois de Descartes de l'optique geometrique (fig iii.a). © impulsions brèves Page 7/9 Tournez la page S.V.P. Physique I, annee 2018 -- filiere PSI La surface du miroir plasma presente une tres forte heterogeneite de densite particulaire entre le vide (a l'exterieur) et une region tres dense et homogene (a l'interieur). On modelisera cette densite particulaire en electrons par une fonction exponentielle (fig iii.b). pour x < -3L 0 x/L ne (x) = n e pour -3L x < 0 max nmax pour x 0 %:($) ¡3& $ 0 ¡& Surface hétérogène Vide Plasma homogène Fig. iii.b ­ Transition de ne La densite particulaire des ions est de la meme forme afin que le plasma soit localement neutre avant arrivee de l'onde electromagnetique. On suppose que nmax , qui correspond a la densite particulaire electronique lorsque la cible est totalement ionisee est superieur a nc . Le mecanisme d'emission que nous allons decrire est appele Emission Coherente de Sillage. Pour etre efficace ce mecanisme necessite que le faisceau laser incident arrive de facon oblique sur le miroir plasma . On note l'angle d'incidence sur la surface plane (x = 0) de la cible devenue un miroir plasma . » %: 200 %: iii.c iii.d iii.e iii.f Figures extraites de la thèse de Cédric Thaury - 2008 Ce mecanisme peut etre decrit en trois etapes : -- Premiere etape : Les electrons, de la surface du miroir plasma, sont arraches par le champ electrique du laser (fig iii.c), puis renvoyes par paquet vers le plasma (fig iii.d) -- Deuxieme etape : Lors de la traversee de la surface heterogene du miroir plasma, les paquets d'electrons excitent des oscillations plasma (a la frequence plasma locale p (x)). Du fait de l'incidence oblique, la superposition des paquets d'electrons formes a differents points de la surface resulte en un front de densite oblique qui se propage dans le plasma (fig iii.e et fig iii.f) -- Troisieme etape : Ces oscillations plasma emettent une impulsion lumineuse attoseconde dans la direction du faisceau reflechi lorsque le front des oscillations plasma est perpendiculaire a la surface du miroir plasma (fig iii.d) Ce mecanisme se repete a chaque cycle optique du laser (de periode T0 ). Page 8/9 Tournez la page S.V.P. Physique I, annee 2018 -- filiere PSI Document iv : Cas ou la cible est une feuille mince %0($) On s'interesse au cas ou l'epaisseur du miroir plasma est naAvant expansion nometrique (de 10 nm a 100 nm). Dans ce cas, la totalite de %0,max la cible est vaporisee et ionisee pour former un plasma. L'expansion de ce plasma dans le vide a pour consequence une diminution de la densite particulaire maximale de la cible. %&,max L'allure du profil de densite particulaire electronique avec et sans expansion est reportee sur la figure iv.a. On note l'epaisseur de la cible, et L la longueur caracteristique de l'heterogeneite de densite aux surfaces. Cette derniere longueur depend $ ¡& 0 ; ;+& de la temperature e du plasma et de la duree T de l'impulsion laser incidente. On" peut l'estimer par une relation de la forme Fig. iv.a ­ Profil L = cs T avec cs = ZkmBie ou kB = 1,4.10-23 J·K-1 designe la constante de Boltzmann, mi la masse ionique et Z le nombre de charge de l'atome. La cible est ici en carbone avec Z = 6 et mi = 2.10-26 kg. On peut estimer que l'energie cinetique moyenne d'un electron du plasma est egale a 23 kB e . Nous modeliserons le profil de densite particulaire des electrons nL (x) de la facon suivante : Epaisseur [nm] pour x < 0 nL, max ex/L nL, max pour 0 < x < nL (x) = -(x-)/L nL, max e pour < x 100 50 28 19 Pulsation (en < 0 = 2= ) 10 #0 12 13 14 15 16 17 Fig. iv.b ­ Spectres 18 19 Dans ce modele l'epaisseur de l'interieur homogene du plasma ne varie pas pendant l'interaction. Lorsque l'on fait varier l'epaisseur de la cible, on observe que l'etendue du spectre varie. L'harmonique maximale du spectre augmente avec l'epaisseur du miroir plasma (fig iv.b). FIN DE L'EPREUVE Page 9/9

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 Mines Physique 1 PSI 2018 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Raphaël Galicher (enseignant-chercheur à l'université) ; il a été relu par Stéphane Ravier (professeur en CPGE) et Tom Morel (professeur en CPGE). Le sujet s'appuie sur quatre documents fournis en annexe. Il s'intéresse à l'interaction entre un faisceau laser de forte puissance et la matière, un gaz dans les deux premières parties, un solide dans la troisième, conduisant à la formation d'un plasma. · Au début de la première partie, une description semi-classique de l'atome est utilisée pour estimer l'amplitude du champ électrique laser nécessaire pour ioniser un gaz d'hydrogène. Puis une étude indépendante de cette ionisation est faite en considérant l'énergie potentielle d'un électron d'un atome d'hydrogène plongé dans un champ laser. Ensuite, le mouvement de l'électron après ionisation est décrit par la mécanique classique. Enfin, un modèle est proposé pour expliquer l'émission d'impulsions brèves par l'électron ainsi que les composantes du spectre émis. · La deuxième partie du sujet commence par le calcul classique de la pulsation propre d'un plasma. Puis on établit la relation de dispersion pour une onde électromagnétique plane se propageant dans le plasma en faisant apparaître une fréquence de coupure. Les conditions de continuité du champ électrique à l'interface entre deux milieux permettent alors d'expliquer la réflexion sur le « miroir plasma ». La fin de cette partie étudie l'émission cohérente de sillage. · Au début de la troisième partie, on montre que le plasma peut être considéré comme un gaz parfait sous certaines conditions. La conservation du nombre de particules dans le plasma permet d'estimer la pulsation plasma maximale. Deux modèles sont alors proposés pour expliquer les mesures expérimentales et l'énoncé demande de conclure quant à leur validité. Le sujet est de difficulté hétérogène. Certaines questions sont proches du cours, d'autres sont compliquées. Dans certaines questions, la complexité vient d'un manque de clarté de l'énoncé. Ce sujet est un bon entraînement pour se rappeler le modèle semi-classique de l'atome d'hydrogène et la propagation d'onde dans un plasma. L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique était interdit pendant l'épreuve. Il fallait donc faire les applications numériques à la main. Dans ce corrigé, on détaille les applications numériques en suivant toujours la même méthode. Dans un premier temps, on simplifie autant que possible sans approximation (le signe = est conservé). Dans un deuxième temps, on utilise des approximations pour finaliser le calcul (et on utilise le signe ). Indications Partie I 2 L'expression de v peut s'obtenir à partir du principe fondamental de la dynamique. Pour montrer que r = a0 n2 , utiliser la quantification du moment cinétique. 3 La question peut prêter à confusion : les calculs de EC et de P sont indépendants. 6 Une force est conservative si elle ne dépend pas de la vitesse de déplacement. 7 Les deux instants privilégiés sont ceux pour lesquels la barrière de potentiel est au plus bas. Pour le calcul de Ef,i , remarquer qu'aux instants privilégiés, Wp et Wp,las sont égaux. Utiliser l'expression de W0 obtenue à la question 2. 8 Pour trouver la condition a posteriori, chercher la condition pour que l'amplitude du mouvement soit grande devant x0 . 9 Remplacer 0 ti par les valeurs trouvées à la question 7. 10 Penser à la décomposition en série de Fourier. Partie II 11 Modéliser le problème par un condensateur ou supposer que |X| L et que les charges créent une densité surfacique de charges. 13 Utiliser le profil de densité du document III. 14 À l'interface entre deux milieux, il y a continuité de la composante du champ électrique parallèle à la surface. 15 Remplacer la pulsation plasma par l'expression donnée au II.A. 16 Comparer l'instant auquel l'émission a lieu en un point x et l'instant auquel le paquet d'onde arrive au même point. 17 Utiliser la définition d'une surface d'onde (appelée front d'onde dans l'énoncé). Partie III 18 Dans un gaz parfait, l'énergie potentielle d'interaction entre particules est nulle. La variation d'énergie interne d'un gaz parfait ne dépend que de sa température. 19 Utiliser la conservation du nombre de particules. 20 Remplacer L par son expression en fonction de e dans le résultat de la question 19. 21 Montrer que L2 = L0 2 0 . Utiliser le résultat de la question 19. Chercher les domaines de validité des deux modèles. Interaction laser plasma à haut éclairement I. Génération d'harmoniques dans les gaz - 1 La force électrique coulombienne f subie par l'électron, due au proton, s'écrit - f =- e2 u br 4 0 r 2 avec u br = - r /r le vecteur unitaire radial. Cette force est à tout instant dirigée selon u br , donc vers le proton qui est le centre de force. De plus, elle ne dépend que de la variable r ce qui permet de l'écrire comme la dérivée d'une énergie potentielle Wp : - -- f = - grad Wp avec Wp = - e2 4 0 r La constante d'intégration a été choisie nulle. 2 L'énergie mécanique est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle 1 m v 2 + Wp 2 Comme la force est centrale et que l'électron est animé d'un mouvement circulaire de vitesse v et de rayon r, le principe fondamental de la dynamique projeté sur l'axe radial s'écrit - m v2 - = f ·u br r 1 r- d'où - m v2 = f · u br 2 2 1 e2 et m v2 = 2 8 0 r Ainsi, l'énergie cinétique est égale à la moitié de l'énergie potentielle en norme et elle est de signe opposé. On en déduit l'expression de l'énergie mécanique. Wm = Wm = - e2 8 0 r Pour obtenir l'expression du rayon r, on élève au carré la quantification du moment cinétique donnée par l'énoncé m2 r 2 v 2 = n 2 ~ 2 D'après l'expression de l'énergie cinétique obtenue précédemment m r2 Avec ~ = h , 2 r = n2 a0 e2 = n2 ~2 4 0 r avec a0 = 0 h2 m e2 Lorsque l'électron est dans son état fondamental, on a n = 1 et l'énergie mécanique Wm est obtenue en remplaçant r par a0 . Dans l'application numérique, on divise par e, ce qui permet de convertir les joules en électronvolts. Wm = -W0 = - m e4 9 × 1,63 = × 10-31-19×3+12×2+34×2 V 8 0 2 h2 8 × 92 × 4 2 On simplifie autant que possible en remplaçant 1,6 par 16.10-1 W0 = 16 × Avec 2 10 8 10 × 9 2 W0 16 × 0,89 14 eV Finalement Wm = -W0 = - m e4 -14 eV 8 0 2 h2 L'énoncé demande de ne donner que deux chiffres significatifs car il fournit des valeurs approchées de e, m, 0 et h pour simplifier les calculs sans calculatrice. En utilisant des valeurs plus précises, on trouverait W0 = 13,6 eV. 3 La norme du champ électrique coulombien EC ressenti par l'électron dans son état fondamental est EC = e 16 12 = 10 5,7.1011 V.m-1 2 4 0 a0 9 La puissance P de l'impulsion laser dans le gaz est le rapport entre son énergie et sa durée. En utilisant les données du document I, on trouve P= WT = 20 GW T De plus, la puissance est égale au produit de l'éclairement et de la surface S du faisceau. D'après l'expression de l'éclairement fournie par le document I, P= 1 0 c E 2 S 2 avec E l'amplitude du champ électrique. On en déduit : r 2P E= 0 c S () La puissance est conservée au cours de la propagation. Sa valeur est donc fixe. Avant le passage à travers la lentille, le diamètre du faisceau est D et l'amplitude du champ est E r r 8P 8 × 20 = × 109+12-8+4 E = 0 c D2 9×3× On simplifie pour arriver à 4 E = × 3 On utilise 3 10 et r 10 × 10 × 108 3 10 3,2 4 × 10 × 108 4,3.108 V.m-1 3 r 8P E = 4,3.108 V.m-1 0 c D2 E Finalement