Mines Physique 1 MP 2018

Thème de l'épreuve Interaction laser plasma à haut éclairement
Principaux outils utilisés mécanique classique, électromagnétisme, physique des plasmas
Mots clefs plasma, modèle de Bohr, force de Lorentz

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


A2018 ­ PHYSIQUE I MP

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT Atlantique, ENSAE PARISTECH.
Concours Centrale-Supélec (Cycle International),
Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.
CONCOURS 2018
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

PHYSIQUE I - MP
L'énoncé de cette épreuve comporte 9 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant 
les
raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Physique I, annee 2018 -- filiere MP

Interaction laser plasma a haut eclairement
Au debut des annees 2000, des mecanismes de generation d'impulsions 
electromagnetiques tres
breves et de forte intensite, jusque la theoriques, ont ete concretises sur le 
plateau de Saclay
notamment par le Laboratoire d'Optique Appliquee de l'Ensta ParisTech et le 
Laboratoire
de Physique a Haute Intensite du Cea.
Lorsqu'un faisceau laser de forte puissance est focalise sur de la matiere (gaz 
ou solide), cette
derniere est ionisee quasi­instantanement et se transforme alors en un plasma 
globalement
neutre. L'interaction entre le champ electromagnetique du laser et le plasma 
ainsi forme met en
jeu une physique particulierement riche et complexe. Sous certaines conditions, 
un rayonnement
laser de haute frequence (UV ou X) peut etre emis par ce plasma. Dans le 
domaine temporel,
ce rayonnement peut etre associe a des impulsions tres breves dont la duree se 
situe dans la
gamme des femto-secondes (10-15 s) voire atto-secondes (10-18 s). Les 
applications de ce type
de laser sont maintenant largement mises en place en recherche, dans 
l'industrie et dans le
domaine des applications biomedicales. Nous proposons d'etudier certains de ces 
mecanismes
d'emission issus de l'interaction laser-plasma.
Hormis le nombre i tel que i2 = -1, les nombres complexes sont soulignes : z  
C. Les vecteurs
! pour un champ electrique ;
seront traditionnellement surmontes d'une fleche, par exemple E
sauf s'ils sont unitaires et seront alors surmontes d'un chapeau, par exemple u
!x tel que #!
ux # = 1.
Les resultats numeriques attendus sont des ordres de grandeur comportant au 
plus deux chiffres
significatifs. Quatre documents d'information sont rassembles a la fin du sujet.

I. -- Generation d'harmoniques dans les gaz
I.A. -- Champ laser et champ coulombien.
Cette partie s'appuie principalement sur le document i.
On adopte dans un premier temps une description semi-classique de l'atome 
d'hydrogene dans
le referentiel du proton suppose fixe :
-- la position de l'electron est reperee par le vecteur !r et sa vitesse par le 
vecteur !v ;
-- l'electron est assimile a un point materiel de masse m  9.10-31 kg et de 
charge q = -e
ou e = 1,6.10-19 C designe la charge elementaire ;
-- l'electron est anime d'un mouvement circulaire, de rayon r = #!r# et de 
vitesse v = #!v # ;
-- on neglige le poids de l'electron ;
h
-- la norme du moment cinetique est quantifiee : mrv = n! ou ! = 2
 10-34 J · s designe
la constante de Planck reduite et n est un entier naturel non nul.
1 -- Donner l'expression de la force electrique coulombienne subie par 
l'electron, due au
proton. Montrer qu'il s'agit d'une force centrale qui derive d'une energie 
potentielle Wp dont
on determinera l'expression.
2 -- Determiner l'expression de l'energie mecanique Wm de l'electron sur son 
orbite circulaire de rayon r, en fonction de r, e et 0 = 9.10-12 F·m-1 . 
Montrer que le rayon de la trajectoire
s'ecrit sous la forme r = a0 n2 ou l'on exprimera a0 en fonction de 0 , h, m, 
et e. Preciser la
valeur de n lorsque l'electron est dans son etat fondamental. Calculer la 
valeur numerique en
electron-volt de l'energie mecanique de l'etat fondamental notee -W0 .

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Physique I, annee 2018 -- filiere MP

3 -- On donne a0 = 21 .10-10 m, calculer la valeur de la norme du champ 
electrique coulombien Ec ressenti par l'electron dans son etat fondamental. 
Calculer la puissance P de l'impulsion laser. Determiner, notamment en fonction 
de P , les expressions de l'amplitude du champ
electrique laser avant son passage a travers la lentille E = E0 (z = -f  ) et 
au niveau du foyer
Ef = E0 (z = 0). En utilisant les valeurs numeriques (fournies dans le tableau 
du document i
relatives a la cible  gaz ), comparer Ec et Ef . Que peut-on en conclure ?

I.B. -- Un mecanisme en trois etapes
Cette partie s'appuie principalement sur le document ii.
Pour simplifier le probleme, on limite l'etude au mouvement de l'electron le 
long d'un axe (O,!
ux )
perpendiculaire a (O,!
uz ) et x represente la coordonnee de l'electron le long de l'axe (O,!
ux ).
L'impulsion laser est modelisee par une onde electromagnetique plane. Le champ 
electrique du
laser, au niveau de l'atome d'hydrogene situe au foyer du faisceau s'ecrit
!
E(z,t)
= Ef cos (0 t - k0 z) u
!x
c. Le noyau, constitue d'un proton, est situe en O,
pour 0  t  T , avec 0 = 20 = k0 c = 2
0
il est suppose fixe.
4 -- Justifier que pour l'etude du mouvement de l'electron, on peut negliger le 
terme k0 z
dans l'expression du champ electrique du laser.
5 -- Donner l'expression de l'energie potentielle d'interaction Wp entre le 
proton et l'electron
en fonction de l'abscisse x. Verifier qu'elle correspond bien a l'allure donnee 
sur la figure ii.a
6 -- Donner l'expression de la force de Lorentz subie par l'electron et causee 
par le champ
electromagnetique du laser. Rappeler la relation de structure pour une onde 
electromagnetique
plane harmonique. On la supposera applicable localement. A quelle condition, 
supposee verifiee
par la suite, cette force est-elle conservative ? Determiner, en fonction de e, 
Ef , 0 , t et x,
l'energie potentielle Wp,las (x,t) associee a cette force ainsi que 
l'expression de l'energie potentielle
totale
Wp,tot (x,t) = Wp (x) + Wp,las (x,t).
Preciser le sens du champ electrique dans la situation de la figure ii.b .
7 -- Justifier qu'il y a deux instants privilegies par cycle optique ou 
l'ionisation, c'esta-dire la traversee de la barriere de potentiel, est la plus 
facile. Determiner x0 , la position
correspondant au maximum de Wp,tot selon x. Determiner l'expression de Ef,i 
correspondant a
une ionisation en x = x0 a l'un des instants privilegies. Cette ionisation 
est-elle possible dans
les conditions experimentales precisees dans le tableau du document i, avec une 
cible  gaz  ?
On s'interesse maintenant a la deuxieme etape du mecanisme representee sur la 
figure ii.c .
L'ionisation a lieu a un instant ti > 0. On considere qu'elle confere une 
vitesse negligeable
(v(t = ti )  0) a l'electron et qu'elle s'effectue au niveau du noyau (x(t = ti 
)  x0  0). Pour
!
t  ti , l'electron n'est soumis qu'au champ electrique du laser E(t)
= Ef cos (0 t) u
!x .
8 -- Ecrire l'equation du mouvement, puis determiner, en fonction de e, Ef , m, 
0 , t et ti ,
l'expression de la vitesse x(t), de la position x(t) pour t  ti . A posteriori, 
quelle condition doit
etre verifiee pour que x0 soit bien negligeable lors de l'etude du mouvement de 
l'electron dans
le champ laser.

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Physique I, annee 2018 -- filiere MP

On s'interesse enfin a la troisieme etape du mecanisme representee sur la 
figure ii.d .
9 -- Determiner l'expression de l'energie cinetique Wc de l'electron lors de sa 
recombinaison
avec le noyau a un instant t > ti . Exprimer sa valeur moyenne sur une periode 
'Wc ( en fonction
de e, Ef , m et 0 . On admet que l'energie cinetique maximale de l'electron est 
donnee par la
relation Wc, max  3,2 'Wc ( et on donne 'Wc (  60 eV. Lors de cette 
recombinaison, l'electron
 retombant  dans son etat fondamental, un photon est emis. On interprete cette 
emission
comme etant celle d'une impulsion breve dont l'etendue du spectre correspond a 
la frequence
maximale possible d'un photon issu de la recombinaison. Estimer un ordre de 
grandeur de la
duree T de cette impulsion.
L'emission de ces impulsions lumineuses tres breves a lieu deux fois par
periode : une fois apres une ionisation du cote des x > 0 et une autre
#0
! fois apres une ionisation du cote des x < 0.
2
On modelise le train d'impulsions emis par l'atome par un signal s(x,t) =
0
#0
s+ (x,t)+s- (x,t). Au niveau de l'atome, on considere que s+ (0,t) = s0 (t)
et s- (0,t) = -s0 (t - T20 ) ou la fonction s0 (t) est periodique de periode
"¡(0,!)
T0 . Une allure possible de s+ (0,t) et s- (0,t) est donnee par la figure 1.
Figure 1 ­ Graphe On souhaite determiner les pulsations presentes dans le 
spectre associe
du signal s(0,t)
au signal s(t).
"+(0,!)

10 -- Justifier le fait qu'il suffit de raisonner sur un signal sinusoidal : s0 
(t) = S0 cos (t).
Donner les expressions des signaux s+ (x,t) et s- (x,t) recus a une distance x 
de l'atome. A
quelle condition reliant  a 0 = 2
, le signal s(x,t) est-il d'amplitude maximale ? Preciser les
T0
caracteristiques spectrales du train d'impulsions breves emises lors de 
l'interaction d'un laser
avec un plasma peu dense.

II. -- Generation d'harmoniques sur un miroir plasma
Cette partie s'appuie principalement sur le document iii.
Dans le cas ou la cible est initialement un solide, l'emission d'impulsions 
breves se fait par
conversion d'energie entre les oscillations d'un plasma et une impulsion 
lumineuse breve.
Ions

II.A. -- Pulsation propre

%

Electrons

Dans un premier temps on souhaite determiner la pulsation propre des 
oscillations d'un plasma dans un pro$
&
&
0 '(!)
+¡
¡¡
bleme unidimensionnel. Initialement, pour t < 0, le
2
2
plasma est neutre, immobile et localise entre les abscisses x = -L/2 et x = 
+L/2. Le vide
regne de part et d'autre du plasma. On note n la densite particulaire des 
electrons, de masse m
et de charge q = -e. On etudie le mouvement d'ensemble des electrons consecutif 
a une perturbation se produisant a l'instant t = 0. On considere que les ions 
restent fixes et qu'a chaque
instant t > 0 la distribution des electrons reste homogene sur une longueur L. 
Etudier le mouvement du nuage revient alors a etudier celui d'un electron situe 
au centre de la distribution, a
l'abscisse X(t). L'effet de la perturbation peut donc se resumer a un 
deplacement impulsionnel
du nuage electronique par rapport aux ions : pour t < 0 on a X(t) = 0 et X(0) = 
X0 > 0.
11 -- Tracer l'allure de la densite volumique de charge (x). Determiner le 
champ electrique
qui regne a l'interieur du plasma, ou la densite volumique de charge est nulle. 
Determiner
l'equation du mouvement d'un electron"du plasma et en deduire que la pulsation 
propre du
ne2
.
plasma est donnee par la relation p = m
0

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Physique I, annee 2018 -- filiere MP

II.B. -- Propagation dans un plasma homogene
On souhaite etudier la propagation d'une onde electromagnetique plane, de 
vecteur d'onde !k
et de pulsation , dans un plasma homogene au sein duquel on neglige l'agitation 
thermique.
! = m(B),
! avec
! = e(E)
! et B
On cherche les champs electrique et magnetique sous la forme E
&
&
! = E!0 ei(t-k·&r) et B
! = B!0 ei(t-k·&r) .
E
12 -- Rappeler les equations de Maxwell. Le plasma etant suppose peu dense, 
localement
neutre et le mouvement des electrons etant suppose non-relativiste, exprimer la 
conductivite
complexe du milieu puis determiner l'equation de propagation d'une onde 
electromagnetique
dans le plasma. Montrer que la relation de dispersion s'ecrit  2 = p2 + k 2 c2 
. La pulsation 
etant fixee, en deduire qu'a partir d'une certaine densite particulaire 
electronique critique nc ,
que l'on explicitera, la propagation n'est pas possible dans le plasma. 
Qu'advient-il alors de
l'onde electromagnetique ?
On s'interesse maintenant a la propagation, sous incidence normale, de l'onde 
electromagnetique
dans la zone heterogene de la surface du plasma. Cette zone de transition entre 
le vide et
l'interieur homogene est modelisee par une evolution exponentielle de la 
densite particulaire
electronique decrite sur la figure iii.b . On considere que la relation de 
dispersion etablie a la
question precedente est encore valable, mais avec p = p (x).
13 -- Determiner l'abscisse xc correspondant a la reflexion de l'onde 
electromagnetique.
On reprend la situation de la question precedente a l'exception notable du fait 
que l'onde electromagnetique arrive desormais sur la surface avec un angle 
d'incidence . On s'interesse a la
propagation de cette onde dans le plan (xOy). La relation de dispersion 
precedente est toujours
supposee valable.
14 -- Justifier que la composante du vecteur d'onde le long de la surface, 
c'est-a-dire la
composante ky , se conserve au cours de la propagation. En deduire l'abscisse 
xr de reflexion
de l'onde electromagnetique en fonction de xc , L et . Comparer ce resultat 
avec celui obtenu
sous incidence normale.

II.C. -- Excitation d'ondes plasma a la surface.
!
On modelise dans cette partie la seconde etape du mecanisme decrit
dans le document iii. Dans un premier temps, on raisonne sur une
seule dimension d'espace : x. On suppose qu'un paquet d'electron
traverse la surface vers les x > 0 avec une vitesse !v = v!
ux constante.
Courbes
On choisit l'origine des temps lorsque le paquet passe en x = -3L.
(($,!)=cste
Lors de son passage, il excite localement des ondes plasma (voir
Paquet
figure 2) qui se mettent a osciller comme dans la partie II.A avec
d'électrons
X(x,t) = X0 cos (x,t).
$
0
¡3&
15 -- Donner l'expression de l'instant t0 (x) de passage du paFigure 2 ­ Cas 1D
quet d'electron a l'abscisse x. Determiner, pour t > t0 (x), l'expression de la 
phase (x,t) en un point d'abscisse x. On prendra (x,t = t0 (x)) = 0 et on 
exprimera
le resultat en fonction de t, t0 (x) et p (x) puis en fonction de t, v, L, x et 
max , ou max designe
la pulsation plasma associee a la densite particulaire maximale nmax .

g

On definit le vecteur d'onde des oscillations plasma !kp = -grad (x,t) et on 
admet que les
oscillations plasma ne peuvent emettre une onde electromagnetique que lorsque 
!kp · u
!x = 0.
16 -- Montrer que les oscillations plasma peuvent effectivement emettre un 
rayonnement
mais qu'elles n'auraient pas pu le faire si elles avaient ete excitees par un 
paquet d'electrons se
deplacant vers les x < 0.
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Physique I, annee 2018 -- filiere MP
)

)

s
tron
'élec ement
l
pe d
Nap nt loca a
ta
m
exci le plas

On reprend l'etude de la question 16 mais en la traitant
a deux dimensions. Pour simplifier, on suppose que le
Front d'onde
-(¡3&,))
paquet d'electrons, de vitesse !v = v!
ux , injecte en M0
laser
sous l'effet du laser vers l'interieur du plasma, passe par
l'abscisse x = -3L a l'instant meme ou le front d'onde
du laser arrive en M0 (voir ci-contre).
17 -- Determiner le decalage temporel entre les arrivees du front d'onde laser 
aux points M0 et M . En
$
deduire l'expression du temps t0 (x,y) du passage du pa-0(¡3&,0)
*
quet d'electrons en un point (x,y) de la zone heterogene.
+,
0
¡3&
En
reprenant la condition d'emission de la question preZone
Plasma
Vide
hétérogène
cedente, avec desormais  = (x,y,t), montrer que les
homogène
de surface
points d'emission sont localises sur un droite que l'on caracterisera. 
Expliquer pourquoi l'on parle d' Emission Coherente de Sillage  (ECS). Conclure
cette partie en precisant les proprietes remarquables du spectre de l'ECS.

III. -- Interaction d'une impulsion avec une feuille mince
Cette partie s'appuie principalement sur le document iv.
L'impulsion laser est celle decrite dans le document i dans le cas d'une cible 
solide.
On etudie l'effet de l'expansion du plasma dans le vide sur le spectre du 
rayonnement emis afin
d'estimer un ordre de grandeur de la temperature du plasma dans un modele 
simplifie.
18 -- Justifier que si la temperature e du plasma est assez elevee, alors on 
pourra, en
premiere approximation, modeliser le plasma comme un gaz parfait. Montrer alors 
que la
temperature e du plasma reste inchangee pendant l'expansion du plasma dans le 
vide.
19 -- Determiner l'expression de nL, max en fonction en de , L et de la densite 
particulaire
electronique n0, max avant expansion. En deduire l'expression de la pulsation 
plasma maximale
L, max en fonction de , L et de la pulsation plasma 0, max associee a la 
densite particulaire
n0, max . Pour des eventuelles applications numeriques, on prendra par la suite 
0, max  18,7 0 .
On suppose dans un premier modele que la temperature e des electrons du plasma 
est independante de l'epaisseur  de la cible choisie.
20 -- Estimer dans ce modele et a partir de la figure iv.b, un ordre de 
grandeur de la
temperature electronique e du plasma.
On suppose dans un second modele que l'energie cinetique totale des electrons 
du plasma ne
depend pas de l'epaisseur du plasma. On note 0 l'epaisseur de la feuille la 
plus epaisse lors de
l'experience (0 = 100 nm) et L0 la longueur caracteristique du gradient de ce 
plasma d'epaisseur
0 .
21 -- Comment varie alors la temperature electronique e du plasma avec 
l'epaisseur  ?
Determiner l'expression de L, max en fonction de , 0, max , 0 et L0 . Que 
penser de ces deux
modeles compte-tenu des spectres experimentaux de la figure iv.b ?

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Physique I, annee 2018 -- filiere MP

Document i : Modelisation du faisceau laser incident
Le faisceau laser est modelise de la facon suivante :
. (/0 !)
-- L'amplitude du champ laser est constante durant la duree
#0
. 0 (/)
de l'impulsion T = 50 fs (1 fs = 10-15 s) et elle est nulle
avant et apres cette impulsion (Fig i.a). La periode des os!
cillations du champ laser est notee T0 et correspond dans
le vide a une longueur d'onde 0 = 800 nm. L'energie totale de l'impulsion laser 
est WT .
-- Le faisceau presente une symetrie cylindrique d'axe (Oz). ¡.0 (/)
#
Dans un plan transverse (z = constante), l'eclairement Fig. i.a ­ Amplitude 
laser
I(r,z) est uniforme dans un disque de rayon R(z) et il est
nul au-dela (fig i.b). On rappelle la relation entre l'eclairement I(r,z) (en W 
· m-2 ) et
l'amplitude du champ laser E(r,z) : I(r,z) = 12 0 cE(r,z)2 ou 0 designe la 
permittivite
du vide et c = 3.108 m · s-1 la celerite de la lumiere dans le vide. On notera 
I0 (z) et
E0 (z) l'eclairement et le champ electrique sur l'axe r = 0.
1 (20 /)
10 (/)
50
i.c
7
i.b
4
/
6
2
0
Cible au foyer
3
-- Le faisceau est focalise, par une lentille de dis2/0
tance focale f  et de diametre egal a celui du
p
7
7
faisceau laser D, sur une cible ( gaz  ou  so230
30
/
lide ). L'angle  est le demi-angle au sommet
6
du cone sous lequel est vue la lentille depuis la
cible, placee au foyer O (fig. i.c).
i.d
-- L'allure du faisceau au voisinage du foyer O est
representee sur la figure i.d , il est caracterise
R2
0
et
par les relations z0 = 00 , tan   R
0
#
Durée impulsion
$ %2
8
R(z) = R0 1 + zz0 .
Les conditions physiques experimentales sont
rassemblees ci-contre.

Diamètre faisceau 4
5
F

Document ii : Cas ou la cible est un

gaz

La cible etant un gaz, on peut, pour comprendre le mecanisme d'emission 
d'impulsions attosecondes, se ramener a l'interaction d'un champ electrique 
laser avec un atome, par exemple
l'hydrogene. Avant l'arrivee de l'impulsion laser, l'electron de l'atome 
d'hydrogene est  au
repos  dans son etat fondamental caracterise par une energie potentielle 
negative -W0 . On
represente, en mecanique quantique, l'electron par un paquet d'ondes 
stationnaires. (Fig ii.a)

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Physique I, annee 2018 -- filiere MP

89($)

ii.a

$

80

89($)

ii.b

$0

$

ionisation

80

Electron
à l'état
fondamental

89($)

89($)

ii.c

ii.d

photon

8c

8c
$

$
accélération

80

recombinaison

Dans le cadre d'un modele semi-classique qui donne des resultats satisfaisants, 
on peut decomposer
le mecanisme d'emission d'impulsions en trois etapes :
-- Premiere etape (Fig ii.b) : sous l'influence du champ laser, le puits de 
potentiel dans
lequel se trouve l'electron de l'atome d'hydrogene est modifie et la hauteur de 
la barriere
de potentiel s'annule. L'electron s'extrait alors de l'attraction coulombienne 
due au noyau
atomique. En realite l'ionisation peut avoir lieu par effet tunnel avant 
l'annulation de la
barriere de potentiel. Nous n'etudierons pas cette possibilite dans ce probleme.
-- Deuxieme etape (Fig ii.c) : l'electron, libere de l'attraction du noyau, est 
accelere par le
champ laser. Il peut revenir vers le noyau avec une energie cinetique Wc
-- Troisieme etape (Fig ii.d) : lors de son retour sur le noyau, l'electron se 
recombine avec
le noyau et emet un photon d'energie h.
Les trois etapes de ce mecanisme se deroulent au cours d'un cycle optique du 
laser dont la
periode est notee T0 .

Document iii : Cas ou la cible est

solide 

Laser réfléchi

Lorsque la cible est un  solide , le plasma forme des le debut de
l'arrivee de l'impulsion laser est tres dense. Comme la cible est totaleCible 
ment ionisee, la densite particulaire en electron ne vaut : ne = Z × ni
ou ni est la densite particulaire atomique du solide et Z le nombre
*
$ de charge de l'element.
*
Le faisceau laser peut s'y reflechir comme sur un miroir. On parle
alors de  miroir plasma . Les impulsions breves sont emises, lors
Laser incident
de l'interaction du faisceau laser avec ce  miroir plasma , dans
Fig. iii.a ­ Miroir
la direction du faisceau reflechi. On considere que cette direction
satisfait les lois de Descartes de l'optique geometrique (fig iii.a).
©
impulsions brèves

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Physique I, annee 2018 -- filiere MP

La surface du  miroir plasma  presente une tres
forte heterogeneite de densite particulaire entre le
vide (a l'exterieur) et une region tres dense et homogene (a l'interieur). On 
modelisera cette densite
particulaire en electrons par une fonction exponentielle (fig iii.b).

pour x < -3L
 0
x/L
ne (x) =
n e
pour -3L  x < 0
 max
nmax
pour x  0

%:($)

¡3&

$

0
¡&

Surface
hétérogène

Vide

Plasma
homogène

Fig. iii.b ­ Transition de ne

La densite particulaire des ions est de la meme forme afin que le plasma soit 
localement neutre
avant arrivee de l'onde electromagnetique. On suppose que nmax , qui correspond 
a la densite
particulaire electronique lorsque la cible est totalement ionisee est superieur 
a nc .
Le mecanisme d'emission que nous allons decrire est appele Emission Coherente 
de Sillage.
Pour etre efficace ce mecanisme necessite que le faisceau laser incident arrive 
de facon oblique
sur le  miroir plasma . On note  l'angle d'incidence sur la surface plane (x = 
0) de la cible
devenue un  miroir plasma .

» %:

200 %:

iii.c

iii.d

iii.e

iii.f

Figures extraites de la thèse de Cédric Thaury - 2008

Ce mecanisme peut etre decrit en trois etapes :
-- Premiere etape : Les electrons, de la surface du miroir plasma, sont 
arraches par le champ
electrique du laser (fig iii.c), puis renvoyes par paquet vers le plasma (fig 
iii.d)
-- Deuxieme etape : Lors de la traversee de la surface heterogene du miroir 
plasma, les
paquets d'electrons excitent des oscillations plasma (a la frequence plasma 
locale p (x)).
Du fait de l'incidence oblique, la superposition des paquets d'electrons formes 
a differents
points de la surface resulte en un front de densite oblique qui se propage dans 
le plasma
(fig iii.e et fig iii.f)
-- Troisieme etape : Ces oscillations plasma emettent une impulsion lumineuse 
attoseconde
dans la direction du faisceau reflechi lorsque le front des oscillations plasma 
est perpendiculaire a la surface du miroir plasma (fig iii.d)
Ce mecanisme se repete a chaque cycle optique du laser (de periode T0 ).

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Physique I, annee 2018 -- filiere MP

Document iv : Cas ou la cible est une

feuille mince

%0($)

On s'interesse au cas ou l'epaisseur du miroir plasma est naAvant expansion 
nometrique (de 10 nm a 100 nm). Dans ce cas, la totalite de
%0,max
la cible est vaporisee et ionisee pour former un plasma. L'expansion de ce 
plasma dans le vide a pour consequence une
diminution de la densite particulaire maximale de la cible.
%&,max
L'allure du profil de densite particulaire electronique avec et
sans expansion est reportee sur la figure iv.a. On note  l'epaisseur de la 
cible, et L la longueur caracteristique de l'heterogeneite
de densite aux surfaces. Cette derniere longueur depend
$
¡& 0
; ;+& de la temperature e du plasma et de la duree T de l'impulsion
laser incidente. On"
peut l'estimer par une relation de la forme
Fig. iv.a ­ Profil
L = cs T avec cs = ZkmBie ou kB = 1,4.10-23 J·K-1 designe la
constante de Boltzmann, mi la masse ionique et Z le nombre
de charge de l'atome. La cible est ici en carbone avec Z = 6 et mi = 2.10-26 
kg. On peut estimer
que l'energie cinetique moyenne d'un electron du plasma est egale a 23 kB e .
Nous modeliserons le profil de densite particulaire des electrons nL (x) de la 
facon suivante :
Epaisseur [nm]

pour x < 0
 nL, max ex/L
nL, max
pour 0 < x < 
nL (x) =

-(x-)/L
nL, max e
pour  < x

100
50
28
19

Pulsation
(en < 0 = 2= )

10

#0

12 13

14

15

16

17

Fig. iv.b ­ Spectres

18

19

Dans ce modele l'epaisseur  de l'interieur homogene
du plasma ne varie pas pendant l'interaction.
Lorsque l'on fait varier l'epaisseur  de la cible, on
observe que l'etendue du spectre varie. L'harmonique maximale du spectre 
augmente avec l'epaisseur du miroir plasma (fig iv.b).

FIN DE L'EPREUVE

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Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 1 MP 2018 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Raphaël Galicher (enseignant-chercheur à 
l'université) ;
il a été relu par Stéphane Ravier (professeur en CPGE) et Tom Morel (professeur 
en
CPGE).

Le sujet s'appuie sur quatre documents fournis en annexe. Il s'intéresse à 
l'interaction entre un faisceau laser de forte puissance et la matière, un gaz 
dans les deux
premières parties, un solide dans la troisième, conduisant à la formation d'un 
plasma.
· Au début de la première partie, une description semi-classique de l'atome est
utilisée pour estimer l'amplitude du champ électrique laser nécessaire pour
ioniser un gaz d'hydrogène. Puis une étude indépendante de cette ionisation
est faite en considérant l'énergie potentielle d'un électron d'un atome 
d'hydrogène plongé dans un champ laser. Ensuite, le mouvement de l'électron 
après
ionisation est décrit par la mécanique classique. Enfin, un modèle est proposé
pour expliquer l'émission d'impulsions brèves par l'électron ainsi que les 
composantes du spectre émis.
· La deuxième partie du sujet commence par le calcul classique de la pulsation
propre d'un plasma. Puis on établit la relation de dispersion pour une onde
électromagnétique plane se propageant dans le plasma en faisant apparaître
une fréquence de coupure. Les conditions de continuité du champ électrique à
l'interface entre deux milieux permettent alors d'expliquer la réflexion sur le
« miroir plasma ». La fin de cette partie étudie l'émission cohérente de 
sillage.
· Au début de la troisième partie, on montre que le plasma peut être considéré
comme un gaz parfait sous certaines conditions. La conservation du nombre
de particules dans le plasma permet d'estimer la pulsation plasma maximale.
Deux modèles sont alors proposés pour expliquer les mesures expérimentales et
l'énoncé demande de conclure quant à leur validité.
Le sujet est de difficulté hétérogène. Certaines questions sont proches du 
cours,
d'autres sont compliquées. Dans certaines questions, la complexité vient d'un 
manque
de clarté de l'énoncé. Ce sujet est un bon entraînement pour se rappeler le 
modèle
semi-classique de l'atome d'hydrogène et la propagation d'onde dans un plasma.
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique était interdit 
pendant
l'épreuve. Il fallait donc faire les applications numériques à la main. Dans ce 
corrigé,
on détaille les applications numériques en suivant toujours la même méthode. 
Dans un
premier temps, on simplifie autant que possible sans approximation (le signe = 
est
conservé). Dans un deuxième temps, on utilise des approximations pour finaliser 
le
calcul (et on utilise le signe ).

Indications
Partie I
2 L'expression de v peut s'obtenir à partir du principe fondamental de la 
dynamique.
Pour montrer que r = a0 n2 , utiliser la quantification du moment cinétique.
3 La question peut prêter à confusion : les calculs de EC et de P sont 
indépendants.
6 Une force est conservative si elle ne dépend pas de la vitesse de déplacement.
7 Les deux instants privilégiés sont ceux pour lesquels la barrière de 
potentiel est
au plus bas. Pour le calcul de Ef,i , remarquer qu'aux instants privilégiés, Wp 
et
Wp,las sont égaux. Utiliser l'expression de W0 obtenue à la question 2.
8 Pour trouver la condition a posteriori, chercher la condition pour que 
l'amplitude
du mouvement soit grande devant x0 .
9 Remplacer 0 ti par les valeurs trouvées à la question 7.
10 Penser à la décomposition en série de Fourier.
Partie II
11 Modéliser le problème par un condensateur ou supposer que |X|  L et que les
charges créent une densité surfacique de charges.
13 Utiliser le profil de densité du document III.
14 À l'interface entre deux milieux, il y a continuité de la composante du champ
électrique parallèle à la surface.
15 Remplacer la pulsation plasma par l'expression donnée au II.A.
16 Comparer l'instant auquel l'émission a lieu en un point x et l'instant 
auquel le
paquet d'onde arrive au même point.
17 Utiliser la définition d'une surface d'onde (appelée front d'onde dans 
l'énoncé).
Partie III
18 Dans un gaz parfait, l'énergie potentielle d'interaction entre particules 
est nulle.
La variation d'énergie interne d'un gaz parfait ne dépend que de sa température.
19 Utiliser la conservation du nombre de particules.
20 Remplacer L par son expression en fonction de e dans le résultat de la 
question 19.
21 Montrer que L2  = L0 2 0 . Utiliser le résultat de la question 19. Chercher 
les
domaines de validité des deux modèles.

Interaction laser plasma à haut éclairement
I. Génération d'harmoniques dans les gaz

-
1 La force électrique coulombienne f subie par l'électron, due au proton, 
s'écrit
-

f =-

e2
u
br
4  0 r 2

avec u
br = -
r /r le vecteur unitaire radial.
Cette force est à tout instant dirigée selon u
br , donc vers le proton qui est le centre
de force. De plus, elle ne dépend que de la variable r ce qui permet de 
l'écrire comme
la dérivée d'une énergie potentielle Wp :
-

--
f = - grad Wp

avec

Wp = -

e2
4  0 r

La constante d'intégration a été choisie nulle.
2 L'énergie mécanique est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie 
potentielle
1
m v 2 + Wp
2
Comme la force est centrale et que l'électron est animé d'un mouvement 
circulaire
de vitesse v et de rayon r, le principe fondamental de la dynamique projeté sur 
l'axe
radial s'écrit
Wm =

-

m v2
= f ·u
br
r

1
r-
- m v2 = f · u
br
2
2
1
e2
m v2 =
2
8  0 r
-

d'où
et

Ainsi, l'énergie cinétique est égale à la moitié de l'énergie potentielle en 
norme et elle
est de signe opposé. On en déduit l'expression de l'énergie mécanique.
Wm = -

e2
8  0 r

Pour obtenir l'expression du rayon r, on élève au carré la quantification du 
moment cinétique donnée par l'énoncé
m2 r 2 v 2 = n 2 ~ 2
D'après l'expression de l'énergie cinétique obtenue précédemment
m r2
Avec ~ =

h
,
2

r = n2 a0

e2
= n2 ~2
4  0 r
avec

a0 =

 0 h2
 m e2

Lorsque l'électron est dans son état fondamental, on a n = 1 et l'énergie 
mécanique Wm est obtenue en remplaçant r par a0 . Dans l'application numérique, 
on
divise par e, ce qui permet de convertir les joules en électronvolts.

Wm = -W0 = -

m e4
9 × 1,63
=
× 10-31-19×3+12×2+34×2 V
8  0 2 h2
8 × 92 × 4  2

On simplifie autant que possible en remplaçant 1,6 par 16.10-1
8 10
W0 = 16 × × 2
9 
Avec  2  10
W0  16 × 0,89  14 eV
Finalement

Wm = -W0 = -

m e4
 -14 eV
8  0 2 h2

L'énoncé demande de ne donner que deux chiffres significatifs car il fournit des
valeurs approchées de e, m, 0 et h pour simplifier les calculs sans 
calculatrice.
En utilisant des valeurs plus précises, on trouverait W0 = 13,6 eV.
3 La norme du champ électrique coulombien EC ressenti par l'électron dans son
état fondamental est
EC =

e
16 12
=
10  5,7.1011 V.m-1
4   0 a0 2
9

La puissance P de l'impulsion laser dans le gaz est le rapport entre son 
énergie et
sa durée. En utilisant les données du document I, on trouve
P=

WT
= 20 GW
T

De plus, la puissance est égale au produit de l'éclairement et de la surface S 
du
faisceau. D'après l'expression de l'éclairement fournie par le document I,
1
P = 0 c E 2 S
2
avec E l'amplitude du champ électrique. On en déduit :
r
2P
E=
()
0 c S
La puissance est conservée au cours de la propagation. Sa valeur est donc fixe.
Avant le passage à travers la lentille, le diamètre du faisceau est D et 
l'amplitude du
champ est E
r
r
8P
8 × 20
E =
=
× 109+12-8+4
0 c  D2
9×3×
On simplifie pour arriver à
r
4
10 
E = ×
× 10 × 108
3
3

On utilise 3   10 et 10  3,2
4 
E  × 10 × 108  4,3.108 V.m-1
3
r
8P
Finalement
E =
 4,3.108 V.m-1
0 c  D2
Pour calculer l'amplitude Ef du champ électrique au niveau du foyer, il faut
exprimer le rayon R0 du faisceau en fonction des données. D'après le document I,