Mines Physique et Chimie toutes filières 2005

Thème de l'épreuve Télescope, circuit RLC série, satellite, pompe à chaleur. Chimie des oxydes d'azote.
Principaux outils utilisés miroirs sphériques, oscillations libres, changement de référentiel, référentiel non galiléen, machines thermiques, atomistique, solutions aqueuses, cinétique chimique, oxydoréduction, thermochimie

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CONCOURS COMMUN 2005 \ DES ECOLES DES MINES D'ALBI ALES DOUAI "NANTES Epreuve de Physique--Chimie (toutes filières) Jeudi 19 mai 2005 de 08h00 à 12h00 Barème indicatif : Physique environ 2/3 ---- Chimie environ 1/3 Instructions générales : Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 12 pages numérotées 1/ 12, 2/12, . . ., 12/12. La dernière page (feuille annexe) est à découper et à joindre à la copie. Les candidats sont invités à porter une attention particulière àla rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées. Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à code barre corres-- pondante. Toute application numérique ne comportant pas d'unité ne donnera pas lieu à attribution de points. Les différents exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre choisi par le candidat. Il prendra toutefois soin de bien numéroter les questions. Physique A. Optique 1) Définir le stigmatisme et l'aplanétisme d'un système optique centré. 2) On considère un miroir sphérique concave de centre O' et de sommet S. Un objet ÏLÎË assimilable à un segment est placé perpendiculairement à l'axe optique, l'extré-- mité A étant située sur cet axe. ' Construire, dans le cadre de l'approximation de Gauss, l'image A'B' de ÎË sur la première figure donnée en annexe. La construction s'effectuera à l'aide de deux rayons émis par B, l'un passant par C, l'autre par S et on justifiera la trajectoire de chacun. 3) Établir à l'aide de cette construction les formules suivantes de conjugaison avec origine au sommet : 1 1 2 m+z-'-'--'= SA SA' S 4) En déduire l'existence d'un foyer objet F et d'un foyer image F' et préciser leurs positions relatives par rapport à S et C . On considère à présent le télescope de Cassegrain constitué de deux miroirs sphériques M1 et M2. Le miroir M1 est concave avec une ouverture à son sommet S1 ; M2 est convexe, sa face réfléchissante tournée vers celle de M 1. On observe à travers ce télescope un objet ÎË dont l'extrémité A est située sur l'axe optique. L'objet étant très éloigné les rayons issus de B qui atteignent le miroir M1 sont quasiment parallèles et forment avec l'axe optique l'angle a. Après réflexion sur M1, ces rayons se réfléchissent sur M2 et forment une image finale A'B' située au voisinage de SI. 5) Effectuer les constructions géométriques des images intermédiaires A1Bl de ÎÎË par M1 et finale A'B' sur la deuxième figure donnée en annexe. 6) On désigne par f1 et f2 les distances focales comptées positivement, des deux miroirs M1 et M2 ( f1 : FISH, f2 : F2S2) et par D = 3281 la distance séparant les deux miroirs. Exprimer D en fonction de f1, f2 pour que l'image finale A'B' soit située dans le plan de &. Simplifier cette expression lorsque fl >> f2. 7) Déterminer dans ces conditions, la taille de l'image intermédiaire A1B1 en fonction de Oz et fl. En déduire celle de l'image finale A'B' en fonction de oz, f1 et f2. Simplifier cette expression lorsque f1 >> f2. 8) Application numérique : Calculer A1Bl et A'B' pour a = 10"3 rad, fl : 40 cm et f1/f2 : 20. B. Électricité Un circuit électrique est composé d'une résistance R, d'une bobine d'inductance pure L et d'un condensateur de capacité C . Ces dipôles sont disposés en série et on soumet le circuit à un échelon de tension U (t) de hauteur E tel que t U(t) : 0 pour < 0, E pour t 2 0. Les choix du sens du courant z' dans le circuit et de la plaque portant la charge q du condensateur sont donnés sur la figure ci--dessous. R Onpose7=----etwo= 1 % \/LC' M U (t) 9) Expliquer simplement pourquoi à t = 0" la charge q et le courant z' sont nuls. 10) Établir l'équation différentielle vérifiée par la charge q(t) du condensateur pour t > 0. Préciser, en les justifiant soigneusement, les valeurs initiales de la charge q(0+) et de sa dérivée dq/dt(0+). ' Le circuit présente différents régimes suivant les valeurs de R, L et C . On suppose, dans la suite, la condition wo > 7 réalisée. 11) Montrer que l'expression de la charge pour t > 0 peut se mettre sous la forme q(t) = (A cos wt + B sin cut) e'" + D, où on déterminera w, A, B et D en fonction de C, E, wo et 7. 12) Exprimer le courant i(t) dans le circuit pour t > 0 en fonction de C , E, wo et 7. 13) Donner l'allure des courbes q(t) et i(t). Quelles sont leurs valeurs à la fin du régime transitoire ? J ustifier par des considérations simples ces valeurs atteintes. 14) Déterminer l'énergie totale 8G fournie par le générateur ainsi que l'énergie 5L0 emmagasinée dans la bobine et le condensateur à la fin du régime transitoire en fonction de C et E. En déduire l'énergie dissipée par effet Joule dans la résistance. Ces résultats dépendent--ils du régime particulier dans lequel se trouve le circuit '? Interpréter le résultat paradoxal qui 'apparaît dans le cas limite R ----+ O. C. Mécanique Une station spatiale est sur une orbite circulaire autour de la Terre. Son mouvement est étudié dans le référentiel géocentrique K, d'origine 0 considéré comme galiléen. La station est, dans ...) -------> cette partie, assimilée à un point S de masse Ms, repéré par le rayon vecteur R : OS. 15) Énoncer le principe d'inertie en rappelant la définition d'un référentiel galiléen. Définir le référentiel géocentrique. Sur quelle échelle de temps ce référentiel peut-il être considéré comme approximativement galiléen ? 16) Définir le moment cinétique Î de la station S par rapport à l'origine O du référentiel. Montrer que ce vecteur forme une constante du mouvement. 17) Déduire que le mouvement du satellite s'effectue dans un plan que l'on définira à partir de Î. 18) Montrer d'autre part, que le mouvement circulaire du satellite s'effectue avec un vecteur vitesse ___.) angulaire Ü constant et dirigé suivant L. 19) Exprimer au en fonction de la masse de la Terre, MT, de la constante de gravitation universelle, G et du rayon R. 20) La station spatiale internationale en construction depuis 1998 est située à une altitude d'environ 400 km. Calculer sa période de rotation T. Données : Rayon terrestre moyen RT = 6400 km. Accélération de la pesanteur à la surface du globe go = 9,8 ms"? La station spatiale est en rotation synchrone autour de la Terre; elle tourne sur elle--même avec . o . . \ o . ----* un vecteur Vitesse angulaire identique a celui de son mouvement orbital, w. On désigne par K' le référentiel lié à la station. L'orîgine de ce référentiel est situé au centre de masse, S, de la station. L'axe Sa: est dirigé suivant R, l'axe 82 est porté par le moment cinétique L et l'axe Sy complète le trièdre orthonormé. Dans ce référentiel, un corps ponctuel M, de masse m, est en mouvement dans le plan Soey. Il est repéré dans la station par le rayon vecteur ? : :9--À71 . 21) Pourquoi le référentiel K' n'est-il pas galiléen ? 22) Définir le point coïncident à M et donner son accélération ÎC(M ) en fonction de ?, 2% et ou. En déduire la force d'inertie d'entraînement 72; exercée sur la masse m dans K' . 23) Si la particule M est animée d'une vitesse ? dans K', quelle force d'inertie supplémentaire lui est appliquée ? Exprimer cette force en fonction de m, 73 et 717. La particule se trouvant dans le voisinage proche de la station, l'inégalité ?" << R sera toujours vérifiée dans la suite du problème. 24) À l'aide d'un développement limité arrêté au premier ordre en r / R, montrer que la force d'attraction gravitationnelle qu'exerce la Terre sur le corps M s'écrit ? : ----mw2(--Ë> + ? --- 3xîîæ). \ -----) . . , / "'") ou u 56 est le vecteur unitaire porte par l'axe Sm et (a:, y) sont les coordonnees de r dans K' . On rappelle que (l + x)" z 1 + acc lorsque |a:l << 1. 25) Le corps M est une balle qu'un cosmonaute lance en direction de la Terre avec la vitesse relative ÎJ'0 === ----'Uo_îîæ (vo << wR) dans K' depuis l'origine S' de ce référentiel. Établir l'équation du mouvement dans K ' de la balle sous la forme de deux équations différen-- tielles pour les variables a: et y. 26) Intégrer ces équations, montrer que la trajectoire suivie est une ellipse et déterminer sa période de parcours. D. Pompe à chaleur Une pompe à chaleur effectue le cycle de J oule inversé suivant : * L'air pris dans l'état A de température T0 et de pression P0 est comprimé suivant une adiaba-- tique quasi statique (ou réversible) jusqu'au point B où il atteint la pression Pl. * Le gaz se refroidit à pression constante et atteint la température finale de la source chaude, T1, correspondant à l'état C. * L'air est ensuite refroidi dans une turbine suivant une détente adiabatique quasi statique (ou réversible) pour atteindre l'état D de pression Po. * Le gaz se réchauffe enfin à pression constante au contact de la source froide et retrouve son état initial A. On considère l'air comme un gaz parfait de coefficient isentropique 7 = 1,4. On posera 5 == 1 ----- 7°"1 et a : P1/PO. Pour les applications numériques, on prendra : To = 283 K(10 °C), T1 = 298 K(25 °C) a = 5, R = 8,31 JK"'mol"1 (constante des gaz parfaits). 27) Représenter le cycle parcouru par le fluide dans un diagramme de Clapeyron (P, V). 28) EXprimer les températures TB et TD en fonction de T0, T1, a et 5. Calculer leurs valeurs. 29) Définir l'efficacité @ de la pompe à chaleur à partir des quantités d'énergie échangées au cours du cycle. Montrer qu'elle s'exprime seulement en fonction de a et ;6. Calculer sa valeur. 30) Quelles doivent être les transformations du fluide si on envisage de faire fonctionner la pompe à chaleur suivant un cycle de Carnot réversible entre les températures T0 et T1 ? Établir l'expression de son efficacité er en fonction de T0 et T1. Calculer sa valeur. 31) Comparer les valeurs obtenues pour e et e,... Interpréter la différence observée. 32) Donner l'expression de l'entropie créée, si, pour une mole d'air mise en jeu dans le parcours du cycle de Joule inversé, en fonction de x = Toafl / T1, R et 5 . Étudier le signe de cette expression pour a: _>_ 0. Calculer sa valeur. 33) La pompe à chaleur envisagée est utilisée pour chauffer une maison. Sachant qu'en régime permanent les fuites thermiques s'élèvent à Q; = 20 kW, calculer la puissance mécanique du couple compresseur--turbine qui permet de maintenir la maison à température constante. Chimie : autour des oxydes d'azote Les oxydes d'azote sont souvent considérés comme des molécules nuisibles. Le monoxyde d'azote NO et le dioxyde d'azote N02 par exemple, sont des gaz toxiques qui contribuent largement à la pollution atmosphérique. Produit dans les moteurs à combustion interne, le monoxyde d'azote s'oxyde rapidement dans l'air en dioxyde d'azote. Ces rejets dans l'atmosphère sont à l'origine de la pollution photochimique, de la formation des pluies acides et de la destruction de la couche d'ozone. La molécule de NO n'a cependant pas que des effets indésirables. Des découvertes récentes en médecine ont montré ses implications dans un très vaste domaine de fonctions biologiques telles que le contrôle de la circulation sanguine, la régulation de l'activité du cerveau ou celui du système immunitaire. E. Structures électroniques 34) Donner les structures électroniques des atomes d'azote, N (Z = 7) et d'oxygène, 0 (Z = 8), dans leur état fondamental. Lequel de ces deux éléments est le plus électronégatif ? 35) Le diazote, N2, constituant principal de l'atmosphère, est un gaz incolore. Donner la structure de Lewis de cette molécule. 36) Sachant que la molécule de protoxyde d'azote, N20, possède un moment dipolaire ,u = 5,6 >< 10"31 C m, montrer qu'aucune des deux formes de Lewis suivantes de la molécule ne peut rendre compte à elle seule de la valeur de son moment dipolaire. e | IO! Î=ËI=Q |NæÊI---- Expliquer alors pourquoi, la structure réelle de la molécule est représentée par une superposition des deux formes précédentes. Données : les longueurs des liaisons dans la molécule sont proches de 120 pm, la charge élé-- mentaire e = 1,602 >< 10"19 C. F. Solutions aqueuses et oxydo--réduction 37) Donner le nombre d'oxydation de l'azote dans chacun des oxydes d'azote suivants : N 05" , N 02, HN02 et NO. Équilibre acido--basigue L'acide nitreux, HNOz, et l'ion nitrite, NO"; , forment un couple acido--basique de pKa : 3,3. 38) Ecrire l'équation bilan de la réaction d'équilibre acido--basique de l'acide nitreux sur l'eau. Exprimer sa constante d'équilibre en fonction des concentrations des espèces mises en jeu. 39) Donner le diagramme de prédominance de HN 02 et N 05 en fonction du pH. 40) Lors du dosage par conductimétrie de l'acide nitreux par de la soude concentrée, on observe, avant le point d'e quivalence, une croissance quasi linéaire de la conductivité en fonction du volume de soude versé, puis, après l'équivalence, une autre variation linéaire plus importante que la précédente. Interpréter ces faits. Équilibre de dismutation de N 02 41) Écrire la demi--équation de transfert électronique et relation de Nernst correspondante pour le couple oxydo--réducteur NOg(aq) / N 02(g). 42) En présence d'eau le dioxyde d'azote peut se dismuter en ions nitrates, NO; et en nitrites suivant la réaction Équilibrer l'é equation bilan de cette réaction de dismutation. Exprimer sa constante de réaction K en fonction de la pression partielle, PNC2 en bar, du dioxyde d'azote et des concentrations des espèces en solution aqueuse. Calculer, à partir des données, la valeur de K à 25 °C. Cette réaction est à l'origine de la formation des pluies acides. 43) Une atmosphère de pression totale 1 bar, chargée en dioxyde d'azote, se trouve en équilibre avec une eau de pH : 4, l'acidité provenant de la réaction de dismutation de N02 dans l'eau. Déterminer la pression partielle, PN02 en bar, du dioxyde d'azote. En déduire la fraction mo-- laire, æN02, du dioxyde d'azote contenue dans l'atmosphère. Données : * 2,3RT/F : 0,06V à 25 °C. * Potentiels standards d'oxydo-réduction à 25 °C et pH : 0 : E°(N 03(aq)/NO2(g)) : O, 83V EO (NO2(g)/NO2(aq)) = 0,85 V. * Conductivités limites molaires ioniques à 25 °C en S cm2 / mol : Hgo+ Na+ on- No; 349,6 50,10 199,1 71,8 G. Cinétique de décomposition du tétroxyde d'azote Le tétroxyde d'azote se décompose en phase gazeuse en dioxyde d'azote suivant la réaction globale N204 ---+ 2N02 44) En supposant que la réaction corresponde à un acte élémentaire, indiquer l'influence de la concentration sur la vitesse de décomposition. Déterminer, dans cette hypothèse, l'expression théorique de la concentration [N204Ï dans le réacteur en fonction du temps t, de la concentration initiale [N204]0 et de la constante de vitesse k de la réaction. En réalité, il apparaît que la vitesse de réaction dépend non seulement de la Concentration en réactif mais aussi de la concentration totale des espèces gazeuses présentes dans l'enceinte ou, ce qui revient au même, de la pression totale. Ceci se manifeste, en particulier, par un changement de l'ordre global de la réaction qui peut passer de un à deux lorsque la pression totale P varie. Ce comportement assez fréquent dans les réactions unimoléculaires en phase gazeuse s'explique à l'aide du mécanisme de Lindemann--Hinshelwood suivant 162 N204 + M î-----' NgOZ + M ----2 NZOZ la 2N02 Dans ces différentes étapes M désigne une molécule quelconque (réactif, produit ou toute autre espèce gazeuse présente dans l'enceinte). N203 est une molécule de tétroxyde d'azote qui a acquis suffisamment d'énergie par collision pour pouvoir se décomposer. 45) Donner l'expression de la vitesse d'apparition de l'intermédiaire réactionnel NzOZ. Déterminer sa concentration, [N20î], à l'aide du principe de l'état quasi stationnaire, en fonction de h, k'2, k...2, [M] Gt [N204]. 46) Montrer que la vitesse de réaction se met sous la forme 'U = k[N204] où k est la constante de réaction unimoléculaire que l'on exprimera en fonction de 191, @, kg et [M]. 47) Donner, à faible pression (P ------> O), l'expression approchée ko de le en fonction de kg et [M]. Quelle est la molécularité de la réaction globale ? Inversement, à haute pression (P ----+ oo), déterminer l'expression km de k. Que devient la molécularité de la réaction globale ? Interpréter simplement ces résultats. H. Thermochimie L'oxydation du diazote en monoxyde d'azote s'effectue à haute température suivant la réaction 1 1 2N2 N0(g) La variation d'enthalpie qui accompagne cette réaction est A,rH° : 90 kJ / mol à 298 K, sous la pression standard de 1bar. 48) Quel nom porte la grandeur AfH° '? 49) Quelles sont les conditions thermodynamiques qui doivent être réunies pour que AfH° corres-- ponde à une quantité de chaleur échangée ? Préciser alors si la réaction est endothermique ou exothermique. 50) Justifier à. l'aide de la loi de Kirchhoff le fait que AfH° ne dépende que très faiblement de la température (moins de 1 J / mol par degré à 298 K). On considérera les capacités thermiques molaires à pression constante des gaz diatomiques voisines de CP,... : %R. 51) L'enthalpie standard de formation du dioxyde d'azote étant de 34 kJ / mol, calculer l'enthalpie standard ATH? de la réaction d'oxydation du monoxyde d'azote en dioxyde d'azote 1 N0(g) + "2--02(g) """ N 02(g) Fin de l'épreuve Annexe IIÎIIIIIIIIIÎI IIÎIIIIIIIIIÎI Ilillll'l'l'i' IIÉIIIIIIIIIËI II=IIIIIIIII=I Il:lllllllll:l Il:lllllllll:l II:-I'll... :. II2IIIIEIII !' II!IIÜÜÜUIIIEI II!IIIIIIIII!I III-I'!- II!IIIIIIIII!I II!IIIIIIIII!I IIIIIIIflIIIIII Il.lllIfillllll IIIÎIIIIIIIIIÎ IIIÎIIIIIIIIIÎ IIIÎIIIIIIIIIÎ IIIÎIIIIIIIIIÎ Illilllfllll'lî IIIÉIIIEIIIIIË III:-IIIIIIII= Figures à compléter en réponse aux questions 2) et 5) de l'exercice A. de Physique.

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 Mines Physique et Chimie toutes filières 2005 Corrigé Ce corrigé est proposé par Georges Rolland (Professeur en CPGE) et Delphine Ruel (ENS Ulm) ; il a été relu par Olivier Frantz (Professeur agrégé), Alexandre Hérault (Professeur en CPGE), Benoît Lobry (Professeur en CPGE) et Mickaël Profeta (Professeur agrégé). La partie de physique aborde une très large partie du programme de première année : optique géométrique, électrocinétique, mécanique du point et thermodynamique. Les quatre parties sont proches du cours et en constituent une bonne révision. · Le problème d'optique traite uniquement du miroir sphérique et de son application dans le télescope de Cassegrain. Les questions restent très classiques. · On étudie ensuite un circuit RLC en régime libre, ce qui permet d'aborder les régimes transitoires en électrocinétique et les bilans d'énergie. Cette partie est également très proche du cours. · Le problème de mécanique est relatif à une station spatiale en orbite autour de la Terre. Les questions 15 à 20 du sujet sont extrêmement classiques, seule la fin du problème s'écarte quelque peu des sentiers battus. · La partie D étudie une pompe à chaleur et reste elle aussi une application directe du cours de thermodynamique. Signalons une question délicate relative à la création d'entropie lors du fonctionnement de la machine. L'ensemble est d'une difficulté raisonnable avec des questions progressives qui permettent souvent de vérifier la vraisemblance des résultats obtenus précédemment. Il exige du candidat une bonne connaissance et compréhension du cours, ainsi que de la rigueur pour mener à bien quelques calculs et rédiger clairement les raisonnements ; un élève sérieux ne devrait pas rencontrer de difficultés majeures dans ce sujet. Le problème de chimie aborde différents aspects de la chimie des oxydes d'azote ; il est composé de quatre parties totalement indépendantes. · La première partie étudie les structures électroniques de quelques molécules. Elle requiert de maîtriser l'écriture des formules de Lewis, ainsi que la notion de moment dipolaire. · La deuxième aborde des questions de chimie des solutions. On y étudie l'équilibre acido-basique du couple acide nitreux/ion nitrite ainsi que l'équilibre de dismutation du dioxyde d'azote en présence d'eau. Il faut bien connaître le cours sur les réactions acido-basiques, ainsi que celui sur l'oxydo-réduction. · La troisième traite de la cinétique de décomposition du tétroxyde d'azote. Il faut savoir écrire les équations correspondant à une cinétique d'ordre 1 et savoir appliquer l'approximation de l'état quasi-stationnaire (AEQS). · Enfin, la quatrième aborde des aspects de thermochimie concernant le monoxyde d'azote. Une connaissance rigoureuse des lois de Kirchhoff et de Hess est requise. Globalement, cette partie est d'une difficulté moyenne. Les questions restent relativement proches du cours, et guident bien dans l'avancée du problème. Indications Problèmes de Physique 3 Refaire un dessin en faisant apparaître un rayon quelconque issu de A se réfléchissant vers A . 6 Faire un dessin et n'utiliser dans les calculs que des grandeurs positives pour éviter les erreurs de signes dans les grandeurs algébriques. Ne conserver des deux solutions trouvées mathématiquement que celle qui a un sens physique. 11 Ne pas essayer de brûler les étapes : commencer par étudier l'équation sans second membre, puis l'équation complète et vérifier finalement que la solution trouvée satisfait bien les conditions initiales imposées. Z + 14 Déterminer la valeur de l'intégrale sin t e- t dt , soit par une intégration 0 Z + par parties, soit en l'identifiant à la partie imaginaire de e(-+i)t dt . 0 22 26 29 32 - - Introduire R = R + - r avant d'appliquer le cours. Ne pas oublier les conditions initiales dans l'intégration des équations différentielles du mouvement. Bien comprendre le caractère économique de l'efficacité. Attention aux signes : une grandeur reçue par le fluide est comptée positivement. Faire un bilan d'entropie sur le fluide sur un cycle de la machine. Quelles sont la variation d'entropie, l'entropie reçue, l'entropie créée ? Problème de chimie 35 Utiliser le fait que l'azote possède cinq électrons de valence. 36 Calculer le moment dipolaire pour les formules mésomères données et le comparer à celui donné dans l'énoncé. 37 Se souvenir que nox (O) = -II et nox (H) = +I. 39 La limite des domaines correspond au pKa du couple. 40 Écrire les réactions prépondérantes avant et après l'équivalence et appliquer la P loi de Kholhrausch : = i ci |zi |. i 42 Écrire la demi-équation électronique du couple NO2 - (aq) /NO2(g) . Faire une combinaison linéaire des équations rédox pour obtenir l'équation demandée. K se déduit des lois de Nernst des deux couples. Attention aux expressions des activités des gaz et des solutés. 43 Les ions H+ étant produits uniquement par la réaction de dismutation du dioxyde d'azote, en déduire son avancement et les concentrations des ions nitrite et nitrate. 44 Penser à la loi cinétique de Van't Hoff. Supposer que la cinétique est d'ordre 1. 45 La vitesse d'apparition de N2 O4 , d [N2 O4 ] / dt, doit tenir compte des trois réactions. 47 La pression est reliée à [M]. Comparer k1 et k-2 [M]. 49 Utiliser le signe de l'enthalpie standard de réaction. 50 Calculer r Cp,m . 51 L'enthalpie standard de formation du dioxygène est nulle par définition. Problème de Physique A. Optique 1 Un système centré est stigmatique pour un couple de points A et A si tout rayon passant par A, virtuel ou réel, émerge du système en passant par A . Il est aplanétique si, pour tout objet AB plan et perpendiculaire à l'axe optique, son image A B est plane et perpendiculaire à l'axe optique. 2 Le rayon passant par C, centre du miroir, rencontre perpendiculairement la surface du miroir ; il est réfléchi sans être dévié et repasse par C. Le rayon incident en S, sommet du miroir, est réfléchi symétriquement par rapport à l'axe optique (le miroir sphérique est localement équivalent en S à un miroir plan vertical). Le stigmatisme et l'aplanétisme approchés du système dans les conditions de Gauss impliquent respectivement que B est l'intersection de ces deux rayons réfléchis et que A est le projeté othogonal de B sur l'axe optique. B C S A A B 3 Traçons le rayon supplémentaire AIA se réfléchissant en I sur le miroir : I i i A C S A Pour des rayons paraxiaux, tous les angles représentés sont faibles, on peut donc assimiler les angles à leurs tangentes (tan ). Dans le triangle IAC, + i + - = donc i = - . De même, dans le triangle A IC, - + i + = donc i = - . D'après la loi de la réflexion, i = i ; on en déduit 2 = + . SI SI SI Comme tan = , tan = et tan = , CS AS AS SI SI SI il vient 2 = + CS AS AS On obtient finalement la formule de conjugaison de Descartes : 1 1 2 + = SA SA SC 4 F est par définition l'image de A à l'infini sur l'axe : SA = -. En remplaçant dans la formule de conjugaison, on obtient 1 1 2 + = SF SC - d'où SF = SC 2 De même, F est l'antécédent de A à l'infini : SA = -. On obtient maintenant dans la formule de conjugaison : 1 1 2 + = - SF SC soit SF = SC 2 Les deux foyers objet et image sont confondus et situés au milieu du segment [SC]. 5 A est à l'infini, donc son image intermédiaire A1 par M1 est en F1 . Le rayon virtuel issu de B arrivant en S1 se réfléchit symétriquement par rapport à l'axe optique. L'intersection de ce rayon réfléchi avec le plan perpendiculaire à l'axe en A1 définit B1 . On construit l'image finale A B en traçant : · le rayon incident passant par F2 et B1 qui se réfléchit parallèlement à l'axe, · le rayon incident passant par B1 parallèlement à l'axe, il est réfléchi en passant par F2 = F2 . B est à l'intersection de ces deux rayons. B1 F2 A1 = F1 B S2 A = S1 On constate sur le dessin que A est confondu avec S1 . L'énoncé donnait une indication de la réponse : « ... une image finale située au voisinage de S1 ».