Mines Physique et Chimie PCSI 2008

Thème de l'épreuve Énergies renouvelables chimiques. Saturne, ses anneaux, son satellite Titan.
Principaux outils utilisés solutions aqueuses, thermochimie, cinétique, chimie organique, oxydoréduction, optique géométrique, életrocinétique, mécanique du point, thermodynamique
Mots clefs énergies renouvelables, fermentation, biogaz, bioalcool, bioéthanol, tampon, chiralité, méthane, méhanol, essence, additif, température de flamme, cinétique enzymatique, inversion du saccharose, pile à combustible, saccharose, glucose, limite de Roche, atmosphère isotherme, lunette afocale, comparateur, amplificateur opérationnel, diode, point de fonctionnement, référentiel non galiléen, marée, loi des aires, composition des vitesses, loi de Laplace, Titan, Saturne, lunette de Galilée, Cassini-Huygens

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CONCOURS COMMUN 2008 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve Spécifique de Physique-Chimie (filière PCSI - option PC) Mardi 20 mai 2008 de 8h00 à 12h00 Barème indicatif : Physique 1/2 - Chimie 1/2 Instructions générales : Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 16 pages numérotées 1/16, 2/16, ...16/16 La dernière page est à découper et à rendre avec la copie, sans oublier d'y avoir indiqué le code candidat Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées. Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à code à barres correspondant à l'épreuve spécifique de Physique-Chimie. Toute application numérique ne comportant pas d'unité ne donnera pas lieu à attribution de points. L'emploi d'une calculatrice est interdit Remarque importante : Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. Sujet de chimie Énergies renouvelables chimiques En l'absence de calculatrice, les résultats seront donnés avec deux chiffres significatifs, des arrondis seront suggérés par l'énoncé, les constantes d'équilibre pourront être données sous la forme de puissances de 10, même décimales. Toutes les données numériques sont regroupées à la fin de l'énoncé de chimie. Partie A : Étude du biogaz de décharge Le biogaz est le gaz produit par la fermentation de matières organiques animales ou végétales en l'absence de dioxygène. C'est un mélange composé essentiellement de méthane CH4 et de dioxyde de carbone CO2, avec des quantités variables d'eau H2O et de sulfure de dihydrogène H2S. CONCOURS COMMUN SUP 2008 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve Spécifique de Physique-Chimie (filière PCSI - option PC) Page 1/16 Nous étudierons les traitements et utilisations possibles d'un biogaz issu de la digestion de déchets organiques. A.I. Étude de la réaction de méthanation du glucose Les glucides étant des molécules basées sur le glucose de formule brute C6H12O6, nous étudierons ici sa décomposition. Q1. Écrire l'équation de la transformation de glucose en méthane et dioxyde de carbone. Q2. Proposer une représentation de Lewis pour les molécules de méthane et de dioxyde de carbone. Q3. Proposer une structure spatiale pour chacune de ces deux molécules (indiquer les valeurs des angles de liaison). A.II. L'épuration du biogaz Hormis quelques applications pour lesquelles le biogaz peut être utilisé directement, il est généralement purifié. L'épuration consiste à éliminer les éléments trace (H2S, H2O) mais également le dioxyde de carbone afin d'enrichir le biogaz en méthane. L'épuration se fait généralement à des pressions de quelques dizaines de bars, nous prendrons ici une pression P = 10 bar. La composition molaire du biogaz considéré est : CH4 : 60 %, CO2 : 39 %, H2S : 0,10 % et H2O : 0,90 % A.II.1. Intérêt de l'élimination de l'eau L'eau liquide peut dissoudre le dioxyde de carbone. Elle est en général éliminée par condensation ou par passage dans un dessicateur. La dissolution du dioxyde de carbone est telle que la concentration en CO2(d) dissous est proporP tionnelle à la pression partielle en CO2(g) suivant la loi : [CO2(d ) ] K CO2 CO2 cq (on rappelle que Pq c° = 1,00 mol.L-1 et P° = 1,00 bar). Au cours du trajet du biogaz et compte tenu de variations de température éventuelles, l'eau peut se condenser en gouttelettes. On donne la valeur numérique de la constante à 300 K : K CO2 = 2,5.10-2. Pour l'étude qui suit, la pression et la température sont constantes et valent : P = 10 bar et T = 300 K. Q4. Exprimer puis calculer la concentration en CO2(d) des gouttelettes d'eau en contact avec le dioxyde de carbone. Afin de simplifier les calculs numériques, vous pourrez arrondir le pourcentage à 40 %. Q5. En déduire le pH de cette solution. On négligera les propriétés acido-basiques des constituants chimiques autres que le dioxyde de carbone. Q6. Conclure sur la nécessité d'éliminer l'eau du biogaz. A.II.2. Élimination du sulfure de dihydrogène Afin d'éliminer également le sulfure de dihydrogène, on peut laver le gaz avec une solution contenant des amines. On utilise ici une solution de concentration c = 0,10 mol.L-1 en diéthanolamine (DEA) de formule HN(CH2CH2OH)2. La dissolution du sulfure de dihydrogène est similaire à celle du dioxyde de carbone. La constante vaut K H 2 S = 1,0.10-1. CONCOURS COMMUN SUP 2008 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve Spécifique de Physique-Chimie (filière PCSI - option PC) Page 2/16 Q7. À l'aide de la constante K H 2 S , calculer la concentration en H2S(d) lorsque la solution est en équilibre avec le biogaz (H2S à 0,10 %, pression totale P = 10 bar). La pression partielle en H2S est constante par apport continu de biogaz. Q8. Écrire l'équation de la réaction entre le sulfure de dihydrogène et la DEA. Calculer sa constante K°. Q9. Déduire de la question précédente en quoi cette réaction permet d'éliminer H2S du biogaz. A.II.3. La combustion du biogaz L'élimination du dioxyde de carbone se fait par pression alternante sur tamis moléculaire par exemple, l'absorption du dioxyde de carbone étant meilleure que celle du méthane. Cette méthode permet également d'éliminer les traces restantes de sulfure de dihydrogène et des traces éventuelles d'ammoniac NH3. On obtient un gaz composé de 95 % de méthane et de 5,0 % de CO2 (composition molaire) qui peut être injecté dans le réseau de gaz naturel. On cherche maintenant à déterminer la température de flamme obtenue à partir d'un tel gaz lors de sa combustion dans l'air. On rappelle que l'air est constitué de 80% de diazote et 20% de dioxygène en quantité de matière. On suppose que la combustion dans l'air est totale et suffisamment rapide pour être adiabatique, que le méthane et le dioxygène sont en proportions stoechiométriques et que les gaz entrent à la température de To = 300 K. Q10. Écrire l'équation de la réaction de combustion du méthane et calculer son enthalpie standard de réaction à To = 300 K. On considèrera que l'eau est sous forme gaz. Q11. Pour une quantité no de biogaz, dresser un bilan des quantités de matière avant la combustion et après. Q12. En déduire l'expression littérale de la température finale atteinte Tf. Q13. En donner une valeur numérique à deux chiffres significatifs. Partie B : Production de bioéthanol à partir de disaccharides Il s'agit de la manière la plus simple d'obtenir des biocarburants. Le jus sucré (issu de betteraves ou de cannes à sucre) est mis à fermenter dans une cuve puis distillé afin d'en réduire la teneur en eau. On s'intéresse à l'exemple du saccharose. La production se fait en deux étapes. Hydrolyse ou inversion du saccharose (enzyme : invertase) C12H22O11 + H2O = glucose + fructose. Fermentation du glucose : en l'absence de dioxygène C6H12O6 = 2 C2H5OH + 2 CO2. On se propose d'étudier la molécule de glucose puis la cinétique de sa fermentation en relevant les quantités d'éthanol gazeux dégagé. On utilise ici de la levure de boulanger qu'on met en suspension dans un tampon phosphate de pH égal à 6,2. B.I. La molécule de glucose Le E-D-glucose dont la strcture est donnée ci-dessous est la forme hémiacétal cyclique d'un des diastéréoisomères du pentahydroxy-2,3,4,5,6-hexanal : CONCOURS COMMUN SUP 2008 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve Spécifique de Physique-Chimie (filière PCSI - option PC) Page 3/16 H CH2OH 5 4 HO H HO 3 H O OH 2 OH H 1 H E-D-glucose B.I.1 Étude de la forme linéaire du glucose Dans l'étude qui suit, les structures des molécules pourront être données soit par des formules semidéveloppées soit par des représentations topologiques. Q14. Donner la structure du pentahydroxy-2,3,4,5,6-hexanal. Repérer ses atomes de carbone asymétriques par une *. Q15. En déduire le nombre de stéréoisomères de configuration de la molécule. Qu'appelle-ton des « diastéréoisomères » ? B.I.2 Étude d'un des deux stéréoisomères cycliques du glucose La forme linéaire du glucose est en équilibre avec sa forme cyclique. Cet équilibre chimique est basé sur la réaction dite d'acétalisation de l'aldéhyde. La forme générale de cette réaction pour un aldéhyde et un alcool primaire est : R' R + O R O R' OH OH Q16. Déterminer les configurations absolues des atomes de carbone asymétriques du E Dglucose dont la structure a été donnée précédemment. Q17. On s'intéresse au E-D-glucose. Dessiner l'autre conformère de cette molécule (cycle en conformation chaise). Indiquer, en justifiant, lequel des deux conformères est le plus stable. B.I.3 Étude de la réaction d'inversion Le saccharose est constitué d'une molécule de glucose et d'une molécule de fructose reliées entre elles. En présence d'eau et d'acide, la liaison se rompt. L'équation de la réaction est schématisée ciaprès : C12H22O11 (saccharose) + H2O = glucose (C6H12O6) + fructose (C6H12O6). Les pouvoirs rotatoires spécifiques sont notés [D ]G , [D ]F et [D ]S , respectivement pour le glucose, le fructose et le saccharose, d'unités °.dm-1.g-1.L. Le volume de la solution est constant. On rappelle la loi de Biot : D ¦[D ]i ACi . Les concentrations Ci sont données en g.L-1, la longueur i de la cuve en dm et l'angle D en degré. Q18. Établir l'expression du pouvoir rotatoire total de la solution de saccharose noté D en fonction des pouvoirs rotatoires spécifiques des espèces mises en jeu dans cette réaction, de leurs concentrations et de la longueur de la cuve notée A . CONCOURS COMMUN SUP 2008 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve Spécifique de Physique-Chimie (filière PCSI - option PC) Page 4/16 Q19. On suppose que la réaction admet un ordre 1 par rapport au saccharose. On appelle x l'avancement volumique de la réaction exprimé en mol.L-1, co la concentration initiale en saccharose exprimée en mol.L-1 et k la constante cinétique. Établir une équation différentielle en x. Q20. On appelle MS la masse molaire du saccharose et MFG la masse molaire du fructose ou du glucose (elles sont égales). Donner les relations entre les concentrations ci exprimées en mol.L-1 et les Ci en g.L-1. Q21. On appelle : D o le pouvoir rotatoire initial de la solution, D t , sa valeur à l'instant t et D f , au bout d'un temps infini en considérant la réaction comme totale. Monter que la résolution de l'équation différentielle précédente permet d'obtenir la relation suivante : ln Df Do Df D kt B.II. Étude de la fermentation du glucose B.II.1 Préparation du tampon phosphate On désire préparer une solution tampon de pH égal à 6,2 et de concentration totale en phosphore égale à c = 0,10 mol.L-1. Pour cela, on utilise du dihydrogénophosphate de sodium hydraté NaH2PO4, 12 H2O (masse molaire M1 = 336 g.mol-1). Dans une fiole jaugée de volume V = 1,0 L, on verse de l'eau distillée puis on introduit une masse m1 de dihydrogénophosphate de sodium hydraté, on mélange. On ajoute une masse m2 d'hydroxyde de sodium NaOH (masse molaire M2 = 40 g.mol-1) et l'on complète au trait de jauge avec de l'eau distillée. Q22. Calculer la quantité m1 à introduire pour obtenir une solution de concentration totale en phosphore égale à c = 0,10 mol.L-1. Q23. Quelles sont les espèces de H3PO4 présentes dans la solution tampon à ce pH ? Justifier. Q24. Écrire l'équation de la réaction qui se produit lorsqu'on ajoute l'hydroxyde de sodium. Calculer sa constante et conclure. Q25. Exprimer les concentrations en H2PO4- et HPO42- en fonction des quantités de matière n1 et n2 en H2PO4 et NaOH respectivement introduites et du volume V. Q26. Exprimer le pH de la solution en fonction de n1, n2 et de la (des) constante(s) d'acidité concernée(s). Q27. En déduire les valeurs de n2 puis de m2 à ajouter pour obtenir un pH égal à 6,2. B.II.2 Étude théorique de la catalyse enzymatique Le mécanisme de réaction avec l'action de la levure peut être modélisé par la catalyse enzymatique. On considère la réaction S (substrat) = P (produit) catalysée par l'enzyme E et on admet que le mécanisme est le suivant : k1 (1) S+E ES k-1 k2 (2) ES P+E L'espèce notée ES est appelé complexe enzyme substrat. Q28. D'après le mécanisme proposé ci-dessus, exprimer v, la vitesse de formation du produit P. Q29. En notant [E]o la valeur initiale de la concentration en enzyme, écrire l'équation traduisant la conservation totale de l'enzyme au cours de la réaction. CONCOURS COMMUN SUP 2008 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve Spécifique de Physique-Chimie (filière PCSI - option PC) Page 5/16 Q30. Appliquer l'approximation des états quasi-stationnaires au complexe enzyme-substrat. En utilisant la question précédente, en déduire une expression de la concentration en complexe enzyme substrat en fonction de [E]o, [S] et des constantes. k 1 k2 Q31. On appelle constante de Michaelis et on note KM, l'expression K M . Exprimer k1 alors v en fonction de [E]o, KM, k2 et [S]. Q32. On appelle vmax k2 [ E ]o . Expliquer pourquoi il s'agit d'une vitesse maximale. L'expression de la vitesse obtenue à la question Q31 permet de construire deux modèles. Ces modèles permettent de tracer des courbes qui deviennent des droites lorsqu'ils sont validés. 1 1 1 et montrer qu'en traçant en fonction de , on peut valider le modèle. v v [S] Q34. Monter que l'expression obtenue à la question Q31 peut se mettre sous la forme : v KMv . Montrer alors qu'en traçant v en fonction de , on peut également vav vmax [S] [S] lider le modèle. Q33. Exprimer B.II.3 Étude expérimentale La méthode utilisée consiste à étudier différents systèmes en faisant varier la quantité initiale de substrat (ici le glucose) et en déterminant les vitesses initiales d'apparition du produit (ici l'éthanol gazeux). Q35. Comment détermine-t-on pratiquement, la vitesse initiale de la réaction étudiée ici ? On a réalisé la conversion du glucose à 39 °C et obtenu les résultats suivants : vo (mmol.L-1.s-1) co (glucose) (mmol.L-1) 1/vo (mol-1.L.s) 1/co (glucose) (mol-1.L) vo/co (s-1) 1,80 10,0 556 100 0,18 2,50 20,0 400 50,0 0,125 3,20 30,0 313 33,3 0,107 4,00 60,0 250 16,7 0,0667 4,50 90,0 222 11,1 0,05 5,00 150 200 6,67 0,033 Les deux courbes obtenues sont données ci-dessous. Première méthode 1/vo 600 y = 3,83x + 185 500 400 300 1/co 200 0 20 40 60 80 100 CONCOURS COMMUN SUP 2008 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve Spécifique de Physique-Chimie (filière PCSI - option PC) Page 6/16 vo Deuxième méthode 5,00 4,00 y = -22,1x + 5,57 3,00 2,00 vo/co 1,00 0 0,05 0,1 0,15 0,2 Q36. À partir de la première méthode, déterminer les valeurs de KM et vmax à 39 °C pour cette réaction. Q37. À partir de la deuxième méthode, déterminer les valeurs de KM et vmax à 39 °C. Les résultats sont-ils compatibles avec ceux de la question précédente ? Partie C : utilisation des bioalcools C.I. Synthèse de composés oxygénés de l'essence On peut utiliser les bioalcools soit comme carburant pur moyennant une transformation du moteur, soit comme additifs à l'essence. Dans ce dernier cas, on peut les additionner tels quels jusqu'à 10% ou les transformer en éthers. Le MTBE et l'ETBE sont les composés oxygénés les plus utilisés à ce jour. Le MTBE (méthyltertiobutyléther) peut être synthétisé à partir de 2-méthylpropan-2-olate de sodium et d'iodure de méthyle. Q38. Écrire les formules semi-développées des deux réactifs dans la synthèse du MTBE. Écrire l'équation de la réaction qui se produit et en déduire la formule du MTBE. Q39. Nommer cette réaction et proposer un mécanisme pour cette réaction. Justifier. Q40. Proposer une méthode de synthèse de l'alcoolate. Quel type de solvant doit-on utiliser pour la réaction de la question Q38. et pourquoi ? Dans l'industrie, la réaction se fait à partir d'isobutylène (2-méthylprop-1-ène) et de méthanol avec un catalyseur fixé sur une résine acide. Q41. Écrire l'équation de la réaction. Q42. Proposer un mécanisme pour la synthèse du MTBE commençant par l'action de l'ion H+ sur l'isobutylène. Expliquer en quoi l'ion H+ est considéré ici comme un catalyseur. Q43. Proposer une raison pour laquelle la réaction précédente (question Q38.) n'est pas utilisée dans l'industrie. C.II. Piles à combustible à méthanol direct Des piles à combustible sont développées actuellement à partir de méthanol, nous étudierons celle à méthanol direct dans laquelle le méthanol est utilisé tel quel en tant que réducteur, l'oxydant étant CONCOURS COMMUN SUP 2008 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve Spécifique de Physique-Chimie (filière PCSI - option PC) Page 7/16 du dioxygène. Ces piles ne sont pas très puissantes mais elles ont de grandes autonomies et peuvent être utilisées dans des appareils portables (microordinateurs, téléphones ou autres). Elles fonctionnent à des températures relativement basses autour de 70 °C. Le biométhanol est obtenu à partir de la biomasse lignocellulosique en deux étapes : conversion en gaz de synthèse (mélange de CO et H2) puis recombinaison en méthanol CH3OH. Les électrodes sont en graphite, métal ou en matériaux composites. La membrane séparant les deux compartiments est une membrane échangeuse d'ions. RT ln10 à la température de fonctionnement de la pile. On note eq F Q44. Écrire la demi-équation électronique correspondant à la demi-pile contenant le méthanol et en déduire l'expression du potentiel de Nernst E1 correspondant. Remarque : l'eau et le méthanol étant en quantités proches, leurs activités sont égales à leurs fractions molaires. Q45. Écrire la demi-équation électronique correspondant à la demi-pile contenant le dioxygène et en déduire l'expression du potentiel de Nernst E2 correspondant. Remarque : l'eau étant ici le seul liquide, son activité est prise égale à 1. Q46. Le courant circule dans le circuit, à l'extérieur de la pile, en partant de la demi-pile 2 vers la demi-pile 1. En déduire les polarités attendues de la pile et exprimer sa force électromotrice. Q47. Indiquer en justifiant, quelle électrode est la cathode et laquelle est l'anode. En déduire la réaction qui se produit lorsque la pile débite. Q48. Si on admet que le rendement d'une pile est de 80 %, exprimer la quantité d'électricité formée à partir de 10 mL de méthanol. Q49. Pendant combien de temps pourrait fonctionner la pile, en admettant toujours un rendement de 80 %, lorsqu'elle délivre un courant d'intensité supposée constante de 10 A ? Conclure. Données relatives à la partie de chimie : Constantes d'acidité à 298 K : CO2(d)/HCO3- : pKa1 = 6,4 et HCO3-/CO32- : pKa2 = 10,3. DEAH+/DEA : pKa = 9,0 H2S/HS- : pK'a1 = 7,0 HS-/S2- : pK'a2 = 13,0 H3PO4/H2PO4- : pK1 = 2,1 ; H2PO4-/HPO42- : pK2 = 7,2 ; HPO42-/PO43- : pK3 = 12,4. Enthalpies standard de formation à 300 K : Composé (gaz) H2O -1 ¨fH° (kJ.mol ) - 240 CO2 - 390 CH4 - 110 Capacités thermiques molaires à pression constante à 300 K considérées comme constantes dans l'intervalle de température étudié : CO2 composé CH4, N2, O2, H2O Cp° (J.K-1.mol-1) 30 45 Potentiels standard des couples (à 298 K) E 2o (O2/H2O) = 1,23 V. E1o (CO2/CH3OH) = 0, 02 V ; F(le Faraday) § 105 C.mol-1 Densité du méthanol : d = 0,80 Masse volumique de l'eau : Ue = 1,0 g.cm-3. Masse molaire moléculaire du méthanol : Mmét = 32 g.mol-1 (qu'on pourra arrondir à 30 pour simplifier les calculs numériques). FIN DU SUJET DE CHIMIE CONCOURS COMMUN SUP 2008 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve Spécifique de Physique-Chimie (filière PCSI - option PC) Page 8/16 Sujet de physique Saturne, ses anneaux, son satellite Titan Ce problème propose l'étude de quelques aspects de la physique, de l'observation et de l'exploration de Saturne. Les trois parties (1, 2, 3) et les sous-sections qui les constituent (1.1, 1.2, 2.1, 2.2 et 3) sont indépendantes. Les questions peuvent être traitées dans l'ordre choisi par le candidat, mais celui-ci est instamment prié d'écrire lisiblement le numéro de la question. Les figures utiles à la compréhension du problème sont incluses dans le corps du texte, les figures à compléter sont regroupées sur une même page (paginée 8/8) à détacher et à rendre avec la copie. Les quelques calculs numériques d'ordre de grandeur proposés sont faisables sans machine. 1. Première partie : observation des anneaux de Saturne 1. Observation de Saturne avec une lunette afocale. Un astronome pointe sa lunette vers Saturne dans le ciel nocturne dégagé : on assimile cette planète à une source de lumière très éloignée, notée Af , et une portion de l'anneau le plus brillant à une autre source notée Bf (cf. figure 1). Ces deux sources sont séparées par une zone sombre. La lunette reçoit de chacune de ces deux sources des faisceaux de rayons parallèles, l'axe de la lunette étant parallèle à ceux venant de Af . Le rayon de l'anneau est de l'ordre de RA = 108 m, la distance entre la Terre et Saturne est de l'ordre de D 1 5 ~1012 m . On note D l'angle entre les deux directions. La lunette forme un système afocal, c'est-à-dire qu'il ne possède pas de foyer : deux rayons incidents parallèles émergent parallèlement du système optique. Elle est constituée de deux lentilles minces : la première, l'objectif, a pour centre O1 et pour vergence V1 = 1/f'1 = +1,0 / ; la seconde, l'oculaire, a pour centre O2 et pour vergence V2 = 1/f'2 = -5,0 / ; elles sont écartées de O1O2 0,80 m. La figure 1, complétée, sera rendue avec la copie : l'échelle sur l'axe est 1 10 et l'angle D est volontairement exagéré. Les conditions de Gauss sont supposées vérifiées. Q1. Calculer numériquement l'angle D . Q2. Construire l'image A1 B1 de Af Bf par l'objectif. Est-ce une image réelle ou virtuelle ? Sera-t-elle considérée comme un objet réel ou virtuel pour l'oculaire ? Q3. Tracer des rayons émergents issus de A1 et B1 après traversée de l'oculaire. Expliquer pourquoi cette lunette est bien afocale. Q4. On note D c l'angle entre la direction des faisceaux de rayons émergents issus de Af et celle des rayons émergents issus de Bf . On appelle grossissement le rapport G D '/ D . Exprimer la valeur absolue de G en fonction de f c1 et f c2 et la calculer numériquement. Q5. L'oeil, sans instrument d'optique, ne peut distinguer deux rayons que si l'angle qui les sépare est supérieur ou égal à D 0 1, 0 ~10 4 rad (c'est le pouvoir séparateur de l'oeil). Vérifier que l'utilisation de la lunette est indispensable pour distinguer les anneaux de Saturne. Q6. Une caméra numérique remplace l'oeil derrière l'oculaire : elle est constituée par une lentille convergente de vergence V3=+50 / (remplaçant le cristallin) et une plaque tapissée de cellules photosensibles en nid d'abeille distantes de 1 µm (remplaçant les cellules de la rétine) placée dans le plan focal de la lentille. Sur la figure 2, on a noirci les cellules recevant de la lumière venant de la planète Saturne elle-même (où il apparaît qu'elle n'est pas réellement ponctuelle car son CONCOURS COMMUN SUP 2008 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve Spécifique de Physique-Chimie (filière PCSI - option PC) Page 9/16 image occupe plusieurs pixels) ; noircir les cellules qui recevront de la lumière venant de l'anneau (on suppose qu'il est vu de face et de faible largeur). En déduire pourquoi on peut effectivement reconnaître la forme d'un anneau. 2. Etude des cellules de l'appareil de prises de vue numérique Les cellules de l'appareil de prises de vue numérique convertissent une impulsion lumineuse reçue au moment de la prise de vue en une impulsion électrique : · si la cellule reçoit de la lumière au-dessus d'un certain seuil, la tension de sortie, notée Ue cidessous, décrit un créneau, formé d'un échelon descendant de tension suivi d'un échelon remontant de tension : 0 o E o 0 ; Ue t 0 -E · si la lumière reçue par la cellule reste en-dessous du seuil (ce qui correspond à l'obscurité), la tension de sortie reste à la valeur 0. L'électronique de traitement de l'information, intégrée dans l'appareil, a alors plusieurs rôles, dont nous tirons deux étapes essentielles : · l'amplification du signal électrique lorsque la cellule a reçu de la lumière au-dessus du seuil ; · la mise en mémoire de l'information : on souhaite conserver durablement, après la prise de vue, une tension dont la valeur soit représentative de l'état de la cellule lors de la prise de vue : 0 V correspond à une cellule ayant reçu moins de lumière que le seuil « obscurité », 15 V correspond à une cellule ayant reçu une impulsion lumineuse au-dessus du seuil « lumière ». Ces deux fonctions sont réalisées par le montage suivant qui comprend trois étages. étage 1 étage 2 E+ Ue S ' E- diode EU'e E+ S ' E+ R R R0 étage 3 EU2 S ' Us U3 R U1 R Tous les amplificateurs opérationnels sont idéaux, de gain infini, de tension de saturation 15 V. Les résistors notés R ont une résistance R 50 k . La diode est idéale : la tension à VSAT ses bornes est nulle lorsqu'elle est passante, le courant qui la traverse est nul lorsqu'elle est bloquée, lorsque le potentiel à son entrée est strictement inférieur à celui à sa sortie ; sa caractéristique est rappelée ci-après. CONCOURS COMMUN SUP 2008 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve Spécifique de Physique-Chimie (filière PCSI - option PC) Page 10/16 i u u i Q7. Les étages 1 et 2 diffèrent par l'entrée sur laquelle est branchée la boucle de contreréaction : sur l'entrée inverseuse E dans le 1 et sur l'entrée non inverseuse E dans le 2 ; quelle est la conséquence fondamentale de cette différence dans le régime de fonctionnement des deux amplificateurs opérationnels ? Étude de l'étage 1. Q8. Etablir l'expression de la tension U 'e en fonction de la tension U e et des résistances R et R0. Q9. En déduire le nom de la fonction réalisée par cet étage. Q10. La tension d'entrée U e ne peut prendre que les valeurs 0 V et E 50 mV. On veut que la tension U 'e puisse prendre les valeurs 0 V et 10 V. En déduire la valeur de R0 . Étude de l'étage 2. Q11. Exprimer la tension U1 en fonction de la tension U 2 . Q12. On isole cet étage du reste du circuit et on suppose que l'on fait varier continûment U 'e de la valeur 10 V à la valeur 10 V puis de la valeur 10 V à la valeur 10 V. Déterminer, en justifiant brièvement, les variations de U 2 lors de ce cycle. Tracer l'allure de la courbe dans un diagramme où U 'e figure en abscisse et U 2 en ordonnée. Q13. En déduire le nom de la fonction réalisée par cet étage. VSAT 15 V grâce à un dispositif Q14. Avant la prise de vue, U e 0 V et on impose U 2 non représenté sur le schéma (la fonction RESET). Montrer que · si la cellule reçoit moins de lumière que le seuil, U 2 restera bloquée à 15 V après la prise de vue, · si la cellule reçoit une impulsion lumineuse au-dessus du seuil, U 2 restera bloquée à 15 V après la prise de vue. On pourra utiliser la courbe tracée à la question 12. Étude de l'étage 3. Q15. Comment s'appelle la partie du montage ne comportant que l'amplificateur opérationnel et les fils qui l'entourent ? 15 V, alors U s 0 V, et que si U 2 15 V, alors U s 15 V. Q16. Montrer que si U 2 Le montage réalise donc bien la fonction voulue (amplification et mise en mémoire) : l'étape suivante, non détaillée ici, est la lecture des états des tensions de sortie de chaque cellule, et sa transcription sous forme d'image découpée en pixels (abréviation de « picture element »). CONCOURS COMMUN SUP 2008 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve Spécifique de Physique-Chimie (filière PCSI - option PC) Page 11/16 2. Deuxième partie : étude dynamique des anneaux de Saturne La planète Saturne est assimilée à un corps à répartition sphérique de masses, de centre OS , de masse mS 6 ~1026 kg, de rayon RS . On suppose que le référentiel saturnien, de point fixe OS et en translation circulaire par rapport au référentiel héliocentrique, est galiléen. On note tante de gravitation. la cons- 1. Les anneaux de Saturne ne sont pas des solides Supposons qu'un anneau soit un agglomérat solide de corps (rochers, cailloux, blocs de glace), en rotation uniforme à la vitesse angulaire Z autour de Saturne. On isole deux de ces corps formant un doublet G {M 1 M 2 } , de faible taille à l'échelle astronomique, de centre d'inertie G, de même masse m , à la distance 2a l'un de l'autre ; on suppose, en outre, que : · OS , M 1 et M 2 restent alignés en permanence ; JJG JJG JJG OS G , OS G r u r , T Z ~ t , et on définit le repère cylindrique (ur , uT , u z ) ; OS G JJJJJJG JJG JJJJJJG JJG · il vient OS M 1 (r a )ur et OS M 2 (r a )ur ; ·a r ; JJG JJG JJG · le référentiel Sd (OS ur uT u z ) est appelé référentiel saturno-doublet : c'est un référentiel non galiléen en rotation uniforme par rapport au référentiel saturnien, à la vitesse angulaire Z et dans lequel OS , G , M 1 et M 2 sont immobiles. · on pose u r M2 M1 G a a r u ur OS uz On néglige l'influence de tous les autres corps de l'anneau sur le système G . Q17. En écrivant le théorème de la résultante cinétique sur le doublet G , établir l'identité mS r2 Z 2r . Q18. Faire l'inventaire de toutes les forces subies par M 1 dans Sd et montrer que leur JG JJG somme vectorielle peut s'écrire 6 f f (a r )ur : on donnera l'expression de f (a r ) comme une fonction des variables a et r et des paramètres , m et mS . CONCOURS COMMUN SUP 2008 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve Spécifique de Physique-Chimie (filière PCSI - option PC) Page 12/16 ' r - - , . a On admet pour la su1te que par un developpement hm1te au prem1er ordre en -- << 1, cette r ÿm2 _ 3 ÿmsma 4a2 r3 l'anneau si la résultante des forces a tendance à éloigner M 2 de M1 , donc si f (a,r) < 0 . fonction a pour valeur approchée : f (a, r) = . Il y aura dislocation progressive de Q19. Montrer que cette condition se traduit par l'existence d'une valeur minimale r() de r (on l'appelle limite de Roche) ne dépendant que de ms et de ,a = %. On donne u = 720 kg-m". Déduire de ce qui précède un ordre de grandeur de ro . Conclure en considérant que les anneaux ont un rayon de l'ordre de 108 m. Dans ce qui suit, on assimile tous les corps autour de Saturne a des petits et moyens blocs solides indépendants en orbite circulaire et on néglige toutes les forces d'interaction entre eux de-- vant l'attraction gravitationnelle de la planète. 2. Divisions des anneaux Les anneaux sont divisés : la première division fut observée par Cassini qui détecta le pre-- mier une bande circulaire vide de blocs, et découpant ainsi « l'anneau » en deux anneaux distincts (cette division est encore appelée division Cassini). On en a détecté un très grand nombre depuis. On s'intéresse ici à la division observée sur le rayon orbital d'un petit satellite sphérique, Pan, de centre OP , de rayon RP , et de rayon orbital r,, = OSO}, . division Pan Le référentiel saturno-Pan 9îSP est en rotation uniforme autour du référentiel saturnien, sui- veur du mouvement de Pan, dans lequel OS et OP restent fixes. On considère deux petits rochers A et B encore présents dans cette bande et tournant dans le même sens (cf. figure 3). A est en orbite circulaire de rayon rA légèrement inférieur à r,... B est en orbite circulaire de rayon r,, légèrement supérieur à rl,. Q20. Montrer que plus le rayon de l'orbite circulaire d'un corps satellisé autour de Saturne est grand, plus sa vitesse le long de son orbite est faible. Q21. Tracer, sur la figure 3.a, dans le référentiel saturnien, l'allure des vecteurs vitesses des centres des trois corps {l'échelle est arbitraire). Q22. En déduire, dans le référentiel ÊRSP, l'allure des vecteurs vitesses de A et de B et les tracer sur la figure 3.b. Q23. En déduire pourquoi A et B ne pourront rester sur leur orbite, et pourquoi on dit que Pan « nettoie » la bande décrite par sa trajectoire en dessinant une division dans les anneaux. ÇONCOURS COMMUN SUP 2008 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Epreuve Spécifique de Physique-Chimie (filière PCSI - option PC) Page 13/16 3. Troisième partie : l'atmosphère de Titan Saturne possède un satellite remarquable, Titan, sur lequel la sonde Huygens, véhiculée par la capsule spatiale Cassini, s'est posée avec succès le 14 janvier 2005. Les capteurs embarqués ont permis d'enregistrer les variations de la pression et de la température en fonction de l'altitude. La figure suivante donne sur l'axe de gauche la pression de l'atmosphère en pascals, en échelle logarithmique, sur l'axe de droite l'altitude correspondante en km, en échelle non régulière, et sur l'axe horizontal la température en Kelvin en échelle linéaire. La courbe tracée permet donc de suivre l'évolution de la température en fonction de l'altitude ou de la pression. On admettra que dans l'atmosphère, l'accélération de la pesanteur de Titan garde une valeur constante gT = 1,6 m·s-2. On note R = 8,3 J·K-1·mol-1 la constante des gaz parfaits. On note P ( z ) la masse volumique du gaz et P( z ) sa pression à l'altitude z. Q24. On assimile la mésosphère et la thermosphère à un gaz parfait en évolution isotherme de masse molaire M. En écrivant l'équation d'état des gaz parfaits et la loi de la statique des fluides, établir l'équation différentielle vérifiée par P (z). Q25. Résoudre cette équation sans chercher à déterminer la constante d'intégration et en déduire si le modèle adopté est conforme avec les données de la figure. Q26. Dans la troposphère, on admet que le principal constituant est le diazote N2, de masse molaire M = 28 g·mol-1, assimilé à un gaz parfait de rapport des capacités calorifiques = 1,4, et que les évolutions sont adiabatiques et réversibles. On note P0 et µ0 les valeurs de la pression et de la masse volumique au niveau du sol. Etablir l'expression de la pression P en fonction P0, µ0, , gT et z. Déterminer une valeur approchée de l'altitude à laquelle P s'annule et en déduire si le modèle adopté est conforme avec les données de la figure. FIN DU SUJET DE PHYSIQUE CONCOURS COMMUN SUP 2008 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve Spécifique de Physique-Chimie (filière PCSI - option PC) Page 14/16 Code d'inscription : Figure 1 B' F'2 A' O2 O1 F2 F'1 Figure 2 (Les 19 pixels de la tache formée par Saturne ont été grisés) Figure 3 B B Pan Pan Figure 3.b Figure 3.a A A Référentiel saturnien Référentiel saturno-Pan CONCOURS COMMUN SUP 2008 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve Spécifique de Physique-Chimie (filière PCSI - option PC) Page 16/16

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 Mines Physique et Chimie PCSI 2008 Corrigé Ce corrigé est proposé par Mickaël Profeta (Professeur en CPGE) et Olivier Arnoult (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Tiphaine Weber (Enseignant-chercheur à l'université), Julien Dumont (Professeur en CPGE), Thomas Tétart (ENS Cachan) et Emmanuel Bourgeois (ENS Lyon). La partie chimie de ce sujet est divisée en trois grandes parties étudiant chacune un aspect des énergies renouvelables. Contrairement aux années précédentes, il n'y a que peu de questions de chimie organique. · La première partie traite du biogaz produit par la fermentation des matières organiques. Elle étudie quelques aspects de la structure électronique de molécules simples (méthane, dioxyde de carbone), puis des équilibres de solubilisation des gaz entre phase aqueuse et phase organique, et enfin la température de flamme lors de la combustion du méthane. · La deuxième partie concerne le bioéthanol et tout d'abord sa formation à partir de glucose, ce qui est l'occasion d'étudier la structure des molécules de la famille des sucres. Ces molécules étant chirales, il est possible de suivre une cinétique à partir de mesures du pouvoir rotatoire. Une petite partie de solution aqueuse permet de préparer une solution tampon avant d'étudier la transformation du glucose en éthanol par une cinétique enzymatique. · La dernière partie étudie des applications des bioalcools : synthèse d'additifs à l'essence et pile à combustible alimentée par du méthanol. Bien que d'une difficulté raisonnable, les différentes parties traitent de sujets originaux et peuvent surprendre par la variété des applications. La partie physique de ce sujet est consacrée à la planète Saturne et à ses satellites. · La première partie démontre que l'on peut observer les anneaux à l'aide d'une simple lunette de Galilée, puis décrit le stockage électronique de l'image collectée sur une cellule photosensible. · La deuxième partie explique l'extension des anneaux par les forces de marée et propose une interprétation qualitative de l'existence de divisions. · La troisième partie cherche enfin à modéliser l'atmosphère du satellite Titan, visité récemment par la sonde Cassini-Huygens. Les notions abordées sont proches du cours en optique géométrique, électronique (partie I) et thermodynamique (partie III). La partie II, un peu plus délicate, fait appel au problème à deux corps, aux mouvements à force centrale et aux référentiels non galiléens. Indications Chimie 4 Ne pas oublier de calculer la pression partielle du dioxyde de carbone dans le biogaz. 5 On peut ne tenir compte que de la première acidité du dioxyde de carbone. Le dioxyde de carbone dans l'eau forme une espèce hydratée H2 CO3 notée CO2(d) . 12 On peut décomposer l'évolution du système en deux étapes. Dans un premier temps, on effectue la réaction à la température initiale. L'énergie dégagée sert dans un deuxième temps à chauffer les produits et les réactifs en excès. 16 La forme cyclique possède un carbone asymétrique supplémentaire par rapport à la forme linéaire. 21 Résoudre l'équation différentielle calculée à la question précédente pour trouver x. Calculer ensuite l'expression de 0 et . 25 Dresser un tableau d'avancement, les ions hydroxyde étant en défaut. 32 La vitesse est maximale si toutes les molécules d'enzyme sont engagées dans une réaction avec un substrat. 43 Dans l'industrie, les quantités employées sont beaucoup plus importantes qu'en laboratoire. Physique 6 Calculer la dimension de l'image de A1 B1 dans le plan focal de la caméra en supposant les anneaux droits. 8 Chercher à identifier un pont diviseur de tension dans le montage. 12 Étudier le signe de la tension (t) = E+ (t) - E- (t) afin de prévoir la valeur de la tension de sortie de l'amplificateur opérationnel, ce dernier fonctionnant en régime non linéaire. 16 À l'aide de la caractéristique de la diode donnée dans l'énoncé ainsi que de la loi d'Ohm aux bornes de la résistance R, étudier le courant qui circule dans la diode et en déduire Us . 17 Ne faire intervenir que les forces extérieures au doublet dans le théorème de la résultante cinétique. Le référentiel RSd étant non galiléen, ne pas oublier les forces d'inertie associées. 18 Déterminer les forces d'inertie d'entraînement et de Coriolis à l'oeuvre dans RSd . L'attraction de M2 sur M1 doit être prise en compte également. 20 Utiliser la loi des aires. 22 Utiliser la composition des vitesses entre RS et RSd . 24 Écrire la loi des gaz parfaits à l'aide de grandeurs locales en introduisant la masse volumique. 25 Tester la validité du modèle en cherchant à former une droite à partir des données expérimentales. 26 Appliquer la loi de Laplace pour le gaz parfait. Énergies renouvelables chimiques A. Étude du biogaz de décharge 1 La réaction de transformation du glucose en méthane et dioxyde de carbone s'écrit C6 H12 O6 = 3 CH4 + 3 CO2 2 Les molécules de méthane et de dioxyde de carbone sont toutes les deux formées d'atomes de la 1re et de la 2e ligne du tableau périodique, la formule de Lewis doit donc respecter la règle de l'octet pour tous les atomes. H C H H H O C O 3 D'après la théorie VSEPR, la géométrie du méthane est de type AX4 E0 , ce qui correspond à une structure tétraédrique. Les angles des liaisons sont ceux d'un tétraèdre parfait, soit 109,5 . Pour la molécule de dioxyde de carbone, la géométrie est de type AX2 E0 , ce qui correspond à une molécule linéaire. L'angle de liaison est donc de 180 . 4 La loi fournie dans l'énoncé donne la concentration en dioxyde de carbone dissous en fonction de la pression partielle en CO2 . Compte tenu de la composition molaire et de la pression totale P de 10 bar, on a : 0, 4 P [CO2(d) ] = KCO2 c P 0, 4 × 10 soit [CO2(d) ] = 2, 5.10-2 = 0, 1 mol.L-1 1 5 Pour déterminer le pH de la solution, on ne tient compte que du caractère acide du dioxyde de carbone, ce qui donne la réaction prépondérante suivante : CO2(d) + 2 H2 O = HCO3 - + H3 O+ E.I. 0, 1 0 0 E.E. 0, 1 - x x x La constante de cette réaction est Ka1 = 10-6,4 . Le dioxyde de carbone étant un acide faible, on peut faire l'hypothèse que la réaction est peu avancée, donc [CO2(d) ]0 - x [CO2(d) ]0 = 0, 1 mol.L-1 [H3 O+ ][HCO3 - ] x2 [CO2(d) ] [CO2(d) ]0 p [H3 O+ ] = x = Ka1 [CO2(d) ]0 Ainsi, Ka1 = On en déduit [H3 O+ ] = 10-6,4 × 10-1 = 10-3,7 soit pH = 3, 7 · On vérifie que la réaction est peu avancée : x = 10-3,7 0, 1 mol.L-1 . · On vérifie que l'autoprotolyse est négligeable : pH < 6, 5. · On vérifie que l'acidité de HCO3 - est négligeable : pH < pKa2 - 1 = 9, 3, donc on est bien dans le domaine où CO3 2- est négligeable. 6 Constatons que par le simple fait de la dissolution du dioxyde de carbone, l'eau obtenue est très acide. Il est donc important d'éliminer l'eau du biogaz. Cela pose notamment un problème de corrosion des tuyaux d'acheminement. 7 Utilisons une expression similaire à celle de la question 4 pour déterminer la concentration en sulfure d'hydrogène dissous : [H2 S(d) ] = KH2 S soit 0, 10.10-2 P c P [H2 S(d) ] = 1, 0.10-1 × 0, 10.10-2 × 10 = 1, 0.10-3 mol.L-1 8 L'équation de la réaction entre le sulfure d'hydrogène et la DEA s'écrit : H2 S + HN(CH2 CH2 OH)2 = HS- + H2 N(CH2 CH2 OH)2 + K = [DEAH+ ][HS- ] Ka1 = = 102 [DEA][H2 S] Ka 9 D'après la question précédente, la réaction avec la DEA permet de déplacer l'équilibre de solubilisation du sulfure d'hydrogène. En effet, le sulfure d'hydrogène se trouve maintenant sous forme de HS- et H2 S(d) . Si l'on calcule la quantité totale s de sulfure d'hydrogène dissous dans la solution, on obtient s = [H2 S(d) ] + [HS- ] En supposant que l'on est toujours en équilibre avec le gaz, on a, d'après la question 7, [H2 S(d) ] = 1, 0.10-3 mol.L-1 . La réaction de la question 8 montre que [HS- ] = [DEAH+ ] = x ; en outre, la constante K permet d'écrire K = x2 (c - x)[H2 S(d) ] ce qui donne l'équation du second degré x2 + K [H2 S(d) ]x - K [H2 S(d) ]c = 0 Application numérique : x2 + 0, 10 x - 10-2 = 0 On recherche la solution positive, soit 5-1 x = 0, 10 × 6.10-2 mol.L-1 2 d'où l'on déduit s x = 6.10-2 mol.L-1 L'ajout de DEA permet de multiplier par 60 la solubilité de H2 S dans l'eau. 10 La combustion du méthane s'écrit : CH4(g) + 2 O2(g) = CO2(g) + 2 H2 O(g) Pour calculer l'enthalpie de cette réaction, utilisons la loi de Hess : r H = f H (CO2(g) ) + 2 f H (H2 O(g) ) - f H (CH4(g) ) - 2 f H (O2(g) ) L'enthalpie de formation du dioxygène gazeux est nulle car il s'agit de l'état standard de référence de l'oxygène à toute température, de sorte que r H = -390 + 2 × (-240) + 110 = -760 kJ.mol-1