Mines Physique et Chimie PCSI 2006

Thème de l'épreuve Quelques expériences à l'aide d'un baromètre. Étude de composés azotés.
Principaux outils utilisés statique des fluides, mécanique, thermodynamique, machines thermiques, optique géométrique, diagramme de Bode, amplificateur opérationnel, atomistique, solutions aqueuses, cinétique chimique, chimie organique

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CONCOURS COMMUN 2006 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve Spécifique de Physique et Chimie (filière PCSI option PC) Vendredi 12 mai 2006 de 08h00 à 12h00 Barème indicatif : Chimie 1/2 - Physique 1/2 Instructions générales : Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend : 16 pages dont 12 sont numérotées l/ 12, 2/12,_ 12/12 et 4 pages centrales annexées. Les Candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées. Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à code à barres correspondante. L'emploi de la calculatrice est interdit Feuilles jointes : Le feuillet central est & détacher et à rendre avec la copie. Ne pas oublier d'indiquer votre code d'inscription sur au moins une des pages. 3 pages concernent la Physique Ûeuille ], feuille 2, papier millimètré semi--logarithmique) ] page concerne la Chimie (papier millimètré) PHYSI UE QUELQUES EXPERIENCES A L'AIDE D'UN BAROMETRE Nous allons dans la première partie de ce problème envisager différentes expériences réalisables (ou pas !) à l'aide d'un baromètre. Les différentes parties sont indépendantes et certaines questions intermédiaires aussi. Pour les applications numériques, on n'exprimera qu'un ordre de grandeur. Les réponses aux questions doivent être concises. L'usage de la calculatrice est interdit. A- PREMIERE PARTIE: MESURE DE LA HAUTEUR D'UN BUILDING A L'AIDE D'UN BAROMETRE On se propose de déterminer la hauteur du building 'Yi-Ling--Yi' situé à Taïpeh, capitale de Taïwan, de différentes façons: A--I : Première méthode : Utilisation directe du baromètre Le fluide étudié ici est l'atmosphère terrestre. Le principe fondamental de la statique des fluides , . . . dP . . . , . ' . . s'ecr1t 1c1 : -- : --pg (s1 l'axe Oz est d1r1ge vertrcalement vers le haut, ou P est la press1on, .p la dz masse volumique du fluide et g la norme du champ de pesanteur terrestre). A-I-1 : On assimile localement l'air à un gaz parfait isotherme à la température TO. Quelle est l'expression de la masse volumique p en fonction de la masse molaire de l'air M, de la pression P, de la constante des gaz parfaits R et de la température To ? A-I-2 : La masse molaire de l'air est M = 29 g.mol'l. Justifier ce nombre. A-I-3 : A-I-3--a : Déduire, des questions précédentes, l'expression littérale de la pression en fonction de l'altitude z, de M, g, R, T0 et P0 (pression atmosphérique au niveau du sol), en admettant que g reste constant dans l'atmosphère. A-I--3-b : Justifier l'hypothèse 'g constant' (on donnera un ordre de grandeur de l'épaisseur de la couche atmosphérique). A-I-4: Le baromètre indique une pression de P0 = l 010 mbar au niveau du sol et P = 950 mbar en haut de la tour. A-I-4-a. ' En déduire que la hauteur H de celle-ci peut s'écrire sous la forme approchée : H=O--kPP PO signification. A-I-4--b : Donner l'ordre de grandeur de H. où k est une constante dont on définira l'unité la valeur a roximative et la ' Données numériques : g = 10 m.s'2, R = 8,31 8.1 et T0 = 300 K. A-II : Deuxième méthode : Utilisation indirecte du baromètre On se propose ici d'étudier la chute libre du baromètre depuis le sommet du building sans vitesse initiale et en l'absence de frottement. Soit le référentiel géocentrigue 0, X, Y, Z. où 0 est le centre de la Terre. Les axes OX, OY et OZ sont dirigés vers des étoiles fixes. Le référentiel géocentrigue 0, X, Y, Z est supposé galiléen. _.> Le référentiel terrestre de base (O',ËÇ,eÿ,é;) est tel que : O' est à la surface de la Terre, 5; est dirigé vers l'est (é: rentre dans la feuille), EUR; est dirigé vers le nord, eÎ passe par le centre de la Terre. L'angle ). définit la latitude du point D' (c'est l'angle entre e; et le plan équatorial). La Terre effectue un tour sur elle-même à la vitesse angulaire constante 0) = dcp/dt :. 7.10"5 rad.s'l. (p est l'angle entre OX et la projection de EUR dans le plan OXY. Le référentiel terrestre n'est donc pas galiléen. On donne aussi le rayon de la Terre RT = 6400 km. On lâche le baromètre de masse m depuis une altitude H, sans vitesse initiale. ) _ --> -------> A--II--l : Exprimer les composantes du vecteur rotation co dans la base (O', eX , ey , eZ ) en fonction de co et À. A-II-2 : Soient X, y, 2, les composantes de M dans le référentiel terrestre. A-II-2-a : Exprimer les composantes des trois forces appliquées à l'objet M. A-II-2-b : En déduire les équations différentielles rigoureuses vérifiées par x, y, z et leurs dérivées par rapport au temps. A--II--3 : Dans le système d'équations différentielles précédent, quels termes peut-on négliger ? (On précisera par rapport à quoi on les néglige.) Simplifiez alors le système d'équations différentielles et le résoudre littéralement en fonction de H, co, 7», g et Rp. A--II--4 : Au bout de combien de temps le baromètre touche-t-il le sol ? En déduire l'ordre de grandeur des composantes x1 et y1 de M, lorsque l'objet tombe sur le sol. _ On donne: H = 500 m, X = 30° (sin 30° = 0,5 et cos 30° % 0,9), g = 10 m.s'2. A-II--5 : Si on fait l'expérience, on constate que, selon la direction &; , le baromètre n'est absolument pas dévié par rapport à la direction d'un fil à plomb. Pour quelle raison ? B- DEUXIEME PARTIE : THERMODYNAMIQUE DU BAROMETRE B-I: On définit une capacité calorifique à volume constant Cv, et une capacité calorifique à pression constante Cp. B--I--1 : Rappeler les définitions de Cvet Cp. B-I--2 : Proposer en quelques lignes une méthode simple pour mesurer Cp. B-I-3 : Pour un solide, ces deux capacités sont considérées comme identiques. Pour quelle raison ? Peut--on identifier Cp et CV pour un gaz ? Pourquoi ? Quelle relation relie Cp et CV pour un gaz parfait ? B-II : Calorimétrie . Le baromètre, assimilé à un corps solide de capacité calorifique C, est initialement à une température T1. On le plonge dans un lac dont la température T0 est constante et on attend l'équilibre thermique. On définit la variable x par : x : --Ë--. 0 B-II--l : Exprimer la variation d'entropie du baromètre ASB en fonction de C et de x (C : Cp : Cv). B-II--2 : Exprimer la variation d'entropie du lac ASL en fonction de C et de x. B-II--3 : En déduire que la variation d'entropie de l'ensemble « baromètre + lac » est : ASB+L : C[(x ----l) -- ln x] . B-II-4 : Montrer graphiquement que ASB+L est toujours positive. B-III : Machine thermique avec pseudo--source Le baromètre est initialement à une température T1. On dispose d'un lac dont la température T0 est constante, avec T1 > TO. A l'aide de ces deux sources, on fabrique un moteur dont la machine effectue des cycles réversibles. Le schéma classique de ce moteur figure ci-dessous. Soient ôQB et ôQL les transferts thermiques échangés par la machine avec le baromètre et avec le lac, et ôW le travail du moteur fourni au cours d'un cycle. Au cours d'un cycle, la température du baromètre passe de la valeur T (comprise entre T1 et T0) à la température T + dT. .................................................................................................................................................................................................................... machine ôW système isolé B-III-l : Quelle relation a--t-on entre ôW, ôQB et ôQL ? B--III-2 : Quelle relation a-t--on entre 6Q3, SQL, T et T0 ? B-III-3 : Le moteur s'arrête de fonctionner lorsque la température du baromètre atteint la valeur TO. Exprimer alors les valeurs de QB, QL en fonction de T1 et T0. B--III-4 : Définir le rendement de ce moteur en fonction de W et QB, puis en fonction de C, T1 et T0. C- TROISIEME PARTIE : OPTIQUE Ç-_I : Etude d'un doublet comportant deux lentilles L1 et L2, de centres 01 et 02 représenté sur la feuille 1 Sur la gauche un rayon incident pénètre dans le système et émerge sur la partie droite, comme indiqué sur la figure. Un carreau correspond à un centimètre. C-I--1 : Ce système est--il globalement convergent ou divergent? (Justifier rapidement votre réponse) C--I--2 : Compléter sur la feuille 1 le trajet du rayon lumineux. C-I-3 : En déduire la nature de chacune des deux lentilles (convergente ou divergente ?). C-I-4 : Soient F1 et F'1 les foyers objet et image de la lentille L1, F2 et F '2 les foyers objet et image de la lentille L2. Trouver graphiquement la position de ces foyers. Préciser les valeurs algébriques DIF; et 02F2' C-I 5 : Qu'appellent-on foyer objet F, foyer image F' d'un système optique ? Trouver graphiquement la position de ces foyers. PréciSer les valeurs algébriques DIF et O,F' . On choisira une couleur pour chaque trajet réel des rayons lumineux, '.C-I-6: Si O,F{ =+4cm , O,F,_ =--2 cm et 0102 =+7cm, déterminer par le calcul les valeurs algébriques ÔÎF et O,F'. C--II : Etude d'un doublet comportant une lentille L3 de centre 03 et un miroir M4 de sommet S4 représenté sur la feuille 2 Sur la gauche un rayon incident pénètre dans le système et après réflexion sur le miroir il se déplace comme indiqué sur la figure. Un carreau correspond à un centimètre. ' C-II--l : Compléter sur la feuille le trajet du rayon lumineux entre la lentille et le miroir. C-II--2: Soient F3 et F ' les foyers objet et image de la lentille L3, F4 le foyer objet-image du miroir M4 et C4 le centre de ce même miroir. Trouver graphiquement la position des points F3, F3, F4 et C4. Préciser les valeurs algébriques O3F3 et S,,F4 . C--II-3 : En déduire le trajet du rayon émergent du système. Ce système est-il globalement convergent ou divergent ? C-II-4 : La lentille L3 est--elle convergente ou divergente '? Le miroir M4 est--il convergent ou divergent '? C-II--5 : Si le point C4 est confondu avec le point 03, où se situe le point B' image finale de B par L3, M4 et L3 ? D- : UATRIEME PARTIE : ELECTRONI UE D-I : Etude d'un filtre de WIEN en ré ime sinusoïdal errnanent uis en ré ime transitoire Soit le filtre ci--dessous où les résistances R sont identiques, ainsi que les capacités C des condensateurs. ' D-I-l : Filtre en régime sinusoïdal permanent Le filtre est alimenté par une tension d'entrée V6 = VEUR cos(oet). A la sortie, on a alors une tension vS = VS cos(oet + (p). Il n'y a pas de charge à la sortie. On associe à ces tensions les grandeurs complexes : __ joet ' . _ __ joet . _ j>Ka3. , . B . En dedu1re que kapp peut se mettre sous la forme kapp : A + -- , ou A et B h seront exprimés en fonction de constantes que l'on précisera. III--3-b--iii Expliquer alors comment on pourrait accéder à k1 et k2 à partir des données expérimentales. III--3-c) La mise en oeuvre de la méthode proposée ci-dessus conduit à lq = 20,0 L.mol'l.s'1 et k2 = 0,43 L.mol'l.s'l. Quelle est la forme la plus réactive de l'EDTA vis à vis de Cu(Dien)2+? Pourquoi ne fait-on pas intervenir les termes k4 [H4Y], k3 [H3Y'] et k0 [Y4'] dans l'expression de kapp ? (On pourra tenir compte, entre autre, de la charge des espèces considérées pour répondre à ces questions.) IV) Chimie or ani ue : s nthèse d'un com osé azoté On se propose de synthétiser la molécule ! ci-dessous à partir du l-bromo-4-méthylbenzène, noté A. N\\V//Qäëo Br benzène »-- l> COOH IV-1) Préliminaire IV-l-a) Le benzène peut être hydrogéné par le dihydrogène gazeux à pression et température élevées. On obtient le cyclohexane. Ecrire l'équation de la réaction. IV--1-b) Dans les mêmes conditions, on peut hydrogéner A. Combien la molécule obtenue possède--t--elle de stéréoisomères de configuration ? Quelle relation d'isomérie lie ces stéréoisomères '? Représenter chacun d'eux en perspective dans sa conformation la plus stable. Justifier. Les nommer et préciser leur configuration relative cis ou trans. IV-2) Etude de la synthèse Pour obtenir le composé _I_ on réalise la suite de transformations suivantes : , 1)CO2 ' HNO3 A+Mg ----> _1_3_ --------> E ---> HOOC + Et20 2) HZO,H . IU No2 E + @ 2 %HOOC--Q--È -----> ooo--<ÎÈ--F NHË> NH2 Cl-CH2-CH=CH2 1) 03 hydrogénation __>g'_---->fl-------->l IV-2-a) IV-2--b) IV-2--c) ' IV-2--d) IV-2-e) ' IV--2-f) IV-2--g) IV--2-h) IV-2-i) IV--2-j) 2) Zn, H+ ou (CH3)2s du cycle Ecrire les formules topologiques descomposés _B_ et Q. Sous quel état physique utilise--t--on le dioxyde de carbone dans le passage de E à _C_ ? Donner un schéma réactionnel pour la réaction entre E et le dioxyde de carbone, ainsi que l'équation de l'hydrolyse acide. Quel est l'intérêt d'être en milieu acide au cours de l'hydrolyse '? v Le composé C étant solide, citer une méthode expérimentale permettant de l'identifier. , v , . 2+ . , . Au cours de la reaction _Q --> _E_, le fer est oxyde en mns Fe . Ecr1re l'équation associée à cette réaction. ' A quel type de réaction appartient la transformation E----> E '? Ecrire une formule mésomère du composé E faisant intervenir le doublet non liant de l'azote. En déduire si E est meilleur ou moins bon nucléophile que la méthylamine CH3-NH2. Justifier. L'action de E sur Cl--CH2--CH=CH2 en excès conduit en fait à un mélange de produits liquides. Comment peut--on séparer au laboratoire un mélange de 2 liquides miscibles'? Sachant que Q résulte de l'action de 2 molécules Cl-CH2--CH=CH2 sur E, donner la représentation topologique de 9 ainsi que le mécanisme de sa formation (On pourra pour le mécanisme, symboliser E par R-NH2 et le dérivé chloré par R'-CH2-Cl). Comment appelle--t-on la transformation Q---->fl ? Donner la représentation topologique de E. Quel autre composé carbonylé obtient--on au cours de la transformation ? En l'absence de zinc ou de diméthylsulfure, quels auraient été les produits de la réaction '? Combien de stéréoisomères de configuration possède le composé ! ? Justifier. On représentera le stéréoisomère dont tous les descripteurs stéréochimiques sont rectus. FIN DE LA CHIMIE OEEU:OEO oecoD _ _ . m.:mE==E ._m_aoen_ - w=>=10 wo ...DOT=OMQOE w>3wOEam . . . . . . . . . . . . . | . |||||| |||||||_ _ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |||.||||_ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \ . . . |||..u||||||vu |||:|.u||||..| . . . . . . . . . . . . . | . |||.||||||| || |..||.||||.||J . . . . . | . .........\lflHñ . . . . . . . |b||||||||||| ___------_---__u---__---_--__J__---_--------A---_.__--_-_-_L_-..--_-.--__.L_-_-_-._--...J__-.--___.-__-J-_-----_-..---- ||||||||||||||4||||||||||||..1|||||||||||||| ___-_______.._____-__-__--_-_y.-___..____-. . . . . . . . . . . . . . . ||||||||||||||« . . . . . . . _ . . . . . 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Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 Mines Physique et Chimie PCSI 2006 Corrigé Ce corrigé est proposé par Cyril Ravat (ENS Cachan) et Thomas Tétart (ENS Cachan) ; il a été relu par Georges Rolland (Professeur agrégé), Mickaël Profeta (Professeur en CPGE), Stéphane Ravier (Professeur en CPGE) et Alexandre Hérault (Professeur en CPGE). · La partie physique de ce sujet comporte quatre subdivisions indépendantes, chacune étant composée de deux à trois exercices eux aussi assez indépendants les uns des autres. On étudie en premier lieu la relation entre hauteur et pression dans l'atmosphère isotherme, puis une chute libre dans le référentiel terrestre, avant d'aborder des questions de thermodynamique, de calorimétrie et de machines thermiques. Vient ensuite, dans le cadre de l'optique géométrique, l'étude d'un doublet constitué de deux lentilles et d'un autre constitué d'une lentille et d'un miroir. Enfin, deux exercices d'électronique sont proposés, sur un filtre de Wien et sur un montage oscillateur à amplificateur opérationnel. Ce sujet de physique est tout à fait éclectique. La difficulté réside dans la nécessité de mobiliser rapidement de nombreux chapitres du cours de première année. Cependant, chaque exercice considéré séparément est relativement simple et très court. Une particularité de cet énoncé est d'interdire la calculatrice, tout en demandant des ordres de grandeur : il faut s'entraîner à faire des calculs de tête et à choisir les bonnes approximations. · Le problème de chimie, axé sur la chimie des composés azotés, est divisé en quatre parties possédant chacune une thématique précise. Le problème commence par une partie consacrée aux oxydes d'azote en utilisant l'atomistique et les formules de Lewis. La seconde partie fait appel à la chimie des solutions à travers le dosage du polyacide EDTA. Puis, toujours en chimie minérale, on étudie la cinétique de l'échange de ligands des ions cuivrique. Enfin, le problème se termine par un petit exercice de synthèse organique, centré sur un composé azoté, qui fait appel à des notions de stéréochimie et à des mécanismes réactionnels. Globalement, ce problème est un excellent exercice d'entraînement à l'approche du concours car il mobilise l'ensemble des notions du programme de PCSI. Indications Physique A.I.2 Quelle est la composition de l'air ? A.I.4.a Effectuer un développement limité de P(z) au premier ordre en z. A.II.3 Comparer en projection sur l'axe - ez les forces de gravitation et d'inertie d'entraînement. Comparer entre elles les différentes composantes de la vitesse. A.II.5 Quelle est la définition du poids ? B.I.2 Comment s'écrit le transfert thermique lors d'une transformation monobare ? B.II.1 Exprimer dS en fonction de dU avant d'intégrer. B.II.2 Procéder de la même façon, puis appliquer le premier principe de la thermodynamique au système {lac + baromètre} afin d'expliciter UL . B.III.2 Utiliser le second principe et la réversibilité des cycles de la machine. B.III.3 Que représente physiquement QB ? L'exprimer en fonction des températures. C.I.4 Utiliser des foyers secondaires et des rayons parallèles à ceux déjà existants. C.I.6 Quelle est l'image du foyer objet F à travers le doublet ? Appliquer la formule de conjugaison de Descartes. C.II.2 Utiliser le rayon passant par le sommet pour trouver F4 . Quelle est la propriété du rayon incident passant par C4 ? C.II.5 Que donne un rayon incident passant par le centre du miroir ? D.I.2 À quoi correspond j dans l'espace réel ? D.II.2 Le courant i- étant nul, reconnaître un diviseur de tension. Chimie I.2 Attention à bien respecter la règle de l'octet. I.5 Utiliser la loi de Hess. I.6 La réaction d'hydrolyse est une réaction d'oxydoréduction. II.5.c Pour voir un saut de pH net lors du dosage, il faut que les pKa soient séparés d'au moins 3 à 4 unités. III.1.c Exprimer les lois de vitesse pour chaque ordre en partant de l'ordre zéro et vérifier la concordance avec les données expérimentales. III.3.a Écrire la conservation de matière en EDTA et la constante d'équilibre. IV.1.b La molécule est symétrique. IV.2.1 Une ozonolyse en présence de zinc ou de diméthylsulfure est appelée ozonolyse réductrice. Physique A. Mesure de la hauteur d'un building à l'aide d'un baromètre I. Utilisation directe du baromètre A.I.1 Soit un volume V d'air, de masse m. Sa masse volumique vaut m = V Or, l'équation des gaz parfaits s'écrit P V = n R T0 donc = PM R T0 A.I.2 L'air est un mélange gazeux composé à 80 % d'azote et à 20 % d'oxygène. La masse molaire de l'air vaut donc 1 4 M = MN2 + MO2 5 5 Le diazote et le dioxygène sont des gaz parfaits qui ont pour masses molaires respectives 28 g.mol-1 et 32 g.mol-1 . L'application numérique permet de retrouver la valeur de l'énoncé M = 29 g.mol-1 Toutes les masses molaires des éléments les plus courants (en particulier l'hydrogène, le carbone, l'azote et l'oxygène) sont censées être connues. A.I.3.a Relions le principe fondamental de la statique des fluides à l'équation des gaz parfaits. Il vient PM dP = - g = - g dz R T0 dP Mg + P=0 dz R T0 Intégrons cette équation différentielle du premier ordre en z : Mg P(z) = A exp - z R T0 soit Grâce à la condition initiale P(z = 0) = P0 , on détermine que la constante d'intégration A vaut P0 . Par conséquent, Mg P(z) = P0 exp - z R T0 A.I.3.b La valeur du champ gravitationnel produit par la Terre en un point d'altitude z est inversement proportionnelle au carré de la distance au barycentre de la Terre (assimilé à son centre), soit la somme de RT (rayon de la Terre) et de z. La couche atmosphérique a une épaisseur d'environ 100 km, alors que le rayon de la Terre vaut 6 400 km. Comparons la valeur du champ gravitationnel au niveau du sol et à l'altitude maximale de la couche atmosphérique Hatm : 2 g(RT + Hatm ) RT 1 = = 2 g(RT ) RT + Hatm (1 + Hatm /RT ) Comme Hatm /RT 1, effectuons un développement limité au premier ordre : g(RT + Hatm ) Hatm 1 =1-2 1- 0, 97 g(RT ) RT 30 On peut donc affirmer que « g est constant » dans la couche atmosphérique. A.I.4.a D'après l'énoncé, Mg P = P0 exp - H R T0 Or, avec les valeurs de P et de P0 données, l'exponentielle ci-dessus est très proche de 1 et on peut donc la développer au premier ordre. On obtient Mg P = P0 1 - H R T0 Par suite H=k P0 - P P avec k= R T0 8 km Mg La constante k, homogène à la distance H, est une longueur que l'on peut exprimer en mètres. On appelle cette distance la « hauteur caractéristique » de la couche atmosphérique, c'est-à-dire la hauteur à laquelle la pression a diminué de 63 %. En l'absence de calculatrice, il faut prendre le temps d'écrire sur son brouillon les valeurs numériques, en faisant comme d'habitude très attention à toutes les exprimer en unité de base du système international. Comme très souvent quand la calculatrice est interdite, des simplifications interviennent. Ici, T0 se simplifie avec M : R T0 8, 31 × 300 k= = 8 km Mg 29.10-3 × 10 L'énoncé est incorrect en demandant l' unité. En effet, il faut parler soit de la dimension, soit d'une unité, soit de l'unité de base du système international. La valeur numérique de la hauteur caractéristique calculée est très inférieure à l'épaisseur de la couche atmosphérique demandée à la question précédente. En effet, ici l'hypothèse de calcul est que la température de l'air T0 est constante en fonction de l'altitude, ce qui n'est vrai que dans une première partie de la stratosphère, entre 10 et 20 km (où T0 = -50 C). Dans la troposphère (entre 0 et 10 km), il faudrait plutôt adopter le modèle à gradient thermique constant : tous ceux qui font de la randonnée en montagne savent bien que l'on perd environ six degrés par kilomètre de dénivelé). Malgré ce que nous venons de dire, le résultat est relativement correct : il s'agit en effet d'une grandeur caractéristique, et la hauteur totale de l'atmosphère est par conséquent censée être cinq à sept fois plus grande.