Mines Physique et Chimie PCSI 2004

Thème de l'épreuve Paramètres sans dimension en physique. Étude cinétique de l'addition de dibrome sur un alcène. Synthèse organique du linalol et du géraniol.
Principaux outils utilisés circuit résonant, oscillateur mécanique, lunette astronomique, cinétique chimique, oxydoréduction, solutions aqueuses, chimie organique
Mots clefs filtres électrocinétiques, régimes transitoires en mécanique, lentilles minces

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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CONCOURS COMMUN 2004 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve Spécifique de Physique et Chimie (filière PCSI option PC) \ Mercredi 19 mai 2004 de 08h00 à 12h00 Barème indicatif: Chimie 1/2 - Physique 1/2 Instructions générales : Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend : 12 pages numérotées 1/12, 2/12, ...12/12 Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées. Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à code à barres correspondante. L'emploi de la calculatrice est interdit Feuilles jointes : papier millimètré semi-logarithmique (Physique) papier millimètré arithmétique(Chimie) PHYSI UE En physique, il est très souvent intéressant de caractériser un système par un paramètre sans dimension, qui ne dépend que de la constitution du système. Les deux premières parties, totalement indépendantes, traitent du facteur de qualité Q, l'une en électrocinétique, l'autre en mécanique. Après introduction du paramètre dans les équations, c'est l'interprétation énergétique de Q qui est favorisée. La troisième partie, indépendante des autres, traite du grossissement G d'un système optique, la lunette astronomique. PARTIE 1: LE FACTEUR DE UALITE EN ELECTROCINETI UE: ETUDE D'UN FILTRE PASSIF. On étudie le circuit linéaire ci-- d--essous. Il est composé de trois dipôles en série: une résistance R, une inductance parfaite de coefficient d'induction L, et d'un condensateur de capacité C. ' (((. e (t) s(t) C Il est soumis à une tension d'entrée sinusoïdale e(t) : Em cos(wt + ça). On note s(t) la tension de sortie. En notation complexe, on notera, pour e(t) par exemple, e=EmeJW' =E e"'e"" avec Em , m l'amplitude complexe. 1. A l'aide de deux schémas équivalents du circuit, l'un en hautes fréquences, l'autre en basses fréquences, donner la nature de ce filtre. 2. Fonction de transfert a. Etablir la fonction de transfert de ce filtre sous la forme : L 1 avecwo= 1 etQ= W°= 1 JLC R RCwO aow>= 1 W 1+j----+(j--)2 QW0 WO Donner l'ordre de ce filtre. b. Si e(t) est une foncti0n quelconque du temps (non sinusoïdale), quelle est l'équation différentielle entre les fonctions s(t) et e(t) ? Pour quelle raison peut-on affirmer la convergence du régime transitoire ? 3. Exprimer le module de la fonction de transfert _ , en fonction de w, wo et Q. . 1 4. Montrer que |_H_ ( jw)| passe par un max1mum pour Q>--. Comment appelle-t-on ce & phénomène ? Déterminer, wr , la pulsation correspondant à ce phénomène, en fonction de WO et Q. 5. On appelle gain, la fonction GdB , telle que G dB = ZOloglfi ( jw)l . Donner les équations des asymptotes de G dB aux basses fréquences et aux hautes fréquences. Exprimer G dB (w = WO ) . 6. Tracer l'allure du diagramme de Bode en gain pour Q =... et Q=--l-- sur la feuille de 10 papier semi-logarithmique fournie. IH (jW) max & Justifier que la bande passante est alors définie à -3dB et placez-la sur les graphes. On définit les pulsations de coupures (wc) d'un filtre par la relation :|H ( jwc) < 7. Interprétation énergétique du facteur de qualité Q. On suppose Q >> 1 . a. Montrer que si w = WO , alors i(t) : [max cos(wot) . b. Déterminer alors uc (t) , la tension aux bornes du condensateur en fonction de C, wo et I... . c. On note AW , l'énergie dissipée par effet J oule dans la résistance sur une période. 7ZR12 Montrer que AW = ""'" . , , WO d. On note Wm , l'énergie maximale reçue par le condensateur. Montrer que Wm = I'... . 2wa e En déduire ue Q -- 27z W'""' . q --- AW . FIN DE LA PARTIE 1 PARTIE 2: LE FACTEUR DE UALITE EN OSCILLATEUR HARMOng QUE AMORTI MECANI UE : ETUDE D'UN On considère le dispositif mécanique suivant, placé dans le référentiel du laboratoire 9% , supposé galiléen. Il est composé d'une bille M, supposée ponctuelle, de masse m qui glisse sans frottement sur un axe horizontal. Elle est reliée : ' o à un ressort de raideur k et de longueur à vide [0 , maintenu fixé à une de ses extrémités à un mur vertical. . o à un dispositif «amortisseur » fixé au même mur, qui soumet la bille à une force de frottement de type fluide ? = --hÎ) . k,lo 0° 1 «: . N.l _) f=--hü On note O, la position de la bille quand le ressort est à sa longueur à vide, et en prenant O comme origine, on repère la position de M par x = OM . 1. Faire un bilan des forces et justifier très brièvement que le système n'est pas conservatif. En appliquant le théorème de l'énergie cinétique à la bille, montrer que la variation de l'énergie mécanique s'écrit sous la forme dE m = --hv'dt . 2. Appliquer le Principe Fondamental de la Dynamique à la bille dans ER , et montrer que .. W . k mw x+--â--x+wfix=0 avec WO=,/-- etQ= h°. - m 3. On se place dans le cas du régime pseudo--périodique. Les solutions sont de la forme Wo ------t x(t) = e 2Q A cos(wt + ça) avec A et (p des constantes, et w = wo l-- 4le . a. Donner la condition sur Q pour être dans un tel régime. Tracer l'allure de x(t). b. On se place dans le cas de l'amortissement faible Q >> 1. Exprimer AT T_To T0 T0 en fonction de Q et en déduire que w = WO . Rappel : Développement limité à l'ordre 1 en u : (l + u)" = l + au 4.__ Interprétation énergétique de Q Dans toute la suite, nous supposerons que w = w() . a. Justifier que l'énergie potentielle de M peut s'écrire Ep(t) = %kx'(t) , puis expliciter Ep(t)- b. Expliciter Ec(t) , l'énergie cinétique de M en fonction du temps. c. Montrer que l'énergie mécanique Em(t) est de la forme Em(t) =Kle--KZ' où l'on exprimera K1 en fonction de A et k , et K 2 en fonction de WO et Q. d. On définit la variation d'énergie mécanique par AEm (t) = 'Em (t + T) -- E m (t)] . E ! Montrer que Q=272' m() . AE...(t) FIN DE LA PARTIE II PARTIE 3: LE GROSSISSEMENT EN OPTI UE : ETUDE D'UNE LUNETTE ' ASTRONOMIQUE On considère une lunette astronomique formée : 0 d'un objectif constitué d'une lentille mince convergente L1 de distance focale f,'=O,F'1 >O. . d'un oculaire constitué d'une lentille mince convergente L2 de distance focale f,_'= O,F'2 >O. Ces deux lentilles ont même axe optique A ., On rappelle qu'un oeil normal voit un objet sans accommoder quand celui-ci est placé à l'infini. On souhaite observer la planète Mars, qui est vue à l'oeil nu sous un diamètre apparent a . l. Pour voir la planète nette à travers la lunette, on forme un système afocal. a. Que cela signifie-t-il ? Que cela implique-t--il pour les positions des lentilles ? b. Faire le schéma de la lunette en prenant f'] = 5 f '2 . Dessiner sur ce schéma la marche à travers la lunette d'un faisceau lumineux formé de rayons issus de l'étoile. On appellera A'B' , l'image intermédiaire. 0. On souhaite photographier cette planète. Où faut-il placer la pellicule ? 2. On note a' , l'angle que forment les rayons émergents extrêmes en sortie de la lunette. . a. L'image est--elle droite ou renversée ? , . , . a . '. b. La lunette est caractensee par son gross1ssement G = --. Exprimer G en fonct10n a de f '1 et f '2. c. Le principal défaut d'une lentille est appelé défaut d'aberrations chromatiques: expliquer brièvement l'origine de ce défaut et ses conséquences. Pour quelle raison un miroir n'a-t-il pas ce défaut ? 3. On veut augmenter le grossissement de cette lunette et redresser l'image. Pour cela, on interpose entre L1 et L2 , une lentille convergente L3 de distance focale f '3 = O3F'3 >O. - L'oculaire L2 est déplacé pour avoir de la planète une image nette à' l'infini à travers le nouvel ensemble optique. Quel couple de points doit conjuguer L3 pour qu'il en soit ainsi '? b. On appelle 73, le grandissement de la lentille 3. En déduire O3F'1 en fonction de f'3 et 73° c. Faire un schéma.} (On placera 03 entre F '1 et F2, et on appellera A'B' lapremière image intermédiaire et A"B' ' , la Seconde image intermédiaire). d. En déduire le nouveau grossissement G' en fonction de 2/3 et G . Comparer à G , en norme et en signe. FIN DE LA PARTIE III CHIMIE Première partie : Etude cinétique de l'addition de diiode sur un alcène On étudie la cinétique de la réaction d'addition du diiode sur un alcène suivant le schéma général suivant : 1 3 R1 R3 R R | | \C=C/ + 12 --> l--C--C--l 2' \ 4 |2 |4 R R R R Le but de l'étude est de déterminer l'influence de la nature de l'alcène et du solvant sur l'ordre partiel de la réaction par rapport au diiode, sur la constante k de la réaction et sur le temps de demi-réaction t.... Le principe de la manipulation est le suivant : - A la date t = 0, du diiode 12 est mis à réagir sur l'un des alcènes étudiés dans un solvant donné. - A des dates t successives, on effectue des prélèvements du milieu réactionnel que l'on dose par une solution aqueuse de thiosulfate de sodium Na28203 afin de déterminer la quantité de diiode n'ayant pas encore réagi. -- L'allure de différentes courbes faisant intervenir des fonctions de [12] et t permet de déterminer l'ordre de la réaction, sa constante de vitesse k et le temps de demi-réaction t1/2 pour un couple alcène--solvant donné. 1 Etude cinéti ne de la réaction d'addition de diiode sur un alcène Le protocole opératoire utilisé pour chaque couple solvant--alcène est le suivant : (1) Mise en route de la réaction d'addition A la date t = 0, sont mis en présence dans un erlenmeyer de 250 mL, 50 mL d'une solution à 0,6 mol.L'1 d'alcène dans le solvant d'étude et 50 mL de solution à 0,04 mol.L'1 de diiode 12 dans le solvant d'étude. On laisse la réaction se faire, sous agitation, à la température constante de 25 °C. (2) Dosages réalisés à différentes dates t : A 25 mL d'une solution aqueuse de iodure de potassium K+,I' à 0,12 mol.L", on ajoute vo = 5 mL de solution prélevée depuis le milieu réactionnel. La date t est relevée au moment où la pipette de 5 mL contenant le prélèvement est à moitié vidée. La solution ainsi préparée est immédiatement titrée par une solution aqueuse de thiosulfate de sodium Na28203 à c = 0,01 mol.L'l. A l'équivalence du dosage la coloration jaune de la solution titrée disparaît. Le volume correspondant à l'équivalence du dosage est relevé. A) Etude théorique de la loi de vitesse suivant que la réaction est d'ordre partiel 1, 2 ou 3 par raggort au diiode Iz I.A.l.a) Donner la définition de la vitesse volumique v de réaction en utilisant les concentrations de chacun des réactifs.- I.A.l.b) Donner l'expression de la vitesse de réaction, sachant que la réaction admet un ordre partiel n par rapport au diiode 12 et un ordre partiel p par rapport à l'alcène. Que vaut l'ordre global ? I.A.l.c) Montrer que, dans le milieu réactionnel, l'alcène est introduit en large excès par rapport au diiode. Montrer que l'expression de la vitesse de réaction peut alors se mettre sous une forme simplifiée, faisant apparaître une constante de vitesse apparente, que l'on notera kapp. De quelle technique de détermination d'un ordre s'agit-il ici ? I.A.2.a) Dans l'hypothèse d'une réaction d'ordre partiel n = 1 par rapport au diiode, donner l'expression donnant l'évolution de la concentration en diiode au cours du temps t, en fonction de [h]... concentration initiale en diiode dans le milieu réactionnel, kapp et t. Quelle fonction de la variable [12] faut--il représenter en fonction de t pour obtenir comme représentation graphique une droite si la réaction est bien d'ordre 1 par rapport à 12 '? I.A.2.b) Dans l'hypothèse d'une réaction d'ordre partiel n = 2 par rapport au diiode, donner l'expression donnant l'évolution de la concentration en diiode au cours du temps t, en fonction de [b]... concentration initiale en diiode dans le milieu réactionnel, kapp et t. Quelle fonction de la variable [12] faut-il représenter en fonction de t pour obtenir comme représentation graphique une droite si la réaction est bien d'ordre 2 par rapport à 12 '? I.A.2.c) Dans l'hypothèse d'une réaction d'ordre partiel n = 3 par rapport au diiode, donner l'expression donnant l'évolution de la concentration en diiode au cours du temps t, en fonction de [b]... concentration initiale en diiode dans le milieu réactionnel, kapp et t. Quelle fonction de la variable [12] faut--il représenter en fonction de t pour obtenir comme représentation graphique une droite si la réaction est bien d'ordre 3 par rapport à 12 '? BZ Dosage du diiode restant gar le thiosulfate de sodium Les solvants utilisés ici sont non miscibles à l'eau. I.B.l.a) La solubilité du diiode 12 dans l'eau est assez faible, elle est bien plus importante dans les solvants organiques utilisés ici. Comment expliquer la faible solubilité du diiode dans l'eau '? Quelle est la nature précise des interactions existant entre les molécules d'eau et une molécule de diiode dissoute, entre molécules d'eau, entre molécules de diiode '? Dans quelle phase se trouvent la majorité des molécules de diiode lorsqu'on est en présence d'un mélange non miscible solvant organique-eau '? I.B.l.b) On accroît fortement la solubilité de 12 dans l'eau en ajoutant de l'iodure de potassium KI en raison de l'existence d'un équilibre de complexation : 12 + I' : 13° de constante Kf = 102'9 Déduire de ces informations, l'intérêt d'ajouter 25 mL d'une solution d'iodure de potassium au prélèvement avant de réaliser le titrage par une solution aqueuse de thiosulfate de sodium. I.B.2) La date t, à laquelle on dose la concentration en diiode restant est--elle précise ? Pourquoi faut-il réaliser le titrage le plus rapidement possible ? Montrer que l'ajout de 25 mL d'une solution d'iodure de * potassium à 5 mL de milieu réactionnel permet, en plus de l'intérêt mentionné à la question précédente, d'améliorer la précision sur la date t. Que peut--on proposer d'autre pour améliorer la précision sur cette date t ? Lors du dosage du diiode restant par le thiosulfate de sodium Na28203, les couples mis en jeu sont I3'/I' et s4OÔZ'/szof: I.B.3.a) Déterminer le degré d'oxydation du soufre S dans l'ion thiosulfate 820321 I.B.3.b) Ecrire l'équation bilan de la réaction de dosage. I.B.3.c) Etablir l'expression du potentiel d'oxydoréduction standard du couple I3'/I' à 25°C en fonction du potentiel d'oxydoréduction standard du couple 12/1' et de la constante de formation Kf de l'ion lg,". En déduire la valeur numérique du potentiel d'oxydoréduction standard du couple I3'/I' à 25°C. I.B.3.d) Etablir l'expression de la constante de la réaction de dosage K" en fonction des potentiels d'oxydoréduction standard adéquats. En déduire l'ordre de grandeur de sa valeur numérique. Cette réaction est-elle quantitative ? Commenter. I._B.3.e) Etablir la relation existant entre la c0ncentration en diiode restant dans le milieu réactionnel à l'instant t et. le volume qu de solution de thiosulfate de sodium versé à l'équivalence. C Détermination de l'ordre artiel ar ra ort au diiode de la réaCtion d'addition de diiode sur le cyclohexène en solution dans le 1,2--dichloroéthane Le tableau 1 (ci--dessous) indique les volumes équivalents relevés à différentes dates t pour la réaction d'addition de diiode sur le cyclohexène en solution dans lel,2--Jdichloroéthane. ' Tableau 1 : Volumes e' uivalents relevés lors du titra e du diiode restant & di érenæs dates t our la réaction d'addition de diiode sur le cyclohexène en solution dans le 1,2-dichloroéthane ' A partir des résultats expérimentaux, les courbes représentatives de --[-------- = f(t) et de = f(t) ont été 12] [12l2 tracées (v0ir figure 1). ' ' F igùre ] : Représentation graphique de ÎÏ1_] = f(t) , ' 2 _L >< 10'3 1[12l , ftnol*lë 0 500 1000 1500 2000 2500* 0 \ 500 1000, 1500 2000 temps(s) ' ' _ ' temps(s) 2500 ?" LG. 1) Peut--on déterminer, de manière certaine, l'ordre partiel par rapport au diiode de la réaction d'addition de diiode sur le cyclohexène en solution dansle l,2--dichloroéthane à l'aide des courbes de la figure 1 '? \- - I.C.2) En utilisant les données expérimentales du tableau 1 et les valeurs numériques du tableau 3, tracer sur la feuille de papier millimétré fournie, la courbe permettant de valider l'hypothèse du dernier ordre partiel. Conclure quant à l'ordre partiel par rapport au diiode de la réaction d'addition de diiode sur le cyclohexène en solution dans le 1,2-dichloroéthane. ' I.C.3) Déduire de la courbe tracée l'ordre de grandeur de la valeur numérique de la constante de vitesse apparente kapp de la réaction à 25°C. I.C.4) Rappeler la définition du temps de demi--réaction t1/2. Déterminer l'ordre de grandeur de sa valeur numérique pour la réaction d'addition de diiode sur le cyclohexène en solution dans le l,2--dichloroéthane à 25 °C. II Etude du mécanisme de la réaction d'addition de diiode sur un alcène Le mécanisme mis en jeu lors de l'addition de diiode 12 sur le cyclohexène dans le l,2-dichloroéthane est semblable à celui d'une dibromation d'un alcène dans un solvant dispersant. Il.l.a) Par analogie avec l'action du dibrome sur un alcène, écrire le mécanisme de l'action de 12 sur le cyclohexène. Préciser l'étape cifiétiquement déterminante. II. 1 .b) En appliquant la loi de Van't Hoff à l'étape cinétiquement déterminante, montrer que l'on retrouve la conclusion annoncée à la question concernant l'ordre partiel de la réaction par rapport à 12. Quel est l'ordre partiel de la réaction par rapport à l'alcène ? Il.l.c) Tracer le profil réactionnel associé à ce mécanisme. Il.l.d) Donner le nom et la stéréochimie du (ou des) produit(s) obtenu(s) par action du diiode sur le cyclohexène. Le produit obtenu est-il optiquement actif '? Il.l.e) La réaction est--elle stéréosélective, stéréospécifique '? Justifier. Il.l.f) Représenter le(s) produit(s) dans sa(leur) conformation la plus stable. Justifier. On étudie désormais l'influence du degré de substitution de l'alcène et du solvant sur l'ordre et le temps de demi-réaction. Le tableau 2 (ci-dessous) regroupe les résultats obtenus pour différents couples alcène-solvant à 25 °C. Tableau 2 : Résultats cinétiques obtenus à 25°C pour di[Ïérents couples alcène - solvant ___-- II.2.a) Le solvant a--t-il une influence sur l'ordre partiel de la réaction par rapport au diiode ? Que peut--on en déduire quant au mécanisme de la réaction dans ces deux solvants différents ? Il.2.b) Quelle est l'influence du degré de substitution de l'alcène sur la vitesse de réaction ? Proposer une explication permettant d'interpréter les résultats expérimentaux. 4 Données : Potentiels rédox standard à 298 K : E°(Maq)/I')-- -- 0,62 V ; E°(S4062782032') = 0,09 v. ' R .T On prendra ----ln10-- -- 0,06 V où F est la constante de Faraday, R la constante des gaz parfaits et T la F température absolue (T = 298 K). ln2 : 0,69. Tableau 3 : Valeurs numériques de quelques fonctions de [122 aux différentes dates t W..." [12]12 1,410"1 1,"3.101 1,210"1 1,210"1 1,.010"1 7,310"2 rn11-/2Ll/2 2,.010"2 1,."8102 1,."5102 1,4102 1,.010 5,."4103 mol.L1 [12] 4,."0104 3,1104 2,3."104 1,8."104 1,.110"4 2,.9105 molz.L2 3,3.1OE 4,31OE 5,5.1OE 9,4.1OE 3,5.1OE Le linalol est un composé utilisé en parfumerie en remplacement de l'huile essentielle de lavande en raison de son odeur voisine. On propose d'étudier ici une synthèse possible de cette molécule, selon la séquence 'réactionnelle suivante. /U\ --------> ----------> ><)H/ ___--> C (majoritaire) + C' ROOR ' H+ C ----------> D (majoritaire) + D' chauffage 0 Il /C\ + Mg H H H30 soc12 D ------> E ------------> F --------> G ___--> H Et2O -HCl, - 802 Mg / H3 O+ linalol 1) Donner le nom du linalol en nomenclature officielle. 2) Donner la formule topologique des produits C, C', D, D', E, F, G, H, I et J. 3.a) Ecrire le mécanisme de la réaction B --> C + C'. Justifier l'orientation observée. 3.b) Qu'aurait--on obtenu comme produits en réalisant cette étape en l'absence de peroxyde '? Quel aurait été le produit majoritairement formé '? Justifier. 4.a) Ecrire le mécanisme de l'étape C --> D + D'. Justifier l'orientation observée. 4.b) Quel(s) produit(s) aurait-on obtenu(s) en procédant au chauffage de C en milieu basique ? 5 Ra eler les conditions 0 ératoires de la ré aration d'un or anoma nésien verrerie nécessaire ) précautmns nécessa1res à l'obtention d'un bon rendement). Fa1re un schéma du montage expénmental ut1lrsé. Quel est le rôle joué par l'éther diéthylique Et20 lors des étapes D ---> E et H ----> I ? 6) Dans l'étape G --> H, on a utilisé comme réactif, l'agent chlorurant chlorure de thionyle SOC12 qui permet d'obtenir H avec un très bon rendement. Quel autre agent chlorurant aurait-on pu utiliser à la place du chlorure de thionyle pour obtenir H '? 7) Ecrire le mécanisme de l'étape 1 _) J. Cette étape est--elle stéréosélective, stéréospécifique ? Le produit obtenu est--il optiquement actif ? Préciser. 8) Le géraniol est une molécule présente dans l'essence de géranium. On peut synthétiser en une étape le géraniol à partir du linalol en traitant le linalol en milieu acide (H") OH linalol géraniol Proposer un mécanisme permettant d'expliquer l'isome'risation du linalol en géraniol. Indiquer pourquoi cette isomérisation est thermodynamiquement possible alors qu'il est thermodynamiquement impossible de réaliser la transformation inverse avec un rendement acceptable. 9.a) Rappeler les réactifs nécessaires pour réaliser une ozonolyse, suivie d'une hydrolyse en milieu réducteur. f9.b) On admet que la fonction alcool n'est globalement pas modifiée lors d'une ozonolyse suivie d'une hydrolyse en milieu réducteur. Montrer, que l'analyse des différents produits obtenus (dont on donnera la formule) lors d'une ozonolyse, suivie d'une hydrolyse en milieu réducteur, perrriettrait de distinguer le linalol et le géraniol. FIN DE L'EPREUVE (.. ...... . w +.....t. .. ...... ...... ..... ..k.J..J .... >...\..:. .\..\.A.A ;..ç... ..--. ..;..J,.<.... --« .-...--...a.;..;.. ..\.J..f..q...4...z.. .4.., .._.. + .. _ (... .... ,+_,_, il...... .... ...»...v. .....;..., .;..;.......... ..+.. ...... ..n.. . ..... ..::... '> ... 3928 %8 ËË___Ë ë...Ë - 93:10 E ...:Qoe>za ...5 ...:0E5Ëoe ...>:...Ë...

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 Mines Physique et Chimie PCSI 2004 Corrigé Ce corrigé est proposé par Matthieu Rigaut (Professeur en CPGE) et Alexandre Hérault (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Jean-David Picon (École Polytechnique), Emmanuel Cornet (ENS Ulm), Stéphane Ravier (Professeur en CPGE) et Mickaël Profeta (ENS Cachan). Le problème de physique se compose de trois parties indépendantes ayant pour thème commun l'étude d'une grandeur sans dimension. Les deux premières parties traitent ainsi du facteur de qualité Q d'un circuit électrocinétique, puis d'un dispositif mécanique, et la dernière du grossissement G d'une lunette astronomique. · La première partie, qui ne comporte pas de difficulté particulière, étudie un circuit RLC série en régime forcé. On y retrouve des notions d'impédance complexe, de filtrage et d'énergie. · La deuxième partie est centrée sur un dispositif classique masse / ressort avec frottements. Cette partie est un peu plus calculatoire et, surtout, demande de bien prendre en compte toutes les hypothèses faites au fur et à mesure du problème. Pour cette raison, c'est peut-être la partie la plus délicate de l'ensemble. · La lunette astronomique fait l'objet de la troisième partie. Il n'y a pas ici de difficulté conceptuelle ; toutefois, la dernière construction peut poser quelques soucis si l'on ne s'y prend pas avec méthode. Le sujet n'est pas en soi d'une difficulté extrême, mais parce que certaines questions nécessitent soit une connaissance fine du programme, soit une part d'initiative personnelle, le tout devant être fait sans calculatrice, cette épreuve a pu s'avérer délicate en conditions réelles. La partie chimie de cette épreuve se compose comme chaque année de deux parties indépendantes, l'une de chimie générale et l'autre de chimie organique. La partie de chimie organique est la plus courte des deux. · La première partie est l'étude cinétique de l'addition de diiode sur un alcène. On y aborde des méthodes très classiques, qui sont au programme de première année. Des calculs de cinétique formelle sont réalisés, puis on vérifie les hypothèses émises sur l'ordre de la réaction en traçant des courbes expérimentales. Le dosage classique du diiode par le thiosulfate est utilisé. C'est l'occasion d'écrire des demi-équations électroniques ainsi que des potentiels d'électrode grâce à la relation de Nernst. On s'intéresse enfin au mécanisme de l'addition du diiode en procédant par analogie avec la dibromation d'un alcène. · La deuxième partie traite de la synthèse du linalol et du géraniol. Les réactions de chimie organique connues en première année sont mises à profit. Ce problème ne présente pas de difficultés majeures, il est conforme au programme et les questions posées sont souvent extrêmement classiques. Il constitue de ce fait un excellent entraînement. Indications Physique Première partie I.2.a I.2.b I.4 I.7.a I.7.b I.7.c I.7.d I.7.e Utiliser la relation du diviseur de tension. Utiliser la correspondance ×(j ) d/dt. Montrer que le carré du dénominateur de |H(j )| passe par un minimum. Utiliser les propriétés d'un circuit linéaire. Il y a une erreur dans l'énoncé : montrer que i(t) = Imax cos(0 t + ). Utiliser la loi constitutive d'un condensateur. Sommer, sur une période, la puissance instantanée P(t) = +R i2 (t) perdue par effet Joule. L'énergie instantanée contenue dans le condensateur vaut E c = C uc 2 (t)/2. Petite incohérence de l'énoncé : Wmax correspond au Wm de la question I.7.d. Deuxième partie II.1 Utiliser plutôt le théorème de la puissance cinétique. II.4.a Utiliser l'expression de x(t) fournie à la question II.3. II.4.b Simplifier au fur et à mesure les résultats en utilisant la condition Q 1. Troisième partie III.1.b Faire le schéma pour un faisceau parallèle n'arrivant pas parallèlement à l'axe. III.2.b Utiliser les conséquences des conditions de Gauss : 1 et 1. III.3.b Utiliser l'expression du grandissement avec origine au foyer 3 = F3 O3 /F3 F1 . Chimie Première partie I.B.1.a Les interactions mises en jeu sont de type Van der Waals. I.B.1.b Le complexe I3 - est chargé, il est soluble dans l'eau. I.B.2 Quel autre paramètre peut-on modifier pour diminuer la vitesse de la réaction ? I.B.3.c Utiliser l'unicité du potentiel pour tous les couples en présence. II.1.a On passe par un intermédiaire ion ponté. II.1.d L'attaque du nucléophile se fait à l'opposé du pont pour des raisons stériques. II.1.f Pour les cyclohexanes substitués, la position équatoriale est plus stable que l'axiale. Deuxième partie 3.a Il s'agit d'une réaction radicalaire. 4.b En milieu basique il y aurait compétition entre l'élimination de HBr et la substitution nucléophile avec OH- . 8 Comparer la stabilité thermodynamique du linalol et du géraniol. Physique I. Le facteur de qualité en électrocinétique : étude d'un filtre passif I.1 En basses fréquences, le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert et la bobine comme un fil. Le circuit est donc équivalent au schéma ci-dessous. On peut alors voir que i = 0 (circuit ouvert), ce qui implique s(t) = e(t) en basses fréquences. e(t) R i(t) s(t) En hautes fréquences, le condensateur se comporte cette fois comme un fil et la bobine comme un interrupteur ouvert. Le circuit est alors équivalent au schéma ci-dessous. On constate immédiatement que s(t) = 0 en hautes fréquences. R i(t) e(t) s(t) Les hautes fréquences étant coupées, contrairement aux basses fréquences, on est en présence d'un filtre passe-bas. I.2.a Comme les trois dipôles sont associés en série, on peut utiliser la formule du diviseur de tension en notation complexe, ZC Sm = × Em ZC + ZR + ZL où : · · · · ZC = 1/(jC) est l'impédance du condensateur ; ZL = jL est l'impédance de la bobine ; ZR = R est l'impédance du résistor ; S m est l'amplitude complexe de la tension s(t). Il vient alors, après simplifications, Sm = 1 × Em 1 - LC 2 + j RC puis, avec la définition de H(j ), Sm 1 = H(j ) = Em 1 + RC (j ) + LC (j )2 qui est bien la forme recherchée, avec 1 = LC 0 2 1 0 = LC ce qui donne et 1 = RC Q 0 et 1 Q= R r L C S'il est vrai qu'une très grande majorité de filtres est définie par le rapport des tensions de sortie et d'entrée, cela n'est, a priori, pas vrai pour tous. On peut fort bien imaginer des définitions comme I s /I e ou comme I s /U e . La puissance de (j ) la plus élevée dans cette fonction de transfert étant deux, l'ordre de ce filtre est deux. I.2.b À partir de l'expression de H, on obtient j (j )2 1+ + Sm = Em Q 0 0 2 ou encore Sm + 1 1 × (j )S m + 2 × (j )2 S m = E m Q 0 0 d dt on trouve que s(t) obéit à l'équation différentielle et en utilisant la correspondance ×(j ) s(t) + 1 ds(t) 1 d2 s(t) + 2 = e(t) Q 0 dt 0 dt2 qui s'écrit, sous forme canonique, d2 s(t) 0 ds(t) + + 0 2 s(t) = 0 2 e(t) dt2 Q dt Les coefficients du polynôme en x = j du dénominateur de H(j ) sont tous de même signe. En effet, N(j ) H(j ) = D(j ) avec D(x) = 1 + Q x + 0 2 x2 |{z} 0 |{z} >0 et N(x) = 1 >0 Dès lors, on peut affirmer que le filtre est stable et, grâce à la présence d'un composant dissipatif (le résistor), que tout régime libre converge vers 0. I.3 Par définition du module, on obtient tout de suite 1 |H(j )| = s 2 2 2 1- 2 + 2 2 0 Q 0