CONCOURS COMMUN 2003
DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALES, DOUAI, NANTES
Épreuve Spécifique de Physique et Chimie
(filière PCSI Option PC)
* . Jeudi 22 mai 2003 de 08h00 à 12h00 *
Barème indicatif : Chimie 1/2 -* Physique 1/2
Instructions générales :
Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend : 12 pages numérotées
1/12, 2/12, ...12/12.
plus une feuille de papier millimètré à joindre avec la copie.
Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction :
les copies illisibles ou
mal présentées seront pénalisées.
Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à
code à barres
correspondante. '
Toute application numérique ne comportant pas d'unité ne donnera pas lieu à
l'attribution de
points. - _
Les parties Physique et Chimie seront rédigées sur les mêmes feuilles de
composition étrehdues
ensemble à la fin de l'épreuve. ,
Feuille jointe : papier millimètré (physique);
CHIMIE
Problème 1
Les différentes parties de ce problème sont indépendantes et dans chaque partie
de nombreuses questions
sont indépendantes.
Le magnésium est un élément relativement abzondant dans l'écorceterrestre.'
L'eau de mer qui contient
' 0 + A ' I I l |
0,135 % de magnesmm sous forme de Mg peut etre conaderee comme une reserve
quasrment
inépuisable de ce métal.
I -- Propriétés atomiques
1. Le numéro atomique du magnésium "est Z=12_. Indiquer sa configuration
électronique dans l'état
fondamental et en déduire sa position (numéros de ligne et de colonne) dans la
classification périodique.
2. Le tableau ci--dessous regroupe quelques propriétés atomiques du magnésium
et d'éléments issus de
la même colonne de la classification périodique. Il s'agit du numéro atomique
(Z), du rayon atomique
(ratomique), du rayon ionique du cation M+ (monique), des énergies de première
et de deuxième ionisation de
l'atome (Eionisation1 et E,onisation2), du potentiel redox standard du Couple
M2+/M (E°(M"/M)).
--mm-um
+
___-_-
' ...--
E°
a) En comparant les rayons atomiques, justifier l'évolution de l'énergie de
première ionisation
du béryllium (Be) au baryum (Ba).
b) Justifier que, pour chaque atome, E......sation2 > Eionisation1-
c) Des cinq éléments présentés dans ce tableau, lequel est le meilleur
réducteur ? En déduire
lequel est le moins électronégatif.
Il -- Propriétés réductrices du magnésium
Le magnésium sert à la fabrication de piles amorçables à l'eau de mer, très
utilisées dans la marine. Ce type
de pile est constitué d'une demi-pile-AgCl (s) / Ag (s) et d'une demi-plie
MgClz (s) / Mg (s). La pile est
étanche mais peut être activée par ouverture d'un opercule permettant le
contact entre l'eau de mer et les
électrodes.
En milieu chlorure, le potentiel standard du couple MgClz (s) / Mg (s) vaut
--1,71 V;
' celui du couple AgCl (s) / Ag (s) vaut 0,22 v. '
1. Comparer les potentiels des deux couples; en déduire quelle est 'l'anode et
quelle est la cathode.
Quelle est la réaction de fonctionnement de la pile ?
2. Faire un schéma de la plie en fonctionnement en précisant la polarité des
électrodes et le sens de
déplacement des électrons. ,
3. Calculer la fem théorique de la pile. Montrer qu'elle ne dépend pas de la
concentration en ions
chlorure. - "
4. Quel est le rôle de l'eau de mer ?
Donnée : (RT/F).ln10 = 0,06 V à 298 K
III -- Dureté de l'eau
La dureté de l'eau estun concept qui a été introduit afin d'en connaître la
teneur en ions Ca2+ et Mg". Les
eaux dites dures sont des eaux riches en ions calcium et magnésium. Elles ont
le défaut de faire précipiter
les savons qui perdent alors leur pouvoir'moussant. De plus, elles favorisent
la formation de tartre (CaCO3 et
MgCO3) dans les canalisations.
On se propose dans cette partie de déterminer la dureté totale, c'est--à-dire
la somme [Ca2+]+ [MgZ+], d'une
eau minérale en la dosant à l'aide d'acide éthylènediaminetétraacétique (EDTA)
noté H4Y.
L'EDTA (noté H4Y) est un tétraacide dont les pKa successifs valent
respectivement :
2,0 ; 2,7 ; 6,4 ;10,2.
Le mode opératoire est le suivant :
« On place 10 mL d'eau à analyser dans un erlenmeyer de 150 mL. On y ajoute 10
mL d'une solution
tampon de'pH = 10 et 12 gouttes d'une solution de l'indicateur coloré Calmagite
fraîchement préparé. La
solution, incolore avant l'ajout du Calmagite, prend alors une coloration rose
« lie de vin ». On place dans la '
burette une solution de sel disodique d'acide éthylènediaminetétraacétique
dihydraté (Na2HZY, 2 H20) de
concentration c = 0,050 mol.L"Ï On appelle--v le volume de titrant versé. On
observe le virage de la solution
du rose au bleu pour un volume versé v = ve,».
Les données numériques utiles sont regroupées à la fin de cette partie.
A-- Préparation des solutions _
1. Pour préparer la "Solution de titrant, on introduit une masse m de sel
disodique d'acide
éthylènediaminetétraacétique dihydraté (Na2H2Y, 2 HZO) dans une fiole jaugée de
250 mL. On complète au
trait de jauge avec de l'eau distillée. On bouche la fiole et on agite pour
homogénéiser la solution. *
a) Déterminer la masse m que l'on doit peser avec précision pour obtenir une
solution de
concentration c = 0,050 mol.L" .
b) Indiquer les domaines de prédominance des différentes formes de l'EDTA en
fonction du
pH. Quelle est l'espèce prédominante à pH = 10? Dans la suite du problème on
considérera, par souci de simplification, que tout l'EDTA est sous cette forme
à '
pH = 10. '
2. Pour préparer la solution de solution tampon pH = 10, on dissout une masse
m' de NH4CI dans 100
mL de soude molaire et on complète le volume jusqu'à 250 mL avec de l'eau
distillée.
a) Ecrire l'équation-bilan de la réaction qui séproduit quand on mélange ces
deux réactifs.
Calculer sa constante d'équilibre. Que peut--on en déduire ?
b) Faire le bilan de matière. En déduire la valeur de la masse m' que l'on doit
peser pour
obtenir une solution tampon de pH = 10. » \
B-- Princige du dosage
Dans une solution tamponnée à pH 10, l'indicateur Calmagite (noté ln) est rose
« lie-de vin » lorsqu'il est
complexé au Mg2+ et il est bleu lorsqu'il n'y a aucun ion magnésium disponible.
Les ions calcium ne sont pas
complexés par le Calmagite. , '
L'EDTA complexe les ions Mg2+ et Ca2+ pour donner des ions MgY2" et CaY2Î Ces
complexes EDTA--métal
sont incolores. ' ' »
1. Ecrire l'équation-bilan des deux réactions de titrage qui se produisent pour
OD
40
1>/_&
2--bromopr0pane + Mg ----------> E --------------------> F
Et20 2) H3O+ dilué
N
CZ
F ____, ___--> ------------------->- H1(C6HQN) + H2 (C5H9N)
OH ' H2Û majoritaire
G
, ' H3Û+, A '
D + H1 -----------> | -------------------->
K1 + _ K2
/ :---------' solvant polaire (majoritaire) (isOmère de constitution de K1)
K OH' H3o+,A' "
1 -----> ----> ,__----* M1 (C15H20) + M2(C15H20)
- HgO , . . .
, . majoritaire .
« L
M est le calacorène.
1. Ecrire la formule topologique des composés C, D, E, F, H1, H2, l, K1, KZ, M1
et M2.
2. ' Décrire le mécanisme de la réaction E --> F. Quelle réaction parasite
pourrait se déroulersi l'hydrolyse
était menée en milieu acide trop concentré ? Quelle précaution expérimentale
supplémentaire permettrait
d'éviter celle--ci ? » '
3. Préciser les conditions opérat0ires requises pour déshydrater G Décrire le
mécanisme de la réaction
G 9 H1 Justifier que H1 est majoritaire devant Hz.
4. Combien J posséde--HI de stéréoisomères ? Les désigner à l'aide de la
nomenclature adaptée (R, 8,
Z, E) en indiquant la relation de stéréoisomérie qui existe entre eux (on ne
demande pas de représenter les
stéréoisomères, ni de les nommer).
5. ' Décrire le mécanisme de la réaction J 9 K1. Justifier que K1 est
majoritaire devant K2.
6. Justifier que M1 est majoritaire devant Mz.
FIN DU PROBLEME 2
PHYSIQUE
Piscine à Vagues
Le problème suivant repose sur l'étude d'une piscine couverte à vagues. Nous _
étudierons deux
systèmes de chauffage de l'eau de la piscine (pompe à chaleur et chauffage
solaire) et nous proposerons un
système permettant de produire des vagues.
Les trois parties sont totalement indépendantes.
Caractéristiques dela piscine :
Température de l'eau : Teau = 299 K Volume de la piscine _: 500 m3
Température extérieure : Text = 283 K Surface de la piscine : 250 rn2
Température intérieure : T;... = 296 K
Constantes du problème :
Capacité calorifique massique de l'eau : - ' . co = 4,18 J.g'ÏK'1
Chaleur latente massique.devaporlsation de l'eau ; Lvap = 2800 J .9'1
Masse volumique de l'eau : _ -- . 4 p,_.,au = 103 kg.m'3
I- Chauffage dela piscine à l'aide d'une pompe _à chaleur
Une pompe à chaleur permet de maintenir constante la température de l'eau dela
piscine; on se
placera donc en régime permanent. La machine thermique fonctionne avec deux
sources de chaleur
(thermostats) : l'air extérieur de température Text et l'eau de la piscine de
température Teaù. '
> Le fonctionnement de la pompe à chaleur est basé sur le cycle d'un fluide
caloporteur ayant une
température d'ébullition basse. Le fluide caloporteur, initialement sous forme
d'un mélange liquide-vapeur au
point 1, traverse l'évaporateUr où l'air extérieur lui permet de subir une
vaporisation complète (trajet 1-2). Le
compresseur comprime ensuite cette vapeur (trajet 2-3), augmentant ainsi sa
température; on supposera
cette transformation isentropique. Au niveau du condenseur, la vapeur
surchauffée voit d'abord sa
température descendre jusqu'à T.,.au en suivant une transformation isobare
(trajet 3--4). Le fluide caloporteur,
toujours comprimé, redevient ensuite liquide (trajet 4--5). La soupape de
détente réduit la pression du fluide
caloporteur (trajet 5--1), transformation au cours de laquelle la températuredu
fluide s'abaisse fortement le
rendant prêt pour un nouveau cycle.
Source Source
chaude froide
Système
= fluide
Compresseur
Figure 1 * ' . | _ & Figure 2
1) Pour un point i (compris entre 1 et 5) du cycle, on note P,, T, et V; la
pression, la température et le
volume du fluide caloporteur.
a. \ Calculer la variation d'entropie AS de la vapeur assimilée à un gaz
parfait pour une
transformation isobare entre les températures T3 et T4. .
b. Le dessin de la figure 1 donne l'allure de la courbe d'équilibre
liquide-vapeur du fluide
considéré dans le diagramme (T,S). On y a repéré le point 1 correspondant au
début du
cycle. Reproduire le schéma Sur votre feuille et placer les points 2, 3, 4 et
5. Pour chaque
trajet (sauf le trajet 5-1), justifier rapidement l'allure des courbes ainsi
obtenues.
2) Reproduire le diagramme de la figure 2 et indiquer par des flèches les sens
réels des flux
thermiques et du travail. indiquer dans quelles étapes du cycle ces flux ont
lieu.
3) Quel est l'intérêt, pour une pompe à chaleur, d'utiliser un changement
d'état ? Quel est l'intérêt
d'utiliser un fluide caloporteur de température d'ébullitlon basse ?
4) Donner la définition de l'efficacité thermodynamique 11 de la pompe a
chaleur. Montrer que
l'efficacité réelle de toute pompe à chaleur est inférieure à l'efficacité
1
_n :_
° T
1-
ext
T
eau
obtenue dans le cas d'un fonctionnement réversible. On a ici n= 5
5) Les pertes de la piscine sont essentiellement dues à l'évaporation de l'eau
dans l'air. Dans les
conditions précisées plus haut, le taux d'évaporation par heure et par mètre
carré de surface d'eau
est de a = 150 g.h'1.m'2. En déduire l'énergie perdue pendant une heure par
l'eau de la piscine. '
6) Quel doit être le travail que l'on doit fournir au fluide pour que la pompe
à chaleur puisse maintenir
la température de la piscine constante pendant une heure ? Comparer ce travail
à l'énergie qu'il
aurait fallu fournir si on chauffait l'eau de la piscine avec une simple
résistance électrique.
II - Chauffage dela piscine avec des panneaux solaires
La question 1 est indépendante des autres questions.
Une pompe permet de faire circuler l'eau de la piscine à travers des panneaux
solaires (simples
tuyaux noirs) placés sur le toit du bâtiment. L'énergie solaire réchauffe l'eau
des panneaux qui retourne
ensuite dans la piscine.
Un montage électronique contrôle la mise en marche de la pompe. Le but de ce
montage est
' d'actionner la pompe si l'ensoleillement est suffisant (éclairement supérieur
à E...) et de le stopper lorsque
l'ensoleillement devient trop faible (éclairement inférieur à Ea).
Dans tous les montages les amplificateurs opérationnels sont supposés idéaux et
on notera
+V5... = +15 V et --Vsat = --15 V, les tensions de saturation maximale et
minimale.
Soit S' = 100 m2 la surface des panneaux-solaires.
1) Déterminer l'énergie reçue par l'eau de la piscine pendant une heure en
supposant que
l'éclairement moyen reçu au niveau des panneaux solaires est de 300 W/m2 et que
toute l'énergie
solaireyest absorbée. ' '
2) Pour contrôler l'ensoleillement, on utilise une photorésistance R(E),
résistance dont la valeur
' dépend de l'éclairement E. Dans le tableau suivant, on donne les valeurs
expérimentales de la
résistance en fonction de l'éclairement réel. Pour ne pas endommager la
photorésistance, les
données expérimentales ont été obtenues en plaçant un verre teinté devant la
photorésistance.
Les valeurs d'éclairement correspondent aux valeurs effectivement mesurées à la
surface de la
terre.
Eclairement
E en W/m2
Résistance
R(E) en kQ
L'éclairement pour la mise en marche est E... = 230 W/m2 et l'éclairement
correspondant à l'arrêt du
système est Ea = 117 W/m2. '
a. Soient EO = 307 W/mî l'éclairement maximum et R0 = 0,67 kfl la résistance
correspondante.
Tracer sur la feuille de papier millimètré jointe ln(E/Eo) en fonction de
ln(R/Ro).
On prendra l'échelle suivante : Axe des abscisses 1 cm<-->0,25 ; Axe des
ordonnées
1 cm+-->0,5.
b. En déduire une forme approchée de l'expression de R(E) en fonction de E et
donc les valeurs
' R... et Ra correspondant aux valeurs de la photorésistance pour E... et Ea.
0. On place cette photorésistance dans le montage de la figure 3. 61 est "un
générateur de
tension idéal de f.e.m. constante e1. Soit V1 la tension de sortie de
l'amplificateur opérationnel.
Donner la valeur de V1 en fonction de e1, R1 et R(E).
Figure 3
d. On ajoute ensuite le montage de la figure 4. G2 est un générateur de tension
idéal de f.e.m.
constante ez. Expliquer le rôle de chaque montage à amplificateur opérationnel
et exprimer V2
en fonction de e1, ez, R1 et R(E).
Faire l'application numérique avec R, = 1 kQ, e1 = ez =10 V et montrer que pour
un
éclairement E..., V2 = 2 V et pour un éclairement Ea, V2 % -2 V.
Figure 4
...e. _ On ajoute enfin le montage de la figure 5. Quel est le nom de ce
montage ? Expliquer le
fonctionnement de ce montage en traçant sur une courbe la valeur de la tension
de sortie V3
en fonction de la tension d'entrée V2. On donnera l'expression des valeurs
particulières de V2.
f. La pompe se met en marche si la tension V3 reçue sur le boîtier de commande
est négative et
inférieure à -5V. Préciser comment choisir le rapport R3/R2 pour que la pompe
s'allume pour
une luminosité E... et s'éteigne lorsque la luminosité est Ea.
g. Le système fonctionne normalement le jour mais se met accidentellement en
marche la nuit
car la photorésistance se trouve proche d'un éclairage à tubes néons
(éclairement Ep et
fréquence 100 Hz). Proposer une modification du montage pour remédier à ce
problème.
III - Produdion de vagues
Pour créer des vagues dans la piscine, on fait effectuer des oscillations
verticales à une grosse masse
M immergée, située sur un coté du bassin. La perturbation engendrée se traduit
par des vagues à l'intérieur
dela piscine.
On considère une masse M homogène de masse volumique p et de volume V, plongée
dans l'eau
(masse volumique peau). Cette masse est suspendue à un ressort de raideur k et
de longueur à vide 10,
accroché en un point A (voir figure 6).
' Soit (Oz) un axe vertical orienté vers le bas, le point A est fixe à la cote
zA = 0. On s'intéresse au
mouvement suivant (Oz) de la masse et on note 2 la cote du centre de gravité G
de la masse. A l'équilibre la
masse est située en z = h. On négligera la hauteur de la masse M devant h.
Soit R le référentiel terrestre supposé galiiéen. '
M -----z
Figure 6
1) Ecrire la condition d'équilibre de la masse M dans R.
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
En déduire l'équation différentielle du mouvement de l'oscillation de M. On
écrira une équation
reliant z et ses dérivées, M, k et h. Donner la pulsation propre wo de cet
oscillateur. On négligera
les frottements dansÏcette question. '
Commenter le fait que wo ne dépende pas de l'intensité de la poussée
d'Archimède. Y a-t-il un
terme de l'équation différentielle précédente qui en dépende ?
On tient compte d'une force de frottement visqueux, colinéaire à la vitesse et
d'intensité
F =--0t\7 (identique dans tous les référentiels) de l'eau sur la masse M.
Donner la nouvelle
équation différentielle vérifiée par 2. En se plaçant dans le cas d'un
amortisSement faible, donner
sans calcul l'allure de la fonction z(t) avec les conditions initiales
suivantes : à t = 0, z = h1 > h et la
vitesse initiale est nulle.
A l'aide d'un piston, on impose à l'extrémité A du ressort, un mouvement
vertical sinusoïdal
' d'amplitude 2... (voir figUre 7) ; donc zA(t) = zA...cos(wt). Ecrire dans le
référentiel R ' , lié à A,
l'équation différentielle vérifiée par z' cote de G dans R '
0 .
A ,
_. 'ZA_
M -- -z
Figure 7
Calculer l'amplitude des oscillations de la masse M dans R ' . On utilisera la
notation complexe
- _ (D
et on fera apparaitre les constantes wo, 1:=------ et la variable X =--------.
oc 000
Dans ce dispositif, l'intérêt du ressort est de permettre d'obtenir des
oscillations de la masse
d'amplitude supérieure à celle de l'excitation. Chercher un intervalle de
pulsations pour lequel
cette condition est vérifiée. Vous montrerez que cet intervalle existe si la
masse M est supérieure
à une certaine valeur que vous préciserez.
Si la condition précédente est vérifiée, pour quelle pulsation l'amplitude
d'oscillation de la masse M
est-elie maximale ?
FIN DE L'EPREUVE
