ENAC Physique toutes filières 2006

Thème de l'épreuve Mécanique du point, électrocinétique, électrostatique, thermodynamique, électromagnétisme, optique géométrique
Principaux outils utilisés mécanique du point, montage linéaire à AO, champ et potentiel électrostatiques, lentilles minces, mouvement des particules chargées, thermodynamique du gaz parfait

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ECOLE NATIONALE DE L'AVIATION CIVILE ANNEE 2006 CONCÇURS DE RECRUTEMENT D'ELEVES PILOTE DE LIGNE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Durée : 2 Heures Coefficient : 1 Ce sujet comporte : o 1 page de garde, . 2 pages (recto--verso) d'instructions pour remplir le QCM, . 1 page d'avertissement . 7 pages de texte numérotées de 1 à 7. CALCULATRICE AUTORISÉE ÉPREUVE DE PHYSIQUE A LIRE TRÈS A TTENTIVEMENT L'épreuve de physique de ce concours est un questionnaire à choix multiple qui sera corrigé automatiquement par une machine à lecture optique. 1) ATTENTION, u. NE vous EST DÉLIVRÉ QU'UN SEUL QCM Vous devez coller dans la partie droite prévue à cet effet, l'étiquette correspondant à l'épreuve que vous passez, c'est--à--dire épreuve de physique (voir modèle ci-dessous). POSITIONNEMENT DES ETIQUEfiES Pour permettre la lecture optique de l'étiquette, le trait vertical matérialisant l'axe de lecture du code à barres (en haut à droite de votre QCM) doit traverser la totalité des barres de ce code. EXEMPLES : BON MAUVAIS MAUVAIS XXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXX 6flL99'bffiël--G Xxxxxxxxx .xxxxx xxxxxxxx UU UU UU >< >< >< <£ * <[ <: Pour remplir ce QCM, vous devez utiliser un STYLO BILLE ou une POlNTE FEUTRE de couleur NOIRE. Utilisez le sujet comme brouillon et ne retranscrivez vos réponses qu'après vous être relu soigneuse- ment. Votre QCM ne doit pas être souillé, froissé, plié, écorné ou porter des inscriptions superflues, sous peine d'être rejeté par la machine et de ne pas être corrigé. Cette épreuve comporte 36 questions, certaines, de numéros consécutifs, sont liées. La liste des ques- tions est donnée au début du texte du sujet. Chaque candidat devra choisir au plus 24 questions parmi les 36 proposées. Il est inutile de répondre à plus de 24 questions : la machine à lecture optique lira les réponses en séquence en partant de la ligne 1, et s'arrêtera de lire lorsqu'elle aura détecté des réponses à 24 ques- tions, quelle que soit la valeur de ces réponses. Chaque question comporte au plus deux réponses exactes. 6) A chaque question numérotée entre 1 et 36, correspond sur la feuille--réponses une ligne de cases qui porte le même numéro (les lignes de 37 à 100 sont neutralisées). Chaque ligne comporte 5 cases A, B, C, D, E. Pour chaque ligne numérotée de 1 a 36, vous vous trouvez en face de 4 possibilités : > soit vous décidez de ne pas traiter cette question, la ligne correspondante doit rester vierge. > soit vous jugez que la question comporte une seule bonne réponse, vous devez noircir l'une des cases A, B, C, D. > soit vous jugez que la question comporte deux réponses exactes, vous devez noircir deux des cases A, B, C, D et deux seulement. > soit vous jugez qu'aucune des réponses proposées A, B, C, D n'est bonne, vous devez alors noircir la case E. En cas de réponse fausse, aucune pénalité ne sera appliquée. 7) EXEMPLES DE REPONSES Exemple l : Question 1 : Pour une mole de gaz réel : A) l)ing(PV) : RT , quelle que soit la nature du gaz. B) PV : RT quelles que soient les conditions de pression et température. C) Le rapport des chaleurs massiques dépend de l'atomicité. D) L'énergie interne ne dépend que de la température. Exemple ll : Question 2 : . Pour un conducteur ohmique de conductivité électrique 0' , la forme locale de la loi d'OHM est : _ É .. .. _ _ __ _ A) J'=g 8) j=aE C) E=o%' D) j=sz Exemple lll : Question 3 : A) Le travail lors d'un cycle monotherme peut être négatif. B) Une pompe à chaleur prélève de la chaleur à une source chaude et en restitue à la source froide. T C) Le rendement du cycle de CARNOT est 1 + --7--_--2-- 1 D) Le phénomène de diffusion moléculaire est un phénomène réversible. Vous marquerez sur la feuille réponse : _ E:] _ E:] E:] A B C D E 1 E:] [:::] :::! [:::i [:::1 :: _ :: t:: E:: A B C D E 2 :: [:::] t:: l::i :: :: ::::i :: :: - A B C D E 3 E:: t:: :: [::: :::: AVERTISSEMEN TS Dans certaines questions, les candidats doivent choisir entre plusieurs valeurs numériques. Nous attirons leur attention sur les points suivants: 1 - Les résultats sont arrondis en respectant les règles habituelles (il est prudent d'éviter les arrondis -- ou des arrondis peu précis - sur les résultats intermédiaires). 2 - Les valeurs fausses qui sont proposées sont suffisamment différentes de la valeur exacte pour que d'éventuelles différences d'arrondi n'entraînent aucune ambiguïté sur la réponse. Conformément aux notations internationales, les vecteurs sont représentés en caractères gras. QUESTIONS LIEES [1,2,3,4,5,6] [7,8,9,10,11412] [13,14,15,16,17,18] [19,20,21,22,23,24] {25,26,27,28,29,30] [31,32,33,34,35,36] 1. Deux corps assimilés à des points matériels A, et A2 , de masses respectives ml et 1712 , évoluent isolément du reste de l'univers sous la seule action des forces de gravitation qu'elles exercent l'une sur l'autre. On note C le centre de masse du système, r, : CA, et r2 : CA;_ les rayons vecteurs des deux corps et ÿ % 6,67 >< 10"11 8.1 la constante de gravitation universelle. Ce problème, a deux corps, se réduit dans le référentiel galiléen R* du centre de masse, à l'étude du mouvement d'un point matérielfictif A de masse ,a, de rayon vecteur r = CA : rl ---- r2 (Fig. ci-dessous), soumis àla force Fg : ----Çmlmzr/HrH3 . Exprimer ,u en fonction de mi et mz. A) ,u : ml + mz C) ,a : (mlmz)'/2 1 1 "" 1 1 "' B)n=(----+------) Dlu=(--------) 1711 [712 7711 1712 2. Quelles sont, au cours du mouvement de A , les grandeurs conservatives? A) L'énergie mécanique de A C) L'énergie cinétique de A B) L'énergie potentielle de A ' D) Le moment cinétique de A en C 3. Le référentiel R* est mum du repère cartésien {C, ex, e,,, e }. Le mouvement de A s'effectue dans le plan (C, ex, ,e,). On désigne respectivement par 7 -- --]]r}] et cp- - e,,r ,la coordonnée radiale et l'angle orienté, du système de coordonnées polaires. Exprimer l'énergie mécanique EUR,,, de A . l _ , _ Çm m 1 2 Qm m A) g... : î"("2 + r"902) -- I}, ' C) 6... = îu-- ,} ' 1 . .. Qm m 1 m m B) 5... = îM(r2 +r?ço) -- ; ' D) & = 5Mr'" +f @ + 9 ,À. 2 4. Donner l'expression de l'énergie cinétique &, de A en fonction de r(ço), dr/dcp, [L et L, la composante sur l'axe (C, ez) du moment cinétique de A en C : #L2 1d2'" L2 12 dr 2 A 5: Z 1 " __ 2 __ 2 LL2 ld2r D)S=MLZ 1+_l_(dr)2 B) 5k= 2--72 <1+ l--"îdç02 " 2,,2 dçD 5. En introduisant la fonction u(ça ); ---- l/r(ço ) dansl es expressions précédentes, on établitl' équation différentielle suivante: d2 u/ d ç02 + u- -- l/p. Expliciter p. 7 ,uL; (] m , 1732 L_2 Çm; m 2 A = C : )'D 2Çm;mz + 25... )'D 2,uÿnan + 25,,, L2 lemz B = _____z___ = ) [? ,uÿmmaz D) }? 25... 6. Le système à deux corps constitué par une sonde interplanétaire et la Terre, que l'on assimile a des points matériels, est supposé isolé du reste de l'univers. La sonde, de masse ml négligeable devant celle de la Terre, se confond avec le point matériel fictif A précédemment étudié, tandis que la Terre, se confond avec le centre de masse C du système. Calculer la vitesse de libération v, de la sonde dans R* à une altitude de 400 km pour une masse m2 = 5,98 >< 1024 kg de la Terre, supposée sphérique, de rayon R7 = 6 470 km. A) U;: 10,8 km.s--' C) v,==10800km.s'l B) v;=341km.s"1 D) v,...--=38800km.5"l 7. Sur le circuit représenté ci--dessous, les résistors ont des résistances de valeurs R, = 4,7 kQ, R2 = 5,6 M), R3 = 2 kQ, et le condensateur, une capacité de valeur C = 15 nF. L'amplificateur opérationnel est supposé parfait et fonctionne en régime linéaire. Déterminer le facteur d'amplification en tension AO : u,/u, , en régime continu établi. A) Ag : --0,84 B) AO = --l,2 C) AO : 0,84 D) AO : 1,2 8. Quelle est la fréquence de coupure fo à --3 dB du système? A)f,=1895Hz B...=2258Hz C)fi,=11900Hz D)f,=i4200Hz 9. La tension d'entrée u, est sinusoi'dale d'amplitude 8 V et de fréquence 5,2 kHz. Déterminer l'amplitude u... de la tension de sortie. A) u,... = 0,78 v B) M... = 1,1 v C) u,... = 23 v D) u,... = 3,3 v 10. Quel est alors, en degrés, le déphasage de la tension de sortie par rapport à la tension d'entrée? A) La sortie est en avance de 70° sur l'entrée B) La sortie est en retard de 70° sur l'entrée C) La sortie est en avance de 1 10° sur l'entrée D) La sortie est en retard de 1 10° sur l'entrée ll. Calculer l'amplitude i... du courant de sortie i, de l'amplificateur opérationnel. ,A)5W=æuA l®gw=19mA ng=2flmA on...=sAmA La tension d'entrée est maintenant une tension créneau de fréquence 50 kHz. Quelle est la forme de la tension de sortie u, ? A) La tension de sortie est de forme sinusoi'dale B) La tension de sortie est de forme triangulaire C) La tension de sortie est une succession d'arcs de parabole D) La tension de sortie est une succession d'impulsions 13. Le noyau d'un atome d'hydrogène, supposé ponctuel, de charge électrique @ % l,6 >< 10"19 C, est localisé en O, origine du système de coordonnées sphérique. La charge électrique ----e de l'électron de cet atome est, elle, répartie dans tout l'espace, avec une charge volumique p(r) == po exp(--2r/ao) où 7" désigne la coordonnée radiale du système de coordonnées sphé- riques, cm est une constante positive et po une constante que l'on déterminera plus loin. Sachant que la fonction g(x) : x2 exp(--x) admet pour primitive G(x) = ----(x2 + 2x + 2) exp(--x) + C où C est une constante, calculer la charge électrique totale Q'ÇR) contenue dans une sphère de centre O et de rayon R : , 4 R A) Q(R) = e + ---7raâpo {l --- exp <--2----)} 3 d0 ... R B) Q(R) : e + 277aâ,00 ---- 27ra3p0 exp (--2----> a0 3 3 R R C) Q(R) : e + 477a0p0 ---- 7raopo l + 2---- exp --2---- 620 610 R R ' R' D) Q(R) = e + vraâpo -- 7raâp0 {l + 2---- + 2 (----) } exp (--2------) a0 a() 610 14. Calculer la charge totale contenue dans tout l'espace et en déduire po : 3 e e e A) po -- 6477aâ ) p0 27TÜâ , ) p0 7TCZâ ) pO 7TClâ 15. Exprimer la composante radiale E,,(r) du champ électrique créé par l'atome (EQ désignant la permittivité du vide) : 2 -A)EUfi= EUR i+2£+2-£ OEp--QL - 477607"2 ao ao ao EUR 7" "' B E,. ' = 1 2__ _2__ ) (?> 47760!"2 ( + 610) exp ( do) C) E,(r) : EUR exp (--2--£-) 27760r2 ao EUR ?" D E,, " == , --2------ ) (,) 47760615 EURXp ( 610) 16. Le potentiel électrostatique créé par l'atome s'exprime sous la forme suivante: 6 1 r V ' == -- K ---2---- (I) 47760 (r + ) exp ( ao) Déterminer K : - 1 1 AlK---O B)K=------ - C)/<=------ D)K=---- (10 2610 610 17. On suppose désormais que l'électron est assimilable à un point matériel M, de charge ----e loca-- lisée en M, que sa trajectoire est un cercle de rayon (... et de centre () fixe dans le référentiel 72 du laboratoire supposé galiléen, et que l'atome est isolé du reste de l'univers. Calculer l'énergie mécanique 5... de l'électron dans R. On négligera les forces d'intéraction gravitationnelles entre les deux particules. _ e2 C 92 A) É< 10° SI. A) a... = 53 pm B) a... = 53 nm ' C) a... = 0.11 nm D) a, '= 0,21 pm 19. Une enceinte cylindrique fermée par un piston, mobile sans frottement (Fig. ci-dessous), contient 500 g d'hélium gazeux, monoatomique, de masse molaire M = 4 g.mol """" ' . Dans l'état (1) initial, le volume de l'enceinte est V1 = 100 L, et le gaz, supposé parfait, est a la température T, = 600 K. On rappelle que l'énergie interne de n moles de gaz parfait monoatomique à la température T s'écrit U = (3/2)nRT, où R a: 8,31 J.mol'"l . K"' désigne la constante des gaz parfaits. Calculer la capacité thermique massique à volume constant c,, de l'hélium. A) Cz; : 138 kJ . K ...... i . kg...l C) Ct.) ___: 3'12 kJ . [<%] . kng B) c,,-- = 2,91 kJ . K"' .l< 106 Pa C) pz = 9,97 >< 106 Pa B) 123 = 2.49 >< 103 Pa D) p2 : 9,97 >< 103 Pa 21. Quel est le travail W... reçu par le gaz au cours de cette évolution isotherme? A) l'Vp3 : --2 280 k.l C) W122 : 571 k.i B) W1_2 : ----571 k] D) W... = 22801 (2) A) W13332 : "'"287 k.] _ C) W1'3,2 : 4l4 l(.l B) W13332 : --427 k] D) W173,2 : 787 l(.l 24. Déterminer la variation d'entr0pie AS du gaz entre l'état (1) et l'état (2) : A) AS= ----3807J.K"' C) AS=952J.K"' B) AS=----952J.K"' D) AS=OJ.K"' 25. Un électron de charge 51 oe--l,6 >< 10'19 C et de masse m s 9,l >< 10"31 kg, assimilé à un point matériel M , évolue dans le référentiel du laboratoire 7% supposé galiléen et muni d'un repère cartésien {O, ex, e,,, e,}, sous l'action d'un champ électrique E = Ee,C et magnétique B = Bey tous deux uniformes et stationnaires. On désigne par x, y et 2 les coordonnées cartésiennes de M dans R, et par vo = 0er la vitesse initiale de M telle que 00 = 500 kms--' (Fig. ci- dessous). On place en 20 = 10 cm un écran d'observation 5 parallèle au plan (0, ex, e,.) , destiné à intercepter M . Dans le cas particulier où B = 0, et E = 10 V . m" , déterminer l'abscisse xe de M sur 5. A) xEUR = 7,2 mm B) xe = 3,5 mm C) xe = ----3,5 cm D) xe = --7 cm 26. Dans le cas particulier où E = 0 , et B = lO_5 T, la trajectoire est un cercle de rayon R . Calculer R. A) R= 10,9 cm B) R= l3,8 cm C) R= lS,lcm D) R=28,4 cm 27. Que vaut alors l'abscisse x... de M sur 5 ? A) x... = 1,8 cm B) x... = 3,8 cm C) x... = ---4,3 cm . D) x,,, = --6,6 cm 28. En supposant E = l kV . m", déterminer 8 afin que le mouvement de M soit rectiligne et uniforme. A)B=2T B)B=2mT C)B=--4mT D)B=--ZOOmT 29. On suppose E et 8 non nuls et on pose wc : qB/m. L'équation différentielle d'évolution de l'abscisse x de M s'écrit sous la forme 3% + wËx = et, où a est une constante indépendante du temps. Déterminer a . A)a=î(E+BUO) C)a=ÎÏ--(Bvo--E> 171 771 B)a=--ÎÏ--(E+Bvo) D)a=ÎÏ--(E--Bvo) 172 771 30. On suppose B : 2E/oo. Exprimer x(t) : A) x(f) : ----â%Ê [l + cos(wJ)] C) x(t) : % [l ----- cos(wct)] B) x(t) : % jcos(wcz) -- 1] D) x(t) : % [l + cos(wJ)] 3 1. On assimile l'objectif d'un appareil photographique à une lentille mince convergente de distance focale image ; = 135 mm. On désire photographier une toile de maitre située à 3 m en avant de l'objectif. A quelle distance p' > 0, en arrière de l'objectif, faut--il placer la pellicule photogra-- phique pour obtenir une image nette de la toile? A) p' = 93 mm B) p' = 129 mm C) p' = 141 mm D) p' = 245 mm 32. Cet appareil photographique est utilisé pour photographier le'ciel nocturne. Son format est le ' 24 >< 36, ce qui signifie que la pellicule photographique mesure 24 mm de hauteur et 36 mm de largeur. Quel est le champ du ciel photographié? A) lO°>< 150 B) 20°><30° C) 320 ><48O D) 64°><48° 33. Calculer, en minute d'arc ('), le diamètre apparent 6 du disque lunaire vu par l'objectif de l'ap-- pareil photographique. On supposera la Lune sphérique, de rayon 1 740 km, et de centre situé à 384000 km de l'objectif. A)6=0,086' B)6=16' C)H=3l' D)Û=l800' 34. Avec cet appareil, on photographie la pleine Lune, l'axe optique de l'objectif étant dirigé vers le centre du disque lunaire. On effectue un tirage de la pellicule sur du papier de format lO >< 15 cm2 . Quel est le diamètre d du disque lunaire sur le papier? A)d=l,4mm B)d=5,lmm C)d=2,6mm D)d=3l,0mm 35. L'objectif d'un projecteur de diapositive est assimilé à une lentille mince convergente qui donne, d'un objet réel, une image inversée et de même dimension, sur un écran placé à 0,2 m de l'objet. Calculer la distance focale image ]; de cet objectif: A)Æ=2cm B)Æ=Scm C)Æ=20cm D)Æ=SOcm 2 36. Le projecteur précédent forme l'image d'une diapositive de format 24 >< 36 mm sur un écran situé à 4,5 m de distance. Quelle est la taille de l'image sur l'écran? A) 1 >< 1,5 m2 B) 1,7 >< 2,6 m2 C) 2,1 >< 3,2 m2 D) 5,4 >< 8,1 m2

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 ENAC Physique toutes filières 2006 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Aurélien Fraisse (Université de Princeton) ; il a été relu par Emmanuel Bourgeois (ENS Lyon) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE). Ce sujet se compose de six parties totalement indépendantes proposant tour à tour de courts problèmes en mécanique du point, électrocinétique, électrostatique, électromagnétisme, thermodynamique et optique géométrique. · La première partie propose d'étudier un système à deux corps, interagissant seulement par l'intermédiaire de l'attraction gravitationnelle, dans le référentiel du centre de masse. Il s'agit de retrouver quelques résultats de cours puis de les appliquer pour effectuer une étude énergétique et établir l'équation du mouvement du système étudié. · L'énoncé considère ensuite l'étude du montage pseudo-intégrateur à amplificateur opérationnel. Cette partie propose pour l'essentiel des calculs d'application directe du cours fondés sur l'utilisation de la fonction de transfert du montage. · Dans la troisième partie, on étudie deux modèles de l'atome d'hydrogène d'un point de vue électrostatique. Cette étude met en oeuvre des calculs simples de charges, de champs électriques et d'énergies. · Un problème de thermodynamique constitue la quatrième partie de ce sujet. On s'intéresse principalement à des calculs de travaux et de variations d'entropie dans le cas de la détente d'un gaz parfait monoatomique. · La cinquième partie propose l'étude du mouvement d'un électron dans des champs électromagnétiques. Bien qu'elle ne présente pas de difficulté majeure, cette partie est assez longue et répétitive. · Enfin, dans la dernière partie, on étudie deux systèmes optiques, chacun faisant intervenir une seule lentille mince convergente. Il s'agit de savoir utiliser les formules de conjugaison et de grandissement d'une lentille mince, et de calculer des diamètres angulaires. Au final, ce sujet est une suite d'applications directes du cours abordant six parties distinctes du programme de première année. Il s'agit donc d'un excellent problème de révision permettant de s'assurer que les connaissances de base correspondantes sont maîtrisées. Le jour du concours, il est ainsi profitable de s'attarder sur les parties dans lesquelles on se sent le plus à l'aise, tout en ne se bloquant pas sur une question particulière. Rappelons qu'il est en effet demandé de répondre au maximum à 24 questions alors que 36 sont proposées par l'énoncé. Indications Mécanique du point 4 Se souvenir que r peut être exprimé en fonction de et utiliser alors l'expression de Lz pour réécrire E k en utilisant le résultat de la question 3. 5 Calculer la dérivée temporelle de E k en utilisant, d'une part, l'expression établie à la question 4 et, d'autre part, le lien entre E k et E m . 6 La vitesse de libération de la sonde est la vitesse minimale qu'il faut lui donner afin qu'elle puisse s'échapper de l'attraction gravitationnelle terrestre. Électrocinétique 7 Calculer la fonction de transfert A = us /ue , qui sera utilisée dans toute la suite, et étudier alors le cas f = 0, où f est la fréquence de la tension d'entrée. 8 f0 est définie par |A(f0 )| = |A| max / 2. 10 Utiliser le fait que, par définition de A, le déphasage de la tension de sortie par rapport à la tension d'entrée est = Arg A. 11 Appliquer la loi d'Ohm aux bornes de R1 et R3 et en déduire is en fonction des résistances, de A et de ue . 12 En comparant la fréquence du signal d'entrée et la fréquence de coupure du circuit, montrer que le montage étudié est un intégrateur de tension. Électrostatique 16 Calculer Er (r) à partir de V(r) et comparer l'expression obtenue au résultat de la question 15. Thermodynamique 20 Appliquer la loi des gaz parfaits entre les états (1) et (2). 22 Appliquer la loi de Laplace entre les états (1) et (3). Électromagnétisme 25 Appliquer le principe fondamental de la dynamique à l'électron et intégrer les équations différentielles obtenues pour établir l'équation du mouvement. 26 En utilisant une méthode similaire à celle de la question précédente, établir d'abord l'équation du mouvement suivant (Oz), puis utiliser l'expression démontrée pour résoudre l'équation du mouvement selon (Ox). Optique géométrique 32 L'angle sous lequel est vu le ciel depuis le centre optique est l'angle sous lequel est vue la pellicule depuis ce même point. 35 Combiner la relation de conjugaison d'une lentille mince avec le fait que le grandissement de la lentille vaut -1. 36 La distance de la lentille à l'image peut être assimilée à celle de l'objet à l'écran pour calculer . I. Mécanique du point 1 Choisissons le point C comme origine du repère associé au référentiel barycentrique R . Comme ce dernier est isolé du reste de l'univers, il s'agit d'un référentiel galiléen. Le principe fondamental de la dynamique appliqué aux points A1 et A2 dans ce référentiel donne alors --- --- A2 A1 A2 A1 - - m1 r1 = -G m1 m2 et m2 r2 = G m1 m2 3 A2 A1 A2 A1 3 où - r1 et - r2 sont les vecteurs accélération respectivement de A1 et A2 . Ces équations peuvent se réécrire, en introduisant le rayon vecteur - r =- r1 - - r2 , - - r r - - r1 = -G m2 3 et r2 = G m1 3 r r En soustrayant la seconde équation ci-dessus de la première, on obtient - - r r m1 + m2 - r1 - - r2 = - r = -G (m1 + m2 ) 3 = -G m1 m2 3 r r m1 m2 - - soit µ r = -Fg avec µ= m1 m2 = m1 + m2 1 1 + m1 m2 -1 - On obtient ainsi l'équation du mouvement d'un point de masse µ soumis à la force Fg dans le référentiel galiléen R . Néanmoins, on ne peut en déduire les trajectoires de A1 et A2 , qui sont les quantités physiques qui nous intéressent, car cette équation ne fait intervenir que la différence des vecteurs position des deux points considérés. Afin d'avoir autant d'équations que d'inconnues, on a donc besoin d'une relation supplémentaire, pour laquelle la définition du centre de masse convient, ce qui s'écrit -- - -- m1 CA1 + m2 CA2 = 0 -- -- En utilisant CA1 = - r + CA2 , on trouve -- - m1 - r + (m1 + m2 ) CA2 = 0 -- µ - CA2 = - r m2 soit -- -- La relation CA2 = CA1 - - r donne de même -- µ - r CA1 = m1 Ainsi, l'évolution de - r en fonction du temps donne accès aux trajectoires des points A1 et A2 et l'étude du point fictif décrit précédemment est donc bien équivalente à celle du système à deux corps proposé par l'énoncé. A B C D E Notons que la proposition D peut être éliminée sans calcul. En effet, il est toujours possible de définir le système considéré de telle sorte que la masse donnée par cette proposition soit négative, ce qui n'a pas de sens physique. 2 Pour un système quelconque, le théorème de la puissance mécanique donne dE m = P nc dt où E m est l'énergie mécanique du système et P nc la somme des puissances des forces extérieures et intérieures à ce système qui sont de plus non conservatives. Dans le cas présent, le système étudié se réduit à un point matériel A. Il n'y a donc pas de forces intérieures et la seule force extérieure présente est conservative. P nc est donc nulle et l'énergie mécanique de A est ainsi une grandeur conservative. L'énergie potentielle E p de A s'écrit, en choisissant E p = 0 pour r tendant vers +, G m1 m2 r Si l'énergie potentielle de A est conservative, alors r ne peut dépendre du temps et le mouvement est donc circulaire. Ceci est un cas particulier du mouvement d'un point matériel soumis à une force centrale, non le cas général dans lequel l'énergie potentielle de A n'est donc pas conservée. Ainsi, E m est conservative et E p ne l'est a priori pas. Or E m = E p + E k , où E k est l'énergie cinétique de A. Cette dernière ne peut donc être conservative si E p ne l'est pas. Dans le cas général l'énergie cinétique de A n'est donc pas conservée. Ep = - Ce résultat peut aussi être trouvé en appliquant le théorème de la puissance cinétique à A. Celui-ci s'écrit - - dE k r · - r = Fg · - r dt r3 E k n'est donc conservative que pour un mouvement circulaire où r = 0. Enfin, dans le cas d'un mouvement à force centrale, le moment cinétique est conservé. Le moment cinétique de A en C est donc conservatif. A B C D E Lors du concours, on peut répondre à cette question sans (presque) aucune réflexion. En effet, A étant soumis à une seule force conservative, on sait immédiatement que E m est également conservative. De plus, le fait que le moment cinétique soit conservatif dans le cas d'un mouvement à force centrale est une question de cours. L'énoncé précisant qu'il y a au maximum deux bonnes réponses possibles par question, on peut donc répondre par les choix A et D. - Rappelons que le fait que le moment cinétique L de A en C soit conservatif se retrouve immédiatement en écrivant sa définition. En effet, - L = µ- r - r dont la dérivée temporelle vaut - - dL = µ (- r - r +- r - r)= 0 dt - 3 car, comme montré à la question 1, - r F - r /r . g