ENAC Physique toutes filières 2003

Thème de l'épreuve Électrocinétique, électrostatique et magnétostatique, filtre linéaire à AO, cinématique, optique géométrique
Principaux outils utilisés lois des nœuds et des mailles, théorèmes de Gauss et d'Ampère, relations de conjugaison

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ECOLE NATIONALE DE L'AVIATION CIVILE ANNEE 2003 CONCOURS DE RECRUTEMENT D'ELEVES PILOTE DE LIGNE EPREUVE DE PHYSIQUE Durée : 2 Heures Coefficient : 1 Le sujet comprend : . 1 page de garde, . 2 pages (recto-verso) d'instructions pour remplir le QCM, . 1 page avertissement, . 11 pages numérotées de 1 à Il. CALCULATRICE AUTORISEE ÊPREUVE DE PHYSIQUE A LIRE TRÈS ATTENTIVEMENT L'épreuve de physique de ce concours est un questionnaire à choix multiple qui sera corrigé automatiquement par une machine à lecture optique. ATTENTION, IL NE VOUS EST DELIVRÊ QU'UN SEUL QCM 1) Vous devez coller dans la partie droite prévue à cet effet, l'étiquette correspondant à l'épreuve que vous passez, c'est-à-dire épreuve de physique (voir modèle ci-dessous). POSITIONNEMENT DES ÊTIQUE'ITES Pour permettre la lecture optique de l'étiquette, le trait vertical matérialisant l'axe de lecture du code à barres (en haut à droite de votre QCM) doit traverser la totalité des barres de ce code. EXEMPLES : BON MAUVAIS MAUVAIS !' >< X >< " X X " xxxxxxxxxxxxxxxx 6 8 L 9 9 V 8 Z |- 0 'Il" """/I AXE AXE AXE 2) Pour remplir ce QCM, vous devez utiliser un STYLO BILLE ou une POINTE FEUTHE de couleur NOIRE. 3) Utilisez le sujet comme brouillon et ne retranscrivez vos réponses qu'après vous être relu soigneuse- ment. 4) Votre OCM ne doit pas être souillé, froissé, plié, écorné ou porter des inscriptions superflues, sous peine d'être rejeté par la machine et de ne pas être corrigé. 5) Cette épreuve comporte 30 questions, certaines, de numéros consécutifs, sont liées. La liste des ques- tions est donnée au début du texte du sujet. Chaque candidat devra choisir au plus 25 questions parmi les 30 proposées. Il est inutile de répondre à plus de 25 questions : la machine à lecture optique lira les réponses en séquence en partant de la ligne 1, et s'arrêtera de lire lorsqu'elle aura détecté des réponses à 25 ques- tions, quelle que soit la valeur de ces réponses. Chaque question comporte au plus deux réponses exactes. 6) A chaque question numérotée entre 1 et 30, correspond sur la feuille-réponses une ligne de cases qui porte le même numéro (les lignes de 31 à 100 sont neutralisées). Chaque ligne comporte 5 cases A, B, C, D, E. Pour chaque ligne numérotée de 1 à 30, vous vous trouvez en face de 4 possibilités : » soit vous décidez de ne pas traiter cette question, la ligne correspondante doit rester vierge. ) soit vous jugez que la question comporte une seule bonne réponse, vous devez noircir l'une des cases A, B, C, D. 0 soit vous jugez que la question comporte deux réponses exactes, vous devez noircir deux des cases A, B, C, D et deux seulement. » soit vous jugez qu'aucune des réponses proposées A, B, C, D n'est bonne, vous devez alors noircir la case E. En cas de réponse fausse, aucune pénalité ne sera appliquée. 7) EXEMPLES DE REPONSES Exemple | :Question 1 : Pour une mole de gaz réel : A) lim (PV) : RT , quelle que soit la nature du gaz. P-->o B) PV : RT quelles que soient les conditions de pression et température. C) Le rapport des chaleurs massiques dépend de l'atomicité. D) L'énergie interne ne dépend que de la température. Exemple ll : Question 2 : Pour un conducteur ohmique de conductivité électrique C', la forme locale de la loi d'OHM est : äË ? -> -> 2? ? 2-> A) _]=6 B)J=O'E C)E=CJ D)j=GE Exemple Ill : Question 3: A) Le travail lors d'un cycle monotherme peut être négatif. B) Une pompe à chaleur prélève de la chaleur à une source chaude et en restitue àla source froide. T2 T1 D) Le phénomène de diffusion moléculaire est un phénomène réversible. C) Le rendement du cycle de CARNOT est 1 +-- Vous marquerez sur la feuille réponse : - E::l _ E:] E: 1 A B C D E :D I:: [: E::l :: E:] - [:::l [::] :D 2 A B C D E [:=] E: E:] E:] =l E:: [I:] E:: =] _ 3 A B C D E E:] E:] =3 E: =] AVERTISSEMENT Dans certaines questions, les candidats doivent choisir entre plusieurs valeurs numériques. Nous attirons leur attention sur les points suivants : 1 --- Les résultats sont arrondis en respectant les règles habituelles ("il est prudent d'éviter les arrondis --- ou des arrondis peu précis --- sur les résultats intermédiaires). 2 - Les valeurs fausses qui sont proposées sont suffisamment différentes de la valeur exacte pour que d'éventuelles différences d'arrondi n'entraînent aucune ambiguïté sur la réponse. u...-----...--u--...---...--......w- QUESTIONS LIEES (1,2:,3,4) (5,6,7,8,9,10,11,12) (13,14,15,16,17) (18,19,20,21,22,23,24) (25, 26, 27, 28, 29, 30) _h) Un «pont d'impédances» est alimenté en régime sinusoïdal par un générateur de tension de force électromotrice e(t) : E cos tut et d'impédance interne négligeable (fig. 1). La branche CD a une impédance négligeable. R est une résistance et n un nombre entier. Fig 1 Fig 2 ë Calculer la force électromotrice li]... du générateur de Thévenin équivalent au dipôle de bornes C et D, obtenu en enlevant la branche CD, en fonction de n , des impédances complexes 5 et Z et de l'amplitude complexe EUR de e(t) (fig. 2). Z1--(n+l)ë &) E... = M EUR Zl--nZ2 : _:___T___ E b) EUR,}, (n+l)(êl+Z) .. Z2""Zi C) E!]? : Z +22 EUR Ë2--("+1)Ë1 d>ëth : Z +22 EUR Calculer l'impédance interne Zth du générateur de Thévenin en fonction de Z1' Z2' R et n . a)Z _ nR + Z1Z2 --th"n+1 g+g2 2122 b)Z =R+n " ---th EUR + 52 2122 c) Zth : (n+1)R+2 " " Ë1+Ë2 ZZ ' d)Zh : n+1R_ _1_2 _t " Ë1+Ë2 La branche A C est constituée par un condensateur de capacité C1 en série avec une résis- tance R1 . La branche BC est constituée par un condensateur de capacité C2 en parallèle avec une résistance R2 . 2 Déterminer la valeur (no de la pulsation co et la relation qui lie les rapports R1/R2, C 1 / C 2 à n lorsque le pont (fig. 1) est en équilibre (c'est--à-dire lorsque le courant est nul dans la branche CD ). a) (02 --- ___--_1___ ° nR1R2CIC2 2 1 b (0 : ---- ) 0 R1R2CIC2 Rl C2 c) --+------ = n R2 Cl (1) Ë--l+ç--l : n R2 C2 Ona:C2 : 2C1= O,luF ; R1 : SOOQ et n = 4. Calculer la fréquence N 0 à l'équilibre du pont, exprimée en kHz. a) NO = 12,74 kHz b) NO = 120 kHz c) NO : 60 kHz (1) NO : 6, 37 kHz Nota : l'équilibrage du pont permet donc la mesure de la fréquence correspondante. Le dispositif est utilisé comme fréquencemètre. Un fil rigide très fin et illimité (l) est disposé dans le vide selon l'axe 02 du repère ---> --> -9 R(O, ex, ey, ez). Il est chargé uniformément avec la densité linéique M > O. Etablir ' -a l'expression du champ électrostatique E (M) créé en un point M situé à la distance p du --> --9 + fil. La base cylindro--polaire de M est ep, eq), ez. % 3.1 --> b 2 7'1 1 "9 '> À1 1 --> C) E (M) : --ë_0 6 EUR(p d È ?" 2 _) Un fil (2) illimité comme le fil (1) est chargé uniformé- ment avec la densité linéique 7L2 > 0. Il est disposé dans le plan (yOz) parallèlement à l'axe 02 et à la distance d de celui-ci, comme l'indique la figure 3. .) Calculer la résultante fe des forces qu'exercent les charges du fil (1) sur l'unité de longueur du fil (2). --> 7t17t2d --> a) fe _ 471580 % b --> 7t17t21 d -> )fe _ 41:80 11 ey -> MM 1 --> C)fe _ 27t80 c--i eY --> À17t2 1 --> d)fe _ 4% 21 ex 0 7. Le fil (2) est maintenant disposé perpendicu-- lairement au fil (1), dans le plan (xOy), parallèlement à Ox, àla distance of de celui- ci, comme l'indique la figure 4. Calculer la % résultante Fe' des forces qu'exercent les charges du fil (1) sur le segment AB du fil (2). A et B sont symétriques par rapport à l'axe Oy et situés àla distance h/ 2 de celui-- ci. Si M est le point courant de AB, il est com-- . o . ----> --+ mode d'utiliser la variable 9 : (Oy,OM). 7\ ?» ----> &) Î:e, : 1 2 @ & neo d 4 À 7» ----> ...la/=- 4,1' _.a_ 80 «/h2+d2 * , 7'17'2 h "> C) Fe _ 47'E80 Zi ey "> , >'17'2 h "à d) Fe -- 71:80 arctan(Ü) ey _) 8. En déduire la résultante F e" des forces qu'exercent les charges du fil (1) sur le fil (2) illi- mité. Dans les deux cas envisagés (questions 6 et 7), les fils chargés s'attirent-ils ou se repoussent-ils ? a) e --->oo --> À17t2 ----> 9 y 280 c) Il y a attraction d) Il y a répulsion b) Fe,, : 9. Dans ce qui suit, les fils (1) et (2) ne sont plus maintenant chargés mais parcourus par des courants continus d'intensités respectives ]] et 12 . Le courant dans le fil (1) circule dans le sens des: > O. Etablir l'expression du champ _} . . , \ . magnétique B(M) créé en un pornt M s1tue a la distance p du fil. --> LLOI 1 --> a) B(M)= 2n' 5 cm --> pol] --> b) B(M): 27t p 69 1 ----> C) B(M) : 275 6 ep --> Hall --> C!) B(M) -- 27t ep _) lO. Calculer la résultante fm des forces qu'exerce le courant du fil (1) sur l'unité de longueur ll. 12. du fil (2), lorsque les deux fils sont disposés parallèlement comme sur la figure 3 et que les deux courants circulent dans le même sens. ----> tt 1112 1 --9 3) fm : _ 02712 à EUR); --> --> b) fl")? : 0 --> 21101112 1 --> C) fm : _ TC &! ey + I I --9 d)fm :_ "°27't' lnd ex 9 Calculer la résultante Fm' des forces qu'exerce le courant du fil (1) sur une longueur AB : h du fil (2) lorsque les deux fils sont disposés perpendiculairement comme sur la figure 4 et que le courant dans le fil (2) circule dans le sens des x > O . &) î-- / __ l"l01112 1 : m _ _ ___--___ Y 27t /h2+d2 --> -> b) Fm, : O --> , u 1 l --> C) Fm : "' 0271t2 % ez --> il 1 ----> (1) Fm' : -- "027; 2 21--1, arcsin(â) 62 "> . o En déduire la résultante F m" des forces qu'exerce le courant du fil (1) sur le fil (2) illi-- mité. Quand au total les forces magnétiques ne sont pas nulles, les fils (1) et (2) s'attirent--ils ou se repoussent--ils lorsqu'ils sont parcourus par les courants '? .) &) Fm" --) °° --> -> b) Fm" : 0 c) Il y a attraction d) Il y a répulsion 13. Un amplificateur opérationnel idéal fonctionne en régime sinusoïdal avec le montage représenté sur la figure 5. Etablir l'expression de la transmittance Z" (j ou) : _I{s/ _Ï_/e en fonction de la pulsation 0) et des caractéristiques du circuit. . l a) _7_'(1oe) = ------5------------------ 1+R CC'oe +jRCoe . 1 b) Î(l®) = ------------------2 2 2 1 +R C ou --jRC'oe . 1 C) I...") : ----'ä--_Î------ 1--R CC'oe +2jRCoe d) Z(joe> = 1 2 2 2 . , 1--RCoe--2flïCoe l 14. Déterminer la relation entre les capacités C' et C pour que : l_î_'(joe)| : 4. ("_ 4 mo l+ Donner l'expression de (00 . a) 2C' : C b) C' : 2C C)(D =__1___ " RCJî d)oe : 1 0 2RC 15. Sachant que C = O, luF et R : le, calculer les valeurs numériques de C' et de la 16. 17. 18. fréquence N 0 correspondant àla pulsation (:)O exprimée en kHz. a) C' : 0,0SuF b) C' : 0,2uF 0) NO : 3,4kHz d) NO : 1,13kHz Donner alors les équations des asymptotes de la fonction GdB : ZOlog| @ en fonction de logoe (plan de Bode) aux basses et aux hautes fréquences. 0 20(logoe--logoe0) a) basses fréquences : GdB b) basses fréquences : GdB c) hautes fréquences : GdB 20(logoeo -- logoe) d) hautes fréquences : GdB 40(logoeo --- logoe) / Indiquer le type de filtre que constitue le circuit et l'expression de la pulsation de coupure wc (à ----3 dB). a) filtre passe-bas b) filtre passe--bande c)oec=oe 0 (1) oec : (no/2 -->-->--9 eee x'y'z Une barre rectiligne AB de longueur 2b se déplace dans le référentiel R(O, ) de telle sorte que (fig. 6 et 7) : ° son extrémité A se trouve sur le demi--axe positif Oz , ° son extrémité B décrit le demi--cercle du plan (x0y) de centre 1 (0, b, 0) et de rayon b , àla vitesse angulaire (» constante et positive. A l'instant t = O , B se trouve en O. L'exercice ne nécessite aucune connaissance de mécanique du solide. Déterminer la durée T du mouvement. a) T= 7c/oe b) T : 2n/(0 c) T= 7t/2oe d) T= n/4oe 19. Etablir les expressions en fonction du temps r des coordonnées polaires p et (p de B (fi g. 7). (01 a) p : 2bsin'ä" b) p : 2bcosoet c) (p : ont (1) (p : tnt/2 ----> ----> 20. Déterminer l'angle oc : (A O,AB) et décrire le mouvement de la barre. a) oc : oet b) oc : oet/ 2 c) la barre en appui sur l'axe 02 à l'instant initial se retrouve sur l'axe Oy à la fin du mouvement d) la barre en appui sur l'axe 02 à l'instant initial se retrouve à la fin du mouvement en appui sur l'axe Oz bv 71.- Calculer les coordonnées cartésiennes X, Y et Z du milieu J de la barre. , b. b _ _@_' a) X : îsmoet, Y : ê(l--cosoet),Z : bcos 2 b . 91 b @1 @} b)X= îsrn2,Y= îcos2,Z= bcos2 . b . (... c) X : bcosoet, Y : bsmoet,Z : ÎS...Î o_>_t . _OE_t b . gt d) X= bcos 2,Y : bs1112,Z : îS...2 La trajectoire de J peut être considérée comme l'intersection d'une sphère de centre O et d'un cylindre de révolution de génératrices parallèles à Oz. Préciser les caractéristiques de ces deux surfaces. a) sphère : rayon 2b b) sphère : rayon !) ' 0) cylindre dont l'axe passe par le point de coordonnées (0, b/ 2, O) et de rayon b/2 d) cylindre dont l'axe passe par le point I et de rayon !) , . 2 , . , , . Determmer la valeur moyenne (v ) du carre de la Vitesse v de J , calculee sur la duree T du mouvement. a)  : b2oe2/4 b)  : b2oe2/2 C) M) = 3b2oe2/2 d) {%> : 3b2oe2/8 . Indiquer la nature du mouvement de J . a) accéléré b) décéléré c) uniforme d) accéléré puis décéléré 25. Une lentille mince convergente L] a pour centre 01 , foyer objet F1 , foyer image F1' et distance focale image f1'. Deux autres lentilles minces'convergentes L2 et L3 possèdent les caractéristiques notées respectivement : pour L2 : 02, F2, F2' et f2' pour L3 : O3,F3,F3' et f3' Les trois lentilles possèdent le même axe. L1 L2 L3 B Fig 8 A O, 02 ()3 --_--> <--------------> 4------------> lum1ère EUR | 63 , incidente V V Les distances qui séparent Ll de L2 et L2 de L3 sont respectivement 6] et 63 (fig. 8). Etablir la condition pour que le système soit afocal. 1 1 1 91 +f1' 63 +f3' _ 13, l l l + EUR1"f1' e3_f3' f2' c) fl'+f2' : e,+e3 d) (e, --fl')(e3 --f3') = fz'2 a) b) 26. Dans toute la suite, on suppose que le foyer F 1 ' se trouve en 02 . Comment faut--il choi-- sir 63 pour que le système des trois lentilles soit afocal '? a) 63 =f3' b) 63 =f2' C) 63 =f1' d) 63 : (fl'+f3')/2 27. Sachant que f1' : 4 cm et f3' : 3 cm, calculer les grandissements transversal y et 28. 29. 30. angulaire G du système. a) y = ---3/4 b) 7 = --1/2 c) G = ----2 d) G = ---4/3 Avec les mêmes valeurs des distances focales fl ' et f3' , établir la relation de conjugaison entre l'abscisse x : FIA d'un objet AB et l'abscisse x' : F3'A' de son image A'B' exprimées en centimètres. a) x' â(f2'x+4) 2(x--2f2') c) x' : Ê(x--3f£) b) x' d) x' : ----9--(f2'x-- 16) 16f2' On veut que l'image de 01 soit F 3'. Quelle valeur de f2' faut-il adopter pour qu'il en soit ainsi? a) f2' : 2 cm c) f2' : 4 cm d) f2' : 6 cm Déterminer dans ces conditions les grandissements transversaux y 1» 72 et 73 des trois lentilles. 4 &) Y1=' ;: YZ=X--8, 73 : %(À--8) 4 x 3 b)Y1--;» Yz--;jz, Y3 --- Îë(x--4) 2 __ 3x °"'"Æ' 72"x"6' 73 "'" 8(x--6) _ 3 _)_c __ (2x+4) d"'"2x+4' Y2'4' 73 " x

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 ENAC Physique toutes filières 2003 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Jean-Julien Fleck (ENS Ulm) ; il a été relu par Aurélien Fraisse (ENS Cachan) et Arnaud Gossart (Professeur en CPGE). Ce sujet est divisé en cinq parties totalement indépendantes, qui abordent une grande part du programme de première année : · La première partie est consacrée à l'électrocinétique. On y étudie un dispositif de mesure de fréquence par équilibrage d'un pont d'impédances. · La deuxième traite d'électrostatique et de magnétostatique par l'étude des interactions de deux fils infinis chargés ou parcourus par des courants. · La troisième présente un filtre linéaire à amplificateur opérationnel. · La quatrième étudie la cinématique de la chute d'une barre, connaissant le mouvement de ses extrémités. Il s'agit principalement de géométrie dans le plan et dans l'espace. · La cinquième partie, quant à elle, traite d'optique géométrique via un système de trois lentilles qui généralise le principe de la lunette de Galilée. Ce sujet est plutôt facile puisque constitué d'une juxtaposition de cinq exercices de type « colles » ne comportant généralement qu'une seule question un peu calculatoire. Chaque partie permet de vérifier que l'on a bien compris les chapitres du programme correspondants par des questions d'application du cours quasi-directes. Indications Électrocinétique 1 Faire un schéma faisant apparaître très clairement les différentes mailles du circuit, puis exprimer VC et VD en fonction de VB et E grâce à des diviseurs de tension. Électrostatique et magnétostatique 5 Utiliser les symétries du système pour appliquer le théorème de Gauss. HM pour obtenir d en fonction de d. d 9 Utiliser les symétries du système pour appliquer le théorème d'Ampère. - - 11 Projeter - e sur ex et ey . 7 Différentier la relation tan = Filtre linéaire à amplificateur opérationnel 13 Utiliser les deux propriétés d'un amplificateur opérationnel en régime linéaire pour éliminer VA et VB de la relation de Millman en B. Cinématique 19 Le théorème d'Al Kashi s'écrit, pour un triangle ABC quelconque, [ AC2 = AB2 + BC2 - AB · BC cos ABC 20 Utiliser le fait que est la projection de du segment [AB] sur le plan (xOy). 21 La projection de J sur le plan (xOy) est le milieu du segment [OB]. 23 Une valeur moyenne sur un temps T se calcule par la formule Z 1 T f (t) dt hf i = T 0 Optique géométrique 27 La lentille L2 ne joue aucun rôle pour des rayons en provenance de l'infini. 28 Utiliser la formule de conjuguaison de Newton FA × F A = -f 2 30 Exprimer le grandissement en fonction de p ou p uniquement à l'aide de la formule de Descartes. I. Électrocinétique 1 Trouver la force électromotrice de Thévenin revient à calculer la différence de potentiel entre les bornes C et D à vide (on parle de tension de circuit ouvert). La difficulté principale est bien souvent de redessiner le circuit pour bien identifier les quantités à calculer. Dans cette optique, le circuit se réarrange comme sur le schéma ci-contre. On reconnaît ainsi deux diviseurs de tension : R E VD - VB = R + nR Z2 VC - VB = E Z1 + Z2 d'où VD - VC = Eth = 1 Z2 - n + 1 Z1 + Z2 D n R iDB VD VB E R A Z1 B Z2 VC V B E C Z1 - n Z2 E (n + 1) (Z1 + Z2 ) iCB Une autre méthode, efficace à coup sûr, consiste à utiliser la loi des noeuds et la loi des mailles. On a ainsi De plus d'où E = iDB (n R + R) et E = iCB (Z1 + Z2 ) iDB R = VD - VB et iCB Z2 = VC - VB VD - VC = iDB R - iCB Z2 1 Z2 VD - VC = - E n + 1 Z1 + Z2 Eth = Z1 - n Z2 E (n + 1) (Z1 + Z2 ) ce qui mène bien au même résultat. Remarquons que le choix, fait par l'énoncé, de représenter un générateur de tension alternative par le symbole d'un générateur de tension continue n'est pas des plus heureux. Nous conservons néanmoins cette notation qui a le mérite de rappeler comment remplacer le générateur lors du calcul de l'impédance équivalente d'un circuit : lorsqu'on enlève le cercle, le générateur de tension se transforme en fil tandis que le générateur de courant fait office d'interrupteur ouvert. A B C D E 2 Pour calculer l'impédance équivalente, on éteint les sources indépendantes du circuit en remplaçant les sources de tension par des fils et les sources de courant par des interrupteurs ouverts. Ici, seule la source de tension E devient un fil et on a D D nR R A Req B qui devient Z2 Z1 Zeq C avec C 1 1 1 = + Req R nR et 1 1 1 + = Zeq Z1 Z2 où l'on somme les conductances car il s'agit de montages parallèles. Il ne reste plus qu'à additionner les impédances restantes (assemblées en série) pour obtenir Zth = A B nR Z Z + 1 2 n + 1 Z1 + Z2 C D E 3 Le courant est nul dans la branche CD lorsque Eth = 0 c'est-à-dire Z1 = n Z2 ou encore Z1 Y 2 = n Un condensateur C1 en série avec une résistance R1 a une impédance Z1 = ZC1 + ZR1 = 1 + R1 j C1 Un condensateur C2 en parallèle avec une résistance R2 a une conductance Y2 = YC2 + YR2 = j C2 + 1 R2 La condition d'équilibre Z1 Y2 = n s'écrit alors 1 1 + R1 j C2 + =n j C1 R2