ENAC Physique toutes filières 2001

Thème de l'épreuve Circuit bouchon. Mouvement d'une particule chargée. Calcul du champ magnétique dans une cavité. Association lentille-miroir plan. Analyse cinématique d'un mouvement.
Principaux outils utilisés électrocinétique, électrostatique, magnétostatique, optique géométrique, cinématique

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J. 4697 ECOLE NATIONALE DE L'AVIATION CIVILE ANNEE 2001 CONCOURS DE RECRUTEMENT D'ELEVES PILOTE DE LIGNE EPREUVE DE PHYSIQUE Durée : 2 Heures Coefficient : 1 Le sujet comprend : . 1 page de garde, 0 2 pages (recto--verso) d'instructions pour remplir le QCM, . 12 pages numérotées de 1 à 12. CALCULATRICE AUTORISEE ECOLE NATIONALE DE L'AVIATION CIVILE EPL/S ÉPREUVE DE PHYSIQUE A LIRE TRÈS ATTENTIVEMENT L'épreuve de physique de ce concours est un questionnaire à choix multiple qui sera corrigé automatiquement par une machine à lecture optique. ATTENTION, IL NE VOUS EST DELIVRÉ QU'UN SEUL QCM 1) Vous devez coller dans la partie droite prévue à cet effet, l'étiquette correspondant à l'épreuve que " vous passez, c'est--à--dire épreuve de physique (voir modèle ci-dessous). POSITIONNEMENT DES ETIQUETTES Pour permettre la lecture optique de l'étiquette, le trait vertical matérialisant l'axe de lecture du code à barres (en haut à droite de votre QCM) doit traverser la totalité des barres de ce code. EXEMPLES : BON MAUVAIS MAUVAIS X X X X X X X X xxxxxxxxxxxxxxxx 6 8 L9 9 I? 8 EUR I 0 AXE AXE AXE 2) Pour remplir ce QCM, vous devez utiliser un STYLO BILLE ou une POINTE FEUTRE de couleur NOIRE. 3) Utilisez le sujet comme brouillon et ne retYanscrivez vos réponses qu'après vous être relu soigneuse- ment. 4) Votre OCM ne doit pas être souillé, froissé, plié, écorné ou porter des inscriptions superflues, sous peine d'être rejeté par la machine et de ne pas être corrigé. 5) Cette épreuve comporte 30 questions, certaines, de numéros consécutifs, sont liées. La liste des ques- tions est donnée au début du texte du sujet. _ Chaque candidat devra choisir au plus 25 questions parmi les 30 proposées. Il est inutile de répondre à plus de 25 questions : la machine à lecture optique lira les réponses en séquence en partant de la ligne 1, et s'arrêtera de lire lorsqu'elle aura détecté des réponses a 25 ques- tions, quelle que soit la valeur de ces réponses. Chaque question comporte au plus deux réponses exactes. 6) A chaque question numérotée entre 1 et 30, correspond sur la feuille-réponses une ligne de cases qui porte le même numéro (les lignes de 31 à 100 sont neutralisées). Chaque ligne comporte 5 cases A, B, C, D, E. Pour chaque ligne numérotée de 1 à 30, vous vous trouvez en face de 4 possibilités : 0 soit vous décidez de ne pas traiter cette question, la ligne correspondante doit rester vierge. ) soit vous jugez que la question comporte une seule bonne réponse, vous devez noircir l'une des cases A, B, C, D. ) soit vous jugez que la question comporte deux réponses exactes, vous devez noircir deux des cases A, B, C, D et deux seulement. » soit vous jugez qu'aucune des réponses proposées A, B, C, D n'est bonne, vous devez alors noircir la case E. En cas de réponse fausse, aucune pénalité ne sera appliquée. 7) EXEMPLES DE RÉPONSES Exemple ! :Question 1 : Pour une mole de gaz réel : A) lim (PV) : RT , quelle que soit la nature du gaz. P---->o B) PV : FlT quelles que soient les conditions de pression et température. C) Le rapport des chaleurs massiques dépend de l'atomicité. D) L'énergie interne ne dépend que de la température. Exem le il :Question 2 : Pour un conducteur ohmique de conductivité électrique 6, la forme locale de la loi d'OHM est : Ë'Ê ? '> .' ? 29 A) ]=8 B)j=GE C)E=GJ D)]=GE Exemple Ill : Question 3 : l A) Le travail lors d'un cycle monotherme peut être négatif. B) Une pompe à chaleur prélève de la chaleur à une source chaude et en restitue à la source froide. T C) Le rendement du cycle de CARNOT est 1 + 'I--'2 . 1 D) Le phénomène de diffusion moléculaire est un phénomène réversible. Vous marquerez sur la feuille réponse : _ [I:] _ [:::] .::] l A B C D E == E:] E:] [::] [:::] [=] _ [:::] E: [::] 2 A B C D E E:] E:] [==] E: E: E:] E: [:=] E: _ 3 A B C D E C:] [::] E:] :] [:] QUESTIONS LIÉES [l, 2, 3, 4, S, 6, 7, 8,] [9,10,11,12,13,14] [15,16,l7,18,l9] [20,21,22,23,24,25] [26, 27, 28, 29, 30] Le circuit représenté sur la figure 1 est alimenté par un générateur idéal de tension con-- tinu, dont la force électromotfice est E = 2OV. Les bobines, de résistance négligeable, ont la même inductance propre L : 2mH et les condensateurs la même capacité C = O, 2 uF . A l'instant t = 0 où l'on applique entre A et B la tension E , les bobines et les condensa- teurs ne possèdent aucune énergie. uc( t) i(t) Q(Û C L H.". 4... C N Figurel mîlb Déterminer la loi de variation de la charge q d'un condensateur en fonction du temps t. a) q(t) = 4- 10"6(1--exp--2,5. 104t) b) q(t) = 2-- 10_6(1+exp--5-104t) c) q(t) = 4-- 10_6(1--c085-- 104t) d) QU") = 4- 10--6(1--%cos 104t) En déduire la valeur maximale u M de la différence de potentiel u C(t) (fig. 1). a) uM : 4OV b) uM = 20V c) uM : 15V d) uM : 10V Établir l'expression de la différence de potentiel v(M ) --- v(N ) en fonction du temps. a) v(M)--v(N) : 20(1--exp-5-- 10%) b) v(M) --v(N) = 20(1-- 2cosS- 10%) c) v(M)--v(N) : 10(1 --21--cos10%) d) v(M) --v(N) = 40(1 + exp--2, 5 - 10%) En déduire la valeur maximale U M de la différence de potentiel v(M ) -- v( N ) . a) UM =15V b) UM : 20V c) UM : 4OV d) UM = 60V L1 M C HHH ] 1 A B L2 HHH C2 M2 Figure2 e( t) Le circuit fonctionne maintenant en régime sinusoïdal ; l'amplitude de la force électromo-- trice e(t) du générateur idéal de tension est de 20 V. De plus, les bobines sont différentes et il en est de même des condensateurs (fig. 2). Indiquer si le circuit laisse passer un courant de pulsation 0)1 telle que L1 C1 (0512 = 1 . Répondre àla même question pour la pulsation 002 telle que L2 C2oeâ : 1 . a) Le circuit laisse passer le courant de pulsation 001 b) Le circuit ne laisse pas passer le courant de pulsation (01 c) Le circuit laisse passer le courant de pulsation (02 d) Le circuit ne laisse pas passer le courant de pulsation (02 Montrer qu'il existe une pulsation (03 pour laquelle le circuit ne laisse pas passer le cou- rant (circuit "bouchon"). 2 1 1 : -------+-------- a) (03 L1C1 L2C2 b) (02 : ....ÊlÏf3_ 3 C1C2(L1+L2) L L o) mg = __.1_+ 2 2 2 (L1+L2) C1 (L1+L2) (:2 d) 002 = -1-( 1 +----1----) 3 2 L1C1 L2C2 Calculer en kilohertz la fréquence N 3 correspondant àla pulsation 003 pour: L1= 2mH ; C1= 1uF ; L2 =1mH ; C2 : 0,02uF. La comparer aux fréquences N1 et N 2 associées respectivement aux pulsations (01 et (02. _b) N3 : 21kHz c) N30,0) du ---> -a repère plan (O;ex, ey) (fig. 3). Calculer les composantes E x et E ), du vec--- _) teur champ électrostatique E (P) créé au point P du plan, de coordonnées x et y. &) Ex : 41Îæ--:0[zx--2--ÇÎ-2Y--Æil.[(gç---x2aa)2 +y 23] m] b) Ex : £le _ [(x + aî+------Î------y213/ZJ °) Ey : 416530[(::--::yy--ï'_)ïñ+[(x--2ya)2+yzB]B/ZJ '" Ey : 4Ïeo[ÇÎÊÎÇY--ux+an +y ] 3/2] .) Indiquer sur quelle droite A du plan, E (P) est parallèle en tout point à l'axe Oy . .) Donner l'expression correspondante de E (P) . a) A :droitex : a/2 b) A :droitex : y -> _ q 1 "> c) E(P) -- 411380 y2 «?y '> ' -- q )) _) d) E(P) " 2,æÛ 2 a2 3/2 ey (y +:r) 11. 12. 13. Une charge électrique ponctuelle q' de masse m et de signe contraire à celui de q se déplace sans frottement sur la droite A à proximité immédiate de l'axe Ox (|yI « a) sous l'action de la force électrostatique due au champ des deux charges q et de son poids. Oy est la verticale ascendante et g est l'accélération de la pesanteur supposée uniforme. On pose k = ----5-- Q_ÇL 1tEUR0 a3 Constater qu'il existe une position d'équilibre P e et calculer l'ordonnée y e de P e. a) ye : mg/k b) ye : --mg/3k c) ye : --mg/k d) ye : --mg/4k Calculer la période To des oscillations qu'effectue la charge q' écartée de sa position d'équilibre. a) TO = 271".../m/4k b) To : 2n./m/2k 0) To : 2m/2m/k d) To : 2n./m/k La charge q' est maintenant fixée au point B(O, a) . Calculer l'énergie électrostatique Ue de la famille des trois charges q en 0 , q en A et q' en B. L'origine des potentiels est à l'infini. On rappelle que dans le cas d'une famille de population n : où V,- est le potentiel créé au point où se trouve la charge q ,- par les (n --- 1) autres charges de lafamille. 21) U = 1 È[q'2+2qq'+q2fi] e 41t80a 2 _ 1 !. £I.'. ' b) Ue _ 81t80a [[+2qq] d)U- 1 2 . 1 c) Ue 47t805 [q +qq(l+fl)] 1 _1_ a t--f+fl+fi Ji 14. Donner l'expression de q' en fonction de q pour que l'énergie Ue soit nulle. &) q' --qJî b '=-- )q q./ä+1 C)q'=--q oq=woefl+o 15. Un cylindre de révolution autour de l'axe Oz a pour rayon !) et une longueur "infinie" (très grande devant b ). Il est parcouru dans la direction et dans le sens de Oz par un courant continu de densité uniforme de courant ]. Déterminer le vecteur champ magnétique --> _ , B(P) créé par ce courant en un pomt P exte-- rieur au cylindre, situé à la distance p de "> "> , . Fi ure 4 Oz. @p et ee des1gnent les vecteurs de la g base polaire de P (fig. 4). --> ---> a) B(P) : qu p ee -> u J 172 --> b) B(P) = -â- -'5- ce -> p2 -> c) B(P) = M 57}- ee --> 11 J b2-- 2 ---> d)B(P) : --2- pp ep 16. Même question lorsque P est à l'intérieur du cylindre. J a)È(P)="--ä-bÎa --> p.] ---> b)B(P)=--â-- pe9 2 --> b --> c) B(P) = uÛJ Î5 ep 17. Donner une expression vectorielle intrinsèque du vecteur champ calculé dans la question 18. précédente. -> ---) a) B(P) = --uo[JA OP] .--+ b) B(P) = qu()P c) B(P) = 2u0(OP)Î 1 » ---9 d) B(P) : îuo[J/\ OP] Un cylindre "de longueur infinie" et de révolu- tion autour de l'axe Oz est creux ; la partie pleine est comprise entre les rayons b1 et b2(b1 > b2). Elle est parcourue dans la direc- tion et dans le sens de Oz par un courant con- tinu de densité uniforme de courant J (fig. 5). ..+ Déterminer les vecteurs champs B1 (P) et _9 BZ(P) au point P à la distance p de O, lorsqu'on a respectivement p EUR [b1, 192] et p _ po] 172 ---> b) B](P) - 2 (P"È)£9 _) -> c) BZ(P) : 0 ---> H ] 1--> d) Bz(P) = --â----(bÎ--bâ)ôee 19. 20. -Un cylindre de longueur "infinie" et de révolution autour de l'axe 01z a pour rayon !)1 . On creuse dans le cylindre un autre cylindre de "longueur infinie" et de révolution autour de l'axe 02Z parallèle à 012 et de même sens ; son rayon est 192(b2 < bl). On désigne par 2a la dis-- tance 0102 (fig. 6). Dans la partie pleine circule dans la direction et le sens de 01z un courant continu de densité uniforme ]. Après avoir constaté qu'à l'intérieur de la . '> o o o o . cavité, le champ magnétique de vecteur B' est uniforme, 1nd1querla direction et la norme .> de B'. a) axe 01y b) axe le c) llË'll = 2u.,Ja d) llÊ'll = u.Ja Une lentille mince convergente L a pour centre 0 , pour foyer objet F et pour foyer image F ' ; sa distance focale image est f' > 0. Un miroir plan M centré en S sur l'axe Oz de la lentille, est disposé parallèlement à celle--ci àla distance d = 2 f ' (fig. 7). L M Figure 7 Toutes les abscisses des points de l'axe seront comptées positivement dans le sens de l'axe Oz (sens de la lumière incidente). Un objet AB perpendiculaire à l'axe Oz est disposé de telle sorte que p = 5Â. Soit AlB1 son image après traversée de L et réflexion sur M . Calculer OA1 , en fonction dep. a)5ÀÎ b)ô'Â] c) OA1 d)ô"Â] ___ (3p+4f')f p+f' - : (3p--2f')f' p--f' : (4f--p)f' p+3f : (p--f')f' p+f' 21. Soit A282 l'image définitive de AB après retraversée de la lentille L. Calculer OA2 en fonction de p. a)Ô__AZ b)ô"'"'A2 c)ÜÆ d)Ô--AZ ___ pf'(--3p+f') p2+4pf'--3f'2 _ f'(3p+4f') 2p+3f' fï--p+f> p'--4pf'+f2 f"(2p+f') --p' + 5pf' + f" 22. Trouver--la condition à laquelle satisfait p lorsqu'il correspond à deux points de l'axe, dits points de Bravais, pour lesquels l'image A2B2 est dans le même plan que l'objet AB. a) 3p'+4f'p--f' = 0 2 , ,2 b) 3]? --fp+f :O 2 c) 2p2+2f'p+f' = 0 d) p2+3f'p+2f'2 = 0 23. En déduire les valeurs numériques p1 et p2(p1 < p2) de p qui satisfont à cette condition, sachant que f' : lOcm. 3) P1 b) P1 C) p; (1) P2 --30cm --20cm --20cm --10cm 10 24. Déterminer en fonction de p , dans le cas d'une position quelconque de l'objet AB , le grandissement transversal 7 du système. 2 a)Y= 2 41m 2 !) --4f'p+f' _ f" b)Y--3p+8f _ f' C)Y---- 2p+3f' 2 d)v=---------------------2 41" 2 p +4f'p+8f' 25. Calculer les valeurs numériques 71 et 72 du grandissement transversal y correspondant respectivement aux abscisses p1 et 192 des points de Bravais. a)yl=+l b)Yl="2 c)'yZ=--l d)72=1/2 --> --> --> 26. Par rapport au référentiel R (O;e x, ey, ez) , un mobile "ponctuel" P a pour coordonnées à la date t : x : bsinkt y : bsin(kt+%) z = bsin(kt+%£) où k et b sont deux constantes positives. Etablir l'équation du plan passant par l'origine 0 des coordonnées et contenant la trajec- toire de P. a) x+2y--22 = 0 b) x+y--z = 0 c) x--y+z : 0 d) 2x+y+z = 0 11 27. Déterminer le rayon A de la surface de la sphère de centre 0 sur laquelle est inscrite la trajectoire de P. a)A=bJä mA=bfi c)A=bJÎ _ 3 d)A-bJà 28. Calculer la norme v du vecteur vitesse de P. a) v : 2kb b) v : kblsinkt/2I c) v : kâlcoskt/2l 3 % 29. Calculer le temps T mis par P pour décrire complètement une fois sa trajectoire. d)v a) T = 21t/k MT=mÆÆ c) T = n/2k d) T = 3n/kJâ 30. Indiquer dans ces conditions le type de mouvement qu'effectue P. a) circulaire sinusoïdal b) circulaire uniforme c) elliptique uniforme d) elliptique sinusoïdal 12

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 ENAC Physique toutes filières 2001 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Stéphane Ravier (ENS Lyon) ; il a été relu par JeanJulien Fleck (ENS Ulm) et Arnaud Gossart (professeur en CPGE). Ce problème se compose de cinq parties totalement indépendantes qui permettent de tester les candidats sur une large part du programme de première année. Les thèmes abordés sont variés : électrocinétique, électrostatique, magnétostatique, optique géométrique et cinématique. À part quelques questions un peu calculatoires, l'ensemble ne présente pas de grosse difficulté et un certain nombre de questions sont suivies d'une application numérique. Dans la première partie, consacrée à l'électrocinétique, on aborde des régimes transitoires et des régimes forcés. Cette partie, assez classique pour le début, présente, pour les trois dernières questions, un point plus original : on étudie en effet une réalisation possible d'un « circuit-bouchon ». Les deux parties d'électromagnétisme se traitent assez facilement si l'on sait utiliser les symétries du problème. Seule la dernière question de la troisième partie (la question 19) est plus délicate. La partie d'optique géométrique fait surtout appel à la relation de conjugaison d'une lentille mince : les calculs n'y sont pas très compliqués mais ils nécessitent du soin. La cinquième partie est relativement « mathématique » mais ne présente véritablement aucune difficulté ni aucun piège. Un QCM étant une épreuve d'un type particulier, nous préciserons, aussi souvent que possible, des « astuces » permettant d'aboutir à la solution ou au moins d'éliminer les réponses fausses. On rappelle que, le jour de l'épreuve, le candidat n'a pas à justifier son choix : l'objectif est donc d'aboutir au bon résultat le plus rapidement possible. Indications Électrocinétique 1 Le circuit étant symétrique, la charge de chaque condensateur est identique. Faire un schéma simplifié ne présentant que les éléments utiles et précisant bien les orientations choisies (chaque branche qui comporte une bobine et un condensateur « voit » E). Il reste ensuite à exprimer la loi des mailles et toutes les tensions inconnues en fonction de q. 3 Utiliser un point intermédiaire, A par exemple, pour faire apparaître des différences de potentiel dont on connaît l'expression. 5 Utiliser la notation complexe pour traiter toutes les questions en régime sinusoïdal forcé. Pour cette question, raisonner sur les impédances complexes de chaque branche de circuit. 6 Si le circuit est dit « bouchon », c'est que l'intensité qui traverse le générateur est nulle. En revanche l'intensité qui traverse les bobines et les condensateurs n'est pas nulle. Électrostatique 9 Le champ cherché est simplement la somme des champs créés par chaque particule. 10 Chercher un axe de symétrie du système. 11 Appliquer la relation fondamentale de la dynamique à la particule de charge q . 13 On peut calculer le potentiel créé par une charge au niveau des deux autres points du triangle et regrouper ces résultats dans un tableau. Magnétostatique 15 Utiliser les symétries des sources puis appliquer le théorème d'Ampère. 17 Partir de - e = - ez - e et distribuer les différents facteurs scalaires qui composent - B pour aboutir au résultat. 19 Appliquer le théorème de superposition en considérant un premier cylindre de - rayon b1 parcouru par une densité J et un deuxième de rayon b2 parcouru par - une densité - J . Pour calculer les deux champs magnétiques correspondants, on utilise l'expression intrinsèque trouvée à la question 17. Optique géométrique 20 Utiliser un point intermédiaire : le point A , image de A par la lentille. 21 Attention à l'orientation choisie pour les grandeurs algébriques lors de l'écriture de la relation de conjugaison de la lentille ! 24 Décomposer le grandissement en trois en utilisant les images intermédiaires. Cinématique 26 Développer y et z et trouver une combinaison simple pour faire apparaître x. I. Électrocinétique 1 On peut simplifier le schéma électrique pour ne conserver que les éléments qui nous intéressent pour cette question : C L uC uL i q E La charge q du condensateur est liée à sa capacité C par q = C uC . On rappelle que cette écriture n'est vraie que pour cette orientation particulière où l'on appelle q la charge de l'armature sur laquelle « arrive » l'intensité i. C'est pourquoi, avant d'écrire la moindre relation dans un problème d'électrocinétique, il faut faire un schéma qui précise clairement les conventions retenues. On a E = uC + uL L'intensité s'écrit i= dq dt Et la tension aux bornes de la bobine uL = L di d2 q =L 2 . dt dt 1 d2 q q+L 2 C dt Donc E= Ce qui se réécrit d2 q 1 E + q= dt2 LC L 1 LC la solution de l'équation homogène sans second membre s'écrit Si on pose 02 = q = A cos (0 t) + B sin (0 t) Une solution particulière constante q = C E pour l'équation avec second membre convient. La solution générale de cette équation différentielle du second ordre avec second membre est donc : q = A cos (0 t) + B sin (0 t) + C E Pour déterminer complètement q(t), il reste à traduire les conditions initiales. Initialement, le condensateur n'est pas chargé, donc q(0) = 0 Par ailleurs, la bobine ne stocke initialement aucune énergie donc 1 2 L i (0) = 0 2 soit i(0) = dq (0) = 0 dt q(0) = A + C E = 0 dq (0) = B = 0 dt Ce qui donne Finalement q(t) = C E (1 - cos (0 t)) Application numérique : A B C E = 4.10-6 C 0 = 5.104 rad.s-1 C D E Les propositions B et D doivent être écartées immédiatement puisqu'elles ne satisfont pas la condition initiale sur q. A, qui ne satisfait pas la condition initiale sur l'intensité, doit aussi être écartée : on voit donc qu'en ayant simplement traduit les conditions initiales, on sait que la réponse est C ou E. 2 La charge maximale que peut emmagasiner le condensateur est qM = 2 C E = 8.10-6 C Comme uC = il vient uM = A B q C 8.10-6 = 40 V 2.10-7 C D E 3 On introduit un point intermédiaire, A par exemple : v(M) - v(N) = (v(M) - v(A)) + (v(A) - v(N)) di q + dt C d2 q q = -L 2 + dt C = -LC E 02 cos (0 t) + E (1 - cos (0 t)) = -L v(M) - v(N) = -E cos (0 t) + E (1 - cos (0 t)) d'où v(M) - v(N) = E (1 - 2 cos (0 t)) A B C D E