Mines Maths toutes filières 2009

Thème de l'épreuve Problème de synthèse sur l'ensemble du programme
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, polynômes, courbes paramétrées, fonctions de la variable réelle, intégrales, coniques, équations différentielles

Corrigé

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CONCOURS COMMUN 2009 DES ECOLES DES MINES D'ALBI, ALES, DOUAI, NANTES Epreuve de Mathematiques (toutes filieres) Lundi 18 mai 2009 de 14h00 a 18h00 Instructions generales : Les candidats doivent verifier que le sujet comprend 4 pages numerotees 1/4, 2/4, 3/4, 4/4. Les candidats sont invites a porter une attention particuliere a la redaction : les copies illisibles ou mal presentees seront penalisees. Les candidats colleront sur leur premiere feuille de composition l'etiquette a code a barres correspondant a l'epreuve commune de Mathematiques. L'emploi d'une calculatrice est interdit Remarque importante : Si au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a ete amene a prendre. Probleme I : Algebre et Geometrie A. Etude de deux applications La notation R2 [X] designe le R-espace vectoriel des polynomes a coefficients reels de degre inferieur ou egal a 2. On identifiera dans la suite de ce probleme les elements de R2 [X] et leurs fonctions polynomiales associees. On note B = (1, X, X 2 ) la base canonique de R2 [X]. On definit les deux applications suivantes : f : R2 [X] - R2[X] 1 X X +1 P 7- P +P 2 2 2 et : R2 [X] - R P 7- P (1) On rappelle aussi que l'on note f 0 = IdR2 [X] , et pour tout n N , f n = f f n-1 . 1. Verifier que f est bien a valeurs dans R2 [X] et montrer que f est lineaire. 2. Montrer que est lineaire. 3. Ecrire la matrice de f dans la base B de R2 [X], en indiquant les calculs intermediaires. 4. L'application f est-elle injective ? surjective ? 5. Determiner une base de Ker . Quelle est la dimension de Ker ? 6. L'application est-elle injective ? surjective ? CONCOURS COMMUN SUP 2009 DES ECOLES DES MINES D'ALBI, ALES, DOUAI, NANTES Epreuve de Mathematiques (toutes filieres) Page 1/4 B. Calcul des puissances successives d'une matrice On note I3 la matrice identite de M3 (R) et A la matrice 1 41 18 A = 0 21 14 . 0 0 14 Enfin, on note B la famille de R2 [X] definie par B = (1, -2X + 1, 6X 2 - 6X + 1). 7. Justifier que la famille B est une base de R2 [X]. 8. Ecrire la matrice de passage Q de B a B . 9. Justifier que Q est inversible et calculer son inverse. 10. Ecrire la matrice M de f dans la base B en donnant les calculs intermediaires. 11. Calculer An pour tout n N. On explicitera les neuf coefficients de An . 12. Pour n N et P = a + bX + cX 2 avec (a, b, c) R3 , determiner f n (P ) en fonction de a, b, c. 13. En deduire que P R2 [X], n lim f (P ) = n+ Z 1 P (t) dt. 0 C. Une autre preuve du resultat precedent 14. A l'aide d'un raisonnement par recurrence, demontrer que P R2 [X], n N , 2n -1 1 X X +k . f (P ) = n P 2 2n n k=0 15. En deduire, en utilisant un resultat du cours d'analyse que l'on enoncera avec precision, que Z 1 n P R2 [X], lim f (P ) = P (t) dt. n+ 0 D. Etude d'une famille de spheres et d'une famille de droites L'espace affine usuel est rapporte a un repere orthonorme direct R = (O,~i, ~j, ~k). Les differentes equations qui apparaissent dans la partie D. sont relatives au repere R. Pour tout m reel, on considere l'ensemble Sm d'equation cartesienne Sm : x2 + y 2 + z 2 - 2mz 2 + m2 - 2 = 0. On appelle aussi E l'ensemble des points de l'espace verifiant l'equation E : x2 + y 2 = z 2 + 2. On note enfin P le plan d'equation y = 0, c'est-a-dire le plan (xOz). 16. Demontrer que, pour tout m reel, Sm est une sphere dont on determinera le centre et le rayon. 17. Montrer que l'intersection de P et de E est une conique G, dont on determinera la nature et les asymptotes eventuelles. 18. Representer dans le plan P la conique G. 19. Donner l'excentricite ainsi que les coordonnees du ou des foyer(s) dans le repere R de la conique G. CONCOURS COMMUN SUP 2009 DES ECOLES DES MINES D'ALBI, ALES, DOUAI, NANTES Epreuve de Mathematiques (toutes filieres) Page 2/4 20. Pour tout R, on definit la droite (D ) ayant pour systeme d'equations cartesiennes ( x - z cos = 2 sin (D ) : y - z sin = - 2 cos . Pour tout R, determiner un point et un vecteur directeur de la droite (D ). On choisira un vecteur directeur dont la troisieme coordonnee est egale a 1. 21. Soient et m deux reels quelconques. Prouver que la droite (D ) est tangente a la sphere Sm . 22. Montrer que pour tout R, la droite (D ) est incluse dans E. 23. Reciproquement, montrer que si M est un point de l'ensemble E de coordonnees (x, y, z) dans le repere R, alors il existe R tel que M appartienne a la droite (D ). 24. Que peut-on deduire des deux questions precedentes ? Probleme II : Analyse Dans tout ce probleme, on notera sh la fonction sinus hyperbolique, ch la fonction cosinus hyperbolique et th la fonction tangente hyperbolique. A. Etude d'une fonction Soit f la fonction definie sur 1. Etudier la parite de f . R 1 . par f (x) = x sh x 2. (a) Rappeler un equivalent de la fonction sh en 0 et en deduire les limites de f en + et en -. (b) Determiner la limite de f en 0. 3. Justifier que f est derivable sur R et que pour tout x R , 1 1 1 - × ch . f (x) = th x x x 4. Montrer que, pour tout X R+ , th(X) < X. 5. En deduire le tableau de variations de f . sh(X) . X 7. En deduire qu'au voisinage de + et de -, f admet un developpement de la forme 1 a2 a3 a4 a1 + 2 + 3 + 4 +o , f (x) = a0 + x x x x x4 6. Donner le developpement limite a l'ordre 4 en 0 de la fonction X 7- ou a0 , . . . , a4 sont cinq reels que l'on precisera. 8. Montrer que la fonction x R 7- f x1 R se prolonge sur R en une fonction continue notee F , puis prouver que F est derivable sur R. B. Trace d'une courbe parametree On s'interesse a l'arc parametre defini pour t 6= 0 par les equations 1 x(t) = t sh t 1 . y(t) = t exp t On note son support. On donne la valeur approchee sh(1) 1, 18 a 10-2 pres. CONCOURS COMMUN SUP 2009 DES ECOLES DES MINES D'ALBI, ALES, DOUAI, NANTES Epreuve de Mathematiques (toutes filieres) Page 3/4 9. Dresser le tableau des variations des fonctions x et y sur R , en precisant les limites. 10. Determiner les asymptotes de et preciser la position de par rapport a chacune de ses asymptotes. On resumera l'etude a l'aide de schemas. 11. Tracer l'allure de , ainsi que ses asymptotes et la tangente a au point M de parametre t = 1. On prendra 2 cm comme unite en abscisses et en ordonnees. C. Une equation differentielle On considere l'equation differentielle (E) suivante, que l'on va resoudre sur differents intervalles xy + y = ch(x). (E) 12. Resoudre sur l'intervalle R+ l'equation differentielle (E). 13. Donner sans justification les solutions de l'equation differentielle (E) sur l'intervalle R- . 14. Justifier que la fonction F (definie dans la question A.8.) est l'unique fonction definie et derivable sur R qui soit solution de l'equation differentielle (E) sur R. D. Etude d'une suite 15. Montrer que pour n N , l'equation n+1 n admet une unique solution dans R+ . On la note un . f (x) = On definit ainsi une suite (un )nN que l'on va etudier dans les questions qui suivent. 16. Montrer que la suite (un )nN est croissante. 17. Montrer que la suite (un )nN tend vers + quand n tend vers +. 18. En utilisant la question A.7., determiner un equivalent de un quand n tend vers +. E. Une fonction definie par une integrale Z x f (t) dt. Pour x R+ , on pose J(x) = x/2 19. Montrer que pour tout x R, sh(2x) = 2 ch(x) sh(x). 20. Justifier que J est derivable sur R+ et que pour tout x R+ , 1 1 J (x) = f (x) 1 - ch . 2 x 21. En deduire le signe de J sur R+ ; on exprimera le (ou les) zero(s) de J a l'aide de la fonction ln. 22. On admet les resultats suivants : () lim J(x) = +, x0+ () lim J(x) = + et J admet au voisinage de + une asymptote d'equation y = x2 , x+ () la courbe representative de J est toujours "au dessus" de l'asymptote precedente. Donner le tableau de variations de J sur R+ . 23. Tracer l'allure de la courbe representative de J. 1 1 0, 76 et J On donne pour le trace : 0, 65 a 10-2 pres. ln(2 + 3) ln(2 + 3) Fin du sujet CONCOURS COMMUN SUP 2009 DES ECOLES DES MINES D'ALBI, ALES, DOUAI, NANTES Epreuve de Mathematiques (toutes filieres) Page 4/4

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 Mines Maths toutes filières 2009 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Guillaume Dujardin (Chercheur à l'INRIA) ; il a été relu par Céline Chevalier (ENS Cachan) et Sophie Rainero (Professeur en CPGE). Cette épreuve se compose de deux problèmes totalement indépendants. · Le premier comporte une première partie d'algèbre linéaire, dans laquelle on étudie des applications linéaires entre espaces vectoriels de dimensions finies en ayant parfois recours au calcul matriciel. Dans la seconde partie, on s'intéresse à des sphères et à des droites dans R3 ainsi qu'à des coniques tracées dans R2 à l'aide d'équations cartésiennes dans des repères orthonormés. · Le second est un problème d'analyse mettant en oeuvre notamment des fonctions de trigonométrie hyperbolique. Il est l'occasion de revoir de nombreux points du programme d'analyse : étude de fonctions (variations globales, comportement local à l'aide de développements limités), courbes paramétrées, équations différentielles linéaires, suites de nombres réels et fonctions définies par une intégrale dépendant de ses bornes. Par la diversité des notions du cours qu'il met en oeuvre, ce sujet constitue une excellente base de révision générale pour se préparer aux concours basés sur le programme de première année. Indications Problème I : algèbre et géométrie 4 La matrice de f obtenue à la question 3 est inversible. 5 Utiliser le fait que, pour tout P R[X], P(1) = 0 (X - 1) divise P 7 B est une famille de polynômes de R2 [X] à degrés étagés. 11 De A = QMQ-1 on tire An = QMn Q-1 pour tout n N. Les puissances de M se calculent aisément car M est diagonale d'après la question 10. 12 Calculer séparément f n (1), f n (X) et f n (X2 ) puis utiliser la linéarité de f n . n -1 X+k 1 2P P comme une somme de Riemann de P 15 Faire apparaître n 2 k=0 2n sur [ 0 ; 1 ]. 17 Choisir y = 0 dans l'équation définissant E. 20 Déterminer un paramétrage de la droite (D ). 21 Calculer la distance du centre de Sm à la droite (D ). Problème II : analyse 1 La fonction sh est impaire sur R. 2.a D'après le cours, sh(x) x. x0 4 Étudier la fonction x 7 x - th x sur R+ . 6 Commencer par donner le développement limité à l'ordre 5 de la fonction sh. 7 Se souvenir que f est paire. 12 Mettre l'équation sous forme résolue sur cet intervalle. 13 Les solutions ont la même forme que celles déterminées à la question précédente. 14 Étudier le « raccordement » en 0 des solutions sur R- et R+ . 15 Utiliser la question 5. 17 Une suite croissante converge (vers une limite finie !) ou tend vers l'infini. Raisonner par l'absurde en supposant que (un )nN converge. I. Algèbre et Géométrie A. Étude de deux applications 1 Soit P R2 [X]. Par composition, P (X/2) et P ((X + 1)/2) sont des polynômes à coefficients réels, de degré au plus 2, c'est-à-dire X X+1 P R2 [X] et P R2 [X] 2 2 Puisque R2 [X] est un R-espace vectoriel, X X+1 1 f (P) = P +P R2 [X] 2 2 2 Ceci assure que f (R2 [X]) R2 [X] En outre, pour (P, Q) R2 [X]2 et (, µ) R2 , on a " # 1 X X+1 f (P + µQ) = (P + µQ) + (P + µQ) 2 2 2 " # X X X+1 X+1 1 = P + µQ + P + µQ 2 2 2 2 2 " " # # 1 X X+1 1 X X+1 = P +P +µ Q +Q 2 2 2 2 2 2 f (P + µQ) = f (P) + µf (Q) f est une application linéaire. 2 Considérons (P, Q) R2 [X]2 et (, µ) R2 . (P + µQ) = (P + µQ)(1) = P(1) + µQ(1) = (P) + µ(Q) Ainsi, est une application linéaire. 3 Calculons les composantes dans la base B des images par f de chacun des éléments de B : 1 f (1) = (1 + 1) = 1 2 1 X X+1 1 1 f (X) = + = X+ 2 2 2 2 4 2 2 ! 1 X X+1 1 X2 X2 X 1 1 1 1 2 f (X ) = + = + + + = X2 + X + 2 2 2 2 4 4 2 4 4 4 8 On en déduit que la matrice de f dans la base B est 1 1/4 1/8 0 1/2 1/4 0 0 1/4 4 D'après la question précédente, la matrice de l'endomorphisme f de R2 [X] dans la base B est triangulaire supérieure et ses coefficients diagonaux sont tous non nuls. On en déduit que la matrice de f dans la base B est inversible, puis que f est bijective. En particulier, f est injective et surjective. 5 Pour P R2 [X], P Ker (P) = 0 P(1) = 0 (X - 1) divise P On en déduit que Par conséquent, Ker = {(aX + b)(X - 1) | (a, b) R2 } Ker = Vect ((X - 1), X(X - 1)) La famille (X - 1, X(X - 1)) est génératrice de Ker . Elle est également libre car X - 1 et X(X - 1) sont non nuls et de degrés différents. Par suite, (X - 1, X2 - X) est une base de Ker . Par suite, dim Ker = 2 6 Puisque Ker 6= {0} d'après la question précédente, L'application linéaire n'est pas injective. La question précédente assure également que Ker 6= R2 [X]. Par conséquent, la forme linéaire est non nulle, donc L'application est surjective. B. Calcul des puissances successives d'une matrice 7 B est une famille de polynômes de R2 [X] de degrés étagés. On en déduit que c'est une famille libre de R2 [X]. Puisqu'elle comporte 3 polynômes et que dim R2 [X] = 3, B est une base de R2 [X]. 8 La matrice de passage de la base B à la base B est la matrice de l'application identité de R2 [X] en prenant B comme base de départ et B comme base d'arrivée. Ainsi, on peut remplir par colonnes la matrice Q : 1 1 1 Q = 0 -2 -6 0 0 6 9 Q est la matrice de passage d'une base de R2 [X] à une autre. En particulier, La matrice Q est inversible.