Mines Maths toutes filières 2008

Thème de l'épreuve Étude d'un endomorphisme de Rn[X] et de deux fonctions
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, équations différentielles, coniques, continuité, dérivation, polynômes
Mots clefs Lemme de Rieman, Riemann (lemme de), symétrie, hyperbole, sinus cardinal

Corrigé

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CONCOURS COMMUN 2008 DES ECOLES DES MINES D'ALBI, ALES, DOUAI, NANTES Epreuve de Mathematiques (toutes filieres) Lundi 19 mai 2008 de 14H00 a 18H00 Instructions generales : Les candidats doivent verifier que le sujet comprend 4 pages numerotees 1/4, 2/4, 3/4, 4/4. Les candidats sont invites a porter une attention particuliere a la redaction : les copies illisibles ou mal presentees seront penalisees. Les candidats colleront sur leur premiere feuille de composition l'etiquette a code a barres correspondant a l'epreuve commune de Mathematiques. L'emploi d'une calculatrice est interdit Remarque importante : Si au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a ete amene a prendre. PREMIER PROBLEME Dans tout ce probleme, n designe un entier non nul, a et b sont deux nombres reels. La notation Rn [X] designe le R-espace vectoriel des polynomes a coefficients dans R et ayant un degre inferieur ou egal a n. Pour tout P Rn [X], on pose : n (P ) = (X - a)(X - b)P - n X - a + b P 2 CONCOURS COMMUN SUP 2008 DES ECOLES DES MINES D'ALBI, ALES, DOUAI, NANTES Epreuve de Mathematiques (toutes filieres) Page 1/4 Partie A : Etude de 1 Dans toute cette partie, on suppose que n = 1. On pose donc : P R1 [X] , 1 (P ) = (X - a)(X - b)P - X - a + b P 2 1. Demontrer que 1 est un endomorphisme de R1 [X]. 2. Soit B1 = (1, X) la base canonique de R1 [X]. Determiner M1 = MatB1 (1 ). 3. Determiner une condition necessaire et suffisante sur a et b pour que 1 soit bijective. 4. On suppose, dans cette question seulement, que a 6= b. (a). Demontrer que la famille B = {X - a, X - b} est une base de R1 [X]. (b). Calculer 1 (X - a) et 1 (X - b) puis deduire M = MatB (1 ). (c). Determiner la matrice de passage de la base B a la base B1 , notee PB,B1 . Determiner de meme la matrice de passage de la base B1 a la base B, notee PB1 ,B . (d). Donner, sans demonstration, une egalite reliant les matrices M , M1 , PB,B1 et PB1 ,B . (e). Soit p N. Calculer M p puis en deduire, grace a la question 4.(d), une expression de M1p (on donnera l'expression de chacun des coefficients de cette matrice). 5. On s'interesse dans cette question a l'ensemble = {I2 + M1 + M12 + M13 , (, , , ) R4 }. (a). Demontrer que est un sous-espace vectoriel de M2 (R). (b). Prouver que les matrices M12 et M13 sont des combinaisons lineaires de M1 et I2 . (c). Determiner une base de . 6. On suppose dans cette question que a = 4 et b = 2. En utilisant les resultats de la question 5.(b), determiner l'application 21 . En deduire la nature de 1 et preciser ses elements caracteristiques (on donnera une base de chacun des deux espaces vectoriels concernes). Partie B : Quelques generalites sur n 7. Demontrer que n est un endomorphisme de Rn [X]. 8. On se propose dans cette question de determiner Ker(n ). On pose = max(a, b) et on considere l'intervalle I =], +[. 2x - (a + b) (a). Demontrer que la fonction f : x 7- 2 est continue sur I. x - (a + b)x + ab (b). Determiner une primitive F de la fonction f sur I. (c). Resoudre sur l'intervalle I l'equation differentielle (E) : nx - n a+b 2 y=0 y - (x - a)(x - b) (d). On suppose que n est pair et on ecrit n = 2p avec p N . Deduire de la question 8.(c) une base de l'espace vectoriel Ker(2p ). (e). On suppose maintenant que n est impair et on ecrit n = 2p + 1 avec p N. Deduire de la question 8.(c) une base de l'espace vectoriel Ker(2p+1 ) (On pourra discuter suivant les valeurs de a et b). CONCOURS COMMUN SUP 2008 DES ECOLES DES MINES D'ALBI, ALES, DOUAI, NANTES Epreuve de Mathematiques (toutes filieres) Page 2/4 Partie C : Intersections de courbes dans le cas ou n = 2 Dans toute cette partie, on suppose que n = 2, a = b et a > 1. - - - - On munit le plan d'un repere orthonormal R = (O, i , j ) avec k i k=k j k= 1 cm. 9. Calculer 2 (1), 2 (X) et 2 (X 2 ). Dans toute la suite, on designe par f et g les fonctions polynomiales associees respectivement aux polynomes 2 (1) et 2 (X 2 ). On note Cf et Cg les courbes representatives de ces deux fonctions. 10. (a). Montrer que les courbes Cf et Cg admettent exactement deux points d'intersection : les points Aa et Ba dont les coordonnees cartesiennes dans R sont respectivement Aa (a, 0) et Ba a1 , - a2 + 2a . (b). Demontrer que, lorsque a varie dans ]1, +[, tous les points Ba appartiennent a un meme ensemble E (independant de a) dont on precisera une equation cartesienne. (c). Montrer que l'ensemble E est une conique dont on precisera (en le justifiant) la nature (aucune autre information n'est demandee sur E). (d). Apres une rapide etude, tracer l'allure de la courbe E dans R. SECOND PROBLEME On considere dans tout ce probleme les deux fonctions F et G definies sur R+ par : F (x) = sin(x) x G(x) = 1 - cos(x) x Partie A : Etudes de deux fonctions 1. (a). Montrer que les fonctions F et G sont continues sur R+ . (b). Montrer que F et G sont prolongeables par continuite en 0. On notera encore F et G ces prolongements. 2. (a). Montrer que les fonctions F et G sont derivables sur R+ et calculer leurs derivees. (b). Demontrer, a l'aide de developpements limites, que les fonctions F et G sont derivables en 0. Preciser les valeurs de F (0) et G (0). 3. (a). Montrer que les reels strictement positifs tels que F (x) = 0 constituent une suite (ak )k1 strictement croissante. On donnera explicitement la valeur de ak . (b). Montrer que les reels strictement positifs tels que G(x) = 0 constituent une suite (bk )k1 strictement croissante. Y-a-t'il un lien entre les suites (ak )k1 et (bk )k1 ? 4. (a). Soit k N . Montrer sans calcul qu'il existe un reel xk ]ak , ak+1 [ tel que F (xk ) = 0. (b). Montrer que la fonction F est de meme signe que h : x 7 x cos(x) - sin(x) sur R+ . (c). Demontrer que pour tout k N , la fonction h est strictement monotone sur [ak , ak+1 ]. (d). En deduire l'unicite du reel xk defini dans la question 4.(a). (e). Etablir que : k N , xk ]ak , ak + 2 [. (f). Calculer lim xk puis determiner un equivalent simple de la suite (xk ). k+ CONCOURS COMMUN SUP 2008 DES ECOLES DES MINES D'ALBI, ALES, DOUAI, NANTES Epreuve de Mathematiques (toutes filieres) Page 3/4 5. Tracer l'allure de la courbe representative CF de la fonction F lorsque l'abscisse x varie - - - dans [0, 4]. On se placera dans un repere orthogonal (O, i , j ) tel que k i k= 1cm et - k j k= 10 cm. On fera apparaitre clairement les tangentes horizontales a la courbe et on - precisera les abscisses des points d'intersection de CF avec l'axe (O, i ). Partie B : Deux fonctions definies par des integrales Dans toute cette partie, E designe l'ensemble des fonctions de classe C 1 sur [0, 1]. Si f appartient a E, on pose, pour tout x R : Z 1 Z 1 If (x) = f (t) cos(xt)dt Jf (x) = f (t) sin(xt)dt 0 0 Soit f une fonction appartenant a E. 6. Soit x R. Justifier que les deux reels If (x) et Jf (x) sont bien definis. On dispose donc de deux fonctions If et Jf definies sur R. 7. Determiner la parite des fonctions If et Jf . 8. On se propose de calculer dans cette question les limites de If et Jf en + et en -. Z 1 1 f (1)eix - f (0) f (t)eixt dt. - (a). Etablir que : x > 0 , If (x) + iJf (x) = ix ix 0 (b). Expliquer rapidement pourquoi les fonctions f et f sont bornees sur [0, 1]. On posera par la suite M = sup |f (x)| et M = sup f (x) . x[0,1] x[0,1] (c). En deduire qu'il existe A R+ tel que x > 0 , |If (x) + iJf (x)| (d). A l'aide de la question 8.(c), calculer lim If (x) + iJf (x) . A . x x+ En deduire lim If (x) et lim Jf (x). x+ x+ (e). En utilisant une propriete obtenue sur les fonctions If et Jf , calculer lim If (x) et x- lim Jf (x). x- 9. L'objectif de cette question est de prouver que les fonctions If et Jf sont continues sur R. p-q et sin . (a). Soient p et q deux reels. Rappeler la formule liant cos(p)-cos(q) a sin p+q 2 2 (b). Demontrer que : u R , |sin(u)| |u| (on pourra par exemple utiliser l'inegalite des accroissements finis). Z 1 t|f (t)|dt. (c). Soient x et y deux reels. Etablir que : |If (x) - If (y)| |x - y| 0 (d). En deduire que la fonction If est continue sur R. Par un raisonnement analogue, on pourrait demontrer que la fonction Jf est continue sur R mais ce n'est pas demande ici. 10. A l'aide d'une fonction f judicieusement choisie, etablir un lien entre les fonctions F et G de la partie A, et les fonctions If et Jf de la partie B. CONCOURS COMMUN SUP 2008 DES ECOLES DES MINES D'ALBI, ALES, DOUAI, NANTES Epreuve de Mathematiques (toutes filieres) Page 4/4

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 Mines Maths toutes filières 2008 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Benoît Landelle (Doctorant en mathématiques) ; il a été relu par Florian Metzger (ENS Cachan) et Sophie Rainero (Professeur en CPGE). Cette épreuve se compose de deux problèmes indépendants. · Le premier problème consiste en l'étude d'un endomorphisme n sur Rn [X]. Dans une première partie, on travaille dans le cas particulier où n = 1, ce qui permet d'aborder bon nombre de notions d'algèbre linéaire au programme, comme les changements de base, les matrices diagonales, la structure de sousespace vectoriel, les bases ainsi que les involutions. Dans la deuxième partie, l'étude du noyau de n requiert des techniques d'analyse sur les équations différentielles et nécessite un soin particulier de rédaction pour travailler simultanément avec des polynômes et les fonctions polynômes associées. La troisième partie propose l'étude du lieu géométrique d'un point d'intersection de deux courbes définies à partir de 2 . · Le second problème est consacré à l'étude de deux fonctions. Une première partie nécessite la mise en oeuvre de notions essentielles en analyse sur la continuité et la dérivation. Dans la deuxième partie, on démontre d'une part le lemme de Riemann-Lebesgue pour des fonctions de classe C 1 , d'autre part la continuité d'une certaine intégrale à paramètre. Ce sujet est un très bon entraînement pour tester ses connaissances, tant en algèbre qu'en analyse. Les questions purement calculatoires ne sont pas légion et laissent le champ libre pour des questions plus fines sur le sens et l'usage des objets mathématiques abordés au cours de la première année de classes préparatoires. Indications Premier Problème 3 Utiliser le déterminant. 4.c Écrire 1 et X comme des combinaisons linéaires de (X - a) et (X - b). 4.e Remarquer que M est diagonale. 5.a Vérifier que est un sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs. 5.c Montrer que (I2 , M1 ) est une famille libre. 6 L'application s est caractérisée par Ker (s + Id ) et Ker (s - Id ). 8.a Voir f comme un quotient de fonctions polynômes. 8.b La fonction f est de la forme g /g. e associée sur I. Utiliser alors 8.d Pour P Ker (2p ), définir la fonction polynôme P le résultat de la question 8.c. 8.e Distinguer a = b et a 6= b. 2 1 10.b Poser x = et écrire - + 2a en fonction de x. a a 10.c Vérifier que E est l'ensemble des zéros d'un polynôme du deuxième degré en x et y et que E admet deux droites concourantes asymptotes. Second Problème 1.b Voir lim+ F(x) et lim+ G(x) comme des dérivées. x0 x0 2.d Utiliser les développements limités usuels sin x = x + o(x2 ) et cos x = 1 - x2 + o(x2 ) 2 4.a Remarquer que F(ak ) = F(ak+1 ). 4.d Vérifier que les fonctions F et h s'annulent simultanément sur R+ . 4.e Calculer h(ak )h(ak + /2). 4.f Utiliser l'encadrement de la question 4.e. 5 Étudier F sur ] 0 ; ] puis montrer que F s'annule en xk en changeant de signe. Z 1 8.a Intégrer par parties f (t) e ixt dt. 0 8.b Exploiter le fait que f est C 1 . 8.c Utiliser l'expression obtenue à la question 8.a. 8.d Pour z C, on a | Re z| 6 |z| et | Im z| 6 |z|. 8.e Utiliser les propriétés de parité de If et Jf . ( [ 0 ; 1 ] - R 10 Considérer la fonction 1 : . x 7- 1 Premier problème A. Étude de 1 1 Pour tous polynômes P et Q de R1 [X] et pour tout réel , on a par linéarité de la dérivation a+b (P + Q) 1 (P + Q) = (X - a)(X - b)(P + Q) - X - 2 a+b = (X - a)(X - b)P - X - P 2 a+b Q +(X - a)(X - b)Q - X - 2 c'est-à-dire 1 (P + Q) = 1 (P) + 1 (Q) Si et sont des réels quelconques, d'où a+b 1 (X + ) = (X - a)(X - b) - X - (X + ) 2 a+b a+b 1 (X + ) = - + X + ab + 2 2 (1) Par conséquent, 1 est une application linéaire de R1 [X] dans R1 [X], c'est-à-dire que 1 est un endomorphisme de R1 [X]. 2 En appliquant la relation (1) avec (, ) = (0, 1), on trouve 1 (1) = -X + a+b 2 a+b X + ab 2 Ainsi, la matrice M1 de 1 dans la base B1 = (1, X) est donnée par a+b ab M1 = 2 a + b -1 - 2 Avec (, ) = (1, 0), il vient 1 (X) = - 3 Rappelons un des critères qui caractérisent un endomorphisme bijectif, aussi appelé automorphisme : 1 bijective det 1 6= 0 Par définition, det 1 = det Mat B1 1 , d'où 1 bijective det M1 6= 0 Le calcul donne det M1 = - On en déduit que a+b 2 2 + ab = - 1 2 1 a + 2ab + b2 - 4ab = - (a - b)2 4 4 1 est bijective si et seulement si a 6= b. 4.a L'ensemble R1 [X] est un R-espace vectoriel de dimension 2. La famille de polynômes B = (X - a, X - b) est une famille libre si a 6= b. En effet, soient , des réels tels que (X - a) + (X - b) = 0 En prenant successivement les valeurs en a et b du polynôme (X - a) + (X - b), on obtient (a - b) = 0 et (b - a) = 0 ce qui implique, comme a 6= b, que (, ) = (0, 0). Ainsi, B est une famille libre de 2 vecteurs dans un espace vectoriel de dimension 2 ce qui prouve que B est une famille libre maximale. Autrement dit, B est une base de R1 [X]. 4.b En appliquant la relation (1) avec (, ) = (1, -a), on trouve a+b a+b a-b 1 (X - a) = - - a X + ab - a × = (X - a) 2 2 2 Pour (, ) = (1, -b), il vient a+b a-b a+b 1 (X - b) = - - b X + ab - b × =- (X - b) 2 2 2 On conclut que M= a-b 2 1 0 0 -1 On remarque immédiatement que cette matrice est diagonale. Le fait que l'énoncé impose le calcul de la matrice de 1 dans une base autre que la base canonique éveille l'attention et laisse penser qu'une telle matrice doit avoir une particularité. 4.c Puisque B1 est une base de R1 [X], tout élément de R1 [X] s'écrit comme une unique combinaison linéaire des vecteurs de cette base. Étant donné que a 6= b, 1 (X - a) - (X - b) = (b - a) 1 = ((X - a) - (X - b)) b-a 1 et b(X - a) - a(X - b) = (b - a)X X = (b(X - a) - a(X - b)) b-a On en déduit la matrice de passage de B1 à B, donnée par 1 1 b PB,B1 = b - a -1 -a L'obtention de la matrice de passage de B à B1 est immédiate et elle est donnée par -a -b PB1 ,B = 1 1 On rappelle que ces matrices de passage sont liées par la relation PB1 ,B -1 = PB,B1