Mines Maths toutes filières 2007

Thème de l'épreuve Études de fonctions. Quelques exemples en algèbre et géométrie.
Principaux outils utilisés études de fonctions, courbes paramétrées, intégration, équations différentielles, géométrie, algèbre linéaire élémentaire

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CONCOURS COMMUN 2007 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve de Mathématiques (toutes filières) Jeudi 10 mai 2007 de 14h00 à 18h00 Instructions générales : Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées 1/4, 2/4, 3/4, 4/4. \ Les candidats sont invités a porter une attention particulière a la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées. Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette a code à barres correspondant à l'épreuve commune de Mathématiques. L'emploi d'une calculatrice est interdit PREMIER PROBLÈME Pour tout t E Rï on définit : f(f) = exp (EUR) etg = @. î \ Partie A -- Généralités \ Prouver que f et g sont C°° sur R3; et que pour tout t E R* , tf' (t) : g(t). Montrer que g est prolongeable par continuité en O et que le prolongement (encore noté g) est dérivable en 0. Faire un tableau de variations de g sur R+, en faire un graphe sachant que e_1 : 0,36 à 10_2 près. PPP!" Soit H la primitive sur R3; de ! l--> g(1/t), s'annulant en 1 : 4.a. Calculer H. 4.b. En former un développement limité à l'ordre 3 au voisinage de 1. 5. Soit n 2 3 un entier naturel. On introduit l'équation (En) : f (t) = t / n, d'inconnue ! EUR Rï. 5.a. En utilisant la question 3, montrer que (E,) a une unique solution dans ]0, 1[, que l'on notera an. On montrerait identiquement (mais ce n'est pas à faire) que (En) admet une unique solution dans ]1, +oo[, que l'on notera Bn. 5.b. Montrer que les suites (an),,23 et (B")n23 sont monotones. 5.c. Est--il possible que l'une des deux suites converge vers une limite 1 > O ? En déduire leurs limites. CONCOURS COMMUN SUP 2007 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALËS, DOUAI, NANTES Épreuve de Mathématiques (toutes filières) Page 1/4 Partie B -- Étude d'une courbe paramétrée On étudie ici, dans un repère orthonormal d'origine 0, la courbe paramétrée définie sur K; par le point M (t) de coor-- ex --1 données X(î)=f'(t)= p(t2 /t) t 6. Déterminer les valeurs de t pour lesquelles M (t) se situe sur la première bissectrice du plan d'équation cartésienne y = x. 7. Étudier la limite de la pente de la droite (OM (t)) lorsque t tend vers 0+ et +00. y =g = eXp<"1/') 8. En utilisant la question 3, faire un tableau de variation de x et y sur R3; avec limites aux bornes 0+ et +00. 9. En utilisant les deux questions précédentes, tracer la courbe en repérant les tangentes verticales ou horizontales, on pourra utiliser que 4e_2 : O, 54 a 10_2 près. | Partie C -- Fonctions définies par des intégrales On prolonge maintenant f a R+ en posant f (0) = O. 10. Montrer que l'application f ainsi prolongée est de classe C1 sur R+ ; préciser ]" (O) et montrer que l'égalité de la question 1 reste valable pour t = O. 11. Soit x E R* , on note: F®=/f®fifiw=/gwü () () 11.a. Justifier l'existence de ces intégrales que l 'on ne cherchera surtout pas à calculer puis montrer que _ l F(x) =xe X --G(x). 11.b. En séparant l'intégrale G(x) en deux, montrer qu'il existe une constante C réelle telle que pour tout x 2 l, 0 £ G(x) £ C+ln(x). 11.c. En déduire que G(x) est négligeable devant x au voisinage de +00 ainsi qu'un équivalent de F (x) au voisinage de +00. 12. Résoudre sur R3; l'équation différentielle (E) : x2y' + y = x2, l'expression générale de la solution fera apparaitre la fonction F . Partie D -- Étude qualitative d'une équation différentielle On considère maintenant une application y solution de (E) : x2y' + y = x2 cette fois sur R+, de classe C°° sur R+. Nous allons, sans aucun calcul explicite de y, déterminer entièrement la suite des un : y(") (0) a partir de l'équation (E). 13. Que vaut u0 : y(O) ? 14. En dérivant (E), calculer u1 : y' (0) et u2 : y" (0). 15. Peut--on avoir y de la forme : x l--> 06962 + Bx+ }! avec (oc, B, 7!) E R3 ? 16. Soit n un entier naturel. 16.a. On suppose ici n 2 3. Prouver a l'aide de la formule de Leibniz que pour tout x E R+ : X2r("+1) (X) + (1 + 2nX)r(") (X) + "(n -- 1)r("_1) (X) = 0- En déduire une relation de récurrence entre un et un_1. 16.b. Donner une expression de un utilisant une factorielle, valable pour tout n 2 2; en déduire les développements limités (dont on justifiera l'existence) de y atout ordre au voisinage de O. CONCOURS COMMUN SUP 2007 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALËS, DOUAI, NANTES Épreuve de Mathématiques (toutes filières) Page 2/4 DEUXIÈME PROBLÈME Dans tout ce problème, on se place dans l'espace usuel dont on notera (? l'ensemble des points, E l'ensemble des vecteurs % % % % _ , , et O le vecteur nul. (? est muni d'un repère orthonormal direct % = (0, i , j , k ), toutes les équations de l'énoncé seront --> % % % --> relatives aux éléments de ce repère. Si M EUR (EUR et OM : x i + y j +z k on pourra noter M : (x,y,z) et OM : (x,y,z). On considère les ensembles P et Q d'équations cartésiennes : P:x+z=0,Q:x+y+z--3=O. Partie A -- Étude d'un mouvement dans l'espace Pour toutt E R, on introduit le point N (t) de (? caractérisé dans % par les coordonnées { b Prouver que N (t) appartient au plan P. Donner une équation paramétrique de la droite D intersection de P et Q. Est--il possible que N (t) E D ? Calculer a2(t) + b2(t) + c2 (t). En déduire que N (t) appartient a un cercle de P dont on précisera le centre et le rayon. Calculer la distance de N (t) a la droite D puis au plan Q, on pourra vérifier que leur rapport est constant. Prouver que pour tout t E R : exp(it) + exp(i(t + 27r/3)) + exp(i(t -- 27t/3)) : 0. En déduire l'isobarycentre des points N (t),N (! + 27ï/3),N(t -- 27t / 3). .°S"PS"Pt" | Partie B -- Construction d'un polynôme | s(t) : a(t) + b(t) + c(t) On fixe maintenant ! E R et on note d(t) : a(t)b(t) + a(t)c(t) + b(t)c(t) @ ) W) = (!)b(t CO) 7. Simplifier s(t). 8. Linéariser le produit de fonctions trigonométriques p(t). 9. Calculer d (t) de deux manières différentes -- on pourra utiliser un résultat de la question 3. 10. On considère maintenant le polynôme R(X ) = (X -- a(t)) (X -- b(t))(X -- c(t)), dont les racines sont donc a(t) , b(t) et c(t) : 10.a. Dans cette question seulement ! : 7t / 2. Montrer sans calculer R(X ) ni R' (X) que R' (O) = O. 10.b. Exprimer maintenant R(X ) en fonction de s(t), d(t), p(t), puis en fonction des résultats des questions précédentes. | Partie C -- Endomorphismes à noyau imposé | 11. Montrer que P définit un plan vectoriel de E . 12. Est--ce le cas pour Q ? Préciser, sans preuve, la structure algébrique de Q. CONCOURS COMMUN SUP 2007 DES ECOLES DES MINES D'ALBI, ALES, DOUAI, NANTES Épreuve de Mathématiques (toutes filières) Page 3/4 13. On introduit les vecteurs : ?- (?_î)7'--7î'--L(î+î) --.> --.> --> , . Montrer que ( z ' , ] ' ) est une base orthonormale de P et que k ' en est un vecteur normal. En dedurre que % B' = ( i ' , j ' , k') est une base orthonormale de l'espace. , . % _> . . % _> . % , 14. On des1gne par a . b le produit scalaire de deux vecteurs a et b . Sort @ E E. Prouver, autrement que par << c est du cours >>, que ses coordonnées dans la base B' sont données par : 15. On considère ici une application linéaire u : E --> E telle que P C ker(u). % 15.a. Prouver qu'il existe ? E E tel que u(Î) : (?. k ')Î pour tout ? E E. 15.b. Réciproquement, montrer qu'une application u donnée par la formule précédente est un endomorphisme de E tel que P C ker(u). . . , . --> , . 15.c. Donner une condition necessaire et suffisante sur z pour que P : ker(u). Donner dans ce cas le rang et l image de u. Partie D -- Matrices de projecteur | On note ici p : E --> E le projecteur orthogonal sur le plan P, B la base (Y, ? àla question 13. On introduit les matrices : --> --> _ _ , k ) et B' = ( ' , k') la base introduite 100 100 M'=OlO,I=OIO 000 001 16. Justifier très rapidement que M' est la matrice de p dans la base B' . 17. Donner la matrice de passage P de la base B a la base B' ainsi que son inverse -- on détaillera le raisonnement pour cette dernière. 18. Soit M la matrice de p dans la base B : 18.3. Justifier sans calcul que M 2 = M. 18.b. En déduire que pour tout n E N, (M+I)" : 1+ (2" -- l)M. 18.c. Exprimer M en fonction de P, P_1 et M' . Ensuite, calculer explicitement M. 19. On peut traiter cette partie sans avoir trouvé explicitement M. On introduit l'ensemble %! des matrices du type Ma,b : aM+ bl, où a et b sont réels : 19.a. Montrer que l'ensemble %! muni des lois usuelles sur les matrices a une structure de R--espace vectoriel dont on donnera une base et la dimension. 19.b. Les réels et et 19 étant donnés, exprimer Ma,b en fonction de P, P_1 ,] et M' . En déduire une forme factorisée du déterminant de Ma,b ainsi qu'une condition nécessaire et suffisante pour qu'elle soit inversible. 19.c. Déterminer les réels @ et f tels que Ma,b >< Mad : Me,f-- 19.d. Lorsque Ma,b est inversible, exprimer son inverse sous la forme d'un élément de %! . FIN DE L'ÉPREUVE CONCOURS COMMUN SUP 2007 DES ECOLES DES MINES D'ALBI, ALES, DOUAI, NANTES Épreuve de Mathématiques (toutes filières) Page 4/4

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 Mines Maths toutes filières 2007 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Vincent Perrier (ENS Cachan) ; il a été relu par Denis Conduché (ENS Ulm) et Gilbert Monna (Professeur en CPGE). Le sujet est composé de deux problèmes indépendants. Le premier problème, composé de quatre parties, porte surtout sur le programme d'analyse. · La partie A étudie les fonctions f : t 7 exp(-1/t) et g : t 7 exp(-1/t)/t, en particulier leur régularité et leurs variations. On calcule une primitive de t 7 g(1/t) avant de déterminer le comportement asymptotique des solutions de l'équation f (t) = t/n. · La partie B propose l'étude d'une courbe paramétrée, dont f est la première composante et g la seconde. · Dans la partie C, on étudie les primitives F et G de f et g qui s'annulent en 0 : on détermine leur comportement asymptotique, puis on utilise F pour résoudre une équation différentielle. · Dans la partie D, on détermine le développement limité en 0 à tout ordre d'une solution particulière de l'équation différentielle résolue à la fin de la partie C. On peut regretter que beaucoup de questions de ce problème n'aient aucun but autre que calculatoire. Ce problème demeure cependant un bon entraînement, puisqu'il fait appel à toutes les notions d'analyse au programme de première année. Le deuxième problème est, lui aussi, composé de quatre parties. · La partie A propose d'étudier un mouvement dans l'espace, essentiellement à l'aide d'outils de géométrie analytique. Cette partie peut être traitée très rapidement si l'on est à l'aise avec les formules de géométrie élémentaire en dimension 3. · Dans la partie B, on construit un polynôme à l'aide de ses fonctions symétriques. Cette partie utilise surtout des formules trigonométriques. · Dans la partie C, on construit les endomorphismes ayant pour noyaux un plan P donné. · Enfin dans la partie D, on étudie une matrice de projection M, puis on calcule (M + I)n pour terminer par la structure algébrique de l'ensemble des matrices de la forme aM + bI. L'ensemble de ce sujet fait intervenir quelques « bêtes noires » des étudiants : géométrie, équations différentielles, et formules trigonométriques. Les questions concernées ne demandent pas toutefois une grande maîtrise de ces notions ; il semble donc judicieux de consacrer un peu de temps à leur apprentissage pour faire la différence aux concours. Indications Premier problème 2 Poser u = 1/t afin de se ramener à des croissances comparées en +. 4.a Effectuer une intégration par parties. 4.b Procéder à un développement limité de t 7 exp(-t) en 1, puis multiplier les développements limités. 5.a Remarquer que la résolution de (En ) est équivalente à celle de l'équation g(t) = 1/n puis utiliser l'étude de g effectuée à la question 3. 5.b Utiliser la monotonie de la suite (1/n)nN , puis la monotonie de la fonction g. 5.c Montrer que (n )nN converge, puis que (n )nN diverge vers +. 11.a Procéder à une intégration par parties. 11.b Se servir de la relation de Chasles en 1. Dans l'une des deux intégrales, majorer g par t 7 1/t. 11.c Utiliser la réponse de la question 11.a. 15 À l'aide des questions 13 et 14, appliquer la formule de Taylor en 0 pour obtenir , , , puis tester le polynôme obtenu. 16.b Évaluer les premiers termes de (un )nN , sans effectuer les calculs, afin de conjecturer une formule pour un . Démontrer ensuite celle-ci par récurrence. Deuxième problème 5 Factoriser l'expression par e it , puis s'aider du fait que 1, e 2i/3 e -2i/3 sont les racines troisièmes de l'unité. 6 Prendre la partie imaginaire et la partie réelle de l'égalité qui figure dans la question 5. 9 Pour l'une des méthodes, utiliser l'identité remarquable (a + b + c)2 . 10.a Montrer que 0 est racine double de R. - - - - 14 Prouver d'abord qu'il existe i , j et k tels que e = i i + j j + k k , - - - puis effectuer le produit scalaire par i , j et k . 15.c S'aider de la réponse à la question 15.a pour déterminer le rang de u, puis appliquer le théorème du rang. 17 Pour calculer P-1 , utiliser le fait que le changement de base entre B et B est un changement de base orthonormale. 18.b Démontrer le résultat par récurrence. 19.b Pour factoriser aM + bI, écrire I sous la forme P-1 P. 19.d S'aider de la réponse de la question 19.c. Premier problème A. Généralités 1 La fonction t 7 1/t est C sur R+ , et la fonction exponentielle est C sur R. On en déduit que f est C sur R+ en tant que composée de fonctions C . De même, g est C sur R+ en tant que produit de fonctions C . En appliquant la règle de dérivation des fonctions composées, on obtient 1 g(t) 1 t R+ f (t) = 2 exp - = t t t t R+ soit tf (t) = g(t) 2 Posons u = 1/t. Lorsque t tend vers 0+ , u tend vers +. Chercher une limite à g en 0+ revient donc à chercher une limite à u 7 u exp(-u) lorsque u tend vers +. Par croissance comparée, nous savons que u 7 u exp(-u) admet une limite nulle en +. Finalement, lim g(t) = 0 t0+ c'est-à-dire que La fonction g est prolongeable par continuité en 0 avec g(0) = 0. Afin d'étudier la dérivabilité de g en 0, formons son taux de variation en 0 1 exp - g(t) - g(0) t = t-0 t2 Procédons de même que pour la continuité de g en 0. Posons u = 1/t ; la dérivabilité de g en 0 se ramène ainsi à la recherche d'une limite de u 7 u2 exp(-u) en +. Par croissance comparée, cette limite est nulle, d'où La fonction g est dérivable en 0, avec g (0) = 0. 3 La fonction g est C 1 sur R+ , et sa dérivée, pour tout t R+ , est égale à 1 1 1 exp - - exp - t t t g (t) = t2 1 1-t = 3 exp - t t Dans l'expression de g (t), t3 est positif sur R+ , de même que exp (-1/t). La fonction g est donc du même signe que 1 - t, qui est strictement positif sur ] 0 ; 1 [, et strictement négatif sur ] 1 ; + [. Pour terminer l'étude de g, il reste à étudier sa limite en +. La fonction t 7 1/t tend vers 0 en +, alors que t 7 exp (1/t) tend vers 1 en +. Ainsi, g admet 0 pour limite en +. Il en découle le tableau de variations suivant pour g : t g 0 0 g 1 0 1/e + + - 0 0 L'étude précédente de g permet de proposer le tracé suivant : 0, 4 1/e 0, 36 0, 3 0, 2 0, 1 0 1 0 4 3 2 5 La fonction g est équivalente à t 7 1/t en +, donc la décroissance en + est assez lente. 4.a Étant donnée la définition de g, Z t Z t 1 H(t) = g dx = x exp(-x) dx x 1 1 Afin de calculer H, effectuons une intégration par parties. Posons Ce qui donne u(x) = x d'où u (x) = 1 v (x) = exp(-x) on choisit v(x) = - exp(-x) H(t) = [-x exp(-x)]t1 + Z t exp(-x) dx 1 1 t + [- exp(-x)]1 e 1 1 = -t exp(-t) + - exp(-t) + e e = -t exp(-t) + H(t) = 2 - (t + 1) exp(-t) e