Mines Maths toutes filières 2007

Thème de l'épreuve Études de fonctions. Quelques exemples en algèbre et géométrie.
Principaux outils utilisés études de fonctions, courbes paramétrées, intégration, équations différentielles, géométrie, algèbre linéaire élémentaire

Corrigé

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CONCOURS COMMUN 2007
DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES

Épreuve de Mathématiques
(toutes filières)

Jeudi 10 mai 2007 de 14h00 à 18h00

Instructions générales :

Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées 1/4, 
2/4, 3/4, 4/4.

\

Les candidats sont invités a porter une attention particulière a la rédaction : 
les copies illisibles ou mal
présentées seront pénalisées.

Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette a 
code à barres correspondant à
l'épreuve commune de Mathématiques.

L'emploi d'une calculatrice est interdit

PREMIER PROBLÈME

Pour tout t E Rï on définit :

f(f) = exp (EUR) etg = @.

î

\ Partie A -- Généralités \

Prouver que f et g sont C°° sur R3; et que pour tout t E R* , tf' (t) : g(t).
Montrer que g est prolongeable par continuité en O et que le prolongement 
(encore noté g) est dérivable en 0.

Faire un tableau de variations de g sur R+, en faire un graphe sachant que e_1 
: 0,36 à 10_2 près.

PPP!"

Soit H la primitive sur R3; de ! l--> g(1/t), s'annulant en 1 :

4.a. Calculer H.

4.b. En former un développement limité à l'ordre 3 au voisinage de 1.
5. Soit n 2 3 un entier naturel. On introduit l'équation (En) : f (t) = t / n, 
d'inconnue ! EUR Rï.

5.a. En utilisant la question 3, montrer que (E,) a une unique solution dans 
]0, 1[, que l'on notera an. On montrerait
identiquement (mais ce n'est pas à faire) que (En) admet une unique solution 
dans ]1, +oo[, que l'on notera Bn.
5.b. Montrer que les suites (an),,23 et (B")n23 sont monotones.

5.c. Est--il possible que l'une des deux suites converge vers une limite 1 > O 
? En déduire leurs limites.

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Partie B -- Étude d'une courbe paramétrée

On étudie ici, dans un repère orthonormal d'origine 0, la courbe paramétrée 
définie sur K; par le point M (t) de coor--

ex --1
données X(î)=f'(t)= p(t2 /t)

t
6. Déterminer les valeurs de t pour lesquelles M (t) se situe sur la première 
bissectrice du plan d'équation cartésienne

y = x.
7. Étudier la limite de la pente de la droite (OM (t)) lorsque t tend vers 0+ 
et +00.

y =g = eXp<"1/') 8. En utilisant la question 3, faire un tableau de variation de x et y sur R3; avec limites aux bornes 0+ et +00. 9. En utilisant les deux questions précédentes, tracer la courbe en repérant les tangentes verticales ou horizontales, on pourra utiliser que 4e_2 : O, 54 a 10_2 près. | Partie C -- Fonctions définies par des intégrales On prolonge maintenant f a R+ en posant f (0) = O. 10. Montrer que l'application f ainsi prolongée est de classe C1 sur R+ ; préciser ]" (O) et montrer que l'égalité de la question 1 reste valable pour t = O. 11. Soit x E R* , on note: F®=/f®fifiw=/gwü () () 11.a. Justifier l'existence de ces intégrales que l 'on ne cherchera surtout pas à calculer puis montrer que _ l F(x) =xe X --G(x). 11.b. En séparant l'intégrale G(x) en deux, montrer qu'il existe une constante C réelle telle que pour tout x 2 l, 0 £ G(x) £ C+ln(x). 11.c. En déduire que G(x) est négligeable devant x au voisinage de +00 ainsi qu'un équivalent de F (x) au voisinage de +00. 12. Résoudre sur R3; l'équation différentielle (E) : x2y' + y = x2, l'expression générale de la solution fera apparaitre la fonction F . Partie D -- Étude qualitative d'une équation différentielle On considère maintenant une application y solution de (E) : x2y' + y = x2 cette fois sur R+, de classe C°° sur R+. Nous allons, sans aucun calcul explicite de y, déterminer entièrement la suite des un : y(") (0) a partir de l'équation (E). 13. Que vaut u0 : y(O) ? 14. En dérivant (E), calculer u1 : y' (0) et u2 : y" (0). 15. Peut--on avoir y de la forme : x l--> 06962 + Bx+ }! avec (oc, B, 7!) E R3 ?

16. Soit n un entier naturel.

16.a. On suppose ici n 2 3. Prouver a l'aide de la formule de Leibniz que pour 
tout x E R+ :
X2r("+1) (X) + (1 + 2nX)r(") (X) + "(n -- 1)r("_1) (X) = 0-

En déduire une relation de récurrence entre un et un_1.

16.b. Donner une expression de un utilisant une factorielle, valable pour tout 
n 2 2; en déduire les développements
limités (dont on justifiera l'existence) de y atout ordre au voisinage de O.

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DEUXIÈME PROBLÈME

Dans tout ce problème, on se place dans l'espace usuel dont on notera (? 
l'ensemble des points, E l'ensemble des vecteurs
% % % % _ , ,
et O le vecteur nul. (? est muni d'un repère orthonormal direct % = (0, i , j , 
k ), toutes les équations de l'énoncé seront
--> % % % -->
relatives aux éléments de ce repère. Si M EUR (EUR et OM : x i + y j +z k on 
pourra noter M : (x,y,z) et OM : (x,y,z).

On considère les ensembles P et Q d'équations cartésiennes :

P:x+z=0,Q:x+y+z--3=O.

Partie A -- Étude d'un mouvement dans l'espace

Pour toutt E R, on introduit le point N (t) de (? caractérisé dans % par les 
coordonnées { b

Prouver que N (t) appartient au plan P.

Donner une équation paramétrique de la droite D intersection de P et Q. Est--il 
possible que N (t) E D ?

Calculer a2(t) + b2(t) + c2 (t). En déduire que N (t) appartient a un cercle de 
P dont on précisera le centre et le rayon.
Calculer la distance de N (t) a la droite D puis au plan Q, on pourra vérifier 
que leur rapport est constant.

Prouver que pour tout t E R : exp(it) + exp(i(t + 27r/3)) + exp(i(t -- 27t/3)) 
: 0.

En déduire l'isobarycentre des points N (t),N (! + 27ï/3),N(t -- 27t / 3).

.°S"PS"Pt"

| Partie B -- Construction d'un polynôme |

s(t) : a(t) + b(t) + c(t)
On fixe maintenant ! E R et on note d(t) : a(t)b(t) + a(t)c(t) + b(t)c(t)
@ )

W) = (!)b(t CO)

7. Simplifier s(t).
8. Linéariser le produit de fonctions trigonométriques p(t).
9. Calculer d (t) de deux manières différentes -- on pourra utiliser un 
résultat de la question 3.
10. On considère maintenant le polynôme R(X ) = (X -- a(t)) (X -- b(t))(X -- 
c(t)), dont les racines sont donc a(t) , b(t) et
c(t) :
10.a. Dans cette question seulement ! : 7t / 2. Montrer sans calculer R(X ) ni 
R' (X) que R' (O) = O.

10.b. Exprimer maintenant R(X ) en fonction de s(t), d(t), p(t), puis en 
fonction des résultats des questions
précédentes.

| Partie C -- Endomorphismes à noyau imposé |

11. Montrer que P définit un plan vectoriel de E .

12. Est--ce le cas pour Q ? Préciser, sans preuve, la structure algébrique de Q.

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13. On introduit les vecteurs :

?- (?_î)7'--7î'--L(î+î)
--.> --.> --> , .
Montrer que ( z ' , ] ' ) est une base orthonormale de P et que k ' en est un 
vecteur normal. En dedurre que

%
B' = ( i ' , j ' , k') est une base orthonormale de l'espace.

, . % _> . . % _> . % ,
14. On des1gne par a . b le produit scalaire de deux vecteurs a et b . Sort @ E 
E. Prouver, autrement que par << c est du cours >>, que ses coordonnées dans la base B' sont données par :

15. On considère ici une application linéaire u : E --> E telle que P C ker(u).

%
15.a. Prouver qu'il existe ? E E tel que u(Î) : (?. k ')Î pour tout ? E E.

15.b. Réciproquement, montrer qu'une application u donnée par la formule 
précédente est un endomorphisme de E
tel que P C ker(u).

. . , . --> , .
15.c. Donner une condition necessaire et suffisante sur z pour que P : ker(u). 
Donner dans ce cas le rang et l image
de u.

Partie D -- Matrices de projecteur |

On note ici p : E --> E le projecteur orthogonal sur le plan P, B la base (Y, ?
àla question 13. On introduit les matrices :

--> --> _ _
, k ) et B' = ( ' , k') la base introduite

100 100
M'=OlO,I=OIO
000 001

16. Justifier très rapidement que M' est la matrice de p dans la base B' .

17. Donner la matrice de passage P de la base B a la base B' ainsi que son 
inverse -- on détaillera le raisonnement pour
cette dernière.

18. Soit M la matrice de p dans la base B :

18.3. Justifier sans calcul que M 2 = M.
18.b. En déduire que pour tout n E N,
(M+I)" : 1+ (2" -- l)M.

18.c. Exprimer M en fonction de P, P_1 et M' . Ensuite, calculer explicitement 
M.

19. On peut traiter cette partie sans avoir trouvé explicitement M. On 
introduit l'ensemble %! des matrices du type
Ma,b : aM+ bl, où a et b sont réels :

19.a. Montrer que l'ensemble %! muni des lois usuelles sur les matrices a une 
structure de R--espace vectoriel dont
on donnera une base et la dimension.

19.b. Les réels et et 19 étant donnés, exprimer Ma,b en fonction de P, P_1 ,] 
et M' . En déduire une forme factorisée du
déterminant de Ma,b ainsi qu'une condition nécessaire et suffisante pour 
qu'elle soit inversible.

19.c. Déterminer les réels @ et f tels que Ma,b >< Mad : Me,f-- 19.d. Lorsque Ma,b est inversible, exprimer son inverse sous la forme d'un élément de %! . FIN DE L'ÉPREUVE CONCOURS COMMUN SUP 2007 DES ECOLES DES MINES D'ALBI, ALES, DOUAI, NANTES Épreuve de Mathématiques (toutes filières) Page 4/4