Mines Maths toutes filières 2006

Thème de l'épreuve Quelques exemples en algèbre (polynômes, espaces vectoriels de dimension finie), propriétés d'une suite de fonctions
Principaux outils utilisés polynômes à coefficients entiers, étude d'une courbe en coordonnées polaires, suites numériques, étude d'une fonction, algèbre linéaire

Corrigé

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CONCOURS COMMUN 2006 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALES, DOUAI, NANTES Epreuve de Mathématiques (toutes filières) Jeudi 11 mai 2006 de 14h00 à 18h00 Instructions générales : Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées 1/4, 2/4, 3/4, 4/4. Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées. Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à code à barres corres- pondante. L'emploi d'une calculatrice est interdit PREMIER PROBLÈME [R désigne l'ensemble des nombres réels. On notera M2(R) l'ensemble des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels. On rappelle que (M2(R),+,.) est un espace vectoriel sur [R et >< désigne la mul-- tiplication des matrices. C désigne l'ensemble des complexes. On notera |z| le module d'un complexe z. Les différentes parties de ce problème ont un lien entre elles mais peuvent être traitées séparément. Étude d'une fonction. 22 2--21" Soit f la fonction qui à un complexe z associe, lorsque c'est possible, f (2) = 1. Déterminer le domaine de définition D de f 2. a. Déterminer les racines carrées complexes de 8 -- 6i . b. En déduire tous les antécédents de 1 + i par f . 3. Soit h un complexe. Discuter suivant les valeurs de h le nombre d'antécédents de h par f . 4. Déterminer l'image f (D) de D par f . La fonction f est--elle une application surjective de D dans (C '? S. f est elle une application injective de D dans C ? Soit g l'application définie sur D à valeur dans E et telle que : Z2 +z3 v z GD, g(2) = ]Z -- 2i|2 _ z -- 21 6. Soit 2 un complexe appartenant à D de partie réelle x et de partie imaginaire y. Trouver la partie réelle et la partie imaginaire de g(z). Montrer en particulier que la partie réelle de g(z) est : 2x3 ---- 2xy2 -- 4xy . Soit le plan P rapporté à un repère orthonormé direct R( O,è],ë2 ). Soit F l'ensemble des points M du plan d'affixe 2 tels que g(z) est un imaginaire pur. 7. Montrer que F est inclus dans la réunion d'une droite A et d'une conique C. Préciser F. 8. Déterminer la nature de C. Préciser le centre et les axes de C. Déterminer l'excentricité de C ainsi que les coordonnées de ses foyers dans le repère R. ' Etude d'un polynôme. Soit a un entier naturel. Soit Pa la fonction polynôme définie sur IR par : Vt ER, Pa(t) =t3 --t(a2+2a)+2 . Le but de cette partie est de trouver a tel que Pa possède trois racines dans Z. On suppose que a existe. Soient î1 , t2 , t_. les 3 racines de Pa avec il 5 t2 5 t3. 9. Que valent t1 + t, + Q et tl t2 t3 ? 10. Calculer Pa(0) et en déduire que tl < 0. 11. Déduire du 9. et du 10. que t1 _<_ 0 S t2 5 t3 5 --t1 puis les valeurs de t1 , t2 , t3 . 12. Montrer que Pa' (t,) = 0. En déduire la valeur de a . 13. Réciproquement, montrer que la valeur de a ainsi trouvée convient bien. Étude de deux ensembles de matrices. x --... . Soit (x, y) un élément quelconque de [R' . On note M x y la matrice [ 2 y, y ) . , x + y Soit E le sous--ensemble de M2([R) tel que Z={ MW , (x, y) E R'}. 14. Quelle relation doivent vérifier x et y pour que la matrice MX, ne soit pas inversible '? y Calculer le produit MW >< M_x, y . En déduire l'inverse de MX, y lorsqu'il existe. 15. Z est--il un sous--espace vectoriel de (M2(R),+,.) '? On justifiera sa réponse. 0 0 SoitA =( 2 O] E M2([R) et J={A+ MW , (x, y) eR'}. 16. Montrer que J est un sous-espace vectoriel de (MNR),+,.). 17. Quelle est la dimension de J ? Déterminer une base de J. 18. Montrer que la loi >< est interne dans J. Étude d'une application de M2OEQ. Soit B une matrice quelconque de M2( R). Soit (pB l'application de M2([R) dans M2( [R) qui à la ma- trice X associe la matrice (pB (X) = B> acos(x)+b avec (a,b)eR2. Résoudre (E) sur IR. 12. Trouver la fonction h définie sur [R, solution de (E) et qui vérifie :h(O) : l. ' Etude d'une courbe polaire. Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct îR(O,Î,Î). Soit F la courbe définie par l'équation polaire : p = îË--r--l%. Pour tout réel 9 on notera 519 le vecteur û9 =cos9 Î + sin9î et -- cos . sin 9 _ M( 9 ) le pomt du plan tel que OM (9) = --------ua . 2 -- cos 9 13. Soit un élément 9 de D. Montrer qu'il existe une symétrie s telle que s( M (EUR) ) = M (--9) . 14. Determmer une equat10n cartes1enne de la tangente a F au pomt M(--2-- ). 15. Tracer l'allure de la courbe I'. Étude de la fonction g : x l----> Æ--£------ . x(2 -- cos x) 16. Déterminer le domaine de définition de g. 17. Montrer que g admet une limite finie [ en 0. On prolonge g par continuité en posant : g(0) =]. 18. Déterminer le développement limité en O d'ordre 3 de g ainsi prolongée. 19. Montrer que g est dérivable en 0 et déterminer g' (0) . On admet que g est dérivable sur ]O,n] et que pour tout x de ]0,7t], g' (x) est strictement négatif. 20. Montrer que g est une bij ection entre [0,1t] et un ensemble 1 à définir. On notera h sa réciproque. Étude d'une suite qui annule fn . Soit n un entier naturel non nul. 21. Montrer que si a est un réel strictement positif qui annule fn , alors a appartient à l'intervalle [O, N? ]. 22. Montrer qu'il existe un unique réel xn appartenant à [O,7t] tel que f,.(xn) = O. 23. Montrer que la suite (xn) est convergente et déterminer sa limite. FIN DE L'ÉPREUVE

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 Mines Maths toutes filières 2006 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Roger Mansuy (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Céline Chevalier (ENS Cachan) et Benoît Chevalier (ENS Ulm). Le sujet se compose de deux problèmes entièrement indépendants et balaie une large partie du programme de première année. · Le premier problème est principalement centré sur des questions algébriques et chacune des parties peut être étudiée indépendamment des autres. La première partie permet de vérifier les connaissances théoriques sur les fonctions (dont la surjectivité et l'injectivité) à partir d'un exemple simple de fonction de la variable complexe. Cette partie est aussi l'occasion d'une étude de conique. La partie suivante est consacrée à l'étude de certains polynômes de degré 3 à racines entières et requiert davantage d'astuce que de connaissances. Les deux dernières parties permettent d'aborder l'algèbre linéaire à travers les études de sous-espaces vectoriels et d'endomorphismes de M2 (R). · Le deuxième problème, plus analytique, s'articule autour de l'étude d'une suite de fonctions (fn ). Après quelques généralités concernant la restriction de l'intervalle d'étude de ces fonctions, le problème se concentre sur le premier terme f0 qui est étudié en détail. f0 intervient ensuite de manière accessoire dans les deux parties suivantes : tout d'abord comme coefficient dans l'étude d'une équation différentielle linéaire, puis comme équation polaire d'une courbe. Une fonction annexe g est introduite puis étudiée à la partie suivante. La dernière partie est consacrée à l'étude sommaire d'une suite de zéros associée à notre suite de fonctions (fn ). Seule cette partie requiert les résultats des questions précédentes. Au final, ce sujet est assez accessible, de facture classique et utilise de nombreuses connaissances dans les différents registres du programme commun aux diverses sections. Indications Premier problème 2.a Résoudre (x + iy)2 = 8 - 6i avec (x, y) R2 . 3 Montrer que z est un antécédent de h si et seulement si z est racine d'un polynôme de degré 2 dont on calculera le discriminant. 4 Conclure à partir de la question 3. 5 Utiliser les questions 2.b ou 3. 6 Pour simplifier les calculs, on peut utiliser l'expression conjuguée. 7 Utiliser la question 6 pour obtenir l'équation de . Écrire l'équation de sous la forme d'un produit égal à 0. 9 Utiliser les relations coefficients-racines pour Pa . 10 Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires. 11 Commencer par montrer que t3 > 0. 12 Utiliser le fait que t2 = t3 est une racine double de Pa . 13 Puisque a = 1, rechercher les racines évidentes (entières) de P1 . 14 Calculer le déterminant de Mx,y . 18 Calculer les produits des vecteurs de la base trouvée à la question précédente. 20.a Montrer puis utiliser que B est inversible. 20.b Calculer l'image des quatre vecteurs de la base canonique. 21 Trouver une matrice M telle que B × M = 02 avec 02 la matrice nulle de M2 (R). Deuxième problème 3 Distinguer les cas n = 0 et n 6= 0. 4 Utiliser les questions 2 et 3. 8 Conclure à partir de l'étude des variations de la question 7. 9 Remarquer que f est de la forme u /u avec u une fonction à déterminer. 12 Utiliser la question 11. - 13 Comparer -- u- - et u . ---- 14 Donner une paramétrisation cartésienne de l'arc en exprimant 0M() dans le repère (0, - e1 , - e2 ). 17 Utiliser le fait que sin(x)/x tend vers 1 quand x tend vers 0. 18 Partir des développements limités de sin (à l'ordre 4) et de cos (à l'ordre 3) en 0. 19 Utiliser le fait que g admet un développement limité d'ordre 1 en 0.r 21 Se servir de la question 8. 22 Remplacer [ 0 ; ] dans l'énoncé par ] 0 ; ]. Utiliser ensuite la question 20. 23 Commencer par justifier que h est continue puis calculer h(0). Premier problème Étude d'une fonction 1 Un complexe z appartient à D si et seulement si z - 2i 6= 0, c'est-à-dire si et seulement si z 6= 2i. D'où D = C r {2i} 2.a Soient x et y deux réels. Puisque (x + iy)2 = x2 - y 2 + 2ixy, le complexe x + iy est une racine carrée de 8 - 6i si l'on a les relations suivantes : 2xy = -6 x2 - y 2 = 8 En particulier, en substituant y dans la seconde équation à l'aide de la première, 2 on trouve qu'il est nécessaire que x soit solution de x2 - (-6/2x) = 8 et donc de 4 2 x - 8x - 9 = 0. Puisque cette dernière équation est bicarrée, on pose X = x2 et on cherche les solutions de l'équation X2 -8X-9 = 0, à savoir 9 et -1. Les seules valeurs possibles pour x sont donc 3 et -3. À ces valeurs de x correspondent respectivement les valeurs -1 et 1 pour y. Comme la vérification est immédiate, on en déduit que Les racines carrées complexes de 8 - 6i sont 3 - i et -3 + i. On remarque que, bien évidemment, ces deux racines sont opposées. 2.b Soit z D tel que f (z) = 1 + i. Alors on a z 2 = (z - 2i)(1 + i) et en simplifiant, z 2 - (1 + i)z - 2 + 2i = 0. Le discriminant de ce polynôme est 8 - 6i et ses racines carrées ont été calculées à la question 2.a . On en déduit les racines 1+i+3-i =2 2 En conclusion, et 1+i-3+i = -1 + i 2 Les antécédents de 1 + i par f sont 2 et -1 + i. 3 Soit h un complexe. Un complexe z D est un antécédent de h par f si f (z) = h, c'est-à-dire z 2 - h(z - 2i) = 0. Le discriminant de ce polynôme est (-h)2 - 4(2ih) = h(h - 8i). Par conséquent : · Si h est différent de 0 ou de 8i, le polynôme admet deux racines distinctes. · Si h = 0 ou h = 8i, le polynôme n'admet qu'une seule racine. Dans chacun de ces cas, 2i n'est pas racine. Donc Tout complexe h admet deux antécédents distincts de h par f sauf 0 et 8i qui n'en admettent qu'un seul. 4 D'après la question précédente, tout point de C admet au moins un antécédent par f dans D. D'où f (D) = C et f est surjective de D dans C. 5 f n'est pas injective de D dans C car on a vu à la question 2.b qu'elle admet deux antécédents pour 1 + i (et plus généralement que tout nombre complexe différent de 0 et 8i admet deux antécédents). 6 En multipliant le numérateur et le dénominateur du premier terme par z + 2i, on trouve l'expression plus simple g(z) = z 2 (z + 2i) + z 3 = z(zz + 2iz) + z 3 = z|z|2 + 2iz 2 + z 3 Si l'on pose maintenant z = x + iy avec x et y deux réels, on trouve |z|2 = x2 + y 2 z 2 = x2 - y 2 + 2ixy et z 3 = x3 - 3xy 2 + i(3x2 y - y 3 ) Il suffit maintenant de combiner ces résultats pour obtenir g(z) = (x + iy)(x2 + y 2 ) + 2i(x + iy)2 + x3 - 3xy 2 + i(3x2 y - y 3 ) = 2x3 - 2xy 2 - 4xy + i(4x2 y + 2x2 - 2y 2 ) La partie réelle de g(z) est 2x3 - 2xy 2 - 4xy, la partie imaginaire est 4x2 y + 2x2 - 2y 2 . 7 Soit z C. g(z) est un imaginaire pur si sa partie réelle est nulle. Par conséquent, la question 6 permet d'affirmer que admet pour équation x3 - xy 2 - 2xy = 0 En mettant x en facteur dans le membre de gauche, on trouve que cette équation est satisfaite si x = 0 ou si x2 - y 2 - 2y = 0 (qui s'écrit aussi -x2 + (y + 1)2 = 1 en reconnaissant y 2 + 2y comme le début du développement de (y + 1)2 ). On trouve donc que est inclus dans la réunion de la droite d'équation x=0 et la conique C d'équation -x2 + (y + 1)2 = 1 En fait, on a montré qu'un point M d'affixe x + iy appartient à si, et seulement si les deux conditions suivantes sont satisfaites : x + iy 6= 2i et M appartient à la réunion C. Or le point d'affixe 2i appartient à . D'où = ( r {2i}) C avec = iR et C = {x + iy/ - x2 + (y + 1)2 = 1} 8 C est la conique d'équation cartésienne réduite -x2 + (y + 1)2 = 1, c'est donc une hyperbole de centre (0, -1), d'axes (, - e1 ) et (, - e2 ). Posons Y = y + 1. La demi-distance focale d'une hyperbole d'équation réduite -x2 /a2 + Y2 /b2 = 1 est c = a2 + b2 et l'excentricité vaut e = c/a. 2 + 12 = Ici, on obtientc = 1 2 donc les foyers sont (0, 2) et (0, - 2) et l'excentricité e = 2/1 = 2.