Mines Maths toutes filières 2005

Thème de l'épreuve Applications linéaires en dimension 3. Étude de fonctions.
Principaux outils utilisés équations de plans, calcul matriciel, changement de base, projecteurs, suites récurrentes linéaires, études de fonctions, suites un+1=f(un), courbes paramétrées, fonctions définies par une intégrale, équations différentielles

Corrigé

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CONCOURS COMMUN 2005 DES ECOLES DES MINES D'ALBI, ALES, DOUAI, NANTES Épreuve de Mathématiques (toutes filières) Jeudi 19 mai 2005 ,de 14h00 à 18h00 Instructions générales: Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées 1 / 4, 2/4, 3/4, 4/4. Les candidats sont invités à porter une attention particulière a la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées. Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à code à barres correspon-- dante. L'emploi d'une calculatrice est interdit PROBLÈME D'ALGÈBRE ET DE GÉOMÉTRIE Les quatre parties A, B, C, D de ce problème Sont totalement indépendantes entre elles. Dans tout ce problème, on se place dans l'espace usuel muni d'un repère orthonormé direct --.--> --.> --+ R = (O, 2 , j , k ) . On note 5 l'ensemble des points de l'espace et E l'ensemble des vecteurs de l'espace. Les difïérentes coordonnées et équations qui apparaissent dans l'énoncé sont relatives au repère R. Si Î = x? + y? + zÎ, on pourra aussi noter Î : (a:, y, z) . Si (1,5 et 5 sont trois réels fixés et si "17, Î' et W sont trois vecteurs fixés de E, on note f l'application linéaire de E dans E définie pour tout vecteur ?? de E par f(Î) =a(Î-Î)î+fiÎ+6Î/\W A - Etude de l'intersection de deux plans mobiles et d'un plan fixe --> Z] = 2 k 50 = 1 Q le plan d'équation y + z = 0 et enfin, pour tout réel m, P... est le plan d'équation a: + my -- mz : 1. On note D' la droite passant par O dirigée par E' = 7 + 7 + 7 , D la droite d'équations { A -- 1) Donner un vecteur normal 7--73"... de P... ainsi qu'un point et un vecteur directeur de D. Vérifier que tous les plans P... contiennent la droite D. A - 2) Calculer 7""...' : fi...' /\ ?. En déduire que D' n'est pas orthogonale à P.... On appelle alors R... l'unique plan contenant D' et perpendiculaire à P.... Obtenir une équation cartésienne de R.... A - 3) Déterminer, pour tout réel m, les coordonnées dans R de I... point d'intersection des plans P..., Q et R.... A - 4) On note (S) d'équation 5132 + y2 + z2 = a: et O le point de Q de coordonnées (%, 0, 0) . Préciser la nature géométrique de (S) ainsi que les éléments géométriques qui le caractérisent. A - 5) Vérifier que [... appartient a (S) puis que I... appartient a un cercle dont on donnera le centre et le rayon. A - 6) Déterminer l'ensemble F des points M de EUR par lesquels passe un et un seul plan P.... Quelle est la réunion des plans P... lorsque m décrit IR? B - Etude d'un exemple d'application f Dans cette partie B, onprend Î=Î=Î+?+Î, W= Î+Î--5Î, a=3,fi= ----3 etô= 1. B - 1) Vérifier que f (oe, y, z) = (4y + 22, d, 6) où l'on exprimera d et e en fonction de a:, y et 2. B - 2) Déterminer une base et la dimension du noyau de f. f est-il un automorphisme de E ? B - 3) Enoncer complètement le théorème du rang. Obtenir le rang de f. B -- 4) Montrer, dans le cas général, que si 4,0 est une application linéaire définie sur le lR-espace vectoriel G où G est engendré par les vecteurs 'êf, EUR2' et êä', alors l'image de 90 est le IR--espace vectoriel engendré par les vecteurs go (ëî) ,g0 ('ê'2') et cp ( ë'ä') . B - 5) Déterminer une base de l'image de f. B - 6) Montrer que B' = (f (f (?)) ,f (7) ,?) est une base de E. Obtenir ensuite la matrice A' de f dans B' . B - 7) Sachant que la matrice de passage P de la base B' a la base B = (Ï, ?, ?) est l'une des deux matrices suivantes : 1601 0--21 1 P1= --8 2 0 ;P2=3--2 0 8 4 16 4 0 32 32 --16 préciser, en argumentant votre choix, laquelle est P. Donner le lien matriciel reliant A = M 3 (f) a A' = M B' (f) . C - Etude d'un deuxième exemple Dans cette partie C, on prend ÎL" = "v" = ?+ ?+ Î,a : --3,fi = 5 et 6 = O. 2 --3 --3 On admet qu' alors M = ----3 2 --3 est la matrice de f dans la base B = (7, ?, Î) . --3 ----3 2 1 0 0 On rappelle que, par convention, on note M 0 = 0 1 0 = 13. ' 0 0 1 C - 1) Prouver, par récurrence sur n, que pour tout entier naturel n, on peut trouver deux réels (qu'on notera an et bn) tels que an bn bn M " = bn an bn bn bn an On obtiendra ainsi les relations définissant an+1 et bn+1 en fonction de an et de bn. C - 2) En utilisant les relations précédemment trouvées, vérifier que Vn E ]N, bn+2 -- bn+1 -- 20bn = O. C - 3) En déduire la valeur de bn puis celle de an en fonction de n. C - 4) Vérifier que M 2 est combinaison linéaire de M et de la matrice 13. En déduire que M est inversible et expliciter les coefficients de la matrice M "1. D -- Etude d'un troisième cas Dans cette partie D, on prend fi = 6 = 0. On renomme alors g l'application f de l'introduction, soit VÎEE,g(Y) =oz(Î-Î)Î où Î' et "17' sont deux vecteurs non nuls fixés de E et où oz est un réel non nul. D - 1) Vérifier que si oz (Î- î?)-- -- 1, alors 9 est un projecteur. Démontrer ensuite que si g est un projecteur, alors 04 (Î ?) = 1. D-2) Onsupposequea(Î-Î)=1.OnnoteF1={ÎEE/îî Y= 0}etF2= {Àv /ÀGIR}. Vérifier que F1 et F2 sont supplémentaires dans E (l'écriture ? = ("515> ---- g (?)) + g (Îc') pourra être utile). Sur quel espace vectoriel parallèlement à quel autre g est--elle alors la projection ? D - 3) A l'aide des deux questions précédentes, trouver la matrice H B dans la base B = (7, ?, ?) de la projection p sur P {Y = (a:,y, 2) EUR E/oe + y + z = 0} parallèlement à la droite D --+> --> --.+ @ engendrée par _] + k -- 5 PROBLÈME D' ANALYSE ln (a:) A - Etude de la fonction ]" telle que f (w) = 0 si a: = 0 et f (a:) = sinon A - 1) Obtenir l'ensemble de définition D de f. - 2) f est-elle dérivable en 0 ? A - 3) Justifier que f est de classe C1 sur [0 ;1[. A - 4) Dresser le tableau de variations de f. On y fera apparaître les différentes limites et la valeur de f (8) . Un ln (vn) B - Etude de la suite ?) telle que vo = 3 et Vn EUR IN, vn+1 = B - 1) Montrer que Vn E ]N, on > e. B -- 2) Justifier que la suite @ converge et déterminer sa limite. 1 B- 3) MontrerqueVæ>e, 0 1000, déterminer un entier n1 a partir duquel Un est une valeur approchée de e a 10"12 près. :c2 -- 1 æln(oe) C - Etude de la fonction g telle que 9 (513) = C 1) On admet ue sur D\ {0} '(g;) ---- _L°Ïî_h(oe) avec h(æ) --ln(æ)+ 1 --æ2 q , ,g --æ2ln2(æ) _ 1+æ2' Etudier les variations de g. C - 2) Déterminer la limite de g en 1. C - 3) Déterminer la position relative de la courbe représentative de g par rapport a celle de f. Déterminer l'aire du domaine plan délimité par les courbes représentatives de f_ et de 9 ainsi que par les droites d'équation cc : 2 et a: = e. D - Tracé d'une courbe paramétrée On considère (P) la courbe donnée par le paramétrage{ ÊZË3 Î 58; pour t décrivant D\ {O} . D - 1) Déterminer les asymptotes de (F) ainsi que la position relative de (I') par rapport à celles--ci. D - 2) Tracer la courbe (F) en précisant la tangente au point de paramètre t = e. E - Solutions d'une équation différentielle On note (El) lequat1on différentielle ----a: 2' (a:) + 5132 (ac) : z2 (a:). On recherche les fonctions z solutions de (El) sur K = ]1 ;+oo[ et qui ne s'annulent pas sur K. 1 E - 1) On pose y : --Z--. Vérifier que y est solution sur K d'une équation différentielle linéaire du premier ordre (Eg) . ln aa: E - 2) Résoudre (Eg) sur K. On vérifiera ensuite que ces solutions sont de la forme ga : oe +-----> (a: ) . :1: Vérifier que, pour a > 1, ga ne s'annule pas sur K. On a donc ainsi z (oe) : ln (art) 33 E - 3) Pour (1 > 0, on note (Ca) la courbe représentative de la fonction fa : oe t-----+ ln (aoe). Montrer que (Ca) est l'image de (Cl) par une homothétie de centre 0 dont on précisera le rapport. F - Etude d'une fonction définie à l'aide d'une intégrale On pose H(æ) : -î--/æf(t) dt. 0 F - 1) Déterminer l'ensemble de définition J de H. F - 2) Etudier la limite de H en 0. F -- 3) Justifier qu'il existe un réel @ dans ]0 ; 1] tel que VoeEUR[a;1[,â--(æ--1)Sin(oe)£%(oe--l) En déduire la limite de H à gauche en 1. FIN DU SUJET

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 Mines Maths toutes filières 2005 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Thomas Chomette (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Céline Chevalier (ENS Cachan) et Thomas Vidick (ENS Ulm). L'épreuve est composée de deux problèmes, l'un d'algèbre et de géométrie, l'autre d'analyse. Peu de questions présentent de grosses difficultés. Cependant, le sujet est très long, et les thèmes abordés extrêmement divers. Il convient pour réussir cette épreuve de bien connaître l'ensemble du cours de première année. Le problème d'algèbre et de géométrie est constitué de quatre parties indépendantes entre elles. · La première partie étudie les intersections d'un plan fixe avec deux autres plans, dépendant d'un paramètre réel. On y décrit le lieu des intersections. · Les trois autres parties sont consacrées à l'étude d'exemples d'endomorphismes de l'espace euclidien E de dimension 3, du type : E - E f: - - - - - X 7- ( X · - u ) v + X + X - w La deuxième et la troisième partie étudient deux exemples explicites, et sont l'occasion de problèmes de changement de base et de calcul matriciel. La dernière partie, plus théorique, traite du cas = = 0. On y détermine une condition sur , - u et - v pour que l'application soit un projecteur, dont on cherche alors les éléments caractéristiques. Le problème d'analyse est constitué de six parties qui, si elles ne sont pas totalement indépendantes, traitent tout de même de sujets largement séparés. · La première est consacrée à l'étude de la régularité et des variations de la fonction f définie par f (x) = x/ ln(x), prolongée en 0 par la valeur 0. · Dans la deuxième, on étudie la suite définie par la relation vn+1 = f (vn ), avec v0 = 3. On montre qu'elle converge vers e, puis on étudie la vitesse de convergence. x2 - 1 · La troisième partie étudie la fonction g : x 7- , ainsi que la position x ln(x) relative de sa courbe par rapport à celle de f . Cette partie se termine par un calcul d'intégrale. · Dans la quatrième partie, on construit la courbe paramétrée par ( x(t) = f (t) y(t) = g(t) après avoir précisé ses asymptotes et sa position par rapport à celles-ci. · Dans la cinquième partie, on cherche les solutions positives sur ] 1 ; + [ de l'équation différentielle -x2 z + xz = z 2 . On se ramène à une équation différentielle linéaire grâce au changement de fonction inconnue y = 1/z. Z 1 x · La dernière partie, enfin, étudie la fonction H : x 7- f (t)dt. On s'intéresse x 0 à son domaine de définition et à ses limites aux bornes. Indications Problème d'algèbre et de géométrie A.2 Chercher un point et deux vecteurs directeurs de Rm non colinéaires. A.5 Se rappeler que les points Im sont tous sur un plan fixe. A.6 Étant donné M(x, y, z), chercher les valeurs de m telles que M Pm . La réunion des plans Pm est l'union des points qui appartiennent à un seul Pm et de ceux qui appartiennent à plusieurs Pm . B.5 Utiliser la question précédente pour obtenir une famille génératrice. B.7 Mettre en évidence la matrice de passage de B à B . C.2 Exprimer bn+2 - bn+1 en fonction de an+1 et bn+1 , puis de an et bn . C.4 Écrire la matrice M2 . - D.1 Calculer g g( X ). D.2 Déterminer Ker g et Im g. D.3 Commencer par déterminer la projection sur D parallèlement à P. Problème d'analyse A.3 Dériver f et calculer la limite de f en 0. B.2 Montrer que v est décroissante. B.3 Utiliser les variations de la fonction x 7- x(1 - x). B.5 Raisonner par récurrence en utilisant la question précédente. C.1 Étudier les variations de la fonction h pour déterminer son signe. 1 une dérivée logarithmique. C.3 Reconnaître en x ln(x) D.1 En +, calculer lim y(t)/x(t). t+ D.2 Représenter les éléments caractéristiques de la courbe (asymptotes et tangente verticale), puis utiliser les variations conjointes de f et g pour la tracer. E.3 Considérer l'image du point de coordonnées (x, fa (x)) par une homothétie de centre O. F.2 Reconnaître un taux de variations. ln(x) F.3 Calculer lim . x1 x - 1 Z x Pour la limite de H, encadrer f (t) dt. a Problème d'algèbre et de géométrie A. Étude de l'intersection de deux plans mobiles et d'un plan fixe A.1 Soit m R. Pm ayant pour équation cartésienne x + my - mz = 1, un vecteur normal à Pm est - n m = (1, m, -m) Grâce aux équations de D, on trouve pour y = z = 0, le point A de coordonnées (1, 0, 0), et pour y = z = 1 le point B de coordonnées (1, 1, 1). On en déduit que - le vecteur AB = (0, 1, 1) est un vecteur directeur de D. D passe par A(1, 0, 0), et est dirigée par le vecteur (0, 1, 1). Soit M D. Les coordonnées (x, y, z) de M vérifient alors y = z et x = 1. D'où x + my - mz = 1 + m(y - z) = 1, c'est-à-dire M Pm . On a alors montré que m R D Pm A.2 Soit m R. D'après la question précédente, on a - n m = (1, m, -m). En outre, - a = (1, 1, 1), donc, en effectuant le produit vectoriel, on a : - - - r m = nm a = (2m, -1 - m, 1 - m) - En particulier, le vecteur - r m n'est jamais nul : si m = 0, alors rm est le vecteur (0, -1, 1), et si m 6= 0, alors la première composante 2m est non nulle. - - Or le fait que le produit vectoriel - n m a est non nul signifie notamment que a - - - n'est pas colinéaire à nm . Enfin nm est un vecteur normal au plan Pm et a est un vecteur directeur de la droite D , d'où l'on déduit que D n'est pas orthogonale à Pm . Pour déterminer le plan Rm , il suffit d'avoir un point et deux vecteurs directeurs non colinéaires. Ici Rm contient D , donc l'origine O, et - a est un vecteur directeur - de Rm . De plus Rm est perpendiculaire à Pm , donc nm est un vecteur directeur - - de Rm . Le produit vectoriel - r m = nm a est alors un vecteur normal à Rm . Puisqu'on connaît un point et un vecteur normal, on obtient aisément l'équation cartésienne de Rm . Un point M de coordonnées (x, y, z) est dans Rm si et seulement -- si OM · - r = 0, ce qui analytiquement s'exprime par la condition : m Rm : 2mx - (1 + m)y + (1 - m)z = 0 Dans la question précédente, on aurait pu prendre n'importe quel multiple de (1, m, -m) comme vecteur normal de Pm . Le vecteur - r m aurait lui aussi été multiplié par une constante, mais sa direction n'aurait pas été modifiée, et l'on aurait naturellement trouvé le même plan Rm . A.3 Soit m R. Les coordonnées (x, y, z) du point Im vérifient les équations des trois plans Pm , Q et Rm , soit le système : x + my - mz = 1 y+z = 0 2mx - (1 + m)y + (1 - m)z = 0 On utilise l'équation y + z = 0 pour éliminer les termes en z dans les autres. On obtient les systèmes : 1 x= 1 + 2m2 y+z = 0 z = -y m x + 2my = 1 (1 + 2m2 )x = 1 y = 1 + 2m2 2mx - 2y = 0 y = mx z = - m 1 + 2m2 Ainsi, Im est le point de coordonnées 1 m m , ,- . 1 + 2m2 1 + 2m2 1 + 2m2 A.4 On reconnaît l'équation d'une sphère (éventuellement vide). Pour déterminer ses éléments caractéristiques, on met l'équation sous forme canonique. L'équation de (S) devient x2 - x + y 2 + z 2 = 0, soit 2 2 1 1 1 2 2 x- +y +z = = 2 4 2 (S) est la sphère de centre (1/2, 0, 0) et de rayon 1/2. A.5 Soit m R. Il suffit de remplacer x, y et z par les coordonnées de Im dans l'équation de (S). Ce qui s'écrit : 2 2 2 1 m -m 1 + + = 1 + 2m2 1 + 2m2 1 + 2m2 1 + 2m2 donc Im (S) Mais l'on sait aussi que Im est sur un plan fixe (qui ne dépend pas de m), en l'occurrence le plan Q d'équation y + z = 0. Ainsi Im est situé sur le cercle formé par l'intersection du plan Q et de la sphère (S). Comme le centre de la sphère (S) est situé sur le plan Q, est aussi le centre du cercle obtenu, dont le rayon est toujours 1/2. Le cercle recherché est de centre et de rayon 1/2, c'est l'intersection de la sphère (S) et du plan Q. Plus généralement, le centre du cercle obtenu par intersection d'une sphère et d'un plan est le projeté orthogonal du centre de la sphère sur ledit plan. On obtient ensuite le rayon du cercle par le théorème de Pythagore !