Mines Maths toutes filières 2005

Thème de l'épreuve Applications linéaires en dimension 3. Étude de fonctions.
Principaux outils utilisés équations de plans, calcul matriciel, changement de base, projecteurs, suites récurrentes linéaires, études de fonctions, suites un+1=f(un), courbes paramétrées, fonctions définies par une intégrale, équations différentielles

Corrigé

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CONCOURS COMMUN 2005
DES ECOLES DES MINES D'ALBI, ALES, DOUAI, NANTES

Épreuve de Mathématiques
(toutes filières)

Jeudi 19 mai 2005 ,de 14h00 à 18h00

Instructions générales:

Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées 1 / 4, 
2/4, 3/4, 4/4.
Les candidats sont invités à porter une attention particulière a la rédaction : 
les copies illisibles ou

mal présentées seront pénalisées.
Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à 
code à barres correspon--

dante.

L'emploi d'une calculatrice est interdit

PROBLÈME D'ALGÈBRE ET DE GÉOMÉTRIE

Les quatre parties A, B, C, D de ce problème Sont totalement indépendantes 
entre elles.

Dans tout ce problème, on se place dans l'espace usuel muni d'un repère 
orthonormé direct
--.--> --.> --+

R = (O, 2 , j , k ) . On note 5 l'ensemble des points de l'espace et E 
l'ensemble des vecteurs de

l'espace. Les difïérentes coordonnées et équations qui apparaissent dans 
l'énoncé sont relatives au
repère R.

Si Î = x? + y? + zÎ, on pourra aussi noter Î : (a:, y, z) .

Si (1,5 et 5 sont trois réels fixés et si "17, Î' et W sont trois vecteurs 
fixés de E, on note f
l'application linéaire de E dans E définie pour tout vecteur ?? de E par

f(Î) =a(Î-Î)î+fiÎ+6Î/\W

A - Etude de l'intersection de deux plans mobiles et d'un plan fixe
--> Z] = 2
k 50 = 1

Q le plan d'équation y + z = 0 et enfin, pour tout réel m, P... est le plan 
d'équation a: + my -- mz : 1.

On note D' la droite passant par O dirigée par E' = 7 + 7 + 7

, D la droite d'équations {

A -- 1) Donner un vecteur normal 7--73"... de P... ainsi qu'un point et un 
vecteur directeur de D.

Vérifier que tous les plans P... contiennent la droite D.

A - 2) Calculer 7""...' : fi...' /\ ?. En déduire que D' n'est pas orthogonale 
à P.... On appelle alors R...
l'unique plan contenant D' et perpendiculaire à P.... Obtenir une équation 
cartésienne de R....

A - 3) Déterminer, pour tout réel m, les coordonnées dans R de I... point 
d'intersection des plans

P..., Q et R....
A - 4) On note (S) d'équation 5132 + y2 + z2 = a: et O le point de Q de 
coordonnées (%, 0, 0) .

Préciser la nature géométrique de (S) ainsi que les éléments géométriques qui 
le caractérisent.

A - 5) Vérifier que [... appartient a (S) puis que I... appartient a un cercle 
dont on donnera le centre
et le rayon.

A - 6) Déterminer l'ensemble F des points M de EUR par lesquels passe un et un 
seul plan P....

Quelle est la réunion des plans P... lorsque m décrit IR?

B - Etude d'un exemple d'application f
Dans cette partie B, onprend Î=Î=Î+?+Î, W= Î+Î--5Î, a=3,fi= ----3 etô= 1.

B - 1) Vérifier que f (oe, y, z) = (4y + 22, d, 6) où l'on exprimera d et e en 
fonction de a:, y et 2.
B - 2) Déterminer une base et la dimension du noyau de f. f est-il un 
automorphisme de E ?
B - 3) Enoncer complètement le théorème du rang. Obtenir le rang de f.

B -- 4) Montrer, dans le cas général, que si 4,0 est une application linéaire 
définie sur le lR-espace
vectoriel G où G est engendré par les vecteurs 'êf, EUR2' et êä', alors l'image 
de 90 est le IR--espace
vectoriel engendré par les vecteurs go (ëî) ,g0 ('ê'2') et cp ( ë'ä') .

B - 5) Déterminer une base de l'image de f.

B - 6) Montrer que B' = (f (f (?)) ,f (7) ,?) est une base de E.

Obtenir ensuite la matrice A' de f dans B' .

B - 7) Sachant que la matrice de passage P de la base B' a la base B = (Ï, ?, 
?) est l'une des

deux matrices suivantes :

1601 0--21

1
P1= --8 2 0 ;P2=3--2 0 8 4
16 4 0 32 32 --16

préciser, en argumentant votre choix, laquelle est P.
Donner le lien matriciel reliant A = M 3 (f) a A' = M B' (f) .

C - Etude d'un deuxième exemple

Dans cette partie C, on prend ÎL" = "v" = ?+ ?+ Î,a : --3,fi = 5 et 6 = O.
2 --3 --3
On admet qu' alors M = ----3 2 --3 est la matrice de f dans la base B = (7, ?, 
Î) .
--3 ----3 2
1 0 0
On rappelle que, par convention, on note M 0 = 0 1 0 = 13.
' 0 0 1

C - 1) Prouver, par récurrence sur n, que pour tout entier naturel n, on peut 
trouver deux réels
(qu'on notera an et bn) tels que

an bn bn
M " = bn an bn
bn bn an

On obtiendra ainsi les relations définissant an+1 et bn+1 en fonction de an et 
de bn.
C - 2) En utilisant les relations précédemment trouvées, vérifier que Vn E ]N, 
bn+2 -- bn+1 -- 20bn = O.

C - 3) En déduire la valeur de bn puis celle de an en fonction de n.

C - 4) Vérifier que M 2 est combinaison linéaire de M et de la matrice 13.

En déduire que M est inversible et expliciter les coefficients de la matrice M 
"1.

D -- Etude d'un troisième cas
Dans cette partie D, on prend fi = 6 = 0. On renomme alors g l'application f de 
l'introduction, soit

VÎEE,g(Y) =oz(Î-Î)Î
où Î' et "17' sont deux vecteurs non nuls fixés de E et où oz est un réel non 
nul.

D - 1) Vérifier que si oz (Î- î?)-- -- 1, alors 9 est un projecteur.

Démontrer ensuite que si g est un projecteur, alors 04 (Î ?) = 1.

D-2) Onsupposequea(Î-Î)=1.OnnoteF1={ÎEE/îî Y= 0}etF2= {Àv /ÀGIR}.
Vérifier que F1 et F2 sont supplémentaires dans E (l'écriture ? = ("515> ---- g 
(?)) + g (Îc') pourra
être utile).

Sur quel espace vectoriel parallèlement à quel autre g est--elle alors la 
projection ?

D - 3) A l'aide des deux questions précédentes, trouver la matrice H B dans la 
base B = (7, ?, ?)

de la projection p sur P {Y = (a:,y, 2) EUR E/oe + y + z = 0} parallèlement à 
la droite D

--+> --> --.+
@

engendrée par _] + k -- 5

PROBLÈME D' ANALYSE

ln (a:)

A - Etude de la fonction ]" telle que f (w) = 0 si a: = 0 et f (a:) = sinon

A - 1) Obtenir l'ensemble de définition D de f.
- 2) f est-elle dérivable en 0 ?
A - 3) Justifier que f est de classe C1 sur [0 ;1[.

A - 4) Dresser le tableau de variations de f.

On y fera apparaître les différentes limites et la valeur de f (8) .

Un
ln (vn)

B - Etude de la suite ?) telle que vo = 3 et Vn EUR IN, vn+1 =

B - 1) Montrer que Vn E ]N, on > e.

B -- 2) Justifier que la suite @ converge et déterminer sa limite.

1

B- 3) MontrerqueVæ>e, 0 1000, déterminer un entier n1 a partir duquel Un est 
une valeur approchée
de e a 10"12 près.

:c2 -- 1
æln(oe)

C - Etude de la fonction g telle que 9 (513) =

C 1) On admet ue sur D\ {0} '(g;) ---- _L°Ïî_h(oe) avec h(æ) --ln(æ)+ 1 --æ2
q , ,g --æ2ln2(æ) _ 1+æ2'

Etudier les variations de g.

C - 2) Déterminer la limite de g en 1.

C - 3) Déterminer la position relative de la courbe représentative de g par 
rapport a celle de f.
Déterminer l'aire du domaine plan délimité par les courbes représentatives de 
f_ et de 9 ainsi que

par les droites d'équation cc : 2 et a: = e.

D - Tracé d'une courbe paramétrée

On considère (P) la courbe donnée par le paramétrage{ ÊZË3 Î 58; pour t 
décrivant D\ {O} .

D - 1) Déterminer les asymptotes de (F) ainsi que la position relative de (I') 
par rapport à celles--ci.

D - 2) Tracer la courbe (F) en précisant la tangente au point de paramètre t = 
e.

E - Solutions d'une équation différentielle
On note (El) lequat1on différentielle ----a: 2' (a:) + 5132 (ac) : z2 (a:).

On recherche les fonctions z solutions de (El) sur K = ]1 ;+oo[ et qui ne 
s'annulent pas sur K.

1
E - 1) On pose y : --Z--. Vérifier que y est solution sur K d'une équation 
différentielle linéaire du

premier ordre (Eg) .

ln aa:
E - 2) Résoudre (Eg) sur K. On vérifiera ensuite que ces solutions sont de la 
forme ga : oe +-----> (a: ) .
:1:
Vérifier que, pour a > 1, ga ne s'annule pas sur K. On a donc ainsi z (oe) : ln 
(art)
33
E - 3) Pour (1 > 0, on note (Ca) la courbe représentative de la fonction fa : 
oe t-----+ ln (aoe).

Montrer que (Ca) est l'image de (Cl) par une homothétie de centre 0 dont on 
précisera le rapport.

F - Etude d'une fonction définie à l'aide d'une intégrale

On pose H(æ) : -î--/æf(t) dt.
0

F - 1) Déterminer l'ensemble de définition J de H.

F - 2) Etudier la limite de H en 0.
F -- 3) Justifier qu'il existe un réel @ dans ]0 ; 1] tel que

VoeEUR[a;1[,â--(æ--1)Sin(oe)£%(oe--l)

En déduire la limite de H à gauche en 1.

FIN DU SUJET