Mines Maths toutes filières 2004

Thème de l'épreuve Automorphismes orthogonaux et applications en géométrie
Principaux outils utilisés algèbre bilinéaire, automorphismes orthogonaux, barycentres

Corrigé

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CONCOURS COMMUN 2004 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Epreuve de Mathématiques (toutes filières) Mardi 18 mai 2004 de 14h00 à 18h00 Instructions générales : Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées 1/4, 2/4, 3/4, 4/4. Les candidats sont invités à porter une attention particulière a la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées. Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette a code à barres corres-- pondante. L'emploi d'une calculatrice est interdit ANALYSE PREMIERE PARTIE Soit (E) l'équation différentielle : (1 -- x)2 y' = (2 -- x) y . On note 1 l'intervalle ] - oo, 1[. . . . . . 2-- 1. Calculer une pr1m1twe A de la foncüon a défime sur I par : a(x) = x . (1 -- X)2 2. Intégrer (E) sur I. 1 Soit f la fonction définie sur I par : f(x) = 1 1 e 1" . -- x 3. Calculer le développement limité de f au voisinage de 0 à l'ordre 3. DEUXIEME PARTIE 4. Prouver par récurrence que, pour tout entier naturel 11, il existe un polynôme Pn tel que : 1 1 __ f(") (x) = P,,(1 )e 1" pour tout réel x appartenant à I. -- x La démonstration permet d'exprimer Pn+1 (X) en fonction de Pn (X), P',1 (X) et X . Expliciter cette relation. 5. Préciser PO , P1 , P2 et P3. 6. En dérivant n fois les deux membres de l'équation (E), prouver que pour tout entier positif n : Pn+1(X) = [<2n+1)X + X2] Pn (X) -- n2 X2 P...(X) TROISIEME PARTIE Le but de cette partie est d'établir quelques propriétés des nombres an = fin) (0). 7. Pour tout entier positif n, exprimer an+1 en fonction de n, an et 311--1-- 8. a) Préciser, sans nouveau calcul : ao , a1 , a2 , a3. En déduire a4. b) Préciser le développement limité de f au voisinage de 0 à l'ordre 4. p 1 9. On désigne par (up) la suite définie pour tout entier naturel p par : u p = ; . i=0 - En appliquant une formule de Taylor à la fonction exponentielle, prouver que la suite (up) converge vers e. p et n désignant des entiers naturels quelconques, on pose : p (n + 1)! .=0 (i 02 Sp(n)= 10. a) Exprimer Sp(O) et Sp(l) à l'aide de up et up_1 pour p 2 1. b) Prouver que les suites p ----) Sp(0) et p --> Sp(l) convergent et préciser leur limite en fonction de e. 11. Prouver que quels que soient les entiers p et n supérieurs ou égaux à l : Sp(n+l) --(2n+2) Sp(n) +n2 Sp(n-l) = Sp_1(n) -- Sp(n) 12. En déduire que pour tout entier naturel 11, la suite p ----> Sp(n) converge. p ' ! , p n +i 13. Prouver que : an = lim 2 (n +1) : 11m n!Z ( )--1-- i=0 " ,...... @ (i!)2 p-->+oe 'i! FIN DU PROBLEME D'ANALYSE , ALGEBRE ET GEOMETRIE PREMIERE PARTIE 1 0 O 0 1 0 Soient I et ] les matrices définies par : 1 = O 1 O et J = 0 O 1 . 0 0 1 1 0 0 --> ----> --> --> E désigne l'espace vectoriel usuel orienté muni d'une base orthonormée directe B = ( i , j , k ) . _, Soit : f l'endomorphisme de E défini par sa matrice J relativement à la base B et --> 1 --> --> --> u=-- i+ '+k 3( ] ) f _) 1. Calculer f ( u ) et prouver que le plan Q d'équation : x + y + z = 0 est stable par f (c'est-à-dire que l'image par f de tout vecteur de Q appartient à Q). -->-->1-->-->--> 2. Onpose v =i+î(--j--k) et w=ûA17.. a) Vérifier que (i7 , îv) est une base du plan Q. ----> --> --> ----> b) (u , v , w )est--elle une base orthonormée directe de E ? c) Trouver un réelâ tel que : f (3) = cos(6) iî + sin(9) îv et f (W) = --sin(H) 17 + cos(â) VT». d) Que pensez vous de la nature géométrique de la restriction de f à Q '? DEUXIEME PARTIE x --> --> --> --> --> ----> Pour tout vecteur t = x i + y j+ z k , on note [t] = y la matrice de t relativement à la base B. Z --> ----> --> On définit ainsi les matrices colonnes à coefficients complexes Xl =«/ä . [u] , X2 = [v] +i [w] et ----> --> X3 = [v] -i [w] et on désigne par P la matrice carrée d'ordre 3 : P = [X1 X2 X3] 3. a) Exprimer les coefficients non réels de P en fonction de j et j 2. 217: (On rappelle que j désigne le nombre complexe e 3 ). b) Soit ? la matrice dont les coefficients sont les conjugués de ceux de P. Exprimer le produit P.P en fonction de la matrice l. 4. a) Pouri & {l, 2 ,3 }, calculer JXi en fonction de Xi . b) En déduire une matrice diagonale A telle que : PA = JP. 5. a) Prouver que l'ensemble C(J) = { M EUR M3(C) / M] = JM } des matrices M qui commutent avec J est le sous-espace vectoriel de M3(C) engendré par I, J et J2. b) Donner une base et la dimension de C(J). 6. a, b etc désignant des nombres complexes quelconques, on note : M(a, b, c) = al + bJ + 0 V. a) Calculer la matrice D (a, b, c) = P"1 M(a, b, c) P, en utilisant le résultat de la question 4.b). b) Calculer de façon indépendante les déterminants de M(a, b, c) et D (a, b, c). c) En déduire que l'expression : a3 + b3 + c3 ---- 3abc, est le produit de trois expressions de la forme oca +Bb + yc où a, B et y représentent des nombres complexes à préciser. (1) On suppose que a, b, 0 sont distincts et on considère ces nombres comme les affixes respectives des sommets A, B, C d'un triangle (T) dans un plan complexe d'origine O. Prouver que la matrice M(a, b, c) est singulière (autrement dit : non inversible ) si et seulement si (T) est équilatéral ou si O est son centre de gravité. TROISIEME PARTIE On reprend les notations de la question précédente et on construit par récurrence une suite(Tn ) de triangles de sommets An , B11 et CD en posant : .) (To) = (T). ' .) % désignant un nombre réel, pour tout entier naturel n, (Tn+1) est le triangle dont les sommets An+1, Bn+1 et Cn+1 sont tels que : An+1 est le barycentre des points pondérés (BH, k ) et (CH, l--7c ), Bn+l est le barycentre des points pondérés (CH, À ) et (An, l-X ), Cn+1 est le barycentre des points pondérés (An, ?» ) et (BH, l-7y ). On note : an, bn et on les affixes respectives des sommets An , BD et C11 Y,,= b et Zn=P'1.Yn 7. Prouver que pour tout entier n : Zn+1 = D( 0, À , l-7v ). Zn. 8. Expliciter les coefficients de la matrice (D ( 0, À , l-À ))". 9. a) On admet qu'une suite géométrique non nulle de raison complexe q converge si et seulement si q = l ou| q| < 1. Prouver que la suite définie pour tout entier n par (À j + (1 -- xl) j 2 ).. converge si et seulement si  appartient à un intervalle à préciser. b) Prouver que si cette condition est réalisée, les suites (an) , (bn) et (cn) convergent. 10. a) Exprimer an+1 + bn+1 + cn+1 en fonction de an + bn + cn. b) Prouver que les suites (an) , (bn) et (en) ont même limite. c) Exprimer cette limite en fonction de a , b et c. FIN DU PROBLEME D'ALGEBRE ET GEOMETRIE - FIN DU SUJET

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 Mines Maths toutes filières 2004 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Tristan Poullaouec (ENS Cachan) ; il a été relu par Emmanuel Cornet (ENS Ulm) et Walter Appel (Professeur en CPGE). Cette épreuve est constituée de deux problèmes totalement indépendants, le premier traitant d'analyse et le second d'algèbre et géométrie. Le problème d'analyse comporte trois parties fortement liées, même s'il est possible d'avancer en utilisant certains résultats énoncés dans le sujet. On considère dans la première partie une solution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre, dont on étudie la suite des dérivées successives dans la deuèxième partie. La troisième partie permet de faire le lien avec certaines séries et de calculer leurs sommes. Ce problème ne nécessite que des techniques très classiques : résolution d'équations différentielles, développements limités, formules de récurrence, etc. - Dans le problème d'algèbre, on se place dans un espace vectoriel euclidien E de dimension 3 et l'on y étudie un endomorphisme f défini par sa matrice J. Le but de la première partie est de caractériser géométriquement cet endomorphisme f . Dans la seconde partie, on diagonalise la matrice J puis l'on détermine son commutant C(J). Enfin, on étudie dans la troisième et dernière partie une suite récurrente de triangles, dont on détermine la limite en se servant des résultats de la partie précédente. Dans ce problème également, les trois parties dépendent fortement les unes des autres. En outre, les résultats ne sont pas mentionnés explicitement dans l'énoncé, aussi se révèle-t-il plus difficile de « sauter » des questions. Ce second problème ne comporte pas non plus de difficultés insurmontables ; il faut simplement penser à privilégier l'aspect géométrique pour démontrer les propriétés d'algèbre (bi)linéaire, afin d'éviter les calculs inutiles. Pour l'ensemble de l'épreuve, un constat s'impose : ce sujet ne pouvait pas raisonnablement être traité entièrement dans le temps imparti. Indications Problème d'analyse 1 Penser à la division euclidienne pour obtenir la décomposition en éléments simples de la fraction a. 2 Se ramener à l'équation y = a(x)y. 3 Penser à employer (E). 4 Dériver la formule proposée pour voir apparaître la relation de récurrence. 6 Utiliser la formule de Leibniz et le résultat de la question 4. 7 Employer les résultats des questions 4 et 6. 8.a Utiliser les résultats des questions 5 et 7. 9 Appliquer la formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre p à l'exponentielle entre 0 et 1. 11 Former plutôt la somme Sp (n + 1) - (2n + 1)Sp (n) + n2 Sp (n - 1). 12 Effectuer une récurrence (forte) sur n en utilisant les deux questions précédentes. 13 Étudier la suite de terme général sn = lim Sp (n) et montrer qu'elle coïncide p avec (an )nN grâce à la question 7. Problème d'algèbre et géométrie - 1 Remarquer que f est un endomorphisme orthogonal de E . 2.a Utiliser les propriétés du produit vectoriel. 2.c Penser à la nature de f . Répondre à la question 2.d pour pouvoir traiter proprement la question 2.c. 3.b Utiliser les propriétés du nombre j. 4.a Employer les résultats des questions 1 et 2.c. 4.b Donner un sens à la matrice P et utiliser les résultats de la question précédente. 5.a Pour démontrer l'inclusion directe, étudier les images des Xi par M C(J). 5.b Examiner les images successives de - i par les itérés de f . 6.c Identifier les déterminants de la question précédente. 6.d Utiliser la relation 1 + j + j 2 = 0. 7 Exprimer matriciellement les relations de récurrence entre les affixes des points de (Tn ). 8 Utiliser la question 6.a. 9.a S'intéresser à l'ensemble géométrique décrit par les points j + (1 - )j 2 . 10 Étudier la suite (Zn )nN . Problème d'Analyse Première partie 1 Pour pouvoir intégrer la fraction rationnelle x 7- a(x) sur I, il faut tout d'abord la décomposer en éléments simples. Une simple division euclidienne suffit ici : on peut écrire 2 - X = (1 - X) + 1, d'où x I a(x) = 2-x (1 - x) + 1 1 1 = = + 2 2 (1 - x) (1 - x) 1 - x (1 - x)2 Comme on connaît les primitives Z du = - ln |1 - u| + Cte 1-u et Z du 2 (1 - u) = 1 + Cte 1-u sur I = ] - ; 1 [, on en déduit, en remarquant que |1 - u| = 1 - u sur I, que La fonction A : x 7- 1 - ln (1 - x) est une primitive de a sur I. 1-x 2 L'expression (1 - x)2 ne s'annulant pas sur l'intervalle I (qui ne contient pas 1), on peut alors diviser (E) membre à membre par cette quantité : l'équation différentielle devient alors y = a(x)y (E ) Les résultats du cours sur les équations différentielles linéaires homogènes du premier ordre assurent que l'équation (E ) admet pour solutions sur I les fonctions Z x 1 y : x 7- exp a(u) du = exp A(x) = e 1-x 1 - x 0 où est un réel (ou complexe) quelconque. Les équations (E) et (E ) étant équivalentes sur I, puisque l'on passe de l'une à l'autre en multipliant membre à membre par une expression qui ne s'annule jamais, Les solutions de (E) sur I sont les fonctions y : x 7- 1 e 1-x . 1-x Avec les notations ci-dessus, on a y (0) = e × : on peut ainsi déterminer le coefficient au moyen de la valeur en 0 de la solution considérée de (E). Dans la suite du problème, on s'intéressera plus particulièrement à la fonction f = y1 , qui est la solution de (E) qui prend la valeur y = e en x = 0. 3 La fonction f est une composée de fonctions de classe C sur I puisque 1 - x ne s'annule pas sur cet intervalle : elle est donc également de classe C sur I et admet ­ ainsi que ses dérivées successives ­ un développement limité à tout ordre en 0. Ainsi, il existe des réels a, b et c tels que f (x) = e + ax + bx2 + cx3 + o x3 x0 puisque f (0) = e. La dérivation de ce développement fournit un développement limité à l'ordre 2 de f , à savoir f (x) = a + 2bx + 3cx2 + o x2 x0 Ici, c'est le caractère C de la fonction f qui permet de dériver les développements limités terme à terme, et ce à tout ordre. Enfin, f est solution de l'équation différentielle (E), soit (1 - x)2 f = (2 - x)f On a (1) (1 - x)2 f = (1 - 2x + x2 ) a + 2bx + 3cx2 + o x2 x0 = a + 2(b - a)x + (a + 3c - 4b)x2 + o x2 x0 et (2 - x)f = (2 - x) e + ax + bx2 + o x2 x0 = 2e + (2a - e)x + (2b - a)x2 + o x2 x0 Comme le développement limité d'une fonction en un point donné est unique, on déduit de la relation (1) que a = 2e 3e 7e 2(b - a) = 2a - e = 3e soit b= +a= 2 2 17e a + 3c - 4b = 3c - 12e = 2b - a = 5e soit c= 3 par identification terme à terme, d'où 7x2 17x3 f (x) = e 1 + 2x + + + o x3 x0 2 3 On peut également procéder par calcul direct, puisqu'on connaît l'expression de la fonction f . Néanmoins, cette méthode est moins « bonne » pour deux raisons : d'une part, elle est plus calculatoire, donc moins sûre ; d'autre part, en faisant cela, on perd de vue l'équation différentielle (E), qui est la base du problème. On a 1 = 1 + x + x2 + x3 + o x3 (2) 1 - x x0 | {z } u De plus, e1+u u2 u3 u 3 = e×e =e 1+u+ + +o u u0 2 6 1 - 1 ; alors 1-x u = x + x2 + x3 + o x3 --- 0 x0 2 2 3 3 3 3 3 donc u = x + 2x + o x et u = x + o x quand x tend vers 0. Posons u =