Mines Maths toutes filières 2003

Thème de l'épreuve Étude de la fonction t↦ et1+t2 et de l'une de ses primitives. Étude de l'opérateur dérivation dans l'espace des fonctions réelles indéfiniment dérivables.
Principaux outils utilisés équations différentielles, étude de fonctions, primitives, systèmes d'équations linéaires, développements limités, dérivation
Mots clefs opérateur de dérivation

Corrigé

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CONCOURS COMMUN 2003 _
DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES

Épreuve de Mathématiques

(toutes filières)

Mecredi 21 mai 2003 de 14h00 à 18h00

Instruction générales :

Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées l/4, 2 
/ 4, 3 / 4, 4/4.

Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : 
les copies illisibles ou mal présentées seront
pénalisées.

Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette 
correspondant à cette épreuve.

Aucun document n'est autorisé

L'emploi d'une calculatrice est interdit

Problème 1

Partie |

813

Nt :tEURlR .
oonsf H1+t2

C°°. Nous noterons Cf la courbe représentative de f.

Il est clair que f est définie R entier, et que cette fonction est de classe

1. ---- Quelle est la limite de f ( t) lorsque t tend vers --oo ?
2. -- Qu'en déduisez-vous au sujet de Cf ?

3. -- Complétez chacune des phrases suivantes au moyen de l'une des locutions 
«est équivalent à >>,
«est négligeable devant >>, «est dominé par >> :

f (t) ......................... et lorsque t tend vers +oo
t
e

f (t) ......................... ? lorsque t tend vers +oo
t
e

f (t) ......................... {2-- lorsque t tend vers +oo

Lorsque plusieurs réponses sont acceptables, vous donnerez la plus précise. 
Bien entendu, vous
justifierez votre choix.

4. -- Quelle est la limite de f (75) lorsque t tend vers +oo ?
5. -- Explicitez f'(t).

6. ---- Dressez le tableau des variations de f.

7. -- Explicitez f"(t).

8. ---- Montrez que l'équation f ' ' (t) = 0 possède deux solutions réelles : 
l'une est évidente, l'autre sera
notée oz. Vous ne chercherez pas à calculer oz.

1
9. ---- Prouvez l'encadrement -----5-- < a < 0. 10. -- Explicitez le développement limité de f à l'ordre 3 au voisinage de 0. Que pouvez--vous en déduire concernant Cf ? 11. -- Tracez la courbe représentative de f. Vous préciserez son allure au voisinage du point d'abscisse 1. Partie II Au vu des expressions de f (t), ]" (t) et f" (t), nous nous proposons d'établir que l'assertion A(n) suivante est vraie pour tout 71 E N : ! P,, 15 t Il existe un polynôme P,, tel que f ("')(t) : ÎÎ--IÊ2)ÎÊÏÎ pour tout t E R Vous allez raisonner par récurrence sur n. Remarque : vous pouvez confondre polynôme et fonction polynomiale. 12. -- Il est clair que A(n) est vraie pour n EUR {0,1,2} ; vous dresserez simplement un tableau donnant l'expression de P,, pour ces valeurs de n. 13. -- Fixons % EUR N , et supposons l'assertion A(n) acquise. Établissez l'assertion A(n + 1) ; vous déterminerez l'expression de Pn+1 en fonction de P,, et P,Q. Il résulte donc des questions 12 et 13 que l'assertion A(n) est vraie pour tout n E N . 14. -- Montrez que P,, a tous ses coefficients dans Z. 15. -- Précisez le degré et le coefficient dominant de P.,. 16. --- Donnez une expression simple de C,, = P,,(7Ç), où z' est le nombre complexe de module 1 et ? . 7T d argument î. Partie III Notons F : cc E R r--> / f (t) dt. Ainsi, F est la primitive de f qui s'annuIe 
en O.
0

17. -- Quel est le sens de variation de F ?

18. -- Montrez que F (a:) possède une limite EUR finie lorsque 1: tend vers 
--oo. Vous ne chercherez pas
à expliciter cette limite.

19. -- Prouvez l'encadrement --1 EUR EUR < 0. 20. -- Donnez une équation de la tangente à la courbe représentative de F, au point d'abscisse O. 21. -- Explicitez le développement limité de F à l'ordre 4 au voisinage de 0. Nous nous proposons d'étudier le comportement de F (33) lorsque ac tend vers +oo. Nous noterons "' tet "' et ' "' elt J(oe) /1 (1 dt, ' (ac) /1 t3 dt et (ac) /1 t4 22. ---- Prouvez l'existence d'une constante A telle que F (a:) = f (a:) + A + 2J(oe) pour tout réel a:. 23. -- Pour 513 > 1, placez les uns par rapport aux autres les réels 0, J (a:) 
et K (a:)

24. ---- Avec une intégration par parties soigneusement justifiée, montrez que 
K (oe) -- 3L(a:) est
(L'

négligeable devant %-- lorsque a: tend vers +00.

25. --En découpant l'intervalle [1,113] sous la forme [1,oe3/4'] U [æ3/4,oe], 
montrez que L(æ) est
négligeable devant î--î lorsque a: tend vers +00.

26. -- En déduire un équivalent simple de F (33) lorsque ac tend vers +00.

27. ---- Exploitez les résultats des questions 17, 19, 20 et 26 pour donner 
l'allure de la courbe

représentative de F .

Problème 2

Partie I

Notons E le R--espace vectoriel des applications de IR dans R de classe 600 et 
D : f E E l-----> f'. Il est
clair que D est un endomo'rphisme de E.

1. ---- Déterminez le noyau et l'image de D.

. Nous noterons

tx/Ë t_\/_Ë)

Soient f1 : 75 EUR R |--> et, f2 : t EUR RH e_t/2sin(--Î) et f3 : t E RH 
e_t/2cos( 2
B = ( f1, f2, f3) et G le sous--espace vectoriel de E engendré par B.

Nous allons montrer que B est une famille libre de vecteurs de E. Soient a, b 
et c des réels tels que
af1 + bf2 + Cf3 soit la fonction nulle.

2. ---- L'étudiante Antoinette observe que af1 (t) + b f2(t) + cf3(t) : 0 pour 
tout réel t. Elle choisit
(adroitement) trois valeurs de t, obtient un système de trois équations aux 
trois inconnues a, b et c,
qu'elle résout ; il ne lui reste plus qu'à conclure. Faites comme elle !

3. -- L'étudiante Lucie propose d'exploiter le développement limité à l'ordre 2 
de la fonction af1 +
bf2 + cf, au voisinage de 0. Faites comme elle!

4. -- L'étudiante Nicole décide de s'intéresser au comportement de af1(t) + b 
f2 (15) + cf; (t) lorsque t
tend vers +oo. Faites comme elle!

La famille 8 est donc une base de G, et ce sous--espace est de dimension 3.

5. -- Montrez que G est stable par D.

Nous noterons D l'endomorphisme de G induit par D.

6. -- Déterminez la matrice M de D dans la base B.

7. ---- Calculez M3.
8. ---- Montrez que M est inversible, et explicitez son inverse M_1.

9. -- Montrez que f) est un automorphisme de G.

A

10. ---- Exprimez (D)_1 en fonction de 15.

Partie II
Soient g et h deux éléments de G. Définissons g0(g, h) = g(0)h(0) + g'(0)h'(0) 
+ g"(0)h"(0).

11. -- Dressez un tableau a trois lignes et quatre colonnes; pour 1 < i < 3, la ligne 71 présentera les valeurs de @, fi(0), f{(0) et f{' (0) dans cet ordre. Vous ne ferez pas apparaître le détail des calculs sur votre copie. 12. ---- Montrez que go est un produit scalaire sur G. 13. -- La base 8 est--elle orthogonale ? 14. ---- La base [3 est-elle orthonormée ? Partie III Nous nous intéressons dans cette partie à l'équation différentielle y'" = y, que nous noterons (£ ) Une solution sur R de (EUR ) est une fonction f définie et trois fois dérivable sur R, vérifiant f'" (t) = f (t) pour tout t G R. 15. -- Montrez que toute solution f de (EUR ) est de classe C°°. 16. -- Montrez que la fonction nulle est la seule solution polynomiale de (EUR ) Notons T = D3 -- Id, où Id est l'identité de E, et D3 = D 0 D 0 D. Le noyau de T est donc l'ensemble des solutions de (EUR ) ' 17. --- Montrez que G est contenu dans le noyau de T. Nous allons établir l'inclusion inverse; ainsi, G sera exactement l'ensemble des solutions de (£ ) Soit f une solution de (EUR ) ; nous noterons g = f" + ]" + f. 18. -- Montrez que g est solution de l'équation différentielle y' = y. 19. -- Décrivez rapidement l'ensemble des solutions de l'équation différentielle y' -- y = O. 20. ---- Résolvez l'équation différentielle y' ' + y' + y = 0; vous donnerez une base de l'ensemble des solutions. 21. -- Soit A E ]R. Décrivez l'ensemble des solutions de l'équation différentielle y' ' + y' + y = Àe". 22. -- Et maintenant, concluez ! FIN