Mines Maths toutes filières 2002

Thème de l'épreuve Étude de fonctions définies sur R. Étude d'applications affines dans un espace affine euclidien de dimension 3.
Principaux outils utilisés suites numériques, fonction réelle d'une variable réelle, équation différentielle, espaces vectoriels et applications linéaires
Mots clefs équations différentielles, applications affines

Corrigé

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CONCOURS COMMUN SUP 2002 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve de Mathématiques (toutes filières) Mardi 21 mai 2002 de 14th à 18hQO instructions générales : Les candidats : . doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées 1/4, 2/4, 3/4 et 4/4, . sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées, . colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à code à barres correspondante. Épreuve de Mathématiques (toutes filières) Page 1/4 CONCOURS COMMUN SUP 2002 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Problème d'Analyse Arctan(t) 1. Soit f l'application de R dans IR définie par : f (0) = 1 et Vt # 0, f (t) a t 1.1 Montrer que f est continue sur ]R et paire. 1.2 Donner le développement limité à l'ordre 1 de f(t} au voisinage de 0. En déduire que f est dérivable en 0, et donner f(0). 1.3 Justifier que f est dérivable sur R, et calculer f'(t), pourt EUR R'". w2 1 , t 1.4 A l'aide d'une intégration par parties, montrer que : Vt EUR R*, / 0 En déduire le sens de variation de f. 1.5 Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthonormé ( unité : 2 cm). ( On ne demande pas l'étude des points d'infleæion} 2. Soit çb l'application de R dans R définie par : d)(0) : 1 et Va: % O, qä(x) : %] f(t)dt. 0 2.1 Montrer que 45 est continue sur ]R et paire. 2.2 Montrer que : V:}: EUR R, f (sc) _<_ d>(æ) _<_ 1. ( on pourra commencer par supposer a: > 0 ) 2.3 Montrer que : Va: EUR R'", df(x) : â(f(æ) --- <}5(æ)) Montrer que çà est dérivable en 0, avec q5'(0) : 0. Donner les variations de qb. x--++oo a: x-->+oo 2.4 Montrer que : lim 1/ f{t)dt : 0. En déduire que lim " cp(æ) "S le). 2.6 Soit go EUR £(E). On suppose qu'il existe une base orthonormée de E dans laquelle la matrice de go est diagonale, à éléments diagonauæ strictement inférieurs à 1 en valeur absolue. Montrer que 90 EUR 8. Épreuve de Mathématiques (toutes filières) Page 3/4 CONCOURS COMMUN SUP 2002 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALES, DOUAI, NANTES 3 1 ---1 3. Soit u l 'endomorphisme de E dont la matrice relativement à B est M = EUR 1 3 1 ----1 1 1 310 d'fi 't ' 1(e e e) e' 1(e1+e2)etel-- 1(e1 e2+2e3) . TLZ .' EUR = _ --- ---- , :: --- __ ...--_. .... . Vérifier que (el, e'2,eg) est une base orthonormée B, de E. 3.2 Déterminer la matrice de n dans la base B,. En déduire que M EUR 8 . 1 ----1 0 4. Soit (pa l 'endomorphisme de E dont la matrice relativement à B est Ma = a 0 1 1 1 0 ----1 . , 1 On se propose de prouver que 900 EUR 5 Si et seulement sz la|< -2--. Soit 113 : x1e1 + @@ + x3e3 un vecteur de E de norme 1. 4.1 Montrer que : |] +oo 5.4.2 Soient (mn), (yu) et (en) les suites réelles définies par : a:... yo et zo sont des réels, et : OEn+1 = z$n "" zyn + 1 v N ... 1 .1_ .1_ "' EUR ; yn+l ""' 41171 + 4211, + 2 -- zn+1 == %:L'n --- zZn + 1 Montrer que (mn), (yn) et (Zn) sont convergentes, et préciser leurs limites respectives. Épreuve de Mathématiques (toutes filières) Page 4/4

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 Mines Maths toutes filières 2002 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Jean Starynkévitch (ENS Cachan) ; il a été relu par Aurélien Alvarez (ENS Lyon) et Walter Appel (professeur en CPGE). Ce sujet est composé de deux problèmes indépendants. · Le premier problème s'intéresse à deux fonctions d'une variable réelle, ainsi qu'à la résolution d'une équation différentielle ; on y aborde également une suite récurrente. C'est un bon entraînement pour les candidats à ce concours ; c'est aussi un bon moyen de vérifier ses connaissances pour les candidats souhaitant poursuivre en Spé. · Le second problème étudie un type particulier d'endomorphismes dans un espace euclidien de dimension 3, ainsi qu'une suite de points de cet espace vérifiant une relation de récurrence. Ce problème fait le choix inhabituel de proposer une étude sur les espaces euclidiens, chapitre qui est souvent traité en fin de première année. Il faut en retenir que chaque chapitre du programme est susceptible de donner matière à un problème de concours. Il est notable que les deux problèmes tournent, de deux manières différentes, autour de la notion de point fixe (x est un point fixe de f si f (x) = x). Un théorème (théorème du point fixe de Banach) permettrait de conclure dans les deux situations ; voici l'un de ses énoncés (ici adapté aux connaissances de Sup, mais vrai dans des cas bien plus généraux) : Soient E un espace euclidien et f une application de E dans E telle qu'il existe k < 1 vérifiant : (x, y) E × E kf (x) - f (y)k 6 kkx - yk Alors f admet un unique point fixe x e. De plus, ce point fixe est limite de toute suite de points (xn )nN vérifiant la relation de récurrence xn+1 = f (xn ). Indications Problème d'analyse 1.2 Effectuer un développement limité de Arctan t à l'ordre 2 ; pour cela, faire un développement limité à l'ordre 1 de la fonction dérivée de Arctan . 1.4 Poser u (x) = -2x 1 et v(x) = - x. (1 + x2 )2 2 2.1 Effectuer le changement de variable u = -t dans l'intégrale. Utiliser les développements limités pour la fin de la question. 2.2 Pour x > 0, intégrer l'inégalité f (x) 6 f (t) pour t [ 0 ; x ] ; terminer en raisonnant sur la parité des fonctions. 2.3 Montrer que (x) admet une limite lorsque x tend vers 0 à l'aide d'un développement limité. 2.4 Remarquer que f (t) 6 1 . 2t 3.1 Développer l'inégalité (1 - t)2 > 0. 3.2 Utiliser la parité de . 3.3 Montrer que : x 7- x - (x) est strictement décroissante, et étudier les signes de (0) et (1). 4.1 Lire la question 4.2 pour trouver une solution particulière de l'équation avec second membre. 4.2 Étudier la continuité en 0 d'une éventuelle solution de l'équation sur R. Problème d'algèbre 2.4 Traduire x Ker ( - Id E ) par x = (x). 2.6 En posant k = max |di |, montrer que si kxk = 1, alors k(x)k2 6 k 2 . 16i63 3.1 Il faut calculer tous les produits scalaires. 5.2 Utiliser la queston 2.4. --- 5.4.1 Montrer que la suite de terme général kMn k est positive et décroissante ; puis montrer que sa limite ne peut être que 0. 5.4.1 Poser Mn = (xn , yn , zn ) et montrer que la suite Mn vérifie Mn+1 = f (Mn ), où f est une application affine dont l'application linéaire associée est pour un certain bien choisi. Problème d'analyse 1.1 Puisque la fonction Arctan est continue sur R et que la fonction identité est continue et ne s'annule pas sur R, le quotient des deux, c'est-à-dire f , est continu sur R . Pour montrer que f est continue sur R, il reste à montrer qu'elle est continue en 0. Mais on a : Arctan t - Arctan 0 t 6= 0 f (t) = t-0 et donc lim f (t) = Arctan (0) = 1 t0 t6=0 Or, on a justement f (0) = 1 ; ainsi f est continue en 0 également. f est continue sur R. Pour t non nul, on a, la fonction Arctan étant impaire, f (-t) = donc Arctan (-t) - Arctan t Arctan t = = = f (t) -t -t t f est paire. De manière générale, le produit de deux fonctions impaires est toujours une fonction paire. 1.2 Pour obtenir un développement limité de f à l'ordre 1 en 0, il faut un développement limité de Arctan à l'ordre 2. Nous proposons deux méthodes pour obtenir ce développement. · Première méthode : comme Arctan est de classe C 2 , la formule de TaylorYoung dit que Arctan (t) admet un développement limité à l'ordre 2 au voisinage de 0. Comme Arctan est une fonction impaire, par unicité du développement limité de Arctan (t) = - Arctan (-t), ce développement est lui-même impair, et donc Arctan (t) = t Arctan (0) + o t2 = t + o t2 Ainsi, en divisant cette égalité par t, il vient f (t) = 1 + o (t) · Deuxième méthode : la dérivée de Arctan est la fonction x 7- admet un développement à l'ordre 2 : 1 , qui 1 + x2 1 = 1 - x2 + o x2 = 1 + o (x) 2 1+x Compte tenu du fait que Arctan (0) = 0, l'intégration de ce développement limité donne Arctan t = t + o t2 On conclut alors de la même manière qu'avec la première méthode. Comme f admet un développement limité à l'ordre 1 en 0, f est dérivable en 0. et f (0) est donné par le coefficient du développement devant t. On a donc : f (0) = 0 On a équivalence entre le fait que f admet un développement limité à l'ordre 1 en a, et le fait que f est dérivable en a. La formule de Taylor-Young fournit, pour une fonction dérivable n fois en a, un développement limité à l'ordre n. Cependant, une fonction peut très bien admettre un développement limité à l'ordre n sans être seulement deux fois dérivable en 0, ou même sans avoir une dérivée continue en 0 ; c'est par exemple le cas de la fonction x 7- xn+1 sin (1/xn ) : cette fonction est en effet au voisinage de 0 un o (xn ) (le sinus est majoré par 1), et sa dérivée n'est pas continue en 0. 1.3 f est dérivable sur R comme quotient de deux fonctions dérivables sur R, le dénominateur ne s'annulant pas ; comme on a vu que f était dérivable en 0, f est dérivable sur R. et, pour t 6= 0, on a f (t) = soit t 6= 0 Arctan (t) × t - Arctan (t) × 1 t2 f (t) = 1 Arctan t - 2 t (1 + t ) t2 1 , de sorte que u est une fonction de classe C 1 sur R et que 1 + x2 1 -2x . Posons également v(x) = - x. Alors, pour t dans R, u (x) = 2 2 (1 + x ) 2 Z t Z t w2 dw = u (w) v(w) dw 2 2 0 (1 + w ) 0 Z t t = [u(w) v(w)]0 - u(w)v (w) dw 0 Z t 1 t 1 dw = - -0 - - 2 1 + t2 2 1 + w2 0 Z t 2 w 1 t dw = - - Arctan t 2 )2 (1 + w 2 1 + t2 0 1.4 Posons u(x) = soit Z 0 t w2 1 dw = - t2 f (t) 2 2 (1 + w ) 2 w2 est positive sur [ 0 ; t ], (1 + w2 )2 1 il en est de même de son intégrale sur [ 0 ; t ], c'est-à-dire de - t2 f (t). Donc f (t) 2 est négatif, ceci pour tout t > 0 ; on en conclut que f est décroissante sur R+ . Ainsi, pour t > 0, comme la fonction w 7-