Mines Maths toutes filières 2001

Thème de l'épreuve Étude d'une suite de fonctions définies par une intégrale; calcul de sa limite. Étude d'une application de R vers Mp{(R)}.
Principaux outils utilisés étude de fonctions, suites, intégrales, algèbre matricielle

Corrigé

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CONCOURS COMMUN 2001 DES ECOLES DES MINES D'ALBI, ALES, DOUAI, NANTES Epreuve de Mathématiques (toutes filières) .!eudi 12 mai 21!01 de 14h01! à 18h01! Instructions générales : Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend : 4 pages numérotées 1/4, 2/4, 3/4 et 4/4. Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédactiOn : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées. Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à code à barres correspondante. PROBLEME 1 Les parties A et B sont indépendantes, mais sont utilisées par la partie C. PARTIE A : Pour tout réel a positif ou nul, on note ga la fonction définie sur IRÎ,_ par ga(t) : t". A.1. Montrer que la fonction ga est prolongeable par continuité en 0 (on notera toujours ga la fonction ainsi prolongée, qui est donc définie et continue sur lR+). Préciser la valeur de ga (0). Montrer que la fonction ga est de classe C1 sur lR+ pour a > 1. Soient a et b deux réels positifs ou nuls. On pose - 1 I(a, b) :] ga(t) gg,(1 -- t) dt . 0 A.2. Justifier l'existence de l'intégrale I (a, 6). Comparer I (a, b) et I (I), a). 1 On écrira abusivement I(a, b) = / t"(1 ---- t)b dt. ' 0 A.3. Soient a et 6 deux réels positifs ou nuls. Trouver une relation entre I (a + 1, b) et I (a, b + 1). A.4. Calculer I (a, 0). En déduire que, pour tout entier naturel n, on a ni I(a'n)= (a+1)(a+2)i...(a+n+i)' A.5. Soient p et q deux entiers naturels. Exprimer I (p, q) à l'aide de factorielles. Epreuve de Mathématiques (toutes filières) Page 1/4 CONCOURS COMMUN SUP 2001 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES A.6. En déduire la valeur de l'intégrale ?? Î J(p,q)=/ (sin9)2P+l(cosû)29+ld9, ' 0 où 19 et q sont deux entiers naturels. PARTIE B : Pour tout réel en strictement positif, on note fa la fonction définie par fa(oe) =:c In (1 ---- fi) . OE B.1. Préciser l'ensemble de définition de fa. On note Ca la courbe représentant la restriction de la fonction fa à l'intervalle ]a, +oo[. B.2. Si a et ce sont deux réels tels que 0 < a < a:, démontrer l'encadrement £î 0 et on considère la suite y = (y") définie, pour tout entier naturel n tel quen>a,paryn=(l----) . n Etudier le comportement (sens de variation, limite) de la suite (y"). PARTIE C : Pour tout réel positif ou nul a: et tout entier naturel non nul n, on pose Fn(æ)=/Ûn (1--ë)" u"'du. C.1. Montrer que Fn(æ) == nx+1 I(æ,n). (3.2. En utilisant les résultats de la partie B, montrer que, pour tout a: fixé, la suite (F"(OE))nEIN* est croissante. (3.3. On fixe cv 2 0. a. Montrer l'existence d'un réel strictement positif U tel que 1 VuEURlR+ u2U=>e--u E(t), de IR vers M,,(lR), est injective. 0 1 1 A.6. Dans cette question, p = 3 et A = 0 1 . Expliciter la matrice E(t) sous la 0 0 0 0 forme d'un tableau matriciel pour t E IR. PARTIE B : Dans cette partie, on note 30 = (EÎ,EË) la base canonique de IRZ. Soit la matrice A : (Î :Î) appartenant à. M2(IR). On note f l'endomorphisme de le qui lui est canoniquement associé. B.1. Montrer que F : Ker( f ----- 2idRz) et G : Ker( f ---- ide) sont deux droites vecto-- o , . 2 ; o . -------) r1elles, supplementmres dans IR . Prec1ser un vecteur directeur u de F , et un vecteur - ----> d1recteur v de G. Epreuve de Mathématiques (toutes filières) Page 3/4 CONCOURS COMMUN SUP 2001 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI ALÈS DOUAI NANTES B.2. Sans calculs, déterminer la matrice de l'endomorphisme f de ]R2 dans la base 5 = (î, 'ïï' . B.3. En déduire qu'il existe une matrice P inversible et une matrice D diagonale (toutes deux carrées d'ordre deux) telles que A = PDP--1. Expliciter P, D et P"1. B.4. Expliciter D" pour tout n entier naturel. Démontrer la relation A" = P D" P_1. En déduire l'expression de A" sous forme de tableau matriciel. PARTIE C. On reprend les notations de la partie B. (3.1. En utilisant l'inégalité de Taylor--Lagrange, montrer que, pour tout réel t, on a et: lim ---- . n--++oo k! k=0 On pourra admettre le résultat de cette question pour traiter les suivantes. (3.2. Pour tout réel t, pour tout entier naturel n, on note En(t) la matrice définie par n k t E,,(t) : -ËÎAk. On écrira cette matrice sous la forme E,,(t) == (ÎZË3 ZZ((?) ). k=0 Expliciter (sous forme de sommes) ses coefficients an(t), b,.(t), c,,(t), d" (t). C.3. Pour tout t E IR, on note E(t) la matrice E(t) == (ÎË3 ZË3), avec a(t) : lim an(t), b(t) = lim b,,(t), etc. Expliciter la matrice E(t). Réponse partielle : on obtient a(t) : 3e" -- 2et. (3.4. Montrer qu'il existe deux matrices Q et R (carrées d'ordre deux) telles que VtEURlR E(t)=e2tQ+etR et expliciter Q et R. C.5. Calculer les matrices Q2, R2, QR, RQ. Que peut--on dire des endomorphismes q et r de IR2 canoniquement associés aux matrices Q et R (on pourra préciser la réponse en utilisant les droites F et G de la question B.1.) ? C.6. En déduire que V(s,t) EUR IR2 E(s) E(t) == E(s + t) . Que dire de (E(t))" pour n EUR IN ?, de (E(t)) _1 ? L'application E : t r---> E(t), de IR vers M2(IR), est--elle injective ? Epreuve de Mathématiques (toutes filières) Page 4/4

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 Mines Maths toutes filières 2001 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Laurent Thomann (ENS Cachan) ; il a été relu par Emmanuel Delsinne (ENS Cachan) et Yacine Dolivet (ENS Ulm). L'épreuve se compose de deux problèmes indépendants. Dans le premier problème, consacré à l'analyse, on étudie dans la partie A une intégrale à deux paramètres et dans la partie B une suite, via une étude de fonction. Les résultats obtenus sont utilisés dans la partie C pour l'étude d'une suite d'intégrales à un paramètre dont on démontre que sa limite vérifie une équation fonctionnelle. Dans le second problème, consacré à l'algèbre, on étudie dans la partie A une application de R vers Mp (R). Puis, dans la partie B, on calcule la puissance ne d'une matrice de M2 (R) pour généraliser dans la partie C les résultats de la partie A. La résolution de ces deux problèmes met en oeuvre beaucoup d'outils classiques d'analyse et d'algèbre matricielle. De plus, elle permet de bien asseoir sa maîtrise des méthodes concernant les suites, puisqu'on est amené à étudier des suites de réels, une suite de fonctions définies par des intégrales et une suite de matrices. Indications Premier problème A.1 Revenir à la définition de ta . A.2 Faire un changement de variable. A.3 Intégrer par parties. A.4 En utilisant la question précédente, faire un produit télescopique. A.5 Utiliser la question précédente. A.6 Faire un changement de variable. B.1 fa est également définie pour des valeurs négatives. B.2 Intégrer une inégalité bien choisie. B.3 Prendre un équivalent de ln(1 + u) en 0. B.5 Étudier (ln yn ) en utilisant l'étude de fonction. C.1 Faire un changement de variable dans Fn . Fn (x) en utilisant les questions A.1 et C.2 Pour x fixé, étudier le signe de ln Fn+1 (x) C.1. C.3.b Utiliser la question C.3.a après avoir découpé l'intégrale convenablement. C.4 Montrer que pour x positif Fn (x + 1) ----- 1 (x + 1)Fn (x) n+ Deuxième problème - - B.3 Prendre P la matrice de changement de base de ( e1 , - e2 ) vers ( u,- v ) et D la matrice de la question précédente. C.2 Appliquer le résultat de la question B.4. C.3 Utiliser la question C.1. C.5 Se rappeler ce qu'est un projecteur. C.6 Procéder comme dans la partie A. Premier problème Partie A A.1 Si a est nul, ta = 1 pour tout t strictement positif. On peut donc prolonger la fonction en 0 par la valeur 1. g0 est prolongeable par continuité en 0 par la valeur 1. On suppose à présent a > 0. Par définition, ta = ea ln t pour t strictement positif. Pour a > 0 a ln t --- - t0 donc ea ln t --- 0 t0 ga est prolongeable par continuité en 0 par la valeur 0. Pour a > 1, ga est dérivable sur ] 0 ; + [. Or, d'après ce qui précède, ga (t) - ga (0) = ta-1 --- 0 t0 t ga peut donc se prolonger par continuité en 0 par 0 et, d'après le théorème limite de la dérivée : ga est de classe C 1 pour a > 1. Rappelons le théorème limite de la dérivée, également appelé théorème de l'Hospital : « Soit f une fonction continue sur un segment [ a ; b ] et dérivable sur ] a ; b ]. Si f admet une limite finie en a, alors f est dérivable en a et f (a) = . » Attention, ce théorème n'admet pas de réciproque, sauf si lim |f | = +. xa Dans les autres cas, on peut utiliser le taux d'accroissement. A.2 Comme ga désigne désormais la fonction prolongée, ( [ 0 ; 1 ] - R u: t 7- ga (t)gb (1 - t) est continue pour a et b positifs. Ainsi l'intégrale I(a, b) est définie. Faisons le changement de variable affine x = 1 - t : Z 1 Z 0 I(a, b) = ta (1 - t)b dt = - (1 - x)a xb dx = I(b, a) 0 1 Ainsi I(a, b) = I(b, a) L'écriture est dite abusive car dans la définition de I(a, b), ga désigne la fonction prolongée, alors que t 7 ta , elle, n'est pas prolongée en 0. 1 Z I(a + 1, b) = A.3 ta+1 (1 - t)b dt 0 D'après la question A.1, ga+1 est de classe C 1 , on peut donc intégrer I(a + 1, b) par parties : 1 Z a+1 1 a (1 - t)b+1 a+1 I(a + 1, b) = - t + t (1 - t)b+1 dt b+1 b + 1 0 0 d'où I(a + 1, b) = A.4 On a I(a, 0) = Z a+1 I(a, b + 1) b+1 1 ta dt = 0 et, pour n > 0, I(a, n) = 1 a+1 n I(a + 1, n - 1) a+1 I(a, n) = n I(a + 1, n - 1) a+1 I(a + 1, n - 1) = n-1 I(a + 2, n - 2) a+2 Par suite, .. . I(a + (n - 1), 1) = 1 I(a + n, 0) n+a En remplaçant successivement, on obtient I(a, n) = Comme n! I(n + a, 0) (a + 1)(a + 2) · · · (a + n) I(n + a, 0) = on a bien I(a, n) = 1 a+n+1 n! (a + 1)(a + 2) · · · (a + n + 1) On peut aussi raisonner par récurrence, mais la méthode précédente est plus intéressante dans la mesure où elle permet de calculer directement I(a, b) sans connaître le résultat.