Mines Maths MPSI 2009

Thème de l'épreuve Équations différentielles, suites, courbes associées à une famille de fonctions. Étude d'un endomorphisme de R[X].
Principaux outils utilisés équations différentielles, courbes paramétrées, suites, équivalents, polynômes, produit scalaire, coniques
Mots clefs raccordement de solution, comparaison des suites, hyperboles

Corrigé

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CONCOURS COMMUN 2009 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve Spécifique de Mathématiques (filière MPSI) Mardi 19 mai 2009 de 08h00 à 12h00 Instructions générales : Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées 1/4, 2/4, 3/4, 4/4. Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées. Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à code à barres correspondant à l'épreuve spécifique de Mathématiques. L'emploi d'une calculatrice est interdit. Remarque importante : Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. Problème 1. 1 On rappelle que le nombre e = exp(1) | 2,72 , | 0.61, e 2 | 1,41 et ln(3) | 1,10. I Etude d'une fonction. Soit f définie sur § par : x·§, f(x) = 3x exp( x ²) 1 3 xe x ² 1 . 1 Etudier les variations de f sur §, ainsi que les limites aux bornes du domaine de définition. Donner le tableau de variations de f. Préciser les branches infinies de la courbe représentative Cf de f. 2 Calculer f cc(x) . Qu'en déduit-on pour le point de Cf d'abscisse 0 ? Donner l'équation de la tangente en 0. Etudier la position de la courbe Cf par rapport à la tangente au point d'abscisse 0. Quel résultat retrouve-t-on ? 4 Donner l'allure de la courbe Cf de f. 5 a) Pourquoi f admet-elle des développements limités en 0 à n'importe quel ordre ? b) Donner le développement limité de f au voisinage de 0 à l'ordre 5. 3 CONCOURS COMMUN SUP 2009 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve Spécifique de Mathématiques (filière MPSI) Page 1/4 II Etude d'une équation différentielle. Soit n un élément de £*. Soit En l'équation différentielle xy'­(n­2x ²)y = n­2x ². Soit Hn l'équation homogène (dite aussi sans second membre) associée à En. 6 Résoudre Hn sur ]0, +f[ et sur ]­f, 0[. 7 En déduire les solutions de En sur ]0, +f[ et sur ]­f, 0[. 8 Donner toutes les fonctions f définies, de classe C1 sur § et solutions de En sur §. On distinguera les cas n = 1 et n t 2. III Etude de deux suites. On suppose désormais dans toute la suite du problème que l'entier naturel n est supérieur ou égal à 2. Soit fn(x) = 3 x n e x ² ­1 = 3xnexp(­x²)­1. 9 Quel est le signe de fn(0), de fn(1) ? 10 Etudier les variations de fn sur l'intervalle [0, +f[. Donner la limite de fn(x) quand x tend vers +f. En déduire que fn s'annule sur [0,+f[ en deux réels notés un et vn , qui vérifient un< 1  0, gn(x) = ln3+nlnx­x². Soit t >0. Montrer que gn(t)=0 si et seulement si fn(t) = 0. On suppose que : l z 1. Trouver une contradiction en utilisant ce qui précède. Conclusion ? c) Soit la suite (wn)nt2 définie par : n t 2 wn = un­1. Trouver en utilisant un développement limité de gn(1+wn) = gn(un) un équivalent simple de wn. b) c) d) 13 a) b) IV Etude d'une courbe paramètrée. G G Soit R = (O, i , j ) un repère orthonormé. Soit M la courbe paramétrée définie sur ]0, +f[ tel que pour tout t strictement positif, M(t) ait pour coordonnées dans le repère R, (x(t), y(t)) avec - x(t ) g 2 (t ) ln 3 2 ln(t ) t ² ° 1 3 ® y (t ) t t ° 3 14 a) Etudier les variations de x et y ainsi que leurs limites aux bornes du domaine de définition. b) Etudier les branches infinies de la courbe M. c) Etudier la nature du point M(1). Donner un vecteur directeur de la tangente en M(1) à la courbe. 15 Tracer l'allure de la courbe M. CONCOURS COMMUN SUP 2009 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve Spécifique de Mathématiques (filière MPSI) Page 2/4 Problème 2. On notera ~[X] l'ensemble des polynômes à coefficients complexes et ~n[X] l'ensemble des polynômes de ~[X] de degré inférieur ou égal à n où n est un entier naturel non nul. On note §2[X] l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 2. On confondra polynôme et fonction polynôme. On notera deg(P(X)) le degré d'un polynôme P(X). I Etude d'un polynôme. 16 Soit U(X) le polynôme de ~2[X] suivant : U(X) = X 2+(1­2i)X­2i. a) Donner les racines carrées de ­3+4i. b) Trouver les racines dans ~ du polynôme U(X). 17 Soit le complexe z, z = x+iy avec x et y réels. a) Calculer la partie réelle et la partie imaginaire de U(z) en fonction de x et de y. G G G G b) Soit le plan rapporté à un repère orthonormé R = (O, i , j ). (On prendra i = j =1 cm. ) i) ii) Soit *1 l'ensemble des points M de coordonnées (x, y) tels que U(x+iy) est imaginaire pur. Donner la nature de *1, son centre et son excentricité. Tracer *1. Soit *2 l'ensemble des points M de coordonnées (x, y) tels que U(x+iy) est réel. Donner sa nature et son centre. Tracer *2 sur le même dessin que *1. II Définition d'une application. Soit n un entier naturel non nul fixé pour toute la suite du problème. Soit T(X) un polynôme fixé de ~[X] de degré n. Soit f l'application définie sur ~[X] qui à tout P(X) de ~[X] associe Q(X)+XR(X) où Q(X) et R(X) sont respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de P(X 2) par T(X). ( On a donc P(X 2) = Q(X)T(X)+R(X) avec deg(R(X)) < deg(T(X))). On notera fn la restriction de f à ~n[X]. 18 Montrer que f est une application linéaire. 19 20 a) b) Montrer que fn est un endomorphisme de l'espace vectoriel (~n[X], +, .). Dans cette question uniquement n = 2 et T(X) = X 2. Donner la matrice A de f2 sur la base canonique (1, X, X 2). Calculer A 2. En déduire que f2 est bijective et donner son application réciproque. En déduire la nature de f2. 21 Dans cette question uniquement n = 2 et T(X) = (X­1­i)(X+i). Donner l'image du polynôme U(X) = X 2+(1­2i)X­2i par l'application f. III Etude d'un cas particulier. Soit a un complexe fixé. Dans cette partie uniquement, n = 3 et T(X) = X 3+X 2+a. 22 Montrer que f3 a pour matrice sur la base canonique (1, X, X 2, X 3) de ~3[X] : 1 a 1 · §0 0 ¨ ¸ ¨ 1 0 a 1 1 a a² ¸ . B= ¨ 0 0 a a 1 ¸ ¸ ¨ ¸ ¨0 1 1 2 2 a © ¹ CONCOURS COMMUN SUP 2009 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve Spécifique de Mathématiques (filière MPSI) Page 3/4 23 24 25 a) b) c) Calculer le déterminant de f3. Donner les valeurs de a pour lesquelles f3 n'est pas bijective. Dans cette question a = ­1. Donner une base de ker f3 , le noyau de f3. Donner une base de Im f3 , l'image de f3. Le noyau et l'image de f3 sont-ils supplémentaires ? IV Etude du noyau. 26 Soit P(X) un polynôme non nul de degré p tel que : 2p < n. Montrer que f(P(X)) est non nul. 27 Soit P(X) un polynôme. Montrer qu'il appartient au noyau de f si et seulement si il existe un polynôme R(X) de degré strictement inférieur à n tel que : P(X 2) = R(X)(1­XT(X)). 28 En déduire que si P(X) est un élément du noyau de f alors il appartient à ~n[X]. 29 Déduire de la question 27 que pour tout élément P du noyau de f et que pour tout k de £ tel que deg (P(X))+k d n alors X k P (X) appartient au noyau de f. 30 On suppose dans cette question que le noyau de f n'est pas réduit au polynôme nul. Soit I l'ensemble des entiers naturels k tel qu'il existe un polynôme du noyau de f qui a pour degré k. a) Montrer que I possède un plus petit élément d. b) Soit P0(X) un polynôme du noyau ayant pour degré d. Soit P1(X) un autre polynôme du noyau ayant pour degré d. Montrer qu'il existe c de ~ tel que P1(X) = cP0(X). c) Montrer qu'un polynôme P(X) appartient au noyau de f si et seulement s'il existe un polynôme S(X) de degré inférieur ou égal à n-d tel que P(X) = S(X)P0(X). 31 On suppose dans cette question que T(X) = X 3+X 2­1. Donner le noyau de f. V Etude d'un produit scalaire. Dans cette partie on prendra T(X) = X 2 et on considérera g = f2 la restriction de f à §2[X]. 32 Montrer que g est bien un endomorphisme de l'espace vectoriel réel (§2[X], +, .). Donner sa matrice A sur la base canonique de §2[X]. 33 Soit < . , .> définie sur §2[X] ² à valeurs dans § par : (U(X), V(X))·§2[X]²,  = U(1)uV(1)+ U c (1)u V c (1)+ U cc (1)u V cc (1). (Où U c (X) et V c (X) sont les fonctions polynômes dérivées de U(X) et V(X) et U cc (X) et V cc (X) sont les fonctions polynômes dérivées secondes de U et V. ) Montrer que < . , . > est un produit scalaire sur (§2[X], +, .). 34 Montrer que la matrice A de g sur la base canonique est une matrice orthogonale. (C'est-àdire AutA=I3 où tA est la matrice transposée de A et I3 la matrice identité. ) 35 L'application g est-elle une isométrie vectorielle pour le produit scalaire < . , . > ? On pourra calculer < 1, 1> et . CONCOURS COMMUN SUP 2009 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve Spécifique de Mathématiques (filière MPSI) Page 4/4

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 Mines Maths MPSI 2009 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Sophie Rainero (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Denis Conduché (ENS Ulm) et Vincent Puyhaubert (Professeur en CPGE). Ce sujet est composé de deux problèmes indépendants, l'un d'analyse et l'autre d'algèbre, chacun abordant de nombreux points du programme de première année. · Le problème d'analyse est constitué de quatre parties globalement indépendantes. Dans la première, on effectue une classique étude de fonction : variations, branches infinies, tracé de courbe, développement limité. Dans la deuxième, on résout une famille d'équations différentielles en faisant un raccordement de solutions. La troisième partie consiste en l'étude de deux suites définies implicitement. Enfin, la quatrième partie propose d'étudier et de tracer une courbe paramétrée. · Le problème d'algèbre, plus long et plus difficile, porte principalement sur les polynômes. Après avoir déterminé les racines d'un polynôme de degré 2, on étudie deux hyperboles définies à l'aide de ce polynôme, pour lesquelles on trouve des équations réduites par la méthode de Descartes. Puis on définit un endomorphisme du C-espace vectoriel C[X] des polynômes à coefficients complexes faisant intervenir la division euclidienne. Dans un premier temps, cette application linéaire est étudiée dans des cas particuliers (recherche de sa matrice, de son image, de son noyau). On s'intéresse ensuite à la structure de son noyau dans le cas général. La dernière partie de ce problème est consacrée à l'étude d'un produit scalaire. L'intérêt principal de cette épreuve est d'aborder de nombreuses notions du programme de MPSI : elle constitue donc un excellent outil de révision. On peut cependant regretter un manque apparent de concertation entre les concepteurs de l'épreuve commune et ceux de cette épreuve spécifique, dont la conséquence est une ressemblance très forte entre les deux sujets (courbes paramétrées, équations différentielles avec raccordement de solutions, suites définies implicitement dont on détermine des équivalents, hyperboles équilatères...). À part la quatrième partie du deuxième problème, ce sujet est extrêmement calculatoire. Indications Problème 1 6 Mettre l'équation différentielle sous forme résolue. 7 Chercher une solution particulière constante. 8 Raisonner par analyse-synthèse en utilisant le résultat de la question 7. 12.c Utiliser la croissance stricte de la fonction fn+1 et les résultats des questions 10 et 12.b. 13.b Déterminer deux limites différentes pour la suite de terme général n ln(un ) à l'aide des questions 12.d et 13.a. 14.b Étudier la limite quand t tend vers + du quotient y(t)/x(t). 14.c Former des développements limités à l'ordre 3 des fonctions t 7 x(t) et t 7 y(t) au voisinage de 1. Problème 2 17.b.ii Effectuer un changement de repère pour reconnaître une hyperbole équilatère. 21 Utiliser la question 16.b et exprimer les racines carrées de 2 i. 23 Le déterminant de f3 est égal à celui de sa matrice dans la base (1, X, X2 , X3 ) de C3 [X]. 25.b Penser au théorème du rang afin de connaître la dimension de Im (f3 ). 30.a Que peut-on dire d'une partie non vide de N ? 30.b Effectuer la division euclidienne de P1 par P0 et démontrer par l'absurde que le reste est nul. 30.c Procéder comme à la question 30.b. 31 Utiliser la question 25.a. Problème 1 I. Étude d'une fonction 1 La fonction x 7 -x2 est de classe C sur R à valeurs réelles, la fonction exponentielle est C sur R donc, par composition, la fonction x 7 exp(-x2 ) est de classe C sur R. On en déduit par produit puis différence que f est de classe C sur R. En particulier, elle est dérivable sur R et, pour tout réel x, 2 2 f (x) = 3 e -x + 3 x (-2 x) e -x 2 = 3 1 - 2 x2 e -x 2 f (x) = 3 1 - 2 x 1 + 2 x e -x La dérivée de f s'annule ainsi en - 2/2 et en 2/2. De plus, # " 2 2 x R f (x) > 0 x - ; 2 2 Par conséquent, La fonction f est strictement décroissante sur les intervalles - ; - 2/2 et 2/2 ; + et strictement croissante sur l'intervalle - 2/2 ; 2/2 . Déterminons les limites de f aux bornes de son ensemble de définition, c'est-à-dire en - et +. Les croissances comparées des fonctions exponentielle et puissances permettent d'écrire 2 lim x e -x = 0 et lim f (x) = -1 et x- d'où x- 2 lim x e -x = 0 x+ lim f (x) = -1 x+ On peut désormais donner le tableau de variation de f . - x - 2/2 0 f (x) f (x) où et - -1 0 f - 2/2 + -1 0 f + - ! 2 3 2 1 3 2 f - =- exp - -1=- -1 2 2 2 2 e ! 2 3 2 1 3 2 f = exp - -1= -1 2 2 2 2 e -1 Précisons maintenant les branches infinies de f . Notons Cf la courbe représentative de f . D'après les limites calculées précédemment et l'étude des variations de f , La droite d'équation y = -1 est asymptote à Cf en - et + ; de plus la courbe est au-dessous de son asymptote en - et au-dessus de son asymptote en +. 2 L'application f est de classe C sur R et y est donc en particulier deux fois dérivable. Pour tout réel x, 2 2 f (x) = 3 (-2 x) e -x 1 - 2 x2 + 3 e -x (-4 x) 2 = -6 x e -x 1 - 2 x2 + 2 f (x) = 6 x e -x x R 2 2 x2 - 3 2 Au voisinage de 0, la fonction x 7 6 e -x 2 x2 - 3 est de signe constant, strictement négatif. La fonction f a donc le même signe que l'application identité et elle s'annule ainsi en 0 en changeant de signe, ce qui signifie que Le point de Cf d'abscisse 0 est un point d'inflexion. Plus précisément, x R f (x) = 6 x e -x = 6 x e -x 2 2 On en déduit le signe de la fonction f : p - x - 3/2 f (x) - 0 2 x2 - 3 2x - 3 2x + 3 0 + 0 - p 0 + + p p Les points de Cf d'abscisses - 3/2, 0 et 3/2 sont des hpoints d'inflexion,h i p ip f est strictement convexe sur les intervalles - 3/2 ; 0 et 3/2 ; + i h i p h p et strictement concave sur les intervalles - ; - 3/2 et 0 ; 3/2 . 3 La fonction f étant dérivable en 0, sa courbe représentative Cf admet au point d'abscisse 0 une tangente d'équation y = f (0) x + f (0) c'est-à-dire y = 3x-1 Étudions la position de la courbe Cf par rapport à cette tangente. Pour tout réel x, 2 f (x) - (3 x - 1) = 3 x e -x - 1 - 3 x + 1 2 = 3 x (e -x - 1)