Mines Maths MPSI 2008

Thème de l'épreuve Convergence d'une suite de triangles. Une famille de suites récurrentes.
Principaux outils utilisés nombres complexes, géométrie élémentaire, calcul matriciel, algèbre linéaire, fonctions, suites récurrentes
Mots clefs barycentre, inégalité triangulaire, (p:q) point, sous-triangle

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CONCOURS COMMUN 2008 DES ECOLES DES MINES D'ALBI, ALES, DOUAI, NANTES Epreuve Specifique de Mathematiques (filiere MPSI) Mardi 20 mai 2008 de 8h00 a 12h00 Instructions generales : Les candidats doivent verifier que le sujet comprend 4 pages numerotees 1/4, 2/4, 3/4, 4/4. Les candidats sont invites a porter une attention particuliere a la redaction : les copies illisibles ou mal presentees seront penalisees. Les candidats colleront sur leur premiere feuille de composition l'etiquette a code a barres correspondant a l'epreuve specifique de Mathematiques. L'emploi d'une calculatrice est interdit Remarque importante : Si au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a ete amene a prendre. Les deux problemes sont independants. Bareme indicatif : 10 points pour chaque probleme. Premier probleme Dans le plan euclidien R2 , au point M de coordonnees (x, y) on associe l'affixe m = x + iy. z+z Le conjugue de z est note z, son module |z| = zz, et sa partie reelle Re(z) = . 2 2 3 -1 +i le complexe solution de X 2 + X + 1 = 0, et on rappelle que j = j 2 . On note j = ei 3 = 2 2 Etude d'une inegalite 1. Soit a C. Montrer que |a| = Re(a) a R+ . ¡ ¢ 2. Soit z, w C, montrer l'egalite suivante : (|z| + |w|)2 - |z + w|2 = 2 |zw| - Re(zw) . 3. En deduire l'inegalite suivante : |z + w| 6 |z| + |w| et montrer qu'il y a egalite si, et seulement si, z et w sont les affixes de deux points situes sur une meme demi-droite issue de l'origine. La notion de (p : q) point Soient A et B deux points du plan d'affixes respectives a et b. Soient p et q deux reels strictement positifs. p z-a = , on l'appelle le (p : q) b-z q point de A a B. Donner son affixe ainsi qu'une interpretation geometrique. 4. Pour A 6= B, montrer qu'il existe un unique point d'affixe z verifiant 5. Soit ]0, +[, montrer que le (p : q) point de A a B et le (p : q) point de A a B coincident. 6. Caracteriser le (1 : 1) point de A a B. CONCOURS COMMUN SUP 2008 DES ECOLES DES MINES D'ALBI, ALES, DOUAI, NANTES Epreuve Specifique de Mathematiques (filiere MPSI) Page 1/4 7. A, B, C designent trois points distincts deux a deux, on notera c l'affixe de C. Soient X le (p : q) point de A a B et Y le (p : q) point de A a C. Montrer que la droite (XY ) est parallele a la droite (BC). La notion de (p : q) sous-triangle On appelle (p : q) sous-triangle du triangle (ABC), le triangle (A B C ) ou A est le (p : q) point de A a B d'affixe a , B est le (p : q) point de B a C d'affixe b , C est le (p : q) point de C a A d'affixe c . 8. Donner l'affixe de l'isobarycentre (ou centre de gravite) du triangle (ABC). 9. Montrer que le (p : q) sous-triangle du triangle (ABC) a le meme isobarycentre que (ABC). Etude de suites On va considerer une suite de triangles (Ak Bk Ck ) construits de la maniere suivante. Le triangle (A0 B0 C0 ) est fixe (les points deux a deux distincts). Et pour tout k N, (Ak+1 Bk+1 Ck+1 ) est le (p : q) sous-triangle du triangle (Ak Bk Ck ). On note, pour k N, par ak , bk et ck les affixes respectives des points Ak , Bk et Ck . ak ak+1 q p 0 1 0 q p bk = bk+1 . 10. Montrer que les affixes verifient la relation matricielle suivante : p+q ck+1 ck p 0 q 11. On pose, pour tout k N, k = ak + bk + ck , k = ak + jbk + j 2 ck , k = ak + j 2 bk + jck . Verifier q + j2p q + jp que les suites (k )k , (k )k et (k )k sont geometriques de raison 1, et respectivement, et p+q p+q qu'elles sont toutes convergentes en precisant leur limite. (On pourra utiliser la question 3..) 1 1 1 1 0 0 On pose V = 1 j j 2 et Q = 0 0 1, on va prouver que V est inversible, et preciser son 1 j2 j 0 1 0 inverse. 12. Soit B M3 (C), on pose C = BQ. Comment se deduit la matrice C de la matrice B ? 13. Montrer que le determinant de V vaut 3j(j - 1). Montrer que V est inversible. Calculer V 2 , en 1 V Q, avec m N a preciser. deduire que V -1 est de la forme m k ak 14. En remarquant que k = V bk , en deduire que les suites (ak )k , (bk )k et (ck )k sont toutes les ck k trois convergentes, et preciser leur limite. Etude d'une application lineaire On definit l'application suivante : : M3 (C) - M3 (C) M 7- V -1 M V 15. Montrer que est une application lineaire qui verifie (M, N ) M3 (C)2 , (M N ) = (M )(N ). 16. On considere l'application est une application bijective. q 1 0 17. On pose A(p,q) = p+q p de M3 (C) definie par (M ) = V M V -1 . Calculer . Montrer que 1 1 p 0 1 q + jp q p . Calculer A(p,q) 1 , montrer que A(p,q) j = j , p+q j2 0 q j2 1 1 et donner une expression similaire pour A(p,q) j 2 . j CONCOURS COMMUN SUP 2008 DES ECOLES DES MINES D'ALBI, ALES, DOUAI, NANTES Epreuve Specifique de Mathematiques (filiere MPSI) Page 2/4 18. En deduire, sans calcul, que (A(p,q) ) = D ou D est une matrice diagonale dont on precisera les coefficients diagonaux. 19. On rappelle que l'ensemble des matrices diagonales de M3 (C) estª un anneau commutatif, en deduire © que deux matrices quelconques de l'ensemble A(p,q) /(p, q) ]0, +[ commutent. 20. Montrer que A(1,n) . . . A(1,2) A(1,1) = V Dn V -1 ou Dn est une matrice diagonale ayant pour coeffià n ! à n ! n n Y k+j Y k + j2 Y k + j Y k + j2 , ). Montrer que les suites et sont cients diagonaux (1, k+1 k+1 k+1 k+1 k=1 k=1 k=1 k=1 n n ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ j 2 ¯¯ j ¯¯ ¯ ¯ convergentes vers 0. (On pourra admettre que ¯1 + ¯ 6 1 et ¯1 + ¯ 6 1.) k k Deuxieme probleme Etude d'une fonction 1 21. Etudier sur ]0, +[ la fonction f : x 7 x x . On precisera le domaine de definition, les limites aux bornes, les extrema et asymptotes eventuels. 22. Montrer que l'on peut prolonger par continuite f en 0. Ce prolongement sera encore note f . Preciser la valeur de f en 0. 23. La fonction f est-elle derivable en 0 ? 24. Montrer que f est une bijection de ]0, e] sur ]0, e1/e ]. 25. La fonction reciproque de f est-elle continue, derivable sur ]0, e1/e ] ? Etude d'une suite Soit x un reel fixe strictement positif. On pose x (t) = xt , et on definit la suite (tn )n de la maniere suivante t0 = 1, tn+1 = x (tn ) pour n N. Lorsque la suite (tn )n est convergente on note h(x) sa limite dans R. 26. Si x = 1, que peut-on dire sur la convergence de la suite (tn )n ? 27. Justifier que si h(x) existe (c'est-a-dire la suite (tn )n est convergente) alors h(x) = x (h(x)), en deduire dans ce cas que f (h(x)) = x. On va traiter le cas x > 1 : 28. Montrer que pour x ]1, +[, la fonction x : t 7 xt est strictement croissante sur R. 29. Soit x > 1, montrer par recurrence : n N, tn < tn+1 . 30. On suppose que x ]1, e1/e ], montrer par recurrence : n N, tn 6 e. En deduire que dans ce cas la suite (tn )n est convergente. 31. On suppose x > e1/e , et on veut montrer que la suite (tn )n a pour limite +. On pourra supposer que la suite est convergente vers h(x) et en utilisant les questions 27. et 21. aboutir a une contradiction. Conclure. On va etudier le cas x ]0, 1[ : 32. Montrer que pour x ]0, 1[, la fonction x : t 7 xt est decroissante sur R. Que peut-on en deduire sur la monotonie de x x sur R ? 33. Pour 0 < x < 1, montrer par recurrence que : n N, t2n+1 < t2n . 34. On suppose que 0 < x < 1. Montrer par recurrence que la suite extraite (t2n )n est decroissante, puis que la suite extraite (t2n+1 )n est croissante. 35. En deduire qu'elles sont toutes les deux convergentes, et que leur limite ne peut etre qu'un point fixe de x x dans [0, 1], c'est-a-dire une solution de (x x ) (t) = t dans [0, 1]. CONCOURS COMMUN SUP 2008 DES ECOLES DES MINES D'ALBI, ALES, DOUAI, NANTES Epreuve Specifique de Mathematiques (filiere MPSI) Page 3/4 Determination des points fixes La suite du probleme consiste a determiner l'ensemble des points fixes de x x dans [0, 1]. Pour cela on pose g(t) = (x x ) (t) - t, on admettra le resultat suivant : ¡ ¢ g (t) = x (t). x x (t) - 1 = (ln x)2 .x (t). (x x ) (t) - 1 1 36. Dans le cas x [ , 1[ on admet que l'on obtient le tableau suivant : e t 0 1 (ln x)2 x - 1 g (t) (ln x)2 xx+1 - 1 xx - 1 g(t) x Preciser le signe de g (0). Quelle est la monotonie de g sur [0, 1] ? Montrer que x x n'a qu'un seul point fixe dans [0, 1]. Conclusion pour la convergence de la suite (tn )n . 1 37. Dans le cas x ]0, [ on admet que l'on a le tableau suivant : e t 0 1 g (t) (ln x)2 x - 1 g(t) x (ln x)2 xx+1 - 1 xx - 1 ou est l'unique racine de g sur ]0, 1[ et = g () = -e-1 ln x - 1. Preciser le signe de lorsque 1 1 x [e-e , [. Que peut-on en deduire sur la convergence de la suite (tn )n lorsque x [e-e , [ ? e e -e 38. On suppose a partir de maintenant et jusqu'a la fin que x ]0, e [. Et on admet que le tableau de variation est de la forme suivante : t 0 g (t) >0 0 (ln x)2 x 1 0 (ln x)2 xx+1 - 1 < 0 -1<0 x g() g(t) g() xx - 1 1 avec < < et g () = g () = 0. On admet aussi que x possede un unique point fixe dans ]0, [ que e l'on note p, donc x (p) = p. Montrer que g (p) = (ln p)2 - 1 et en deduire le signe de g (p). En deduire que x x possede trois points fixes p1 , p, p2 verifiant 0 < p1 < < p < < p2 < 1. 39. Montrer que pour tout n N on a p2 6 t2n , et que la suite (t2n )n est convergente vers p2 . 40. On veut montrer que n N on a t2n+1 6 p. Pour cela, on supposera qu'il existe n0 N tel que p < t2n0 +1 et on aboutira a une contradiction. Que peut-on conclure sur la convergence de (t2n+1 )n ? La suite (tn )n est-elle convergente ? CONCOURS COMMUN SUP 2008 DES ECOLES DES MINES D'ALBI, ALES, DOUAI, NANTES Epreuve Specifique de Mathematiques (filiere MPSI) Page 4/4

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 Mines Maths MPSI 2008 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Sophie Rainero (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Romain Bordier (École Polytechnique) et Benoît Chevalier (ENS Ulm). Ce sujet est composé de deux problèmes totalement indépendants. · Le premier aborde plusieurs aspects du programme d'algèbre et de géométrie de première année. La première partie est une question de cours (preuve de l'inégalité triangulaire dans le corps des complexes). La deuxième et la troisième portent sur des barycentres de deux points. La quatrième définit une suite de triangles dont on établit la convergence à l'aide de l'outil matriciel. Enfin, la dernière partie de ce problème étudie une application linéaire dans un espace de matrices. · Le second problème est un sujet d'analyse dont la finalité est l'étude de la convergence d'une famille de suites récurrentes dépendant d'un paramètre x, en fonction de la valeur de ce paramètre. Ces suites sont définies par t0 = 1 et, pour tout naturel n, tn+1 = x (tn ) où x est la fonction qui à t associe xt . Le problème commence par une étude de fonction tout à fait classique, puis aborde la discussion de la convergence en fonction du paramètre. Cette partie, qui examine les comportements de la suite selon la monotonie de la fonction x , est très proche du cours sur les suites récurrentes. La fin du problème est consacrée à l'analyse de la convergence des suites extraites des termes d'indices pairs et impairs à l'aide de la détermination des points fixes de la fonction x x . Sans grande difficulté, cette épreuve n'est pas non plus particulièrement longue. Il convenait donc d'être précis et rigoureux dans la rédaction, mais aussi attentif dans la mise en oeuvre des calculs afin de faire la différence avec les autres candidats. Indications Premier Problème 10 Appliquer le résultat de la question 4 pour obtenir les relations de récurrence. 11 Pour déterminer la convergence d'une suite géométrique, comparer la valeur absolue de sa raison avec 1. 14 Utiliser l'inverse de V afin d'obtenir l'expression de ak , bk et ck en fonction de k , k et k . 18 Penser à la formule de changement de base. 19 Exploiter le résultat de la question 18 et la bijectivité de . 20 Utiliser encore le résultat de la question 18, ainsi que la propriété de démontrée à la question 15. Deuxième Problème 25 Appliquer le théorème de dérivation d'une bijection réciproque. 27 Se servir de la continuité de x pour passer à la limite dans la relation de récurrence. Vérifier que h(x) > 0 avant de calculer f (h(x)). 31 Suivre l'indication de l'énoncé ! 35 Utiliser le théorème de convergence des suites monotones. 36 Dans cette question et les suivantes, noter que les points fixes de x x sont les zéros de g. 39 Passer à la limite dans l'inégalité pour déterminer lequel des points fixes de x x est limite de (t2n )nN . 40 Montrer que les suites extraites (t2n )nN et (t2n+1 ) convergent vers des limites différentes. Premier Problème Étude d'une inégalité 1 Soit a C. Comme le module de a est positif, |a| = Re (a) |a|2 = Re (a)2 et Re (a) > 0 Re (a)2 + Im (a)2 = Re (a)2 et Im (a) = 0 et Re (a) > 0 Re (a) > 0 |a| = Re (a) a R+ Il s'ensuit 2 Soient z et w deux nombres complexes. Par définition du module, (|z| + |w|)2 - |z + w|2 = = = Ainsi |z|2 + |w|2 + 2|z| |w| - (z + w)(z + w) zp z +ww +2 zzww -zz -ww -zw -wz 2 (z w)z w - (z w + z w) (|z| + |w|)2 - |z + w|2 = 2(|z w| - Re (z w)) 3 Pour tout nombre complexe u, p |u| = Re (u)2 + Im (u)2 > Re (u) De plus, la question 1 assure qu'il y a égalité dans cette inégalité si et seulement si u est un réel positif. Appliquons-la avec le complexe u = z w, il vient |z w| > Re (zw) soit, d'après la question 2, |z + w|2 6 (|z| + |w|)2 Les deux membres de l'inégalité étant positifs, on en déduit l'inégalité triangulaire |z + w| 6 |z| + |w| Il y a égalité dans cette inégalité triangulaire si et seulement si u = z w est réel positif, autrement dit si et seulement si il existe R+ tel que z w = . Si w = 0, cette condition est réalisée et si w est non nul, elle équivaut à R+ z= w |w|2 soit encore à R+ z =w En conclusion, il y a égalité dans l'inégalité triangulaire si et seulement si w=0 ou R+ z =w Géométriquement, cette condition signifie que z et w sont les affixes de deux points situés sur une même demi-droite issue de l'origine. La notion de (p : q) point 4 Soient A et B deux points distincts du plan, d'affixes respectives a et b. Ainsi a et b sont deux nombres complexes distincts. Pour tout z C supposé différent de b, z-a p = q(z - a) = p(b - z) b-z q (q + p)z = p b + q a z = p q b+ a p+q p+q Il existe alors un unique point M dont l'affixe z vérifie d'affixe z= car p > 0 et q > 0 p z-a = , c'est le point b-z q p q b+ a p+q p+q Géométriquement, le (p : q) point de A à B est le barycentre des points A et B affectés respectivement des poids q/(q + p) et p/(p + q). 5 Soit ] 0 ; + [. Notons z1 l'affixe du (p : q) point de A à B et z2 l'affixe du ( p : q) point de A à B. C'est légitime car p et q sont des réels strictement positifs comme , p et q. D'après la question 4, z2 = p q b+ a = z1 p + q p + q Le (p : q) point de A à B est égal au ( p : q) point de A à B. On retrouve ainsi la propriété d'homogénéité du barycentre. 6 Le (1 : 1) point de A à B est le barycentre des points A et B affectés tous les deux du poids 1/2. Par suite, Le (1 : 1) point de A à B est le milieu du segment [AB]. 7 Considérons les trois points A, B et C d'affixes respectives a, b et c. On note X le (p : q) point de A à B et Y le (p : q) point de A à C. Le point X est sur la droite (AB), le point Y sur la droite (AC), et la définition du (p : q) point entraîne les égalités de quotients de mesures algébriques suivantes : AX AX p AY AY = = = = p+q AB AX + XB AY + YC AC C B Y A Le théorème de Thalès permet de conclure que Les droites (XY) et (BC) sont parallèles. X