Mines Maths MPSI 2007

Thème de l'épreuve Étude d'une fonction. Algèbre linéaire.
Principaux outils utilisés fonctions d'une variable réelle, algèbre linéaire, matrices, polynômes
Mots clefs division euclidienne, équations différentielles linéaires, dérivation, formule de Leibnitz

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CONCOURS COMMUN 2007 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve Spécifique de Mathématiques (filière MPSI) Vendredi 11 mai 2007 de 08h00 à 12h00 Instructions générales : Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées l/4, 2/4, 3/4, 4/4. Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées. Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à code à barres correspondant à l'épreuve spécifique. L'emploi d'une calculatrice est interdit Barème indicatif : 10 points pour chaque problème Premier problème I. Etude d'une fonction On considère la fonction numérique f de la variable réelle 3: définie par : 1 __1 f(OE)=--2EURæ siæi0 a: f (0) = 0 ]. Etudier la continuité a gauche et a droite, la dérivabilité a gauche et a droite de f en O. 2. Etudier les limites et variations de f (à résumer dans un tableau) ; préciser les branches infinies. CONCOURS COMMUN SUP 2007 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Epreuve spécifique de Mathématiques (filière MPSI) Page l/4 3. Etudier la convexité ; préciser les points d'inflexion éventuels. 4. Tracer la courbe représentative (%) de cette fonction relativement a un repère orthonormal (O,Î,Î) (unité : 2 cm). On donne les valeurs approchées suivantes : e_2 = 0,135 , e_1 = 0,36 , e = 2,72. On précisera les points remarquables utilisés. II. Calcul d'aires 5. Etant donné un nombre réel h, h EUR ]0,1[ , déterminer l'aire % (h) de la partie du plan limitée par l'axe des abscisses, la courbe (%) et les droites d'équations oe = h et a: = 1. 6. En déduire l'aire de la partie du plan limitée par l'axe des abscisses, la courbe (%), la droite d'équation a: = 1 et l'axe des ordonnées, c'est a dire }lim % (h). III. Résolution d'une équation différentielle 7. Résoudre l'équation différentielle (E) æ2y' + (23: -- 1)y = 0 sur chacun des intervalles ]O,+oe[ et ]--oo,0[ . 8. Cette équation (E) a--t--elle des solutions sur lR ? Si oui, les préciser. IV. Dérivées successives et polynômes associés 9. Démontrer que fest de classe 000 sur ]0,+oo[. 10. Démontrer que, pour tout 77. EUR N , il existe un polynôme P,, tel que --1 P _ Va: EUR ]0,+oc[ f...) (a:) = 'â;îÿ EUR 93 et que : a: (I) P +1(a:) = a:2P,; (a:) + [I -- 2(n + I)OE]Pn (a:). TL 11.0alculer PÛ,H,P2,P3 et P4. 12. Calculer le degré, le coefficient dominant et le terme constant de Pn. 13. On considère la fonction 9 telle que g(a:) = æ2f(æ). Démontrer que g("+1) : f...) 1.4. Rappeler la formule de Leibniz relative a la dérivée n--ième d'un produit de fonctions en indiquant les hypothèses. (n) 15. En utilisant la formule de Leibniz pour calculer 9 ($), démontrer que : (2) P +1(a:) = (I --2(n + I)OE)Pn (a:) --n(n + 1):132Pn_1 (a:). TL ÇONCOURS COMMUN SUP 2007 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBL ALÈS, DOUAI, NANTES Epreuve spécifique de Mathématiques (filière MPSI) Page 2/4 16. En déduire que : (3) PT; (a:) = --n(n + 1)Pn_1(æ). 17. Déduire de (1) que : (4) OE2PÂ'(OE) + (1 -- 2næ)Pé (a:) + n(n + 1) Pn (a:) = 0. Deuxième problème On désigne par R [X] l'espace vectoriel des polynômes a coefficients réels et par R2 [X] le sous espace vectoriel formé des polynômes de degré inférieur ou égal a 2 et le polynôme nul. On rappelle que la base canonique de R2 [X] est % = (1, X , X 2). I. Changement de bases et division euclidienne 18. Etant donné trois réels deux a deux distincts al, % et a3, on considère trois polynômes Q@J=Oäiij Qi (0.2) i 0 Démontrer que Q1, Q2 et 623 sont linéairement indépendants. Q1, Q2 et 623 de R[X] tels que V(i,j) EUR {12,3}2 19.0n pose: ' 1 a=gx--s> =_Î1 _P. Calculer P@(1)7P1(3) et R(5) pour ZE {12,3}. 20. En déduire que @ =(P1, P2, P3) est une base de R2 [X]. 2]. Déterminer la matrice A de passage de la base % a la base @ . 22. Démontrer que A est inversible et calculer son inverse. 23. On pose P (X) : (X--1)(X--3)(X--5). 0 Pour tout polynôme P (X) de R [X ], on note ? (X) le reste de la division euclidienne de Ppar PO et par f l'application de R[X] dans R[X] définie par f(P) = ?. Démontrer que f est linéaire. 2.4. Déterminer l'image de f. 25. Déterminer le noyau de f. 2 . , , , . . 26. Comparer f et f ; reconnaitre f et en donner les elements caracteristiques. CONCOURS COMMUN SUP 2007 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Epreuve spécifique de Mathématiques (filière MPSI) Page 3/4 27.Démontrer que B(X) = P(1)H(X)+P(3)Æ(X)+P(5)Æ)(X). 28. Retrouver ainsi la matrice inverse de A. II. Calcul matriciel Onpose: 32 0 1 00 M=2 30etl=O 1 O. 003 00 1 2.9. Calculer le produit (M -- I)(M -- 31 )(M -- 51), ainsi que chacun des produits se déduisant par permutation des trois facteurs. 30. On note E l'ensemble des matrices de la forme a.] --l-- bM --l-- c]\Æ2 avec a., b, c réels. Démontrer que E est un sous espace vectoriel de l'espace vectoriel % (R) des matrices carrées d'ordre 3 a coefficients réels. 3]. Déterminer la dimension de E. 32. Pour tout polynôme P(X) = a. + bX + cX2, on pose P(M) = a.] --l-- bM --l-- c]\Æ2 et on note (13 l'application de T dans E définie par [P(X)] = P(M). Démontrer que (I) est un isomorphisme d'espaces vectoriels 33. On pose B.-- = B (M) pour i EUR {1,23}. En utilisant la question 27. et le résultat / / ° 2 o o o , . recedent ex r1mer ] M et M sous forme de combinaison lineaire de B B et B . ' 7 17 2 3 3.4. Déduire de la question 29. la valeur des produits B@Bj pour i = j. FIN DU SUJET ÇONCOURS COMMUN SUP 2007 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Epreuve spécifique de Mathématiques (filière MPSI) Page 4/4

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 Mines Maths MPSI 2007 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Guillaume Dujardin (ENS Cachan) ; il a été relu par Benoît Landelle (Doctorant en mathématiques) et Jean Starynkévitch (Professeur en CPGE). Cette épreuve se compose de deux problèmes totalement indépendants. · Le premier problème consiste en l'étude détaillée d'une fonction réelle d'une variable réelle. Il est l'occasion de mettre en pratique un certain nombre de notions et de résultats du cours d'analyse de première année : fonctions d'une variable réelle, calcul intégral et équations différentielles linéaires notamment. · Le second problème est de nature plus algébrique. Il s'agit de manipuler les projecteurs spectraux d'une matrice de M3 (R) admettant trois valeurs propres réelles simples. On est amené à utiliser le théorème de la division euclidienne dans R[X] et à étudier l'endomorphisme de R[X] qui, à un polynôme, associe son reste dans la division euclidienne par un polynôme P0 non nul fixé. Le problème se termine par quelques calculs de polynômes d'endomorphismes sous forme matricielle pour aboutir aux projecteurs spectraux. D'une longueur raisonnable pour une épreuve de quatre heures, ce sujet permet de tester la solidité de ses connaissances sur plusieurs chapitres du programme de première année. Indications Premier problème 3 Puisque f est de classe C 2 sur R , étudier le signe de f sur R . 5 Utiliser le fait que f est continue et positive sur ] 0 ; 1 ]. 7 Mettre l'équation sous forme résolue sur chacun des deux intervalles. 8 Utiliser la question précédente, raisonner par analyse-synthèse et étudier le raccordement des solutions en 0. 10 Raisonner par récurrence. 12 Raisonner par récurrence. 13 Raisonner par récurrence. 17 Dériver la relation (1). Deuxième problème 18 Écrire une relation de liaison entre Q1 , Q2 et Q3 et l'évaluer en a1 , a2 puis a3 . 20 Utiliser les questions 18 et 19 et le fait que dimR2 [X] = 3. 22 Résoudre le système AX = Y d'inconnue X. 23 Utiliser le théorème de la division euclidienne (unicité du couple quotient-reste et majoration du degré du reste). 26 Montrer que f 2 = f , puis utiliser les deux questions précédentes. 27 Écrire la division euclidienne de P par P0 et utiliser le résultat de la question 20. 28 Écrire les images de 1, X et X2 par f à l'aide de la question précédente. 29 On pourra observer que si (, R2 ), alors (M-I)(M-I) = (M-I)(M-I). 31 Montrer que (I, M, M2 ) est une base de E. 32 Comprendre que le T de l'énoncé désigne en fait R2 [X]. Premier problème I. Étude d'une fonction 1 1 1 Lorsque x tend vers 0 par valeurs inférieures, - tend vers +, de même que 2 . x x Par composition et produit, il en découle que lim f (x) = + x0 x<0 Par conséquent La fonction f n'est pas continue à gauche en 0. Puisque la dérivabilité à gauche d'une fonction en un point entraîne la continuité à gauche de cette fonction en ce point, il vient par contraposition que La fonction f n'est pas dérivable à gauche en 0. Examinons maintenant la situation à droite de 0. Constatons que lim 1/x = + x0 x>0 La croissance comparée d'un polynôme en u = 1/x avec e-u lorsque u tend vers + assure que 2 1 1 f (x) = exp - --- 0 = f (0) x x x0 x>0 Par conséquent La fonction f est continue à droite en 0. De même f (x) - f (0) = x-0 Ainsi, f est dérivable à droite en 0 et fd (0) = 0. 2 Considérons la fonction de sorte que 3 1 1 exp - --- 0 x x x0 x>0 h: ( x R R - R u 7- u2 e-u f (x) = h 1 x Pour étudier les variations de f , étudions la dérivabilité de f sur R , ainsi que le signe de la fonction dérivée sur R- et R+ . D'une part, la fonction h est dérivable sur R (comme produit de fonctions dérivables sur R) et on a 2 -u 2 -u 2 u R h (u) = 2u e - u e = u - 1 e-u u D'autre part, la fonction inverse x 7 1/x est dérivable sur R , de dérivée x 7 -1/x2 . Par conséquent, la fonction f est dérivable sur R et (2x - 1) exp - 1/x 1 1 =- x R f (x) = - 2 h x x x4 On en déduit que f est du signe de 1 - 2x sur R . Étudions maintenant les branches infinies de f . D'une part, on a vu que lim f (x) = + x0 x<0 ce qui implique que L'axe des ordonnées est asymptote au graphe de f en 0- . D'autre part, on a et lim f (x) = 0 x- lim f (x) = 0 x+ ce qui assure que L'axe des abscisses est asymptote au graphe de f en - comme en +. Résumons nos résultats dans le tableau de variation ci-dessous. x f (x) 0 - + + + f (x) 0 0 0 4e-2 + - 0 Rappelons que, pour dériver un quotient de fonctions a/b, il est souvent plus commode de le considérer comme un produit a × (1/b) et d'appliquer la règle de dérivation d'un produit. Enfin, rappelons que, pour dériver un produit d'au moins deux termes, on dérive un seul des facteurs une fois, puis on fait la somme des termes ainsi obtenus. Par exemple, si u1 , u2 , u3 et u4 sont quatre fonctions dérivables sur un intervalle I, leur produit l'est également et (u1 u2 u3 u4 ) = u1 u2 u3 u4 + u1 u2 u3 u4 + u1 u2 u3 u4 + u1 u2 u3 u4 3 Cherchons des intervalles inclus dans R sur lesquels la restriction de f est convexe. D'après les règles de composition habituelles, la fonction f est de classe C 2 sur R . On est donc amené à étudier le signe de f . d -4 x R f (x) = (f ) (x) = -x (2x - 1) exp - 1/x dx -1/x -5 =e 4x (2x - 1) - 2x-4 - x-6 (2x - 1) e-1/x 4x(2x - 1) - 2x2 - (2x - 1) 6 x -1/x e f (x) = 6x2 - 6x + 1 6 x = Les racines du trinôme 6x2 - 6x + 1 sont 3 + 32 - 6 1 3 = + et 6 2 6 3- 32 - 6 1 3 = - 6 2 6