Mines Maths MPSI 2006

Thème de l'épreuve Arc paramétré, intégration, algèbre linéaire et équations différentielles
Principaux outils utilisés équations différentielles, arithmétique, analyse réelle, algèbre linéaire

Corrigé

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CONCOURS COMMUN 2006 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI ALÈS DOUAI NANTES Épreuve Spécifique de Mathématiques (filière MPSI) ' Vendredi 12 mai 2006 de 08h00 à 12h00 Instructions générales : Les candidats doivent vérifierque le sujet comprend 4 pages numérotées 1/4, 2/4, 3/4, 4/4. Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : lescopies illisibles ou mal présentées seront pénalisées. Les candidats colleront sur leur première feuille de composition I' étiquette à code a barres correspondante. L'emploi d'une calculatrice est interdit. Barème indicatif : 10 pointS'pour chaque problème Problème 1 : Analyse * Dans tout le problème, on adopte la notation Ænk(à:) ( avec k EUR N* et a: EUR]0,g+oo[) comme écriture simplifiée du nombre réel (En (sr)),EUR et par convention, on pose : EURn°(oe) = 1 ( y compris si x = 1). Partie 1 : étude d'un arc paramétré , Pour tout nombre réel strictement positift, on pose: :c(t ) = t.£n3(t) et y(t) = t.EURn2(t). On pose également æ(0)= y(0)= A E R. ' ' On souhaite étudier l' arc paramétré f . t |--> (æ(t),y(t)). Le plan usuel de la géométrie est muni d'un repère orthonormal R = (O,ï,j). Soit C l'ensemble des points du plan de coordonnées(æ(t), y(t)) lorsque t décrit R+. 1) Pour quelle valeur de A les fonctions 3: et y sont-elles continues en 0? On suppose dans la suite que A prend cette valeur. 2) Déterminer, sur ]0, +oo[, les fonctions dérivées :c' et y' puis étudier leur signe. 3) Donner dans un même tableau les variations des deux fonctions :1: et y. Dans ce tableau devront figurer les limites aux bornes, ainsi que les valeurs de m et y aux points particuliers. Ces valeurs seront donnees sous l une des tr0|s formes swvantes: n, --5 ou bien --3 avec n EUR Z. . e e 4) Montrer que, lorsque le nombre reel u est au v0|smage du nombre 0, on a : æ(1+u)wu3 y(1+u)=u2+o(u3) _ En déduire que l'unique point singulier de l'arc, obtenu pour le paramètre t = to à déterminer, est un point de rebroussement dont on précisera la nature. Représenter sur un schéma, sans étude supplémentaire, l'allure de C lorsque't est au voisinage de to, en mettant en évidence la tangente au point--singulier. 3100 5) Déterminer les limites lorsque t tend vers +oo puis vers 0 (à droite) de la fonction t +----> --Ît--)--. « a: Conclure quant à la nature de la branche infinie de l'arc ainsi que sur l'existence d'une demi-tangente à l'arc au point de paramètre t = 0. ' 6)a) Déterminer les points d'intersection de C avec la droite A d'équation y = oe. 6)b) Tracer C, en prenant pour unité graphique 4 cm. On donne les valeurs approchées suivantes ( à 07 01 près} : e"2 :: 0,14 et e"3 2 0,05 Partie 2 : calcul de primitives Soient & un nombre réel distinct de --1 et a: un nombre _réelquelconque strictement positif. CC 1 / t"EURn"(t)dt. Pour tout nombre entier naturel n, on considère le nombre réel: Z,, ((E)?-- --, " 1 7) Calculer Z0(£C ) et Z1(cc ). 8) Déterminer une relation entre Zn+1(oe) et Z,, (a:). 9) Montrer: _ . -- --1 "+1 n --1 n+l_k £nk(oe) a+1 k=0 . 10) On note Ng l'ensemble des fonctions définies sur ]0, +00] à valeurs réelles, du type suivant a: +--> p(Æn (oe)).:c°' où p est une fonction polynomiale quelconque ( à coefficients réels) de degré au plus n. Montrer que toute fonction élément de N; admet au moins une primitive élément de â+1. \ Partie 3 : résolution d'équations différentielles Dans toute cette partie, les équations différentielles considérées seront, sauf mention contraire, résoers sur ]O,+oo[ : ceci signifie que" l'on ne s'intéresse qu'aux fonctions solutions définies sur ]0,+oo] et à valeurs réelles. ' Soit & un nombre réel donné. On considère les deux équations différentielles suivantes : (El) : sc.y' -- cry = 0 ; » (E2) : 39.3)" + (1 -- 2a)oe.y' + a2y = 0 "où y est l'application inconnue de la variable réelle a: > 0 et à valeurs réell.es * 11) Déterminer toutes les fonctions de classe 61 sur ]0, +00] a valeurs réelles solutions de (El). 12)a) Soit h :O] ,+oo]--+ R une application quelconque de classe C2. On définit alors une nouvelle application : k:R--+R _ 4 u |------+k(U) = h(e") Justifier que k est de classe C2 sur R. Pour U E R, exprimer k'(u) et k"(u) à l' aide des dérivées première et seconde de h. - 12)b) Montrer que h est solution de (E2) (c est--à-- dire: Væ > O, 332. h"(oe)+ (1-- 2a)oe. h'(oe)+a%(oe) = 0) si et seulement si on a : | Vu G R, k"(u) '-- 2a k'(u) + a?k(u) = 0 12)c) Déterminer l' expression de k(u ) pour U E R lorsque h est solution de (E2). 12)d) En déduire que l' ensemble des solutions de (E2) est l'ensemble N,] ( cf. partie 2) 13)a) On considère l' application : . P=OC°°<| | R) ----°Cΰ(lO +oo| R) y '-----> 56 y' --- ay On pose : P1 = P et pourn EUR N*,Pn+1 =P" 0 P. Pour y EUR C°°(]O, +oo],R), calculer (P o P)(y). En déduire : P2(y)= 0 (=) y EUR Nc]. 13)b) Montrer par récurrence que pour tout n E N*, P"(y) = 0 est une équation différentielle d'ordre n "du type n----1 ' :c".y+oo Partie 3 : étude d'une application linéaire On note E l'ensemble de toutes les applications définies sur R à valeurs dans @. On rappelle que E est un C--espace vectoriel pour les lois suivantes : si f et 9 sont deux telles applications et À un nombre complexe, alors f + Q et A.;" sont définies comme suit : VOE EUR R» (f + g)(l') = f(oe) + 9-(93) et ] (M")(SE) = A.f(æ) On note d'autre part [0] l'application nulle de R dans C, à savoir [0] : a: |--> O. 9) Pour ]" E E, on appelle g l'application définie par : Va: E R, g(oe) = f(oe + 27r). Montrer avec soin que l'application 90 : f |----> ga(f) = g est un endomorphisme de E. Pour [EUR E N, on désigne par E,, le sous--ensemble de E constitué des applications du type : a: |----> P(oe).eiaoe avec P E C;,]X]. 10)a) Montrer que E,, est le sous--espace vectoriel de E engendré par la famille .73 = (fk)ogkgn où l'on note : fOZOEH6iOEOE;f1ÏOEHOE.ÊiQOE;___;fn' .ÎIÏl--->OEnEURiaæ Montrer alors que f est une base de E,,. 10)b) Exprimer simplement E,,+1 à l'aide de E,, et de la droite vectorielle {À.fn+1/À E (C}. 11)a) Soit k 6 ]]0, n]]. Ecrire ga(fk) comme une combinaison linéaire des éléments de f. 11)b) En déduire: g0(E,, ) C E,,. ' 12) On désigne par m | endomorphisme de E,, défini par: pour f E E,,, m(f)= g0(f). On note M la matrice de m relativement à la base .7--Î Montrer que M est une matrice triangulaire supérieure (d'ordre (n + 1)) que l'on présentera sous forme d'un tableau en faisant seulement figurer les coefficients nuls, les coefficients diagonaux ainsi que ceux situés juste au--dessus de la diagonale. 13) Calculer, pour p E N , le déterminant de l'endomorphisme (rn)? 14) Pour & EUR Q*, donner le plus petit entier naturel non--nUl p tel que (m)10 soit de déterminant égal à 1. Partie4 : changement de base On reprend toutes les notations de la partie 3. On note id l'application identique de E... à savoir: id: f|----> f. On considère un nouvel endomorphisme : EUR = m -- (e 2"""). id 15)a) Vérifier que Æ(f0) est l'application nulle [0]. 15)b) Soit [EUR EUR []0, n ---- 1]]. Montrer que £(fk+1) est un élément de E,, et que sa composante selon f,, vaut: 2(k + 1)7re 15)c) En déduire ( par récurrence). Vk EUR ]]0, 71], E;, C Ker (£k+1). 15)d) Etablir la propriété suivante: Vk EUR ]]0, n]], £k(fk)= (lc! (27r)'"e 22"...") .f0 15)e) En déduire : EUR"(f,,) % ]O] et EUR"+1(f,,) = [O]. 16) Montrer que B = (EUR"(f,,), £"'1(f,,), , EUR(f,,), f,,) est une base de E,,. 17) Déterminer relativement à la base 8 la matrice de EUR. 18) En déduire la matrice de m dans la base 8. On note M' cette matrice. 19) On note .]l,,+1 l' ensemble des matrices carrées A= (a,,j)(,,j)EUR]1,n+lflz à coefficients complexes vérifiant ' les quatre conditions suivantes. 0 al 1 est de module 1 . V(i,j)EUR]1,n+1]2, ,=aj,j . ViEUR]]1,n]], a,,+1=7ai1 . V(i,j)EUR[]1,n+l]]2, ]j--iOE{O,1}©a,ü-=O] Montrer que l'application qui à un nombre réel & associe la matrice M' est une surjection de R dans .]ln+1. 2i7roz

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 Mines Maths MPSI 2006 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Céline Mazoit (Professeur agrégé) ; il a été relu par Céline Chevalier (ENS Cachan) et Walter Appel (Professeur en CPGE). Ce sujet comporte deux problèmes indépendants : l'un d'analyse, l'autre d'algèbre. Le problème d'analyse porte sur les fonctions de la forme t 7 tn ln (t). Il est divisé en trois parties indépendantes : · la première a pour thème l'étude d'un arc paramétré ; · la deuxième traite du calcul de primitives par récurrence à l'aide d'intégrations par parties ; · la troisième permet de caractériser certains ensembles de fonctions comme ensembles des solutions d'une équation différentielle linéaire, en s'appuyant sur l'étude d'équations différentielles linéaires du premier et du second ordre. Le problème d'algèbre est divisé en quatre parties très largement indépendantes. · La première permet d'établir un résultat d'arithmétique qui sera utilisé à la fin de la troisième partie. · La deuxième porte sur le calcul de puissances de matrices, en particulier au travers de la formule du binôme, et aboutit (sans le dire explicitement) au calcul d'une exponentielle de matrice. · La troisième concerne l'étude d'un endomorphisme de translation sur un espace vectoriel de fonctions et conduit à l'écriture de la matrice de cet endomorphisme dans une base donnée. · Enfin, la dernière partie porte sur un changement de base : dans la nouvelle base considérée, l'endomorphisme de la troisième partie a une écriture matricielle particulièrement simple (il s'agit en fait de la décomposition de Jordan). Ce sujet ne présente pas de difficulté majeure mais il fait appel à des notions très variées du programme de première année : arc paramétré, développement limité, équivalent, primitives, équations différentielles, arithmétique, calcul matriciel, algèbre linéaire : il est donc particulièrement intéressant pour des révisions. Les méthodes de réduction d'endomorphisme utilisées dans le deuxième problème font l'objet de nombreux problèmes de concours. Indications Problème 1 4 Pour x, prendre des équivalents, et pour y, faire un développement limité à l'ordre 2 de ln(1 + u). Pour étudier la nature du point singulier, regarder les monômes de plus petit degré dans les développements de x et de y. 6.a Résoudre x(t) = y(t). 7 Pour Z1 (x), intégrer par parties et utiliser le calcul de Z0 . 8 Intégrer par parties. 9 Raisonner par récurrence en utilisant le résultat de la question 8. 10 Montrer le résultat pour les éléments d'une famille génératrice simple de Nn en utilisant les fonctions Zn . 11 Utiliser la solution générale d'une équation de la forme y + f (x)y = 0. 12.a Utiliser la formule de la dérivée d'une composée. 12.b Effectuer le changement de variables x = eu . 12.c Utiliser la solution d'une équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants. 13.b Pn+1 (y) = P Pn (y) . Problème 2 4 Utiliser le théorème de Gauss. 6 Calculer N2 et N3 . Écrire J sous la forme I + N. 10.a Se ramener au cas des polynômes. 11.a Penser à la formule du binôme de Newton. 12 Utiliser le résultat de la question 11.a. 13 det(Ap ) = det(A)p . 14 Utiliser l'étude faite à la partie I. 15.b Penser à la formule du binôme de Newton. 15.c Utiliser le résultat de la question 10.b. 15.d Procéder par récurrence. 16 Utiliser le résultat de la question 15.b. 19 L'application 7 e2i est une surjection de R dans l'ensemble des complexes de module 1. Problème 1 : analyse I. Étude d'un arc paramétré 1 Comme lim t ln3 (t) = 0 et lim t ln2 (t) = 0, t0+ t0+ Les fonctions x et y sont continues en 0 si et seulement si = 0. 2 Pour t > 0, on obtient 1 = ln2 (t) ln(t) + 3 t 1 y (t) = 1. ln2 (t) + t.2 ln(t) = ln(t) ln(t) + 2 t x (t) = 1. ln3 (t) + t.3 ln2 (t) et x (t) = ln2 (t) ln(t) + 3 t > 0 et y (t) = ln(t) ln(t) + 2 Étudions maintenant le signe des fonctions dérivées x et y . t 1 e3 0 ln2 (t) + ln(t) + 3 - 0 + - 0 + x (t) t + 1 e2 0 - ln(t) + 2 - 0 + + 0 - y (t) 0 + + 0 + + 1 ln(t) + 1 - 0 + + 0 + 3 Le résultat de la question 2 permet d'obtenir le tableau de variations suivant : t 0 x (t) - y (t) + x(t) 1 e3 0 - 0 + + 0 y(t) 1 e2 27 e3 9 e3 0 8 - 2 e + 1 + 0 + - 0 + 0 4 e2 + + 0 4 On a ln(1+u) + u, d'où ln3 (1+u) + u3 . De plus, 1+u + 1, ce qui permet u0 u0 u0 de conclure que (1 + u) ln3 (1 + u) + u3 . u0 On demande un développement limité de la fonction y et non un équivalent comme pour x. On utilise donc un développement limité de ln(1 + u). Le développement limité de ln(1+u) à l'ordre 2 s'écrit ln(1+u) = u- u2 +o(u2 ), d'où 2 y(1 + u) = (1 + u) ln2 (1 + u) 2 u2 = (1 + u) u - + o(u2 ) 2 = (1 + u) u2 - u3 + o(u3 ) = u2 - u3 + u3 + o(u3 ) y(1 + u) = u2 + o(u3 ) Au final, x(1 + u) u3 u0+ et y(1 + u) = u2 + o(u3 ) Le point associé au paramètre t0 d'un arc paramétré f : t 7 x(t), y(t) est dit singulier si les deux dérivées x (t0 ) et y (t0 ) sont nulles. Les résultats de la question 2 montrent que le seul point singulier de l'arc f est obtenu pour t = 1. Comme le degré du premier coefficient non nul du développement limité de x est impair et que celui du développement de y est pair, y La courbe C admet un point de rebroussement de première espèce pour t = 1 avec une demi-tangente verticale. O 5 Pour tout t R+ r {1} x t ln2 (t) 1 y(t) = = . 3 x(t) ln(t) t ln (t) Or lim ln(t) = + et lim+ ln(t) = -, donc t+ t0 lim t+ y(t) = 0+ x(t) et lim+ t0 y(t) = 0- x(t) L'arc C admet l'axe des abscisses comme direction asymptotique, et une demitangente horizontale de vecteur directeur (-1, 0) au point de paramètre t = 0. 6.a Un point x(t), y(t) de l'arc C appartient à la droite si x(t) = y(t). x(t) - y(t) = t ln3 (t) - t ln2 (t) = t ln2 (t) ln(t) - 1