Mines Maths MPSI 2005

Thème de l'épreuve Étude de courbes dans le plan. Étude d'un endomorphisme de R2.
Principaux outils utilisés fonction exponentielle, géométrie élémentaire du plan, courbes paramétrées, matrices, symétries

Corrigé

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CONCOURS COMMUN 2005 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve Spécifique de Mathématiques (filière MPSI) Vendredi 20 mai 2005 de 08h00 à 12h00 Instructions générales : Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées l/4, 2/4, 3/4, 4/4. Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées. Les candidats colleront sur leur première ' feuille de composition l'étiquette à code à barres correspondante. L'emploi d'une calculatrice est interdit Barème indicatif : Premier problème 1/2 - Deuxième problème 1/2 Premier problème Partie A. On se propose dans cette partie d'étudier la fonction définie pour tout nombre réel t par : f(t) = e'Îcos(t) et de donner une allure de sa courbe représentative. 1. Etudier, sur l'intervalle {%,--gg] , les variations de la fonction f . . . -TE 37I 2. Expr1mer f (t + 2k7c) en fonction de f(t) pour k 5 Z , et t & [Î'Îl . En déduire les variations de f sur [Ï--2--7-Ï-- + 2k7t,3Î7t + 2kn] 3. Soient u et v les fonctions définies sur R par : u(t) = e " et v(t) = - e " (C1) et (C2) leurs courbes représentatives dans un repère orthonormé (O, i, ]) . Soit encore (C) la courbe représentative de f dans (O, i, 5). Déterminer les points d'intersection de (C) et (C1) puis de (C) et (C2) ; que dire alors de la limite de la fonction f en -- oo . 4. Comparer les tangentes à (C) et (C1) aux points d'intersection trouvés à la question précédente ; faire de même pour (C) et (C2). 5. Etudier la limite de f en + oo . 6. Utiliser ce qui précède pour représenter graphiquement (C) , (C1) et (C2) sur [%,--3%} . On pourra utiliser les valeurs numériques suivantes: --Tt n' --37t _ e 4 z 0,46 e4 % 2,19 e 4 % 0,09 e"'t % 0,04 3 E -3_,, e2 z0,21 e2 z4,81 e 2 z0,01 «/îoe1,41 ak : e"t .cos(t).dt Calculer cette intégrale (on pourra utiliser deux intégrations par parties). 8. Montrer que (an ) n GN est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme. ; calculer sn : Zbk en fonction de n, puis étudier la limite de sn k=0 quand n tend vers + oo . Interpréter géométriquement ce résultat. 9. Onpose: VkeN , bk =|ak Partie B. On se propose maintenant de tracer la courbe paramétrée définie pour t & [0,+oe[ par : X : e"t cos(t) y = e_' sin(t) ----> --> 10. Déterminer les vecteurs vitesse V(t) et accélération A(t) à la date t. --> 11. Exprimer OM(t) en fonction de t. 12. Démontrer que l'angle (p = {OM,V] que fait levecteur OM(t) avec le vecteur vitesse V(t) à la date t est constant et en donner une mesure. 13. Donner une équation polaire de la courbe puis la représenter pour t E [0,27c[. (On nedemande pas d'étude supplémentaire) Partie C. Soit E = R2 , muni de sa base canonique. Pour tout réel t, on appelle F t l'endomorphisme de E dont e't cos(t) --- e"t sin(t)) la matrice dans la base canonique est : Mt = _ t _ _t e s1n(t) e cos(t) 14. Déterminer la nature de F" . 15. Montrer que Ft est la composée de deux endomorphismes simples de E, dont on donnera les éléments caractéristiques. (On peut utiliser soit le cours d'algèbre linéaire, soit les complexes) 16. Soit F = {Ft , t e R } : ensemble des endomorphismes Ft , quand t décrit R. Montrer que la composition des applications, notée c, est interne sur F , puis montrer que (F, 0) est un groupe isomorphe au groupe (R,+). Deuxième problème On note AJ; l'ensemble des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels. O 0 1 O 00 01 On rappelle que (M; , + , .) est un espace vectoriel réel et que (% , + , ><) est un anneau. On note 9 = ( ) la matrice nulle, et l=( ) la matrice unité. Partie A. A est une matrice fixée de M 2, différente de I et 9 , on considère l'application f de % vers lui- même définie par: fZMI--)f(M)=MXA--AXM ]. Quelle est la dimension de Al; ? (On ne demande pas de justifier cette réponse) 2.-- Montrer que f est un endomorphisme de l'espace vectoriel %. 3. Soit K={Me MAAXM=MXA }. Montrer que K est un sous-espace vectoriel de (NI; , + , .). 4. Montrer que I et A appartiennent à Ker f. 5. Montrer que Ker f est stable pour la multiplication des matrices, c'est--à-dire A & Ker f et B & Ker f :> A x B EUR-- Ker f (La démonstration sera détaillée) 6. Montrer que (Ker f , + , x ) est un anneau. Partie B. . 0 1 a c _ On pose maintenant A = et M = d une matr1ce quelconque de M . 0 1 b 7. Calculer f(M). 8. a) Montrer que Ker f est le sous-espace vectoriel engendré par I et A. b)Trouver une base de Ker f et préciser la dimension de Ker f ainsi que le rang de f. 9. Déterminer An pour tout ne N*. 10. Soit N = X.I + y.A un élément de Ker f ; déterminer Nn pour tout ne N *. ll. Résoudre dans Ker f l'équation : N2 = 1. Partie C. Le plan (P) est rapporté à un repère orthonorrné direct (0, i, ]) . On désigne par s l'application de (P) vers lui-même qui au point m de coordonnées (X , y) fait correspondre le point m' de coordonnées (X' , y'), définies par : 12. 13. 14. 15. 16. 17. {f=x--2y Y'= --y Calculer s o s , puis reconnaître s et préciser ses éléments caractéristiques. Soit A le projeté orthogonal de m sur Oy ; trouver l'équation y = F(X) de l'ensemble des points m du plan vérifiant la relation : ----------> ----> Am.Om' : 4 Etudier la fonction trouvée, construire cet ensemble, avec ses asymptotes. Soit 1" le cercle de centre O et de rayon 1 du plan (P). Déterminer une équation de son image F '= s(F). Soit (O, 1, Î) un nouveau repère orthonormé direct tel qu'une mesure de l'angle (Î,Î) soit le réel oc. Ecrire les formules de passage de (0, i, ]) à (0,1, Î) , c'est à dire exprimer les coordonnées (x , y) d'un point dans (0, i, ]) en fonction des coordonnées (X , Y) de ce même point dans (0, Î, Î). ._>-p Trouver une équation de F ' dans (0, I, J ) en fonction de cos 2 or et de sin 2 ou . . rc , . , , ---- = On suppose mamtenant ou = ---- , donner une equation de F dans le repere (O, I, J ) ; en 8 déduire la nature de la conique F ' et préciser ses paramètres a et b. Tracer F ' dans le repère (0, i, _j). Onpourrautiliser: 3+2JÎ=(JÏ+1)2 ; 3--2«/Ï=(«/Ï--1)2 et «/îzl.4

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 Mines Maths MPSI 2005 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Thomas Vidick (ENS Ulm) ; il a été relu par Thomas Chomette (Professeur en CPGE) et David Lecomte (Université de Stanford). Cette épreuve est composée de deux problèmes indépendants, chacun découpé en trois parties. Les domaines abordés sont très variés, allant de l'algèbre linéaire à l'intégration et à la géométrie. On trace en particulier plusieurs courbes, définies d'abord par une équation de la forme y = f (x), puis par une équation paramétrique, puis par une équation du type F(x, y) = 0. Dans l'ensemble, les questions ne présentent pas de grosses difficultés, et plusieurs d'entre elles consistent en une application directe du cours. Mise à part la partie B du deuxième problème, qui reprend des notations de la partie A, les six parties de ce sujet sont indépendantes et peuvent donc être traitées dans un ordre quelconque. Une même thématique réunit cependant les trois parties de chaque problème. · Les trois parties du premier problème sont indépendantes les unes des autres. Dans la première, on étudie la fonction f : t 7 e-t cos t. On trace sa courbe représentative, puis on calcule l'aire du plan délimitée par cette courbe et l'axe des abcisses en introduisant une suite d'intégrales. Dans la deuxième partie, on étudie une courbe paramétrée et on la représente après en avoir donné une équation simple en coordonnées polaires. Dans la troisième partie, on étudie un sous-ensemble F de L (R2 ), et on montre que, muni de la composition des endomorphismes, F est un groupe isomorphe à (R, +). · Les deux premières parties du deuxième problème sont consacrées à l'étude de l'endomorphisme f : M 7 M × A - A × M de M2 (R), où A est une matrice fixée. Dans la première partie on montre que le noyau de f est un anneau. Dans la deuxième, on étudie un cas particulier, et on calcule les puissances n-ièmes de certaines matrices avant de résoudre une équation matricielle. Dans la troisième partie, indépendante des deux premières, on étudie une symétrie du plan, et on représente l'image du cercle unité par cette symétrie. Indications Premier problème 3 Montrer que f n'admet pas de limite en - en considérant deux suites (uk )kN et (vk )kN tendant vers - et telles que f (uk ) kN et f (vk ) kN ont des limites différentes. 4 Le coefficient directeur de la tangente à (C) en (t, f (t)) est f (t). 9 sn est la somme des n + 1 premiers termes d'une suite géométrique. ! -- -- cos(t + ) te . 12 Écrire V(t) sous la forme V(t) = C sin(t + ) ---- 13 Remarquer que (- i , OM(t)) = t. 16 Montrer que Ft Ft = Ft+t en effectuant un produit matriciel. Deuxième problème 3 Remarquer que K = Ker f . 5 Utiliser l'associativité du produit matriciel. 6 Montrer que c'est un sous-anneau de M2 en rassemblant les résultats des questions précédentes. 8.a Procéder par double inclusion, et utiliser les questions 4 et 7. 8.b Montrer que la famille (I, A) est libre. 9 Calculer les premières puissances de A. 10 Utiliser le binôme de Newton. 11 Exprimer N, puis N2 , en tant que combinaison linéaire de I et de A. 14 Exprimer les coordonnées de m en fonction de celles de m = s(m). - - 15 Exprimer I et J en fonction de - i et de - . Pour cela, un dessin peut être utile. Premier problème Partie A 1 Calculons la fonction dérivée de f : t R f (t) = -e-t cos t + e-t (- sin t) = -e-t (cos t + sin t) Pour étudier le signede la dérivée, cherchons ses points d'annulation : soit t dans 3 l'intervalle - ; . Alors 2 2 f (t) = 0 cos t + sin t = 0 2 cos t - =0 4 n 3 o f (t) = 0 t - , 4 4 Toute expression de la forme a cos x + b sin x, où a et b sont des réels, peut se mettre sous la forme cos(x - ), ce qui permet d'en étudier facilement le signe et les zéros. En effet, a = a2 + b 2 et b = a2 + b 2 satisfont 2 + 2 = 1, ce qui prouve qu'il existe un unique [ 0 ; 2 [ tel que et = cos = sin a2 + b2 ( cos x + sin x) = a2 + b2 (cos cos x + sin sin x) a cos x + b sin x = a2 + b2 cos(x - ) En posant = a2 + b2 , on a bien la forme annoncée. D'où a cos x + b sin x = Pour avoir le signe de f sur chaque intervalle, on prend des valeurs particulières : 3 f - = e/2 > 0 f = -e-/2 < 0 et f = e-3/2 > 0 2 2 2 3 D'où le tableau de variations de f sur - ; : 2 2 - f 2 4 0 - + 2 /4 e 2 f 0 - 3 4 0 3 2 + 0 2 -3/4 - e 2 3 2 Soient k un entier relatif et t - ; . On a 2 2 f (t + 2k) = e-t-2k cos(t + 2k) f (t + 2k) = e-2k f (t) Or e-2k est un réel strictement positif ; comme multiplier une fonction par une constante positive ne change pas son sens de variations, les variations de f 3 3 sur - + 2k ; + 2k sont les mêmes que sur - ; . 2 2 2 2 On peut remarquer que f (/2) = 0 et donc, d'après le tableau de variations établi à la question précédente, f est positive sur [ -/2 ; /2 ] et négative sur [ /2 ; 3/2 ]. Comme pour tout réel t et tout entier relatif k, f (t + 2k) = e-2k f (t), on en déduit que f est positive sur tout intervalle de la forme [ -/2 + 2k ; /2 + 2k ] et négative sur tout intervalle de la forme [ -/2 + (2k + 1) ; /2 + (2k + 1) ]. 3 Soit M un point du plan de coordonnées (x, y). Alors y = e-x M (C) (C1 ) y = e-x cos x y = e-x cos x = 1 donc M appartient à (C) (C1 ) si et seulement si x est de la forme 2k, k Z, et y = e-x . Les points d'intersection de (C) et de (C1 ) sont donc les points : (C) (C1 ) = (2k, e-2k ) | k Z De la même manière, M (C) (C2 ) y = -e-x y = e-x cos x y = -e-x cos x = -1 donc M appartient à (C) (C2 ) si et seulement si x est de la forme (2k + 1), k Z, et y = -e-x . Les points d'intersection de (C) et de (C2 ) sont donc les points : (C) (C2 ) = (2k + 1), -e-(2k+1) | k Z Supposons que f admette une limite R en -. Alors, si (uk )kN est une suite de réels tendant vers -, la suite (f (uk ))kZ tend vers . Soit (uk )kN la suite (-2k)kN . Cette suite tend vers - lorsque k tend vers l'infini. D'après ce qui précède, pour tout entier k, f (-2k) = e2k et donc la suite (f (-2k))kN tend vers +. De même, en considérant la suite (-(2k + 1))kN qui tend vers -, on constate que (f (-(2k + 1)))kN tend vers -. Donc on a à la fois = - et = +, ce qui est absurde. f n'admet pas de limite en -.