Mines Maths MPSI 2004

Thème de l'épreuve Manipulations de suites et d'intégrales. Généralisation de l'exponentielle et du logarithme à certaines classes de matrices.
Principaux outils utilisés suites numériques, calcul intégral, équations différentielles, courbes paramétrées, calcul matriciel

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CONCOURS COMMUN 2004
DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES

Épreuve Spécifique de Mathématiques
(filière MPSI)

Mercredi 19 mai 2004 de 08h00 à 12h00

Instructions générales :

Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées 1/4, 
2/4, 3/4, 4/4.
Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction. 
' les copies illisibles ou

mal présentées seront pénalisées.
Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette a 
code à barres

correspondante.

L'emploi d'une calculatrice est interdit

Barème indicatif : 10 points pour chaque problème

Premier problème

I. Résolution d'équations différentielles
1. Résoudre l'équation différentielle : z' + ztht : 0 , où z est une fonction 
de la

variable réelle t à valeurs réelles.
Trouver la solution 711 de cette équation telle que z1 (O) = 1 .

2. Résoudre l'équation différentielle : z' + z tht = ttht.

Trouver la solution 22 de cette équation telle que z2 (O) = O.

11. Etude d'un arc paramétré

Dans le plan rapporté à. un repère orthonormal, on considère la courbe (I') 
représentée
a:(t) = t ---- tht
paramétriquement par :

1
t=-----
y() Cht

Démontrer que (I') admet un axe de symétrie.
Etudier les branches infinies de (F).
Etudier les variations de a: et y ; faire un tableau.

Préciser la nature du point A d'abscisse 0, ainsi que la tangente en ce point.

>Ï.°°9"."ËÔ

&) Calculer cht et tht lorsque sht = 1. Calculer la valeur de t correspondante
(on exprimera le résultat sous forme d'un logarithme népérien).

b ) Déterminer le point B de (P) où la tangente a pour coefficient directeur 
--1 ;
déterminer une équation cartésienne de la tangente en B à (F).

8. Donner l'allure de la courbe (I').

a) Déterminer une équation cartésienne de la tangente à (I') au point M de

paramètre t.

I)) Cette tangente recoupe l'axe des abscisses en un point N. Calculer la 
distance MN .

III. Etude d'intégralcs et de suites

. . . . . $ dt
Sment un réel 3: et k un ent1er str1ctement poat1f. On pose Ik (a:) = f hkt .
0 C

10. Calculer Il (a:) (on pourra faire le changement de variable u = et ).

11. Calculer 12 (a:) .
12.

a) En intégrant par parties, trouver une relation entre Ik+2 et Ik (on pourra

remar uer ue 1 -- Cht )
q q chkt chk+1t '
b) En déduire 13 et 14.

13. Démontrer que la fonction Ik : a: +----> Ik ($) est:

a) impaire.
b) continue sur R.

c) de classe 000 sur R.

, // m
14. Calculer Ik ,],EUR et I,': .

15. Donner le développement limité de I È à l'ordre 3 au voisinage de O.

16. Démontrer que Ik est monotone sur R.

17. On se propose, pour k fixé, d'étudier la convergence de la suite (un)neN. 
définie par

un =],EUR (n).

a} Démontrer que cette suite est monotone.

1 _ . .
b) Démontrer que, pour tout réel t, ---- <26 ' ; en dédu1re que la su1te converge. cht . . OE dt +OO dt 18. On pose, sous réserve d'ex1stence, Jk = l1m k , notée ] æ---->+oo 0 ch t 0

a} Démontrer l'existence de J k.

b) Calculer J1 et .]2 .
c} Calculer Jk.

Deuxième problème
CL C

0 b

On désigne par E l'ensemble des matrices carrées d'ordre 2 de la forme [ ], où 
a,b,c

sont des nombres réels.

1. Etude de structures

a.) Démontrer que E, muni de l'addition des matrices et de leur produit par un 
scalaire

réel, est un espace vectoriel réel.

b) Trouver une base et la dimension de E.

a) Démontrer que E est stable pour la multiplication des matrices.

b) En déduire que E, muni de l'addition et de la multiplication des matrices, 
est un
anneau.

c) Cet anneau est--il commutatif ?

3. On désigne par G l'ensemble des matrices de E telles que a > 0 et Z) > O.

Démontrer que G est un groupe multiplicatif.

II. Puissances d'une matrice et suites

a (:
801t A=[O b GE.
4.
ap _bp
ap c
a) On suppose @ := b . Démontrer que Vp E N" AP : a -- b
0 bp

b) On suppose que a = b . Calculer AP pour 17 E N * ; on exprimera les 
coefficients en

fonction de a et c.

5. Pour tout n E N", on pose Bn =Z--'AP : 0 5 ,en convenant que
p=OP' n
1 0 2 n 77, k
0_ _. , _ £ æ_ æ____ rv_
A --I--[O 1 et,pourt0utæreel, 90n(oe)--1+1!+2!+ +... k=0k!.

a) Rappeler l'inégalité de Taylor--Lagrange avec ses hypothèses.

b ) Démontrer que, pour a: fixé, la suite de terme général cpn (oe) converge et 
que sa
limite est eOE .

c) On suppose a i b .

Calculer oz...fin et % en fonction de a, b, c, son (a) et gbn (b).

Démontrer que les suites (ozn )" ,(fln )n et (% )n ont des limites respectives 
oz,fi,*y que

l'on calculera.

d) On suppose a = b.

Calculer oz...fin et % en fonction de a, c, gon_1 (a) et gbn (a).

Démontrer que les suites (un)" ,(Bn)n et (%)" ont des limites respectives 
a,fl,v que

l'on calculera.

a C

0 b

av
05

question 5, et on note f l'application de E dans E définie par f (A) = A' .

Pour tout A = [ E E, on pose A' = , où 04, £ et y ont été définis à la

a) L'application ]" est-elle linéaire ?
b ) L'application f est--elle injective ?
c) L'application f est--elle surjectivé ?
d) Déterminer l'image de E par f.
7. On suppose maintenant que 0 < a < ln2 et 0 < b < ln2. " <--1>P--1 p "n en " (_1).-. .
On pose, pour AGE, ?; p (f(A)--I) =[0 bn] et wn(æ)=kî_; !: æ .

a) Calculer an,bn et en lorsque a i b, puis lorsque a = b (on pourra utiliser 
les

résultats de la question 4).
b ) Démontrer que si 0 < oe < 1 , la suite de terme général ibn (oe) , oe fixé, converge vers ln (1 + cc) . c) Dans chacun des deux cas précédents, démontrer que les suites (an) (bn) et (C") n TL TL ont respectivement pour limites a,b et c. FIN DU SUJET