Mines Maths MPSI 2004

CONCOURS COMMUN 2004
DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES

Épreuve Spécifique de Mathématiques
(filière MPSI)

Mercredi 19 mai 2004 de 08h00 à 12h00

Instructions générales :

Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées 1/4, 
2/4, 3/4, 4/4.
Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction. 
' les copies illisibles ou

mal présentées seront pénalisées.
Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette a 
code à barres

correspondante.

L'emploi d'une calculatrice est interdit

Barème indicatif : 10 points pour chaque problème

Premier problème

I. Résolution d'équations différentielles
1. Résoudre l'équation différentielle : z' + ztht : 0 , où z est une fonction 
de la

variable réelle t à valeurs réelles.
Trouver la solution 711 de cette équation telle que z1 (O) = 1 .

2. Résoudre l'équation différentielle : z' + z tht = ttht.

Trouver la solution 22 de cette équation telle que z2 (O) = O.

11. Etude d'un arc paramétré

Dans le plan rapporté à. un repère orthonormal, on considère la courbe (I') 
représentée
a:(t) = t ---- tht
paramétriquement par :

1
t=-----
y() Cht

Démontrer que (I') admet un axe de symétrie.
Etudier les branches infinies de (F).
Etudier les variations de a: et y ; faire un tableau.

Préciser la nature du point A d'abscisse 0, ainsi que la tangente en ce point.

>Ï.°°9"."ËÔ

&) Calculer cht et tht lorsque sht = 1. Calculer la valeur de t correspondante
(on exprimera le résultat sous forme d'un logarithme népérien).

b ) Déterminer le point B de (P) où la tangente a pour coefficient directeur 
--1 ;
déterminer une équation cartésienne de la tangente en B à (F).

8. Donner l'allure de la courbe (I').

a) Déterminer une équation cartésienne de la tangente à (I') au point M de

paramètre t.

I)) Cette tangente recoupe l'axe des abscisses en un point N. Calculer la 
distance MN .

III. Etude d'intégralcs et de suites

. . . . . $ dt
Sment un réel 3: et k un ent1er str1ctement poat1f. On pose Ik (a:) = f hkt .
0 C

10. Calculer Il (a:) (on pourra faire le changement de variable u = et ).

11. Calculer 12 (a:) .
12.

a) En intégrant par parties, trouver une relation entre Ik+2 et Ik (on pourra

remar uer ue 1 -- Cht )
q q chkt chk+1t '
b) En déduire 13 et 14.

13. Démontrer que la fonction Ik : a: +----> Ik ($) est:

a) impaire.
b) continue sur R.

c) de classe 000 sur R.

, // m
14. Calculer Ik ,],EUR et I,': .

15. Donner le développement limité de I È à l'ordre 3 au voisinage de O.

16. Démontrer que Ik est monotone sur R.

17. On se propose, pour k fixé, d'étudier la convergence de la suite (un)neN. 
définie par

un =],EUR (n).

a} Démontrer que cette suite est monotone.

1 _ . .
b) Démontrer que, pour tout réel t, ---- <26 ' ; en dédu1re que la su1te 
converge.

cht

. . OE dt +OO dt
18. On pose, sous réserve d'ex1stence, Jk = l1m k , notée ]
æ---->+oo 0 ch t 0

a} Démontrer l'existence de J k.

b) Calculer J1 et .]2 .
c} Calculer Jk.

Deuxième problème
CL C

0 b

On désigne par E l'ensemble des matrices carrées d'ordre 2 de la forme [ ], où 
a,b,c

sont des nombres réels.

1. Etude de structures

a.) Démontrer que E, muni de l'addition des matrices et de leur produit par un 
scalaire

réel, est un espace vectoriel réel.

b) Trouver une base et la dimension de E.

a) Démontrer que E est stable pour la multiplication des matrices.

b) En déduire que E, muni de l'addition et de la multiplication des matrices, 
est un
anneau.

c) Cet anneau est--il commutatif ?

3. On désigne par G l'ensemble des matrices de E telles que a > 0 et Z) > O.

Démontrer que G est un groupe multiplicatif.

II. Puissances d'une matrice et suites

a (:
801t A=[O b GE.
4.
ap _bp
ap c
a) On suppose @ := b . Démontrer que Vp E N" AP : a -- b
0 bp

b) On suppose que a = b . Calculer AP pour 17 E N * ; on exprimera les 
coefficients en

fonction de a et c.

5. Pour tout n E N", on pose Bn =Z--'AP : 0 5 ,en convenant que
p=OP' n
1 0 2 n 77, k
0_ _. , _ £ æ_ æ____ rv_
A --I--[O 1 et,pourt0utæreel, 90n(oe)--1+1!+2!+ +... k=0k!.

a) Rappeler l'inégalité de Taylor--Lagrange avec ses hypothèses.

b ) Démontrer que, pour a: fixé, la suite de terme général cpn (oe) converge et 
que sa
limite est eOE .

c) On suppose a i b .

Calculer oz...fin et % en fonction de a, b, c, son (a) et gbn (b).

Démontrer que les suites (ozn )" ,(fln )n et (% )n ont des limites respectives 
oz,fi,*y que

l'on calculera.

d) On suppose a = b.

Calculer oz...fin et % en fonction de a, c, gon_1 (a) et gbn (a).

Démontrer que les suites (un)" ,(Bn)n et (%)" ont des limites respectives 
a,fl,v que

l'on calculera.

a C

0 b

av
05

question 5, et on note f l'application de E dans E définie par f (A) = A' .

Pour tout A = [ E E, on pose A' = , où 04, £ et y ont été définis à la

a) L'application ]" est-elle linéaire ?
b ) L'application f est--elle injective ?
c) L'application f est--elle surjectivé ?
d) Déterminer l'image de E par f.
7. On suppose maintenant que 0 < a < ln2 et 0 < b < ln2.
" <--1>P--1 p "n en " (_1).-. .
On pose, pour AGE, ?; p (f(A)--I) =[0 bn] et wn(æ)=kî_; !: æ .

a) Calculer an,bn et en lorsque a i b, puis lorsque a = b (on pourra utiliser 
les

résultats de la question 4).
b ) Démontrer que si 0 < oe < 1 , la suite de terme général ibn (oe) , oe fixé, 
converge vers
ln (1 + cc) .

c) Dans chacun des deux cas précédents, démontrer que les suites (an) (bn) et 
(C")

n TL TL

ont respectivement pour limites a,b et c.

FIN DU SUJET

Mines Maths MPSI 2004 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Emmanuel Cornet (ENS Ulm) ; il a été relu par Jean
Starynkévitch (ENS Cachan) et David Lecomte (ENS Cachan).

Ce sujet est découpé en cinq sections, réparties dans deux problèmes 
relativement
hétérogènes et de difficulté progressive. Le premier problème porte sur les 
fonctions
hyperboliques ; le second étudie l'espace vectoriel des matrices triangulaires 
supérieures d'ordre 2.
· La première section, courte et classique, demande de résoudre des équations
différentielles faisant intervenir la fonction tangente hyperbolique. Les deux
questions sont très proches du cours sur les équations différentielles.
· La deuxième propose d'étudier une courbe paramétrée définie à l'aide des 
fonctions th et ch. Pour la résoudre, il faut être méthodique et maîtriser en 
particulier la caractérisation des points stationnaires.
· La troisième examine une suite de fonctions définies par une intégrale (il 
est,
là encore, question de fonctions hyperboliques) et la suite numérique formée
par les limites à l'infini de ces fonctions. Elle exige une bonne connaissance 
des
parties du programme traitant des suites, mais aussi des fonctions réelles et de
l'intégration.
· Dans la quatrième section, on étudie les propriétés algébriques élémentaires 
de
l'espace E des matrices triangulaires supérieures d'ordre 2.
· Enfin, la cinquième section, la plus longue et la plus intéressante, demande
de calculer les puissances des matrices de E avant de proposer une première
approche, par le biais des matrices, de ce que l'on appellera en deuxième année
des « séries entières » (l'énoncé ne mentionne d'ailleurs pas leur nom : ce sont
en réalité des polynômes de « degré » infini). Pas d'affolement ! Le problème
reste très progressif et guide le candidat avec dextérité et finesse.
En résumé, ce sujet offre un bon panorama du programme de mathématiques en
première année : on y aborde aussi bien l'analyse (intégration, dérivation, 
équations
différentielles, suites numériques) que l'algèbre linéaire (matrices, espaces 
vectoriels,
groupes, endomorphismes) et la géométrie (courbes paramétrées) ; ces trois 
parties
du programme sont habilement enchevêtrées au fil du sujet. Il s'agit en outre 
d'une
excellente introduction à la notion de série entière, essentielle en deuxième 
année,
sans pour autant que des connaissances ne soient requises à leur sujet pour 
s'entraîner sur cette épreuve ; l'énoncé parvient également à définir des 
fonctions analogues
à l'exponentielle et au logarithme, bien connues dans R, sur l'espace des 
matrices.
Bien équilibré, progressif, directif et intéressant dans ses enjeux, il s'agit 
d'un excellent sujet.

Indications
Problème I
A.1 Une primitive de la fonction tangente hyperbolique est x 7- ln (ch x).
A.2 Pour trouver une solution particulière, utiliser la méthode de variation de 
la
constante.
A.3 Calculer x(-t) et y(-t).
A.6 Pour connaître la nature du point A, une méthode est de calculer un 
développement limité en 0 de t 7- x(t) et t 7- y(t).
A.7.a Le fait que l'énoncé demande d'exprimer le résultat sous la forme d'un 
logarithme népérien doit faire penser aux expressions de ch t et sh t en 
fonction de e t .
A.7.b Utiliser la question précédente.
A.13.a Effectuer le changement de variable u = -t.
A.14 Appliquer le théorème fondamental de l'intégration.
A.15 Se servir de la formule de Taylor-Young.
A.17.b Écrire à nouveau la définition de ch t en fonction de e t .
A.18.c Passer à la limite dans la relation de récurrence entre Ik et Ik+2 pour 
obtenir
une relation entre Jk et Jk+2 . Distinguer selon la parité de k.
Problème II
B.1.a Montrer que E est un sous-espace vectoriel de Mn (R).
B.1.b Choisir un sous-ensemble de la base canonique de Mn (R). Ne pas oublier de
montrer que la famille obtenue est génératrice de E.
B.2.b (E, +) est un groupe abélien puisque E (muni de l'addition et du produit 
par
un scalaire) est un espace vectoriel.
B.4.a Raisonner par récurrence.
B.5.b Appliquer l'inégalité de Taylor-Lagrange à la fonction exponentielle. Bien
prendre garde au fait que c'est n qui varie et que x est fixé.
B.5.d Dans le calcul de ,  et , ne pas oublier de distinguer les cas a 6= b et 
a = b.
B.6.a La fonction exponentielle est-elle linéaire ?
B.6.b Distinguer soigneusement, là encore, les cas a 6= b et a = b.
B.6.c Qu'advient-il si, par exemple,  est strictement négatif ?
B.7.b Adopter la même méthode qu'à la question B.5.b.
B.7.c Pour montrer que cn ----- c, ne pas chercher à faire apparaître la foncn+

tion , mais reconnaître simplement la somme des termes d'une suite géométrique.

A.
I.

Premier problème

Résolution d'équations différentielles

A.1 La solution générale d'une équation différentielle linéaire du premier 
ordre, de
la forme z  + a(t) z = 0, est z(t) =  e-A(t) , où A est une primitive de a et  
un réel
quelconque.
Ici, une primitive de t 7- th t est t 7- ln (ch t) ; aussi une fonction réelle z
est-elle solution de l'équation différentielle proposée si et seulement si
z(t) =  e- ln (ch t)

t  R
soit

z(t) =

t  R

ch t

(  R)
(  R)

Si l'on ne connaît pas une primitive de t 7- th t par coeur, il suffit 
d'intégrer
sh t/ch t en remarquant que sh est la dérivée de ch (aucune valeur absolue
n'est nécessaire dans le logarithme puisque ch est strictement positive sur R).
Pour trouver la solution z1 qui prend la valeur 1 en 0, il suffit de résoudre 
l'équation suivante, d'inconnue  :
z1 (0) =

=1
ch 0

Par suite,

d'où

z1 (t) =

=1

1
ch t

A.2 Soit z une solution de l'équation différentielle
z  + z th t = t th t

(E)
1

La fonction z1 déterminée à la question précédente est de classe C et ne 
s'annule
pas sur R, de sorte qu'on peut définir
t  R

(t) =

z(t)
z1 (t)

Cette nouvelle fonction  est également de classe C 1 , d'après les théorèmes 
généraux
sur la dérivation, et elle vérifie
t  R

z(t) = (t) z1 (t)

Exprimons le fait que z est solution de l'équation (E) :
t  R

  (t)
t th t = z  (t) + z(t) th t =  (t) z1 (t) + (t) z1  (t) + z1 (t) th t =
ch t
|
{z
}
=0

d'où

t  R

 (t) = t ch t × th t = t sh t

Soit x un réel quelconque ; intégrons cette dernière relation entre 0 et x :
Z x
(x) - (0) =
t sh t dt
0

Le membre de droite se calcule sans peine à l'aide d'une intégration par 
parties :
Z x
x
(x) - (0) = [t ch t]0 -
ch t dt = x ch x - sh x
0

Ayant identifié la fonction auxiliaire , on peut désormais donner une expression
de la solution z de l'équation (E) :
t ch t - sh t + (0)
(0)
= t - th t +
ch t
ch t
Réciproquement, on vérifie aisément qu'une fonction de cette forme est solution
de (E). Par conséquent, une fonction réelle z est solution de (E) si et 
seulement si
t  R

z(t) = (t) z1 (t) =

t  R

z(t) =

µ
+ t - th t
ch t

µR

On dira élégamment que l'espace affine (ici, une droite) des solutions de
l'équation avec second membre est dirigé par l'espace vectoriel des solutions
générales de l'équation homogène et passe par une solution particulière de
l'équation non homogène.
Étant donné que th s'annule en 0, la condition z2 (0) = 0 impose que µ = 0, si 
bien que
z2 (t) = t - th t

II.

Étude d'un arc paramétré

A.3 Appuyons-nous sur la parité des fonctions hyperboliques : d'une part,
t  R
et d'autre part,

t  R

x(-t) = -t + th (-t) = -x(t)
1
y(-t) =
= y(t)
ch (-t)

Deux points M(t) et M(-t) de () sont donc symétriques par rapport à l'axe des
ordonnées.
 admet (Oy) pour axe de symétrie.
C'est pourquoi on se contentera, dans toute la suite de cette partie, d'étudier 
la
portion de courbe définie par t  [ 0 ; + [.
A.4 Les fonctions t 7- x(t) et t 7- y(t) étant définies et continues sur R 
puisque
t 7- ch t ne s'annule jamais, elles sont bornées sur tout intervalle borné de 
R. De ce
fait, s'il apparaît des branches infinies (où par définition x, ou y, ou les 
deux, tend
vers un infini), c'est que t lui-même tend vers l'infini. Voyons comment la 
courbe se
comporte dans cette situation.
x(t) = t - th t ---- +
t+

et

y(t) =

1
---- 0
ch t t+

() admet donc (Ox) pour asymptote ; par symétrie, elle admet également (Ox )
pour asymptote lorsque t  -.