Mines Maths MPSI 2003

Thème de l'épreuve Calcul de l'intégrale 0+∞ d x1+xα . Algèbre des quaternions.
Principaux outils utilisés suites numériques, calcul d'intégrales, continuité, symétrie dans M2(C), structures algébriques, produit scalaire
Mots clefs algèbre des quaternions, intégrale hypergéométrique

Corrigé

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CONCOURS COMMUN 2003 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve Spécifique de Mathématiques (filière MPSI) Jeudi 22 mai 2003 de 8h00 à 12h00 Instructions générales : Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend : 4 pages numérotées 1/4, 2/4, 3/4 et 4/4. Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées. Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à code à barres corres- pondante. L'emploi d'une calculatrice est interdit Barème indicatif : ' Premier problème environ 1/2 - Deuxième problème environ 1/2 Premier problème N désigne l'ensemble des entiers naturels et R le corps des nombres réels. Dans tout le problème OL désigne un réel strictement supérieur à 1. On pose : I(OL) : fÛ 1 + x" L'objectif du problème est le calcul de l'intégrale I(OL). +00 1 dx. On rappelle que pour a et b dans R on a les formules : 1 cos(a)cos(b) = --2--(cos(a + b) + cos(a ---- b)). sin(a) cos(b) : â--(sin(a + b) + sin(a ----- b)). sin(a) -- sin(b) : 25in(a 5 b)cos(a _; b). I. Quelques résultats préliminaires Pour X dans R et pour n dans N * on pose : fIl (X) = z cos(kx). k=1 ' m{oen+nË) Pour X EUR ]0,1r] et pourndans N on pose: gn(X) = _--_Î--2_' sin(----) 2 1 1 Ï---- + _gn(X)' 1) Etablir la formule : V X EUR ]O,71] , fn(X) 2 2 On pourra, pour ce fa1re, s'1nteresser a la quant1te s1n ---- fn (X). 2 2) a) En déduire que gn est prolongeable en une application continue sur [Om]. On note encore gn l'application ainsi prolongée. b) Pour 11 dans N on pose : url = ]; gn(X) dX. Montrer que la suite (un) est constante et préciser sa valeur. X cos(--) -- 1 3) Soit g : [Om] ----> R définie par: V X EUR ]0,1T], g(x) = --------g--X-------- et g(0) = 0. sin(--) 2 a) Prouver que g est continue en 0. b) Etablir l'existence et déterminer la valeur de li0rn Og' (X) X--> ,X> c) Etablir que g est de classe C1 sur [0,11] et préciser g'(0). 11. Etude d'une suite Pourn dans N* on pose: Xn = Lïfn(X)cos(â-) dX. 4) Pour 11 dans N on pose Vn = ]: g(x) sin((2n + 1)--Ë-) dX. Montrer qu'il existe A dans R tel que : V n E N* , |an < On pourra, pour ce faire, effectuer une intégration par parties. 5) Etablir que: V n E N*, Xn = --gsin(ï) +--1-Vn +3. 2 01 2 2 Montrer que la suite (X) est convergente et déterminer sa limite. 1 1 1+oak+1--ock° 6) Montrer que: V n E N'", XnL = %sin(£)Z(--1)k OL k=1 III. Détermination de la valeur de [(a) tB--1 t"5 t 't ==---------. 1+teüi) 1+t On adopte la notation B = à et pour t E ]0,1] on pose : &p+oo n----++oo b) Exprimer Jn(B) + Kn(B) a l'aide de Xn et de oc. oa sin c) Montrer que : I(d) = --------ÏÎ[--ç----. &) Second Problème R désigne le corps des nombres réels et C le corps des nombres complexes. M2(C) désigne l'ensemble des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients dans C. 1 0 0 --1 0 i --i 0 01 10 10etL=01' Onposezl= ,J= ,K= 1. Etude d'une symétrie On notera bien, que dans toute cette partie, M2(C) est muni de sa structure de C-algèbre. a b (1 --b PourA=C d _C a dans MZ(C) on pose : 0(A) = et T(A) = a + d. 11) a) Montrer que 0 est une symétrie du C--espace vectoriel M2((C). b) Etablir que (I,J,K,L) est une base du C--espace vectoriel M2(C) puis donner la matrice de l'endomorphisme 0 dans cette base. 12) On considère A et B dans M2(C). a) Montrer que : o(AB) = o(B) o(A). b) Justifier l'égalité : Ao(A) = det(A) I. c) Montrer que si A est inversib1e alors o(A) l'est aussi. Exprimer les matrices o(A)"1 et o(A"') en fonction de A. 13) a) Vérifier que T est une forme linéaire sur le C--espace vectoriel M2((C). b) Soit A dans M2(C). Exprimer o(A) a l'aide des matrices A, I et du complexe T(A). 11. Une R-algèbre célèbre :'l'algèbre des quaternions On notera bien, que dans toute cette partie, M2(C) est muni de sa structure de ]R-algèbre. A tout couple (21,22) de nombres complexes on associe la matrice M(z1, 22) = On désigne par H l'ensemble des matrices de M2(C) de la forme M(z17 z2) , le couple (21,22) décrivant C2. 14) a) Montrer que toute matrice de H s'écrit de manière unique sous la forme od + BJ + qK + ôL où oz, B, «|, 6 sont des réels. b) En déduire que H est un sous espace vectoriel du R--espace vectoriel M2(C). Préciser une base et la dimension du R--espace vectoriel H. c) Montrer que H est stable pour le produit matriciel. d) Montrer que H est une R--algèbre. La R--algèbre H est--elle commutative ? 15) a) Vérifier que : V A E H , o(A) E H et det(A) EUR R+. b) Montrer qu'une matrice non nulle de H est inversible et que son inverse est dans H. c) Vérifier que (H \ {O},X) est un groupe. 16) Montrer que si deux entiers naturels peuvent tous deux s'écrire comme une somme de quatre carrés d'entiers naturels alors il en est de même de leur produit. On pourra exprimer det(M(zl,22)) comme une somme de quatre carrés de réels. 111. Un produit scalaire et une projection orthogonale PourAetB dansHon pose: (A | B) = â--T(AO'(B) + Bo(A)). 17) On considère A et B dans H. a) Prouver que (A | B) E R. On pourra utiliser la question 15) a) b) Montrer que (A | A) = det(A). c) Etablir que ( | ) est un produit scalaire sur le R--espace vectoriel H. 18) Vérifier que (I,J,K,L) est une base orthonormale de H. 19) On pose F = {A E H | T(A) = 0}. a) Montrer que F est un hyperplan du R--espace vectoriel H. En donner une base. b) Montrer que: Fl = {CLI , or EUR R}. c) On désigne par 'n la projection orthogonale sur F. Montrer que: V A E H, «(A) = %(A -- o(A)). FIN DU SUJET

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 Mines Maths MPSI -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Sébastien Gadat (ENS Cachan) ; il a été relu par Thomas Chomette (ENS Ulm) et Aurélien Alvarez (ENS Lyon). Le sujet se compose de deux problèmes indépendants, le premier d'analyse, le second d'algèbre linéaire. Le premier problème est un petit peu plus difficile que le second, mais les questions sont bien enchaînées et progressives, ce qui permet une bonne compréhension de l'énoncé. Le second problème est plus aisé et ne fait intervenir que des notions de base d'algèbre linéaire. Dans le problème d'analyse, la première partie s'attache à redémontrer des résultats classiques sur les sommes de cosinus. Les deux autres parties proposent le calcul de l'intégrale Z + dx I() = 1 + x 0 à l'aide de techniques fondées sur les suites de fonctions, intégrations par parties, et fonctions intégrables. Le problème d'algèbre linéaire est une introduction à l'algèbre des quaternions. On construit cette algèbre matriciellement avant d'y définir un produit scalaire et une projection orthogonale. On démontre également le résultat suivant : si deux entiers naturels sont somme de quatre carrés d'entiers, il en va de même de leur produit. Indications Premier Problème 1 Utiliser les rappels de trigonométrie donnés en début d'énoncé. 2.b Déduire de la formule trouvée à la question 1 que la suite est constante. 3.a Effectuer un développement limité de g en 0 pour en déduire la continuité. 3.c Appliquer un résultat classique du cours d'analyse sur le prolongement des fonctions de classe C 1 . 5 On pourra calculer vn en utilisant la relation de la question 1 et conclure grâce à la question précédente. 6 Utiliser la définition de fn pour calculer Xn . 7.a Étudier ces intégrales avec le critère de Riemann. 9.a Calculer explicitement n (t). 10.a Calculer Jn () - J() et utiliser le résultat de la question 9.a. 10.b Utiliser le résultat de la question 6. 10.c Conclure en utilisant les résultats des questions 5, 8 et 10. Second Problème 11.a Démontrer que est involutive. 12.c Utiliser la question précédente et raisonner sur le déterminant. 15.b On pourra utiliser les résultats démontrés aux questions 12.c et 15.a. 16 Calculer le déterminant des matrices M(z1 , z2 ). 17.a Se souvenir que H est un espace vectoriel stable par et par multiplication matricielle. 17.b Utiliser le résultat de la question 12.b. 19.b S'intéresser à la dimension de F . 19.c Développer A dans la base (I, J, K, L) et montrer que l'on obtient la formule proposée. Premier Problème I. Quelques résultats préliminaires 1 Soient x un réel appartenant à ] 0 ; ] et n un entier naturel non nul. Calculons la quantité suggérée par l'énoncé : n P x x sin cos(kx) sin fn (x) = 2 2 k=1 1 (sin(a + b) + sin(a - b)) , on obtient 2 n h x 1 P x x i sin (2k + 1) sin fn (x) = + sin (1 - 2k) 2 2 k=1 2 2 h n 1 P x x i = sin (2k + 1) - sin (2k - 1) 2 k=1 2 2 n P x 1 n-1 x 1 P sin (2k + 1) - sin (2k + 1) = 2 k=1 2 2 k=0 2 x 1 x x sin fn (x) = sin (2n + 1) - sin 2 2 2 2 x Enfin, x appartient à ] 0 ; ] donc sin n'est pas nul. On en déduit que 2 x 1 sin (2n + 1) 2 fn (x) = - + x 2 2 sin 2 En utilisant la formule sin a cos b = En conclusion, x ] 0 ; ] n N 1 1 fn (x) = - + gn (x) 2 2 (1) 2.a La fonction fn est continue sur [ 0 ; ], pour tout entier naturel n non nul. D'après (1), on a x ] 0 ; ] gn (x) = 2fn (x) + 1 En posant gn (0) = 2fn (0) + 1, il vient gn (0) = lim gn (x) x0 x>0 On en déduit que gn est prolongeable par continuité sur [ 0 ; ] avec, en conservant la notation gn pour la fonction prolongée, gn (0) = lim gn (x) = 2fn (0) + 1 = 2n + 1 x0 x>0 Par ailleurs, si n est nul, la fonction gn est constante égale à 1 sur ] 0 ; ]. Elle est donc également prolongeable par continuité en 0 en prenant g0 (0) = 1. Par conséquent, Pour tout entier naturel n, gn est prolongeable par continuité en 0. 2.b Soit n un entier naturel. La fonction gn étant continue sur [ 0 ; ], on peut définir son intégrale sur cet intervalle. D'après la relation (1), Z un = gn (x) dx Z0 = (2fn (x) + 1) dx 0 = +2 = +2 n Z X cos(kx) dx k=1 0 n X k=1 un = sin(kx) k 0 La suite (un )nN est constante, de valeur . 3.a Commençons par remarquer que g est bien définie et continue sur ] 0 ; ]. Pour étudier la continuité de g en 0, utilisons un développement limité. On a x x2 x x cos = 1 - 2 + o x2 et sin = + o (x) 2 2 2 x2 + o x2 2 x 2 On en déduit g(x) = x = 2 + o (x) + o (x) 2 d'où lim g(x) = 0 = g(0) x0 x>0 g est continue en 0. 3.b La fonction g étant le quotient de deux fonctions dérivables sur ] 0 ; ] dont le dénominateur ne s'annule jamais, elle est dérivable sur cet intervalle. 1 x x 1 x x sin sin + cos - 1 cos 2 2 2 x ] 0 ; ] g (x) = - 2 x sin 2 Étudions la limite en 0 de cette quantité en utilisant à nouveau des développements limités : 1 x2 x2 2 2 + o x + 1 - - 1 + o x 22 2 22 g (x) = - 2 x + o (x2 ) 4 x2 + o x2 2 = - 42 x + o (x2 ) 4 1 g (x) = - 2 + o (1) Il s'ensuit que lim g (x) = - x0 x>0 1 2