Mines Maths MPSI 2002

Thème de l'épreuve Matrices semblables à leur inverse Calcul et irrationalité de ζ(2)
Principaux outils utilisés Matrices, rang, algèbre linéaire, intégration, suites, intégration par parties
Mots clefs suites numériques, calcul intégral, matrices semblables

Corrigé

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CONCOURS COMMUN SUP 2002 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve spécifique de Mathématiques (filière MPSI) Mercredi 22 mai 2992 de 98h09 à 12h00 Instructions générales : Les candidats : 0 doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées 1/4, 2/4, 3/4 et 4/4, . sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées, . colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à code à barres correspondante. ' PROBLEME I : Exemples de matrices semblables à leur inverse Dans tout le problème, E est un lit-espace vectoriel de dimension 3. Pour u endomorphisme de E et n entier naturel non nul, on note u" = u 0 u oo u (n fois). On note 3% 3 (IR) le R--espace vectoriel des matrices carrées d'ordre 3, GL 3 (R) le groupe des matrices inversibles de M 3 (R), et 13 la matrice unité de M 3 (R). On notera par 0 l'endomorphisme nul, la matrice nulle et le vecteur nul. Pour deux matrices A et B de M 3 (R), on dira que la matrice A est semblable à la matrice B s'il existe une matrice P de GL 3 (IR) telle que : A = P"B P. On rappelle que si 13 et B ' sont deux bases de E, si P est la matrice de passage de la base 3 à la base B', si u est un endomorphisme de E de matrice A dans la base 13 ' et de matrice B dans la base 3 alors A : P"'B P ( c'est à dire, la matrice A est semblable à la matrice B ). Partie A 1. On notera A ... B pour dire que la matrice A est semblable à la matrice B. Démontrer que la relation ... est une relation d'équivalence sur M 3 (R). On pourra désormais dire que les matrices A et B sont semblables. 2. Démontrer que deux matrices de M 3 (R) de déterminants différents ne sont pas semblables. 3. Soit u un endomorphisme de E et soit i et j deux entiers naturels. On considère l'application w de Keru'" vers E définie par : w(x) : uj (x). a. Montrer que Imw C KeruÏ b. En déduire que dim (Keru'" ) _<_ dim (Kerui ) +dim (Keruj ). 4. Soit u un endomorphisme de E vérifiant : u3 = 0 et rang u = 2. a. Montrer que dim (Keru2) : 2. ( On pourra utiliser deux fois la question 3b. ). Concours commun Sup 2002 - Épreuve spécifique de Mathématiques (filière MPSI) Page 1/4 b. Montrer que l'on peut trouver un vecteur a non nul de E tel que u 2(a) # O, et en déduire que la famille (u 2(a), u(a), a) est une base de E. c. Écrire alors la matrice U de u et la matrice Vde u2 --- a dans cette base. 5. Soit u un endomorphisme de E vérifiant : u2 = 0 et rang u = 1. 3. Montrer que l'on peut trouver un vecteur 19 non nul de E tel que u(b) := 0. b. Justifier l'existence d'un vecteur c de Keru tel que la famille (u(b), (3) soit libre, puis montrer que la famille (19, u(b), c) est une base de E. c. Écrire alors la matrice U' de u et la matrice V' de u2 --- u dans cette base. Partie B Soit désormais une matrice A de M 3 (IR) semblable à une matrice du type T On se propose de montrer que la matrice A est semblable à son inverse A". 0 :O 0 6. Expliquer pourquoi la matrice A est bien inversible. B a On pose alors N 0 y , et soit une matrice P de GL 3(lRä) telle que P" A P = T = ]3 + N . 0 0 7. Calculer N3 et montrer que P"1 A" P = 13 --N+ N2 . 8. On suppose dans cette question que N = 0 , montrer alors que les matrices A et A"1 sont semblables. 9. On suppose dans cette question que rang( N ) = 2 . On pose M : N 2 ... N . 0 1 0 3. Montrer que la matrice N est semblable à la matrice 0 0 1 et en déduire, en utilisant la 0 0 0 question 4., une matrice semblable à la matrice M. b. Calculer M 3 et déterminer rang( M ) . 0. Montrer que les matrices M et N sont semblables. (1. Montrer alors que les matrices A et A"1 sont semblables. 10. On suppose dans cette question que rang ( N) : 1. On pose M = N 2 _ N . Montrer que les matrices A et A_lsont semblables. 1 0 0 Il. Exemplezsoit la matrice A: 0 0 --1 . 0 1 2 On note (a, b, c) une base de E et u l'endomorphisme de E de matrice A dans cette base. 3. Montrer que Ker (u --- id E) est un sous-espace vectoriel de E de dimension 2 dont on donnera une base (el, ez). b. Justifier que la famille (el, ez, c) est une base de E, et écrire la matrice de u dans cette base. c. Montrer que les matrices A et A"Isont semblables. Concours commun Sup 2002 - Épreuve spécifique de Mathématiques (filière MPSI) Page 2/4 12.Réciproquement, toute matrice de M 3 (R) semblable à son inverse est--elle nécessairement semblable 1 a B à une matrice du type T = 0 1 y ? 0 0 l . 1 1 PROBLEME Il : Calcul et irrationalité de Ç(2) : 11m (1+ E + % + 1% + + ""?) n--->+oo " Dans ce problème, pour une fonction f et un entier naturel k, f ... désigne la dérivée k--ème de la fonction f avec : f ... = f . Remarque : sauf s'il est précisé entier naturel, un entier peut être positif ou négatif. . " 1 Partie A : Convergence de la suite (2 ] nZl Î ... k . " 1 Dans cette partie, p et n sont deux entiers naturels non nuls et on pose Sn( p) = E}--/;--p--. k+1 -- >. 1 1 1 1. Montrer que pour tout entier k 21, S --dx S -------------- . (k + 1)" x" k " \ k 1 2. Montrer que pour n 2 2, Sn(p) -- 1 S J----;dx S Sn_1 (p). x l 3. Démontrer, par un calcul d'intégrales, que la fonction x +---> -------1--; est intégrable sur [1,+oo[ si et x seulement si p .>. 2. 4. Montrer que la suite (S,,(p)),221 converge si et seulement si p 2 2. On note alors Ç( p) : lim Sn( p). H--)+°° Partie B : Calcul de Ç(2) 2 Dans cette partie on pose, pour ! réel : h([) : -£-----_ ; , et on définit la fonction (p sur [O, R] par : l() it l pour te]0,Tt]. 25m-- 2 5. Montrer que la fonction (p est de classe C 1 sur l'intervalle [O, R]. (p(0) : ...] et (DU) = 6. Calculer, pour tout k entier naturel non nul, Ï h(t)cos(kl)dt. 0 7. Calculer, pour t & ]O,7r], Ecos(kl) , puis déterminer une constante À telle que, sin((n + %) !] Vzë]o,n], Ecos(kt)=--------t------À. k=l 28m-- 2 Concours commun Sup 2002 - Épreuve spécifique de Mathématiques (filière MPSI) Page 3/4 8. Montrer à l'aide d'une intégration par parties que, pour toute fonction tri de classe C 1 sur l'intervalle 713 [O, rt], lim Jw(t)sin[(n + â--) :] di: 0. n--)+oo 0 2 9. Montrer que Ç(2) = %-- . Partie C : Ç(2) est irrationnel ' - , x" 1---- x " Dans cette partie, pour n ent1er naturel non nul et x reel, on pose fn (x) : ---------£----'----)---- . n . 10.Dans cette question, 11 est un entier naturel non nul. . . . 1 2" . 3. Montrer qu'1]ex1ste n+l entiers en, e..., ...,62n tels que fn(x) : ---; ei x'. n' i=n b. Montrer que pour tout entier naturel k, fn") (O) et fn... (1) sont des entiers. ( On pourra remarquer que fn (x) : fn (l --- x) ). On veut montrer que n2 est un irrationnel, et on va raisonner par l'absurde : on suppose que a . . rt2 == -- ou a et b sont deux ent1ers naturels non nuls. b 11.0n pose, pour n entier naturel non nul et x réel : . F,, (x) = I)" (n'" fn (x) --- n2""2 fn") (x) + n2""4 f,}" (x) -- + (-----1)" ff") (x)) . a. Montrer que Fn (O) et F" (1) sont des entiers. b. On pose, pour n entier naturel non nul et x réel : gn (x) : Fn ' (x) sin(7c x) -- 7t Fn (x) cos(n x ), 1 et An : TE Ia"fi(x)sin(n x)dx. 0 Montrer que, pour n entier naturel non nul et x réel : gn ' (x) : 7t2a" fn ( x) sin(7t x) , et montrer que A" est un entier. _ _ . _ a" 12.0n pose, toupurs pour le meme ent1er a, un : -------'-- . n . . , . u . . a. En consrderant le quotient "" , montrer que 11m un : 0. un n--->+oo a" 1 b. Montrer qu'il existe un entier naturel no tel que pour tout entier n 2 no, __! <--2--. n . 1 c. Montrer que pour tout réel x EUR [0,1], 0 5 fn (x) 5 -'--1--'. d. Montrer alors que, pour tout entier n 2 no, An & ]0,1[, et conclure que 7t2 est irrationnel. e. Comment peut--on déduire de ce qui vient d'être fait que n est irrationnel ? Pour information \ Il a été prouvé depuis le 18"me siècle, que Ç( p) est irrationnel pour tout entier pair p 2 2 , récemment ( 1979) il vient d'être découvert que Ç(3) est irrationnel et le mystère demeure encore quant à l'irrationalité des Ç( p) pour les entiers impairs p 2 3 Concours commun Sup 2002 - Épreuve spécifique de Mathématiques (filière MPSI) Page 4/4

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 Mines Maths MPSI 2002 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Walter Appel (professeur en CPGE) ; il a été relu par Jean Starynkévitch (ENS Cachan) et David Lecomte (ENS Cachan). Ce sujet est composé de deux problèmes complètement indépendants. · Le premier est un problème d'algèbre linéaire. On y étudie certaines matrices semblables à leur inverse. Il n'y a pas de question vraiment difficile mais il est indispensable de bien avoir en tête les résultats démontrés précédemment pour pouvoir répondre à certaines questions. De plus, un recours incessant à l'isomorphisme entre matrices et endomorphismes est nécessaire. Ce problème permet en outre de manipuler de nombreuses notions (noyau, rang, nilpotence, déterminant, équivalence) au coeur de l'algèbre linéaire, dans des cas pratiques. Certains résultats (ceux de la question I.4.b notamment) sont généralisables en dimensions plus grandes et sont des classiques des concours de Spé. Ce sujet est donc préconisé autant pour ceux qui veulent réussir un concours de Sup que ceux qui veulent, en début de Spé, réviser l'intégralité de leur cours d'algèbre linéaire. · Le second problème est divisé en trois parties. Dans une première partie, on établit que, si p est un entier naturel non nul, la suite n P 1 p k=1 k nN converge si et seulement si p > 2. Cette partie ne fait appel qu'à des notions très classiques d'analyse. Dans la seconde partie, on établit le lemme de Riemann-Lebesgue et, au moyen d'une fonction convenable, on calcule la valeur de n 1 P n k=1 k 2 (2) = lim Enfin, dans la troisième partie, on donne une preuve analytique (extrêmement classique) de l'irrationalité de . C'est peut-être le passage le plus technique du problème ; mais le résultat en vaut largement la peine. Indications Premier problème I.2 Procéder par contraposée. I.3.b Appliquer la formule du rang à w. Montrer que Ker ui+j Ker ui . Se souvenir que, si U est un sous-espace vectoriel de E, alors Ker f |U = (Ker f ) U I.4.b Écrire la définition de « u2 = 0 » et en déduire celle de « u2 6= 0 ». I.7 Calculer (I3 + N)(I3 - N + N2 ) en remarquant que N3 = 0. I.9.a Raisonner en termes d'endomorphismes et utiliser la question I.4. I.9.c Idem. I.9.d Montrer que I3 + N et I3 + M sont semblables. I.10 Montrer (en utilisant la question I.5) que N est semblable à U . En déduire que M2 = 0 et rg M = 1 puis que M U . I.12 Considérer -I3 . Second problème II.1 Utiliser la décroissance de la fonction x 7- 1/xp . II.3 Trouver une primitive de fp et préciser sa limite en +. II.5 Montrer que est continue en prenant des équivalents du numérateur et du dénominateur. Utiliser ensuite le théorème de la limite de la dérivée. II.6 Effectuer deux intégrations par parties. II.7 Écrire le cosinus avec des exponentielles complexes. Ajouter un terme pour avoir la somme d'une suite géométrique. II.8 Montrer que et sont bornées. II.9 Utiliser les questions II.6 et II.7 puis le résultat de la question II.8. II.10.b Utiliser la formule de Taylor sur les dérivées en 0 d'une fonction polynomiale. II.11.b Montrer que, dans le développement de (Fn (x) + 2 F(x)), tous les termes sauf un s'annulent deux à deux. Enfin, utiliser la question précédente. II.12.a Comparer la suite (un )nN à une suite géométrique. II.12.d Montrer que An 6= 0, puis appliquer le résultat précédent. Comparer avec la question II.11.b. I. Exemples de matrices semblables à leur inverse Partie A I.1 On rappelle qu'une relation « » est une relation d'équivalence si elle vérifie les propriétés suivantes : Réflexivité A M3 (R) Symétrie (A, B) M3 (R)3 Transitivité (A, B, C) M3 (R)3 AA A B = B A (A B et B C) = A C · Réflexivité : soit A M3 (R). La matrice identité I3 est inversible, d'inverse I3 et l'on peut écrire A = I3 -1 A I3 . Ceci prouve que A est semblable à A : A A. · Symétrie : soient A, B M3 (R). On suppose que A B. Il existe donc une matrice inversible, que l'on note P, telle que A = P-1 BP. En multipliant à gauche par P et à droite par P-1 , on obtient : B = PAP-1 ou encore B = (P-1 )-1 A(P-1 ) Or la matrice P-1 est inversible ; l'équation précédente montre donc que B est semblable à A : B A. · Transitivité : enfin, soient A, B, C M3 (R). On suppose que A B et B C. Il existe donc des matrices P, Q GLn (R) telles que A = P-1 BP et B = Q-1 CQ. La matrice QP est alors inversible et, en injectant la deuxième relation dans la première, on obtient A = P-1 Q-1 CQ P = P-1 Q-1 C QP = (QP)-1 C(QP) ce qui montre que A est semblable à C : A C. Conclusion La relation est une relation d'équivalence. I.2 Démontrons la propriété demandée par contraposée. Soient A et B deux matrices semblables. Il existe donc une matrice P GLn (R) telle que A = P-1 BP. En prenant le déterminant, on obtient det A = det(P-1 BP) = (det P-1 ) det B det P = (det P)-1 det P det B = det B Ainsi, deux matrices semblables ont même déterminant. Par contraposée : Deux matrices de déterminants différents ne sont pas semblables. I.3.a On définit w: ( Ker ui+j - E x 7- w(x) = uj (x) Soit x Im w. Alors il existe y Ker ui+j tel que x = w(y) = uj (y). Alors ui (x) = ui uj (x) = ui+j (y) = 0 c'est-à-dire que x Ker ui . On a donc montré : Im w Ker ui (1) I.3.b On applique la formule du rang à l'application linéaire w, dont l'espace de départ est Ker ui+j : dim(Ker ui+j ) = dim(Ker w) + dim(Im w) De l'équation (1), on tire, en prenant la dimension de chaque membre de l'équation : dim(Im w) 6 dim(Ker ui ) De plus, w est la restriction de uj à Ker ui+ j , donc Ker w = Ker ui+j Ker uj = Ker uj On a utilisé deux résultats qui sont à considérer comme relevant du cours. Tout d'abord, si f : E - F est une application linéaire et si U est un sousespace vectoriel de E, alors, en notant f |U : U - F la restriction de f à U: Ker f |U = (Ker f ) U ce qui se démontre aisément par une double inclusion. Enfin, si f est un endomorphisme d'un espace vectoriel E et si p et q sont deux entiers naturels tels que p 6 q, alors Ker f p Ker f q On obtient dim(Ker ui+j ) 6 dim(Ker ui ) + dim(Ker uj ) I.4.a Puisque u3 = 0, on en déduit que Ker u3 = E, donc dim(Ker u3 ) = 3 De plus, rg u = 2 donc, en utilisant la formule du rang : dim(Ker u) = 1 On applique alors le résultat de la question I.3.b avec i = 1 et j = 1 : dim(Ker u2 ) = dim(Ker u1+1 ) 6 dim(Ker u) + dim(Ker u) | {z } | {z } =1 soit =1 dim(Ker u2 ) 6 2 Appliquons enfin le résultat de la question I.3.b avec i = 2 et j = 1 : dim(Ker u3 ) = dim(Ker u2+1 ) 6 dim(Ker u2 ) + dim(Ker u) | {z } | {z } =3 =1