Mines Maths MPSI 2000

Thème de l'épreuve Résolution d'une équation fonctionnelle par plusieurs méthodes. Étude de l'intersection entre GLn(K) et un hyperplan.
Principaux outils utilisés équations différentielles, analyse réelle, algèbre linéaire

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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CONCOURS COMMUN SUP 2000 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve spécifique de Mathématiques (filière MPSI) Mardi 23 mai 2000 de 08h00 à 12h00 Instructions générales : Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées 1/4, 2/4, 3/4 et 4/4. Les candidats sont invités à porter une attention particulière àla rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées. Les candidats collemnt sur leur première feuille de composition l'étiquette correspondant à l'épreuve et figurant sur leur convocation. PROBLÈME D'ANALYSE D C° (R, R) est la R-algèbre des fonctions continues de R dans R. D L'objectif du problème est d'étudier les ensembles 'Ë et 9 suivants : '3={f EUR C°(R, R)/ V(x, y)E RZ, f(X+y)+f(x--y) = 2f(x)f(Y) }. "?est la partie constituée des éléments f de % tels que : 0 f n'est pas la fonction identiquement nulle. 0 f s'annule au moins une fois sur R. PARTIE I H . Montrer que la fonction cosinus est dans l'ensemble %. 2. On note ch la fonction cosinus hyperbolique et sh la fonction sinus hyperbolique. Démontrer la formule: V(x, y) e R', ch(x+y) =chxchy + shx shy . En déduire que la fonction ch est dans l'ensemble %. 3. Soit f dans %; montrer que pour tout réel en, la fonction fa de R vers R définie par : x l--) fa(x) = f(a x) est dans '3. 4. On fixe un élément f de 'Ë. En donnant à x et à y des valeurs particulières, prouver que : a. f(0) vaut 0 ou 1. b. Si f (0) = 0, alors f est la fonction identiquement nulle. 0. Si f (0) = 1, alors f est une fonction paire. Epreuve spécifique de Mathématiques (filière MPSI) Page 1/4 CONCOURS COMMUN SUP 2000 DES ÉCOLES DES M]NES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES PARTIE II ' A. On fixe ici un élément f de '3 tel que f (0) = l. 1. Montrer que pour chaque réel r > 0, on a : a. VxeR, L:f(.: + y)aÿ = L'" f(u)du. b. VxeR, 2 f(x) [ 0 f( y)dy = j'" f(u)du + J:fif(v)dv. 2. a. Montrer que l'on peut choisir r > 0 de façon à rendre strictement positive la constante L: f ( y)aÿ. Dans la suite de ce Z., on fixe un réel r > 0 qui vérifie : I (: f ( y)dy > 0. b. En déduire que f est de classe C1 sur R. c. Montrer alors que f est en fait de classe C °° sur R. (1. Prouver l'existence d'une constante c > 0 telle que : VxeR, c f'(x) = f(x+r)--f(x--r). 3. En déduire l'existence d'une constante réelle k telle que : VxeR, f "(x): Àf(x). B. Conclusion. l. Résoudre sur R l'équation différentielle : y"= " y. , en séparant les cas : u > 0, p < 0 et u = O. 2. En déduire tous les éléments de "EUR en exploitant le 1.4.0. 3. Donner tous les éléments de 9. PARTIE 111 On se propose d'étudier l'ensemble 9par une méthode différente. On pourra utiliser librement le résultat suivant : SiaestunélémentfixêdeRî etsi Da ={ a--2'ÎÎ/pez qu }, tout réel est limite et 'une suite d'éléments de Da. Soitfun élément de ?. On pose E = {x > 0 / f(x) = O}. A. 1. Montrer que f (0) = l, et que f s'annule au moins une fois sur R1. 2. Montrer que E admet une borne inférieure que l'on note a. 3. Prouver que f (a) = 0 (on pourra raisonner par l'absurde). En déduire que : a > O. 4. Montrer que : Vx e [O, a[, f(x) > 0. B. On pose (0 = 2--"--, et on note g la fonction de R vers R : x |----> cos(oe x). a 2 . a a l. a. Smt qu ; montrer que : f(îî) +1 : 2l:f(2q+l ):l . Epreuve spécifique de Mathématiques (filière MPSI) Page 2/4 CONCOURS COMMUN SUP 2000 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES . . a a b. En déduire, en rarsonnant par récurrence sur q, que: quN, f(î_--I--) = g(57). On démontrerait de même le résultat suivant que le candidat pourra utiliser librement : si qu estfixé : VpeN, f(p%) = g(p-ä--). 2. Prouver que : Vx e D,, f(x) : g(x). 3. En déduire que f = g. C. En déduire tous les éléments de 9. PROBLÈME D'ALGÈBRE Notations et objectifs : D Soit n un entier, n 2 2 ; on note E = m,, (R) la R-algèbre des matrices carrées d'ordre n à coefficients réels, et E ' = <£(E, R) la R--algèbre des formes linéaires sur E. On rappelle que : dim(E ) = dim(E'). Les éléments de E sont notés M = (m, I), la matrice élémentaire E, 1 est la matrice de E dont les coefficients sont tous nuls à l'exception de celui qui se trouve sur la i-ème ligne et sur la j--ème colonne, qui vaut 1. Lorsque A et B sont des éléments de E, on note A . B leur produit. Si M e E, on note vect (M) le sous--espace vectoriel de E engendré par M. El L'objectif du problème est de montrer que chaque hyperplan vectoriel de E possède au moins une matrice inversible. a Si M = (m,,) e E, on note T(M) le réel Em". k=l On définit ainsi une application T de E vers R : M l--> T (M ). A chaque matrice U de E, on associe : . L'application TU de E vers R : M l----) TU (M) = T(U. M). . L'ensemble H,, = {Me E/T(U.M)=O }. PARTIE I : Généralités, exemples 1. Quelques propriétés. a. Montrer que T est une application linéaire. b. Pour U e E, prouver que l'application T U est dans E '. c. Soit U & E ; reconnaître Ker TU , et montrer que H U est un sous-espace vectoriel de E. 1 1 2. Dans cette question seulement, on prend n = 2, et on pose U = (l l] . a. Ecrire les quatre matrices élémentaires E que peut--on dire de la famille (E11 , E... 521 , E 22) de E : 'mz(R) ? _ b. Montrer que H U est l'ensemble des matrices de E dont la somme des quatre coefficients vaut 0. c. Trouver une matrice M de E telle que T (U . M ) #= O, et en déduire la dimension de Im TU puis la dimension de H U. ij' Epreuve spécifique de Mathématiques (filière MPSI) Page 3/4 CONCOURS COMMUN sm> 2000 DES ECOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES d. Montrer que H ,, possède une matrice inversible. La partie Il] propose une généralisation de ce résultat. PARTIE II : Quelguoe résultats utiles pour la suite Soit A = (a, 1) et B = (b") des éléments de E. a. Montrer que T(A.B) = ZZaj,b,j. tal j=l b. En déduire les identités suivantes : (Il) T('A.B)=Éîa,ij. :=1 1-1 (12) T(B . A) = T(A . B). Soit U dans E. 4 a. Si U est la matrice nulle, déterminer dim H U. b. Si U n'est pas la matrice nulle, montrer que l'on peut trouver un couple d'entiers (io , je) tel que TU (E....) # 0. En déduire dimHU. Pour (i, j) e {l, 2,..., n}2, on note TU. = TE". a. Les indices k et 1 étant fixés, calculer T, j (E ,, ,) en utilisant (Il). b. En déduire que les n'- éléments 7} j de E ' permettent de définir une base de E '. Montrer que l'application (p de E vers E ' : U |----> (p(U ) = T U est un isomorphisme d'espaces vectoriels. On considère un hyperplan vectoriel H de E. a. Quelle est sa dimension ? b. Soit A une matrice non nulle de E qui n'appartient pas à H, montrer que : E = H GB vect(A). c. Construire alors un élément ! de E ' tel que H =Kerl. d. Prouver l'existence d'un élément U de E tel que H = H U. PARTIE III : Le résultat général , Pour 15r Sn, onnote R, =ZE,,. !=] 0 0 . 0 1 1 . . . 0 p....=I,ISiSn--l Soit F: . . . . . c'estàdire P=(p,j) avec Pu. =1 0 . . . 0 p,]. :O, ailleurs 0 0 . 1 0 ' a. Montrer que P est inversible. b. Prouver que P appartient à l'hyperplan H R'. En déduire que chaque hyperplan vectoriel H de E possède au moins une matrice inversible. Indication : lorsque H = H U, avec U de rang r, on rappelle l'existence de matrices S1 et 82 inversibles telles que S1 . U. 82 = R,. Epreuve spécifique de Mathématiques (filière MPSI) Page 4/4

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 Mines Maths MPSI 2000 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Yacine Dolivet (ENS Ulm) ; il a été relu par Pierre-Yves Rivaille (ENS Lyon) et Vincent Nesme (ENS Ulm). L'épreuve se compose de deux problèmes indépendants. Le premier, d'analyse, propose une étude de l'équation fonctionnelle (x, y) R2 , f (x + y) + f (x - y) = 2f (x)f (y) Le thème est classique et les deux approches du problème ne le sont pas moins. La première consiste à ramener la résolution de l'équation à celle d'une équation différentielle ordinaire. La seconde expose comment montrer, après avoir intuité une solution (ce qui est souvent le cas dans les équations de ce type), que sous certaines conditions, c'est la seule solution. Le second problème, d'algèbre cette fois, propose de démontrer le résultat classique suivant : tout hyperplan vectoriel de Mn (R) possède au moins une matrice inversible. La technique utilisée ici est de se ramener au cas d'un hyperplan connu, à savoir le noyau de la forme linéaire M 7 T(UM) où T représente l'opérateur de trace et U est une matrice carrée, pour lequel le résultat est plus facile à démontrer. Les questions dans leur ensemble ne nécessitent souvent, pour leur résolution, que la connaissance des définitions du cours. Il est néanmoins important de se rappeler que là où la difficulté conceptuelle n'est pas présente s'immisce toujours la difficulté d'écriture car un examinateur est toujours plus intransigeant sur la rédaction des questions faciles. Indications Problème d'analyse I.1 Utiliser la définition exponentielle des fonctions hyperboliques. II.A.1.b Intégrer l'équation fonctionnelle (que l'on appellera dans le corrigé (E)) par rapport à y entre 0 et r. II.A.2.a Utiliser la continuité de f en 0, où elle prend une valeur positive. Se servir alors de la positivité de l'intégrale. II.A.2.b Se servir de la relation obtenue à la question II.A.1.b et considérer les deux membres de l'égalité en tant que fonctions de x. II.A.2.c Utiliser le raisonnement précédent pour montrer que f est C n pour tout n. II.A.3 Dériver l'égalité précédemment trouvée ainsi que (E) par rapport à y et comparer. II.B.2 Utiliser la condition f (0) = 1 pour restreindre le nombre de fonctions possibles, puis la parité de f pour conclure. III.A.1 Utiliser la parité de f . III.B.1.a Appliquer (E) avec x et y bien choisis. a a III.B.1.b Remarquer que f q et g q sont positifs. 2 2 II.B.3 Utiliser la densité de Da et la continuité des fonctions f et g. Problème d'algèbre I.2.d Penser à une matrice simple. II.3.a Utiliser le symbole de Kronecker et le fait que Eij Ekl = jk Eil . II.3.b Penser à la définition de la base duale. II.4 Remarquer que démontrer l'injectivité suffit ! II.5.b Utiliser un argument de dimension. II.5.c Penser aux coordonnées. II.5.d Utiliser l'isomorphisme de la question II.4. III.2 Étudier S2 PS1 pour conclure. Problème d'analyse Dans tout le problème, on note (E) l'égalité f (x + y) + f (x - y) = 2f (x)f (y) (E) Partie I I.1 D'après le cours, on sait que la fonction cosinus est continue, et vérifie la formule de trigonométrie bien connue du lecteur (du moins on l'espère...) : cos(x + y) + cos(x - y) = 2 cos x cos y La fonction cosinus fait bien partie de E. Comme on le verra encore par la suite, le problème contient un certain nombre de questions qui ne sont en fait que des applications directes du cours. L'attention du correcteur est alors fixée sur la qualité de la rédaction de ces questions puisque la difficulté est absente. Il est donc impératif d'être soigneux. Par exemple ici, il ne faut surtout pas oublier de préciser que la fonction cosinus est continue pour vérifier toutes les hypothèses d'appartenance à E. I.2 On utilise les définitions des fonctions cosinus et du sinus hyperbolique : ex + e-x ex - e-x et sh x = 2 2 Ces définitions nous rappellent au passage que ces fonctions sont continues et, de plus, x R, ch x ch y + sh x sh y ch x ch y + sh x sh y ch x = ex + e-x ey + e-y ex - e-x ey - e-y × + × 2 2 2 2 1 ex ey + e-x e-y + ex e-y + e-x ey = 2 2 x y e e + e-x e-y - ex e-y - e-x ey + 2 1 x+y = e + e-(x+y) 2 = = ch (x + y) En écrivant l'égalité correspondante pour ch (x - y) puis en additionnant membre à membre avec l'égalité précédente, on déduit alors sans peine : (x, y) R2 , ch (x + y) + ch (x - y) = 2 ch x ch y La fonction ch est bien dans E. On aurait aussi pu utiliser les formules bien connues elles-aussi : ch (ix) = cos(x) sh (ix) = i sin(x) Seule la première est à utiliser ici, la seconde étant rappelée pour mémoire. Il suffit alors d'utiliser les propriétés de la fonction cosinus (cf question I.1). I.3 Soient f dans E et un réel. La fonction f définie dans l'énoncé est bien sûr encore continue. D'autre part, si on se donne deux réels x et y, alors on a f (x + y) + f (x - y) = f (x + y) + f (x - y) = 2f (x)f (y) = 2f (x)f (y) Ainsi, f est dans E Pensez à bien vérifier toutes les hypothèses lorsque vous cherchez à montrer qu'un objet est dans un ensemble. I.4.a Soit f E. En prenant (x, y) = (0, 0), il vient f (0) = f (0)2 , d'où f (0) {0, 1} I.4.b Supposons f (0) = 0 et choisissons y = 0, il vient immédiatement x R, 2f (x) = 0 f =e 0 et donc I.4.c Notons que l'intervalle de définition de f est symétrique par rapport à 0. Prenons x = 0 et cette fois-ci, il vient y R, d'où f (y) + f (-y) = 2f (y) f (-y) = f (y) ce qui est la définition de la parité d'une fonction. Si f (0) = 1, alors f est une fonction paire.