ENAC Maths toutes filières 2009

Thème de l'épreuve QCM de 36 questions
Principaux outils utilisés fonctions de la variable réelle, intégration, algèbre linéaire, produit scalaire, géométrie plane, coniques, équations différentielles, équations aux dérivées partielles
Mots clefs équation aux dérivées partielles, QCM

Corrigé

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ÉCOLE NATIONALE DE CÎVÎLE ANNÉE 2009 EUVE DE MATH É ATÏQU ES Durée : 2 Heures Coefficient : 1 Ce sujet comporte : 0 1 page de garde, . 2 pages (recto--verso) d'instructions pour remplir le QCM, . 15 pages de texte numérotées de 1 à 15. ÉCOLE NATIONALE DE L'AVIATION CIVILE EPL/S 2008 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES A LIRE TRÈS ATTENTIVEMENT L'épreuve de mathématiques de ce concours est un questionnaire à choix multiple qui sera corrigé automati- quement par une machine à lecture optique. ATTENTION, IL NE vous EST DÉLIVRÉ QU'UN SEUL QCM 1) Vous devez coller dans la partie droite prévue à cet effet, l'étiquette correspondant à l'épreuve que vous passez, c'est--à--dire épreuve de mathématiques (voir modèle ci-dessous). POSITIONNEMENT DES ETIQUETTES Pour permettre la lecture optique de l'étiquette, le trait vertical matérialisant l'axe de lecture du code à barres (en haut à droite de votre QCM) doit traverser la totalité des barres de ce code. EXEMPLES : BON MAUVAIS MAUVAIS >< & ><>< >< >< >< >< 68199t88l--0 ... 2) Pour remplir ce QCM, vous devez utiliser un STYLO BILLE ou une POINTE FEUTRE de couleur NOIRE. 3) Utilisez le sujet comme brouillon et ne retranscrivez vos réponses qu'après vous être relu soigneuse-- ment. 4) Votre QCM ne doit pas être souillé, froissé, plié, écorné ou porter des inscriptions superflues, sous peine d'être rejeté parla machine et de ne pas être corrigé. ÉCOLE NATIONALE DE L'AVIATION CIVILE . EPL/S 2008 5) Cette épreuve comporte 36 questions, certaines, de numéros consécutifs, sont liées. La liste des ques-- tions liées est donnée au début du texte du sujet. Chaque candidat devra choisir au plus 24 questions parmi les 36 proposées. Il est inutile de répondre à plus de 24 questions : la machine à lecture optique lira les réponses en séquence en partant de la ligne 1, et s'arrêtera de lire lorsqu'elle aura détecté des réponses à 24 ques- tions, quelle que soit la valeur de ces réponses. Chaque question comporte au plus deux réponses exactes. 6) A chaque question numérotée entre 1 et 36, correspond sur la feuille-réponses une ligne de cases qui porte le même numéro (les lignes de 37 a 100 sont neutralisées). Chaque ligne comporte 5 cases A, B, C, D, E. Pour chaque ligne numérotée de 1 à 36, vous vous trouvez en face de 4 possibilités : > soit vous décidez de ne pas traiter cette question, la ligne correspondante doit rester vierge. > soit vous jugez que la question comporte une seule bonne réponse, vous devez noircir l'une des cases A, B, C, D. > soit vous jugez que la question comporte deux réponses exactes, vous devez noircir deux des cases A, B, C, D et deux seulement. > soit vous jugez qu'aucune des réponses proposées A, B, C, D n'est bonne, vous devez alors noircir la case E. En cas de réponse fausse, aucune pénalité ne sera appliquée. 7) EXEMPLES DE REPONSES Question1 : 12 +22 vaut: A)3 B)5 C)4 o)-1 Question 2 : le produit (-1) (-3) vaut: A) -3 B) -1 C) 4 D) 0 Question 3 : Une racine de l'équation x2 --1 = 0 est: A)1 B)O C)-1 D)2 Vous marquerez sur la feuille réponse : :: - l:l |: :D A B C D E 1 :: E:] :: l=l «:| =: :: :: L:":l _ A B C D E 2 :: E:: !: |: :=: _ :=: _ := c:: A B C D E 3 :: [::: :::! :: :=: Concours EPL Epreuve de mathématig ues Exercice 1 : On note SR l'ensemble des réels a & îR . Soit E l'ensemble des fonctions continues sur SR . On considère alors l'application (pa définie par : . 1 X Vf & E,VX & îR,x $ a5(pa(f)(Ï<) """": Question 1 : Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies : a) Si 0 note la composition de deux applications (E,o) est un groupe b) Si + note la somme de deux applications (E,--+) est un groupe commutatif d'élément neutre IdE :x -------> x. c) Si . note la multiplication d'une application. par un scalaire , (E,+,.) est un ER espace vectoriel de dimension infinie d) Si x note la multiplication de deux applications (E,+,x) est un corps Question 2 : Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies : , X a) f admet une primitive, car pour toute fonction g définie sur Si , x ------>-- Jg(t)dt en est 8 une primitive b) (pa est prolongeable par continuité en a c) Pour tout f de E, (pa (1) est prolongeable par continuité en a en posant i=--ÏÉË + oa 2 , (Pa (f) est dérivable sur SR 0) Même si f est de classe C1 sur SR , on ne peut pas être certain que (p& (t) est de classe C1 sur 9%. (1) Si f est de classe C1 sur SR , il est certain que (pa (f) est de classe C1 sur ÊR . Question 7 : On cherche à savoir si  91 r r o . Son b un reel. On cons1dere gb : __}, bl . On veut resoudre l'equatron d'1nconnue f : x x ---- . (Pa (f)m gb a) S'il existe une solution alors elle est unique. De plus si axb alors d'après la question 4, fx2 ga b) S'il existe une solution f, alors elle n'est pas unique puisque toutes les fonctions de la forme f+ fo où f0 & Ker (pa sont encore solutions. c) Si a et b il existe une solution puisque (pa est surjective d) Si a # b il ne peut exister de solution puisque gb n'est pas dérivable en b. Question 9 : Soit n un entier naturel. On appelle FOE îRn [X.] l'espace vectoriel des polynômes de degrés inférieurs ou égaux à n. On muni F de sa base canonique BOE(l,X,X",. . .,X " ). On appelle wa la restriction de (;)a à F, c'est--à-dire l'application telle que VP e & w. (P)--==-- @.(P) _ . 1 i ' l<>...z k=O a) wa est un endomorphisme de F, car Vi &: fl0,n b) Ker wa c: {OF} et wa est'injectif. c) wa est surj ectif puisque wa est inj ectif et que Dim F--«W--«n. d) wa ne peut pas être surjectif puisque efii.ng]x{u,pll- k! i!(k ------i)! si kZiZO et0sinon. k ( _ ] note le coefficient binômial 1 a) B' est une base de F car si a est nul on retrouve la base initiale. b) V (i, k) EUR Ul. , n + 1 !] 3P(i,k):{lî](wa)k--i 1 Î,P(i,k)= {%]a" 1 k , _ k . .) (...--+ {(+--:) 1 (i,k)efit,n+tjï 1 (i,k)eËt,n+liÎ Question 11 : On peut dès lors affirmer que : c) V(i,k) & Ül,n +1 a) P est inversible, car les matrices de passages sont toujours inversibles et A= P"'A'P b) P est inversible, car les matrices de passages sont toujours inversibles et A: PA" P "' c) A' est la matrice diagonale telle que Vi EUR "1, n + 1l],A'(i,i)=--i-- 1 ],A'(i,i)=i+l _ d) A' est la matrice diagonale telle que Vi EUR Ül,n +1 Question 12 : Grâce aux résultats de la question 11 on peut affirmer que : a) Vi & fll,n + l.],Rang [(i + l)A ----- 1n ]=1 b) Vi EUR fil... + 1 ], Dim(Ker[(i + l)A -- 1n ] )=l c) Pour tout entier naturel i il existe un unique solution à l'équation d'inconnue Q, w. (QF--9... 1 + i _ (1) Pour tout entier naturel i il existe une infinité de solutions à l'équation d'inconnue Q, w.(Q)m----9---- 1+i Fin de l'exercice 1 Exercice 2 : On se place dans le plan euclidien P. On choisi deux points distincts F et F'. on notera a«%Ê . Le but de cet exercice est l'étude de l'ensemble La'des points M du plan vérifiant MFXMF'= a2 Question 13 : Soit un repère orthonormé (O,i,3) du plan P tel que 0 soit le milieu de F F ' et i soit porté par (F F ') alors : a) Lam i(n,y)eîRxîfi, (x2 +y2Î= -----2"a (X2 ----y 2)} b) Lam{(x,y)êÊRXSR,(X(+y2 )2 =2a'(y2 ------x 2)} c) La={(x,y)e îRxîR,y == \/4aîxz+a4 ----(X2+az)} d) Laæ{ (x, y) EUR 9îxîR,y z \/4a2x2+ a4 ---- (X2 + az) ouy == --\/\/4a2x2 + a4 ----(X2 +a2) } Question 14 : L'ensemble La admet pour équation en coordonnées polaires : p2 3 Za2 cos(29) (on ne demande pas de vérifier ce résultat qui doit être admis). On a donc en notant p(9) l'unique solution (si elle existe) d'inconnue p de l'équation polaire : ... a) p(9)m p(------- 9) donc La est symétrique par rapport à l'origine du repère b) p(9)= p(n --- 9) donc La est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées c) p(8 )---------- p(n + 9) donc La est symétrique par rapport a l axe des abscisses 7r . .. ---------« pu1s utiliser d) On peut se contenter de mener l'étude de la courbe pour 9 E {O, 4 trois symétries minimum pour construire le reste de La Question 1 5 : Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies : ...] , de denvee negat1ve, donc p(9) est denvable &) 9 ------> cos(29) est dérivable sur {O, 4 Tt , ' r r 0 sur {O,--Â] de denvee negative. 7Ï , . , . ...] comme eomposee de deux fonctions decrmssantes b) p(9) est décroissante sur [O, 4 sur {O,--£} 4 c) lim sin(29) 9"'Ï 1/oos(29) d.) ' La admet la droite d'équation y3x comme tangente et se situe au dessus de cette --- +oo donc La admet une tangente horizontale au point (0 a) tangente. Question 16 : Si on considère l'ensemble La m {(X, y) & 9'txîR, x ...>... O} , on voudrait connaître l'aire intérieure, notée A, à la courbe . On peut écrire que : ee[ ...,îäîfl pe{o a'/2"Eë'èäëÿl b) A=== H2pdpd9 ee[o Ïl pe[o ax,îË3£(îäj] c) {Ama2 d) A...îÏ 2 Question 17: Soit Q un point du plan soit k un réel non nul. Si AB note la mesure algébrique du segment [AB] on défini 1? par la donnée de M'---------- IQ (M) vérifiant: (PI) Q ,M et M" sont alignés (FZ) ÜMxQM'z k On peut alors affinner : a) 13 est une application bien définie de P dans lui--même puisque pour chaque point M de P, il existe un et un seul point M' vérifiant (P1) et (P2) b) IÎ est une application bien définie de P \{Q} puisque pour chaque point M de P, _ différent de Q , il existe un et un seul point M" vérifiant (Pl) et (P2) c) Si k # 0 , I ,? est une bijection de bijection réciproque IÎ k (1) Si k at 0 , I,"? est une bijection de bijection réciproque 1? Question 18 : On se ramène au plan complexe. Soit deux points N et N' de P tels que Q ,N et N' soient alignés et distincts. On note 03 , z et 2' les affixes respectifs de Q ,N et N'. On peut alors démontrer que : ' a) QNXQN'x (z------ oe)(z' --...-----==oe) (z------ oe)(z' (11) k Z"O) b) Si N'OEIÎ (N) alors z'=oe+ c) Les points fixes de IÎ forment le cercle de centre Q et de rayon WE} d) Il existe k & 9% tel que Il? ne possède qu'un point fixe unique. Question 19 : . . . . , . , ---l . Dans cette question et la suivante, on va chercher a déterminer la composee (IS) 0 IS 012 ou OL EUR îR* . Avec les notations de la question précédente, on supposera que N'3 (12 )--1 0 I? o 18 (N). On peut démontrer que : a) Si o=o, (13)"'o 1ï3013=13. k b) Si N distinct de o, 13 (N) o @ z... 93. (D C) SiQiOetsizæ{0,g}onazîîm (Ot-- (DZ)2 d) Si Q$O'etsizæ{O, . ... Question 20 ' On supposera dans cette question que Q # O et k ... loelz On notera de plus (D:: a + ib Il est possible de montrer que : _ ---1 ' . . . . . , . . , a) (12) 0 If? 0 I 2 est une applrcat10n affine et son application lmea1re assocree est , _ 1 la2 ---- a2 ---- 2ab donnee par la matrice A z ------------5 2 , - --- Zab a ... b" ]et (13) o IQoIO(O) est le M point d'affixe ocoe. » b) A est une matrice orthogonale de déterminant négatif c est donc une rotation vectorielle et (12 ) 0 I? o 13 est une rotation. 0) A est une matrice orthogonale de déterminant négatif c'est donc une symétrie . --1 , . . orthogonale vectorielle et (Iî) 0 If o 12 est une symétrie orthogonale par rapport a une droite affine d) A possède des points fixes et est orthogonale. A ne peut donc qu'être une symétrie orthogonale vectorielle et (12 )"1 o l? o 12 est une symétrie orthogonale par rapport à une droite affine Question 21 : On supposera dans cette question que Q #= 0 et ki !oel2 Il est possible de montrer que : &) z'z ocoe kon2 1 |oe!2----k +Zloel 'k)2... z-- !OE!2co b) z'= oe +...ka ----------------1 .... !w! ----k !...! k! Z...ss... le! --k 0--1. 9 0__ s " . , CLC!) k0t2 c) (la) oIkoIm----I£3 ouSestlepomtdaffixe k=-----et[3 * !! !! km"! ocoe kon d) (IS )_10 1153012 =IÊ où S est le point d'affixe ket B= ' !! !! --kï Question 22 : On considère la conique C & définie par x2 ---- y2 = 232. On peut alors affirmer a) La nature de C & dépend de la valeur de &. Plus précisément, c'est une ellipse si «5 . «Æ & <--------, une h erbole s1 a>--------- 2 yp 2 b) Une équation polaire de C a est p2cos(29) : 232 9 EUR ]0'12È[ U }, %T_E_[ c) Si M note un point de La tel que et M' un point de la conique C a tel que (Lô--ü): (i,ôfi) [fi], alors ôfixôü!= 2212 @ IÏ)[C...Æ]= L>Ê Î 2 Fin de l'exercice 2 Exercice 3 : Dans cet exercice p désigne un réel strictement positif et f est l'application définie par Vt > O,f(t) : tlp +pt Question 23 : . v f est prolongeable par continuité en 0 par la valeur f(0)==0. On continuera à appeler f l'application de SR' ainsi définie. On peut affirmer que : a) f est dérivable sur îR' de dérivée Vt & iR' ,f'(t) == pt""'+ p > 0 b) f est strictement croissante sur îR' comme somme d'une fonction croissante sur $* et d'une fonction strictement croissante sur SF 0) Si f est une fonction strictement croissante définie sur îR' , alors f est une bijection de iR' sur f(îR+ ). d) Pour pouvoir affirmer qu'une fonction strictement croissante est une bij ection de SR' sur f( SR ' ), il est nécessaire que f soit continue. Question 24 : » En fait on peut démontrer que f est une bijection de îR' sur îR' . Nous noterons g sa bijection réciproque. Parmi les assertions suivantes lesquelles sont exactes : a) g est continue, croissante et dérivable sur SR" en tant que réciproque d'une fonction f continue, croissante et dérivable sur g( '.R' )= SR" . b) _ . g n'est dérivable en x réel, que si f est dérivable en g(x) et que f'(g(x)) # 0 c) g est dérivable en 0 et g'(0) vaut --1--- si p 21 et 0 si 0 < p <] p _ d) Si 0 < p < 1 , g n'est pas dérivable en 0 car f n'est pas dérivable en g(O) 10 Question 25 : Dans la suite de cet exercice, a désigne un réel strictement positif fixé et on note alors ____(p--l)t"+a pit""'+ll Si (p admet un éventuel prolongement par continuité en 0 alors on appellera encore (p ce prolongement. On peut dès lors affirmer que : a) Vp > O, cp(t) »;---------Ï--l-- t et (p est prolongeable par continuité en 0 par (p (O)=O P b) Pour p > 1, (p n'est pas prolongeable par continuité en 0 f(t)---a f'(t) d) Si Og(a)et (pOEo î/Îch[oag(a>l , b) La suite (un)n Nest bien définie et ceci quelque soit le choix de no >0 C) Si 110 1--ee[O,p & 1--19 d) Si uoe eO,[ ?... p,:l (un )nelN converge vers p,ïa "P } (11 ,,)...N est monotone ll Question 23 : . a Dans cette question, on suppose que p>l et u0 : ----------- . P Parmi les assertions suivantes lesquelles sont vraies : ©'(t)l S E--Î----1-- p a) g(a) < 3 et pour tout t & {g(a)Â} , P P , , . ' . . . . a b) Le theoreme des accrmssements finis dit que 51 (p est cont1nue sur [g(a),----l et / p dérivable sur }g(a),--ä il existe 9 & }g(a),£{ tel que p P { 't # t,) I f == 0 ' ----1 c) (p est une forme bilinéaire, symétrique, définie positive, c'est donc un produit scalaire et (E, (p) est un espace vectoriel euclidien (1) (p est une forme bilinéaire, symétrique, définie positive, c'est donc un produit scalaire mais (E, (p ) n'est pas un espace vectoriel euclidien Question 30 : On choisit dans cette question (f, g) & le. Si on note, pour A un sous espace vectoriel quelconque de E, A'" l'orthogonal de A, on peut alors écrire que : a) Jf(t>stt)dt ==- Jfgsdt= Jf(t>s(t>dt c) A ce stade du raisonnement :P c: I"L ou 1 c: Pl d) A ce stade du raisonnement :P"L c: I et IJ" (: P Question 31 : Si f & P"L , on peut donc écrire que : a) Comme fe E,il existe (fp,fi )e le tel que f =: fp + fi et Vg EUR P, @@ g) =: 0 b) Comme fe E,il existe (fp,fi )e PxI tel que f == fp + f, et Vg EUR I, (p(fp,g) ==: 0 c) En choisissant judicieusement g, P"' c:: 1 et Pl : I (1) le cosinus hyperbolique est la projection orthogonale sur P de la fonction exponentielle Fin de l'exercice 4 Exercice 5 : Soit (a,b,c) & 933 ,c :t 0 et (a,b) "+" (0,0) et on considère l'équation aux dérivées partielles suivante, d'inconnue f de classe au moins C2 (SF) : aôzf Ôzf+ Côîf + b --0(E) aÔX2 Ôxôy+ ÇÔY2 Question 32 : On effectue le changement de variable suivant : u3x+ ay et v=== x + By où (ou, B) EUR 93.2 . On posera dans la suite de cet exeréice g(u,v)ä(x(u,v),y(u,v)), P==a+bX+cX2 et Km 2a + b(0t + B) + 20aB On peut alors affirmer que : EURRZ---->SR2 (X.--. Y) "> ("= V) cette condition H et H "" sont de classe C°° (".W) ag ôf ar ôg af ôf a) l'application H : est bijective si et seulement si oc at B et que sous b) ......oc...+B... et ...==-------------+------« ôv ôx ôy ôu ôx ôy c) Êî«Êg--+Bî%et E£=aÊË+ÊË Ôy Ôu ôv ôx ôu ôv ôzg ôzg ôZg2 d 0'vérifielé nation P ou +K +P ------0 E' )g q <)Ôu2 ôuôv (B)ôv ( ) Question 33 : On se place, dans cette question et la suivante seulement, dans le cas où b2-4ac>O. On peut alors affirmer que : a) P possède deux racines distinctes r,} et r2 vérifiant r1 +r2==---Î-- et r] .r2m--«î-- b) P possède deux racines distinctes r] et r2 . On peut donc choisir deux réels on et B , différents et tels que P( ou )==P( B )OEO et K # 0 c) KOEP'( on) +P'( B) et pour que K soit nul il faudrait que a et B soient racines doubles de P, ce qui ici est impossible. Donc Kat O, pour tout ou # B 62g ôuôv ==O d) g vérifie l'équation C2 (R)

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 ENAC Maths toutes filières 2009 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Guillaume Dujardin (Chercheur à l'INRIA) ; il a été relu par Hervé Diet (Professeur agrégé) et Sophie Rainero (Professeur en CPGE). Le sujet se compose de cinq exercices complètement indépendants. · Le premier s'intéresse aux propriétés de l'application « valeur moyenne » définie pour f C 0 (R, R) et a R par Z x 1 x R r {a} a (f )(x) = f (t) dt x-a a On montre en particulier que c'est une application linéaire, on étudie son injectivité, sa surjectivité, ainsi que certaines propriétés de sa restriction à l'espace des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à n. · Le deuxième exercice étudie les propriétés d'une courbe paramétrée du plan définie implicitement en coordonnées polaires, d'une hyperbole définie par une équation cartésienne, ainsi que leur lien au travers d'une inversion. · Le troisième exercice étudie une bijection continue strictement croissante de R+ dans R+ , sa réciproque, et des suites récurrentes réelles. · Le quatrième exercice s'intéresse à l'espace des fonctions continues sur [ -1 ; 1 ], aux sous-espaces des fonctions paires et impaires sur [ -1 ; 1 ] ainsi qu'à leur lien via le produit scalaire usuel. · Enfin, le cinquième exercice traite des solutions de l'équation aux dérivées partielles linéaire d'ordre 2 a 2f 2f 2f + b + c =0 x2 x y y 2 posée sur R2 lorsque c 6= 0, (a, b) 6= (0, 0) et b2 - 4ac > 0. On décrit l'ensemble des solutions à l'aide d'un changement de variables (x, y) 7 (u, v) choisi judicieusement. L'épreuve compte 36 questions, dont 24 doivent être traitées ; chacune comprend quatre propositions, laissant ainsi moins d'une minute pour examiner chaque proposition. L'énoncé comporte un certain nombre d'imprécisions et d'erreurs. Toutefois, il met en oeuvre un nombre important de points du cours de première année, des matrices aux courbes paramétrées en passant par les fonctions de deux variables ; certaines questions permettent de tester, parfois même avec une certaine profondeur, sa connaissance du cours et sa capacité à mettre en action les méthodes étudiées en cours. Enfin, le découpage en exercices complètement indépendants permet de tester ses connaissances uniquement sur les points du programme que l'on souhaite revoir. Indications Exercice 1 2. Intuitivement, a (f )(x) est la valeur moyenne de f sur [ x ; a ] ou [ a ; x ]. 3. Montrer que a est un endomorphisme de E. Concernant son éventuelle surjectivité, utiliser la dérivabilité de a (f ) sur R r {a}. 7. Garder en mémoire le fait que E n'est pas de dimension finie. 8. Utiliser la question 7 et la dérivabilité de a (f ) sur R r {a}. 9. F est un espace vectoriel de dimension finie. Quelle est sa dimension ? 10. Déterminer l'inverse de la matrice P en observant que pour tout i {1, . . . , n+1}, i-1 Xi-1 = ((X - a) + a) = i X i-1 p-1 p=1 ai-p (X - a) p-1 12. Erreur probable d'énoncé : lire In+1 au lieu de In . Utiliser le fait que ( A - In+1 ) = P ( A - In+1 ) P-1 R ainsi que les autres résultats de la question 11. Exercice 2 15. Examiner avec précaution le comportement de au voisinage de /4. 16. Quel est l'élément d'aire en coordonnées polaires ? 19. Utiliser la formule trouvée en 18.b. 21. Utiliser les résultats obtenus aux questions 18 et 19. 22. Observer que I01 C 2 = L 2 r {0} 2 2 Exercice 3 23. Que dire de la dérivabilité de f en 0 en fonction de p ? Souvenez-vous qu'une fonction strictement monotone est toujours injective. 24. Examiner la dérivabilité de g en 0 en fonction de p. Exercice 4 28. E, P et I ne sont pas de dimension finie. Exercice 5 2 2 32. Remarquer que g C (R ), puisque f C 2 (R2 ). g 34. Fixer u0 R et considérer l'application v 7 (u0 , v). Que vaut sa dérivée ? u Exercice 1 1 a) FAUX : (E, ) n'est pas un groupe. Supposons que (E, ) soit un groupe. Ce dernier contient les fonctions continues ( ( R - R R - R f: et Id E : x 7- 0 x 7- x Puisque (E, ) est un groupe, f est inversible et l'on peut donc poser g = f -1 Id E pour définir un nouvel élément de E. Celui-ci vérifie la relation f g = Id E . Cependant, pour x R, on a f g(x) = f (g(x)) = 0 et Id E (x) = x En x = 1, on a donc en particulier 1 = 0 ce qui est absurde. b) FAUX : (E, +) est un groupe commutatif, mais son élément neutre n'est pas Id E . En effet, on a par exemple Id E + Id E = 2 Id E 6= Id E ce qui contredit la neutralité de Id E . c) VRAI. Le cours assure que (E, +, ·) est un espace vectoriel. Il suffit de constater qu'il contient les fonctions polynomiales à coefficients réels pour affirmer qu'il contient une famille libre de cardinal infini et est donc de dimension infinie. d) FAUX : (E, +, ×) n'est pas un corps. En effet, si l'on suppose que (E, +, ×) est un corps, alors l'élément unité est la fonction constante égale à 1. De plus, la fonction Id E n'admet pas d'inverse pour la loi × car un inverse éventuel ne pourrait pas avoir une valeur finie en 0. A B C D E 2 a) FAUX : une fonction g définie sur R n'admet pas nécessairement de primitive. R - R On peut par exemple considérer la fonction g : 0 si x 6 0 x 7- 1 si x > 0 En revanche, toute Z xfonction g continue sur R admet des primitives sur R, et la fonction x 7 g(t) dt en est une. 0 b) FAUX : a n'est pas prolongeable par continuité en a. Cela ne veut tout simplement rien dire puisque a est une application de E dans E. c) VRAI. Considérons f E. Puisque f est continue en a, pour tout > 0, il existe > 0 tel que t [ a - ; a + ] |f (t) - f (a)| 6 Par conséquent, pour x [ a - ; a + ], on a Z x Z x f (t) dt - (x - a)f (a) = (f (t) - f (a)) dt a a Z max(a,x) 6 |f (t) - f (a)| dt min(a,x) 6 |x - a| Pour x [ a - ; a + ] r {a}, en divisant par |x - a|, on a en particulier |a (f )(x) - f (a)| 6 Ceci assure que a (f )(x) tend vers f (a) quand x tend vers a, donc a (f ) est prolongeable par continuité en a en posant a (f )(a) = f (a). d) FAUX : ce résultat serait en contradiction avec la question 1.c en considérant comme fonction f la fonction constante égale à 1. A B C D E 3 a) FAUX. Tout d'abord, la propriété (f, g) E2 a (f g) = a (f )a (g) est fausse comme le montre l'exemple f = g = Id E . Dans ce cas, on a en effet pour tout x R x+a (x + a)2 a (f )(x) = donc a (f )(x)a (g)(x) = 2 4 alors que, pour tout x R r {a}, " #x Z x 1 1 t3 x3 - a3 x2 + ax + a2 a (f × g)(x) = t2 dt = = = x-a a x-a 3 3(x - a) 3 a Remarquons toutefois que a est bien un endomorphisme de E. En effet, si f E alors le cours assure que a (f ) est continue sur ] - ; a [ ] a ; + [, et la question 2.c montre que a (f ) est continue en a. En outre, si (f, g) E2 et (, µ) R2 , alors a (f + µg) = a (f ) + µa (g) b) FAUX. Cette fois, la propriété (f, g) E2 a (f + g) = a (f ) + a (g) est vraie. De même, le fait que a soit une application linéaire est vrai. En revanche, l'implication entre ces deux propriétés est fausse : le fait que la propriété (f, g) E2 a (f + g) = a (f ) + a (g) soit vraie n'implique pas sans argument supplémentaire que a est linéaire. En effet, pour cela, il faudrait justifier que la propriété d'homogénéité est vérifiée : f E R a (f ) = a (f )