ENAC Maths toutes filières 2008

Thème de l'épreuve QCM de 36 questions
Principaux outils utilisés Nombres complexes, fonctions réelles, intégration, équations différentielles, polynômes, algèbre linéaire
Mots clefs QCM, similitude, hyperbole, dénombrement, Tchebychev, coordonnées polaires

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ÉCOLE NATIONALE DE L'AVIATION CIVILE ANNÉE 2008 CONCQURs DE RECRUTEMENT D'ELEVES PILOTE DE LIGNE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Durée : 2 Heures Coefficient : 1 Ce sujet comporte : » o 1 page de garde, 0 2 pages (recto--verso) d'instructions pour remplir le QCM, . 10 pages de texte numérotées de 1 à 10. CALCULATRICE AUTORISÉE ÉCOLE NATIONALE DE L'AVIATION CIVILE EPL/S 2008 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES A LIRE TRÈS ATTENTIVEMENT L'épreuve de mathématiques de ce concours est un questionnaire à choix multiple qui sera corrigé automati- quement par une machine à lecture optique. ATTENTION, IL NE vous EST DÉLIVRÉ QU'UN SEUL QCM 1) Vous devez coller dans la partie droite prévue à cet effet, l'étiquette correspondant à l'épreuve que vous passez, c'est--à--dire épreuve de mathématiques (voir modèle ci-dessous). POSITIONNEMENT DES ETIQUETTES Pour permettre la lecture optique de l'étiquette, le trait vertical matérialisant l'axe de lecture du code à barres (en haut à droite de votre QCM) doit traverser la totalité des barres de ce code. EXEMPLES : BON MAUVAIS MAUVAIS >< & ><>< >< >< >< >< 68199t88l--0 ... 2) Pour remplir ce QCM, vous devez utiliser un STYLO BILLE ou une POINTE FEUTRE de couleur NOIRE. 3) Utilisez le sujet comme brouillon et ne retranscrivez vos réponses qu'après vous être relu soigneuse-- ment. 4) Votre QCM ne doit pas être souillé, froissé, plié, écorné ou porter des inscriptions superflues, sous peine d'être rejeté parla machine et de ne pas être corrigé. ÉCOLE NATIONALE DE L'AVIATION CIVILE . EPL/S 2008 5) Cette épreuve comporte 36 questions, certaines, de numéros consécutifs, sont liées. La liste des ques-- tions liées est donnée au début du texte du sujet. Chaque candidat devra choisir au plus 24 questions parmi les 36 proposées. Il est inutile de répondre à plus de 24 questions : la machine à lecture optique lira les réponses en séquence en partant de la ligne 1, et s'arrêtera de lire lorsqu'elle aura détecté des réponses à 24 ques- tions, quelle que soit la valeur de ces réponses. Chaque question comporte au plus deux réponses exactes. 6) A chaque question numérotée entre 1 et 36, correspond sur la feuille-réponses une ligne de cases qui porte le même numéro (les lignes de 37 a 100 sont neutralisées). Chaque ligne comporte 5 cases A, B, C, D, E. Pour chaque ligne numérotée de 1 à 36, vous vous trouvez en face de 4 possibilités : > soit vous décidez de ne pas traiter cette question, la ligne correspondante doit rester vierge. > soit vous jugez que la question comporte une seule bonne réponse, vous devez noircir l'une des cases A, B, C, D. > soit vous jugez que la question comporte deux réponses exactes, vous devez noircir deux des cases A, B, C, D et deux seulement. > soit vous jugez qu'aucune des réponses proposées A, B, C, D n'est bonne, vous devez alors noircir la case E. En cas de réponse fausse, aucune pénalité ne sera appliquée. 7) EXEMPLES DE REPONSES Question1 : 12 +22 vaut: A)3 B)5 C)4 o)-1 Question 2 : le produit (-1) (-3) vaut: A) -3 B) -1 C) 4 D) 0 Question 3 : Une racine de l'équation x2 --1 = 0 est: A)1 B)O C)-1 D)2 Vous marquerez sur la feuille réponse : :: - l:l |: :D A B C D E 1 :: E:] :: l=l «:| =: :: :: L:":l _ A B C D E 2 :: E:: !: |: :=: _ :=: _ := c:: A B C D E 3 :: [::: :::! :: :=: EPL Mathématiques -----......, 1)Dans les assertions suivantes lesquelles sont vraies? a)V9 EUR IR, cos 59 = 16 cos5 9 + 5 0089 b)V9 EUR IR, cos 56 = 160055 9 -- 20cos3 9 + 50089 5+8\/Ë c) cos---- 10= _ s- _Î_«ä __ d) cos 10 - 8 car cos ... £ cos-- 3 ? ?) On 2)Soit le plan rapporté à un repère orthonormé direct (0, considère alors les points [(I, 2), M- --- (2, 3)et M'(\/Ë, 3 + \f-- ) La similitude de centre I qui transforme .M en M ' est alors: a) de rapport 2 b) d'angleî --- _ c) de rapport % d) d'angle % 7 n 3) Soit n EUR I N *, on cherche à résoudre }: (E") cos (2k9) : 0 où 19 est une . k=1 inconnue réelle a) Si 9 est solution alors 2 (Z) sin2(k9) : 2" k=l b) Ë (Z ) cos (2k9)-- --- cos(n9) (°°Se)n c) L'ânsemble des solutions est {35 + 1535 ,la E Z} U {--2- + 1971", k EUR Z} (1) Il n' y a pas de solution à cette équation 4) On considère l'application f qui à tout complexe z # 73 associe f (2) == z+i ' 2 On note U = {z E C, |z] : 1} et iIR : {z EUR C,Re(z) : 0} a) f est une bijection de O\ {73} dans C h) f(IR) = U "C) f(U) = 73--ÏR\ {i} d) f(z'IR) = [R 5) On cherche le lieu des points d'afiixe z tels que z, z2 et z5 soit les afiixes de trois points alignés. On note H cetensemble de points et HC l'ensemble de leurs affixes. - a) 2: EUR HC ©z E [R ouz3 +z2 +z est imaginaire pur b) Im (z3 +z2 + z)= 3(Re(z))2 --(lm(z ))2 +2Re(z )+ c) H est une hyperbolle équilatère centrée en (-----1-3--, 0) de1 grand axe par-- allèle à l'axe des imaginaires, de demi grand axe \/â (1) H contient une hyperbolle centrée en (-- %, O) de grand axe parallèle à l'axe des imaginaires, de demi grand axe \/% et dont les asymptotes on comme coefficients directeurs \/5 et -\/5 6) On considère les suites (un)7722 et (un)"22 définie par: Vn _>_ 2,u,, = H cos--2% et U,, = unsin-ZÏ% ' k=2 a) (un)n>2 est croissante et majorée par 1. Elle converge donc. "' . ,, , . . 1 b) (un)">2 est une suite geometnque de raison 5 C) (un)n£2 et (vn)n_>_2 sont adjacentes d) (un)n22 converge vers %-- Attention: questions 7 et 8 liées 7) Soit la fonction réelle f de la variable réelle t définie par: Vt > O, f(t)= ln(l +t)+ 1+t2 a) f est indéfiniment dérivable sur son ensemble de définition, croissante et concave. b) La courbe représentative de f admet une asymptote oblique en +oo car lim @ = 1 t---->+oo t _ c) f réalise une bijection de [R+ sur [R+ et sa bijection réciproque est dérivable sur [R+ car Vt > O, f'(t) % 0 d) f réalise une bijection de [R+ sur [R+ et sa bijection réciproque est dérivable sur [R+ car toute bijection dérivable admet une réciproque dérivable 8) En utilisant f définie en question 7), on peut montrer que Vn EUR IN*,3la... f(an) = % a) (an)ngN* est une suite croissante car f"1 est décroisSante et (% )nEIN* est décroissante ' b) (an)ngN* converge vers 0 puisque f "1 est continue en 0 _ c) (an)ne 1N* converge vers 0 puisque (an)ngN* est une suite décroissante et Vn EUR IN*,an > 0 1 _ ._...... d) an ;; ; 9) On suppose que f est une fonction continue sur IR admettant une limite finie EUR erÎî+oo et a est un réel strictement positif. y , , a) y ----> f f (t)dt est continue sur [y, y + a] et dérivable sur ]y, y + a{ , Vy EUR _ 0 [R b) yËmoeyÎaf(t)dt = CM 0) X1--È--l--loo'of f(t + a) -- f(t)dt = ôff(t)dt + a£ X ' _ 1 d) Xl£ïïiæÛf arctan(t + 1) -- arctan tdt -- 5 ln2 -- % 10) On cherche à comparer e"' avec son développement limité: n+l a) 39 EUR]O,1[,Vn EUR IN, ex : Z %} + (äËl)!eeoe k= 2n+ä k b) Va: EUR IR,Vn EUR IN,e'° _>_ 2 %,-- k=0 . 271 c) Va: EUR IR,Vn e IN,e'" z ; %!"- k=0 271 d) Vx EUR IR--,Vn EUR IN,e°" 5 Z % l--c=0 11) Soit a et 1) deux fonctions réelles à valeurs strictement positives de la variable réelle 3: et a E I R tels que a(cv) ... b(a:) Cl! 3.) Il existe une fonction 6 définie sur un voisinage de a avec lim e(æ) = O et ln(a(oe)) : 1n(b(gg)) + ln(1 + EUR(ÇE)) x--+a 10) ln (a(oe)) r; ln(b(oe)) c) ln(1 + % +sin2oe) Î)J ln(1 +93) car 1 + %-- +sin2æ ,; 1 +9: (1) ln (|sinxl) Î)J ln(|xl) car lsinæ| r5» [cul et que |a:| # 1 sur un voisinage de 12) Quelques limites en utilisant des équivalents: a) Pour ,5 # O et a réels lim 01n°°S°"° -- ----Ë----2-- cosflæ_ 0Inc: ___"2 b) Pour B = 0 et & réels lim...îîËî -- %5 :::--+0 c) lim (tg-- 3_2g)tg(3æ)_ e--1 æ--+% d) lim (tg-- 3--2-OE-)t9(3x) =e OE--+-6-- 13) Soit la fonction réelle f de la variable réelle 3: définie par: :::--l Va: = @, f(æ) = e? et f(0) = 0 a) f est continue sur IR, dérivable sur IR*, non dérivable en 0 b) V.?) E IR*, f'(æ)= ----e-'%--=1-- c) Sur1[1, +oo[, f ne possède qu'un extremum en 2, puisque ' f' (a:) = 0 ==> 513 = 2 d) f (a:) = a: admet deux et seulement deux solutions sur IR car la droite d'êquation y = a: est tangente à la courbe représentative de f 14) Soit la fonction réelle f de la variable réelle oe définie par f(x) = e% \/x(sv + 2) ' a) Auxvoisinages de +00 et --oo ona ,/x(cc + 2) = cc (1 + % ---- 551?" + 0 (%)) b) En +oo, la courbe représentative de f admet la droite d'équation y = a: + 2 comme asymptote o) En -oo, la courbe représentative de f admet la droite d'équation y = a: + 2 comme asymptote _ d) En --oo, la courbe représentative de f admet la droite d'êquation y = :D + 2 comme asymptote et la courbe est au dessus de son asymtote. 15) Si f est une fonction continue sur un intervalle réel [a, b] (a < b) a) lim 1 nz f (a+k-"----"°' )= Îf(t)dt n-->+oon b) lim lâf(a+ kër-fi) = ff(t)dt n--++oo"' > ,/H-neêml+ ) d) ,/figo-- 16) On considère la fonction réelle f de la variable réelle a: définie par f (:): f 3 "Ma: où [oe] note la partie entière du réel a: ;,-- ...:--..A a) f est définie sur [R car a: ----+ 3454 admet une limite a droite et à gauche en tout point b) Vn 5 IN, f(n) = 31--3-- c) Pour montrer que f admet une limite en +oo il est suffisant de montrer que (f(n))nelN converge d) f est croissante sur I R+ et majorée par --În--ädonc elle admet une limite - 3_ finie qui est la même que la limite de ( f (fi))...E I N 2 17) On cherche à déterminer les fonctions g de classe O1 sur IR+* et vérifiant (P) VOE > O, g'(OE) = 9 (à) a) Si g vérifie (P) alors g de classe C2 sur IR+* et a:2g" : g b) Comme a: > 0, on peut poser 33 = et et si h(t) : g(æ(t)) alors h" ---- h' + h-- -- 0 c) Les fonctions 9: a: --+ \/-- [A cos (\/_ln cc) + Bsin (x/Ë 3ln $)] où (A, B) EUR I R vérifient (P) d) Comme l'équation différentielle (P) est du second ordre et homogène l'ensemble des solutions forment un espace vectoriel de dimension 2 18) Si c > 0, on cherche a résoudre l'équation aux dérivées partielles (E): 02%};-- ----- %ÊJÂ-- : 0 où f est une fonction de IR2 à valeurs réelle admettant des dérivées partielles secondes. On posera u(æ, y) : x+cy et v(æ, y) = x---- cy.On notera g(u, v)= f(æ(u, @) y(u, v)) Ôu ôoe Ôy' b) QQ. _ lê£ _ _1__ê£ ôu _ 2653 2côy 329 __ __1_ 232f 52)" 0) (ma, -- 462 [EUR 5372 "* a}? d) (a:, y) ------> e%h(cy) + 2 est une solution de (E) H Q ©E®ËOÜ @... OEËËOEOEOQ GO ?: 8Aâ1NÎ% ...5 H w ...Î....Ë Nanomæñ...Ë... ËËHQ... ? ..v. Q v %Ëmhw v @ w 35 ... $$... " S...Tg ?... $fioeeîoe 803 T $6o %: +! mm...: QY oeë£ ....oeËoËo Ëoe> :o Ëo© ... & oeËfi flo % b)go 1(=D) {(p,9)61R' 0 _<_eg g,zsm9 _<_p< 1} 6 . 20) Soient n et p deux entiers naturels non nuls et cc un entier relatif non nul et non égal à 1. a) Vn 2 1, æ""1 ---- 1 et a: sont premiers entre eux en utilisant le théorème de Bezout b) Vn _>_ 2, p divise æ2 -- a: <==> p divise a:" -- a: car si p divise un produit ab il divise a ou I) (avec a, () entiers naturels) On cherche l'ensemble U des entiers relatifs a: tels que Vn _>_ 2, 6 divise ' æ" ---- a: c)UÇ {6k,k EUR Z}U{l +6k,k EUR Z} d) U= {6k,k EUR Z}U{l+6k,k 6 Z} 21) Soit E un ensemble a n éléments (n EUR I N *).On va dénombrer des parties de E, (X, Y, Z) sur lesquelles on posera certaines contraintes: a) Le nombre de couples (X, Y) tels que X n Y = @ est 3" b) Le nombre de couples (X, Y) tels que X U Y = E est 3" c) Le nombre de couples (X, Y) tels que (X, Y) forment une partition de E est 3" » 4 d) Le nombre de triplets (X, Y, Z) tels que X U Y : Z est 3" 22) A propos des structures a) L'ensemble des polynômes de degrés égaux à n (n > 1) pour l'addition usuelle des polynômes est un groupe b) L'ensembles des matrices "carrés de taille n (n > 1) pour la multiplica-- tion usuelle des matrices est un corps c) L'ensemble des suites convergeant vers () pour la multiplication usuelle des suites est un groupe ' (1) Si G est un groupe pour une loi T donnée et a E G, l'ensemble aG : {aTæ, a: E G} est un groupe pour T 23) On considère P un polynôme non nul tel que P (X 2) ----P (X +1)P (X ) = a) Si a est une racine de P Vn EUR I N *, a?" est encore une racine de P b) Si a est une racine de P Vn 6 IN, a2n est encore une racine de P c) Si a est une racine de P,il existe p tel que a = op (1) Les racines de P sont des racine&ri@ l'unité 24) Soit P = 2 aka avec Vk' EUR [{0,ñ|] ,a, "6 Z k=0 ' a) Si (p, q) EUR ZXZ * premiers entre eux et tels que % est racine de P alors p divise ao et q divise an b1) Si 2X3 --X2 -- 13X +5 admet une racine rationnelle c'est nécessairement 1, 5,1--20u % c) 2X42 + X 2 + 5X1+ 5 admet une racine rationnelle (1) Si P= X" + Zî:1 a,kaavec Vk EUR []1, n -- 1]], ok EUR Z alors si P possède une racine rationnelle elle sera entière. 25) Les polynômes de Tchebychev (Tn )nEIN vérifient T n(cosEUR)--- ---- cosn6, V6 EUR IR a) cos n9- -- Re(e 9") = z (gg) (cos 9)""2k (1 -- cos 29)2k,V9 E [R donc 052k5n (Tn)nelN existe et peut être choisie à Coefficents entiers b) Si Tn et T" sont deux polynômes deTchebychev alors ils sont égaux car Va: EUR [--1,1],Tn(x)= n(x) et (Tn)nerN est unique c) Vn EUR I N * ,Tn+1 = 2Tn -- X 2Tn__1 puisque cos [(n + 1) EUR] = 2 cos (n9) -- cos 29 cos [(n -- 1) 9] d) Vn EUR IN* ,deg(Tn )- --- n et 362 EUR IRn_1'[X] ,Tn = X"+Q 26) racines multiples a) Vn E IN\ {O, 1, 2} , P,,(X) = Ê,Ç, X--k-- possède au moins une racine mul-- tiple car P,', = Pn_1 ' k=0 b) Vn EUR I N , P,,(X ) = :O %; est l'unique polynôme vérifiant Pn -- P,', = c) Vn EUR IN*, nX"+2 ----- (n+2)X"+l+ (n+2)X--n admet 1 comme racine ' double (1) Si m est divisible par n alors Va E 0, X m --- am est divisible par X " -- a" 27) On se place dans E l'espace vectoriel des fonctions de IE" dans IR* a) Vn EUR ] N , (l, cos a:, cos 233, ..., cos nas) est une famille libre b) Vn E IN, (1, cos a:, cos 233, ..., cos" a:) est une famille libre c) (dur:, 5h33) est une famille liée - ---- - d) (1, arctan a:, arctan %) est libre 28) Soit F et G deux sous espaces vectoriels d'un espace vectoriel E a) Supposons l'existence d'un 33 EUR F et 93 $ G, alors Vg E G, F U G sous espace vectoriel de E ==> x + 9 E F b) Si la réponse de la question a) si elle est vraie entraîne que F U G ne peut être un sous espace vectoriel de E c) F U G ne peut être un sous 'espace vectoriel de E que si F C G d) Si F C G alors F U G sOus espace vectoriel de E 29) Soit H et K deux sous espaces vectoriels supplémentaires d'un espace vectoriel E de dimension finie. Soit (el, ..., ek) une base de K et a E H a) Dim{ vect(el + @, ..., ek + a)) < k _ b) vect(el + a, ..., ek + a) est supplémentaire à H c) vect(el + a, ...,ek + a) = K d) , On peut montrer ici que tout sous espace vect0riel d'un espace vectoriel de dimension fini admet au moins deux supplémentaires 30) E est un espace vectoriel de dimension finie. f E L(E), ensemble des endomorphismes de E. Les conditions suivantes sont équiValentes à ker f EB Im f = E a) kerf C ker f2 b) Imf C Imf2 c) kerffilmf=® d) f2 =]" (f est un projecteur) 31) E est un espace vectoriel de dimension finie. f E L(E), tel que fin E [N \ {O, l},fofo...of= f" = 0 et f""1 75 0 a) Vsc e E, <æ, f<æ>, f2eul,nu2 34) Soit f : Mn(l R) --> IR et vérifiant f (AB) = f(A) f(B),V(A, B) E (Mn(IR)) 2 ' a) f est un morphisme de groupe pour Mn(_Ï R) muni de la multiplication usuelle des matrices . b) f(On) = 0 et f(In) = 1 (On est la matrice nulle de Mn(IR) et In la matrice identité) _ c) Si 319 EUR IN,A1D : 0 alors f(A) : 0 On rappelle que si 7° = rangA < n, BJ,. e Mn(IR),tefle que Jn--r = on , (P, Q) & [Mn(lR)]2 inversible telles que A = PJ,...Q ' d) A inversible (=) _g f (A) # 0 35) E est un espace vectoriel euclidien de dimension 3 dont une base est B et dont on note le produit scalaire < .,. > . On note u : (a,b, c)B un vecteur normé fixé de E et a un scalaire. On définit fa par Va: E E, f (sc) = a: + a < sc, u > u a) fa est un automorphisme orthogonal si et seulement si a = --2 b) f2 est un automorphisme orthogonal c) f_2 est la symétrie orthogonale par rapport au plan-vectoriel orhogonal a u d) f2 est la symétrie orthogonale par rapport à la droite vectorielle en-- gendrée par u ' ' . ' -:> --.> --+ 36) L'espace E est raporté a un repère orthonormal (O , z , ] , k) L'espace vector1el assoc1é E est raporté à. la bas*e*=(*z, 3, is) Soit D la droite de E dont la représentation paramétrique est donné oe=l+t par: y=1--2t z=1+t_ a) Les coordonnées du point symétrique de M (a, b, c) par rapport a D --26+ --23b+ ---2b+ sont (1+a 6 ° ,1--a ° ,1+@-------- 6 °) b) Les coord0nnées du point symétrique de M (a b, c) par rapport a D sont (6-- --2a--2b+c 6-- 2a+b--2c 6---- --2a--2b+c) 3 1 3 = 3 o) La droite symétrique par rapport a D de l'axe (zloz) a pour représen-- æ=2+t _ tation paramétrique : y = 2 --- 275 z=2--t d) La droite symétrique par rapport a D de l'axe (zioz)à pour équations ' cartésiermesz{ 6 _ 2513 _ y = 0

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 ENAC Maths toutes filières 2008 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Céline Chevalier (ENS Cachan) ; il a été relu par Sophie Rainero (Professeur en CPGE) et Laetitia Borel-Mathurin (ENS Cachan). Le concours de l'ENAC a pour habitude d'aborder la majorité des chapitres au programme en PCSI. Cette diversité permet de ne désavantager personne étant donné que le concours a lieu très tôt dans l'année, à une époque où tout le programme n'a pas encore été traité en cours. 36 questions à choix multiples sont ainsi proposées, et il est demandé d'en traiter au maximum 24. Le sujet est calculatoire, chaque question est longue et souvent ambiguë, et le temps imparti est court : il semble difficile de traiter 24 questions dans ces conditions. On peut cependant noter que la tâche a été facilitée cette année car l'énoncé ne comporte que deux questions liées. On peut ainsi sauter des questions sans perdre le fil ­ et sans risquer d'agacer le correcteur puisque la correction s'effectue par lecture optique. Le sujet ne comporte pas officiellement plusieurs parties, mais on peut le découper de la façon suivante : · La première partie regroupe les questions 1 à 5 : elle traite de complexes, trigonométrie et géométrie et demande de l'aisance dans les calculs. · La deuxième partie s'étend de la question 6 à la question 19 : il s'agit essentiellement d'intégration, de suites et d'équations différentielles. Les résultats et techniques sont classiques, mais non dépourvus de difficulté. · La troisième partie, de la question 20 à la question 26, traite d'algèbre avec un peu d'arithmétique et de dénombrement, et surtout des polynômes, en particulier ceux de Tchebychev. · Enfin, la quatrième partie (questions 27 à 36) a pour objet l'algèbre linéaire, avec un zeste de géométrie. C'est sans doute la partie la plus facile du sujet. L'ENAC est un concours qui nécessite du soin, de la concentration, ainsi qu'une grande aisance dans les calculs et une certaine dose de méfiance : il convient de s'y entraîner spécifiquement. Il est toujours indispensable de s'attacher à la formulation précise des propositions : examinez toutes les réponses possibles avant de vous décider, et n'hésitez pas à sauter les questions où les interprétations possibles seraient trop nombreuses. Cette ambiguïté est encore plus présente cette année avec le changement considérable de la présentation de l'énoncé. Très désagréable à lire, il est rempli de notations malheureuses (IR pour R, à ne pas confondre avec iR), de fautes de frappes, d'erreurs, d'indications partielles et de confusions possibles. Rares sont les questions où l'on peut être absolument certain de sa réponse. C'est peut-être un choix délibéré du concours puisqu'un pilote (ce que pourront devenir les candidats sélectionnés) doit être capable de prendre la bonne décision au bon moment en dépit d'informations incomplètes et pas toujours fiables. Un énoncé de l'ENAC constitue toujours un bon sujet de révision et un test de son aptitude à mener des calculs. Celui de cette année a aussi pour mérite de vous permettre d'apprendre à réagir devant les erreurs d'énoncé, qui peuvent apparaître dans chacun des concours que vous serez amené à passer. Indications 1 Utiliser les formules de Moivre et le binôme de Newton. Exploiter ensuite la relation obtenue pour déterminer la valeur de cos(/10). 2 Le rapport d'une similitude envoyant le point M(z) sur M (z ) est |z /z| et son angle arg(z /z). 3 Pour B et C, étudier le cas Z. 4 Considérer les antécédents de 1. 5 Appeler M le point d'affixe z, N le point d'affixe z 2 et P le point d'affixe z 5 . -- -- Traduire l'alignement par l'existence d'un réel tel que MP = MN. Considérer des cas particuliers pour B et C. Pour D, poser z = x + iy et écrire l'équation réduite de l'hyperbole. 6 Exprimer un+1 /un et vn+1 /vn . 7 Calculer les dérivées première et seconde de f . 9 Ne pas se laisser perturber par le double usage de la lettre y. Raisonner avec des pour B et utiliser la relation de Chasles pour C. Appliquer le résultat obtenu à la fonction Arctan . 10 Exploiter la formule de Taylor avec reste intégral. 11 Utiliser la définition de l'équivalence. 12 Calculer des équivalents et des développements limités. 13 Considérer le taux d'accroissement de f en 0. 14 Utiliser des développements limités connus. 15 Penser aux sommes de Riemann. 16 La question A est hors programme. Ensuite, découper l'intervalle de sommation en l'union des [ k ; k + 1 [ pour k N et appliquer la relation de Chasles. 17 Calculer les dérivées à l'aide de la formule de composition. Pour C, résoudre l'équation différentielle à l'aide du polynôme caractéristique associé. 18 La formule indispensable est la suivante : f x f y g = + u x u y u 19 Effectuer le changement de variables en coordonnées polaires. 20 Pour A, considérer n = 1 et pour C et D, regarder le cas particulier où x = 3. 21 Commencer par fixer le nombre d'éléments de X, puis, une fois X déterminé, regarder les éléments que peut contenir Y. 22 Pour les trois premières propositions, exhiber un contre-exemple aux propriétés d'un groupe. 23 Considérer une racine a de P, et exploiter la relation vérifiée par le polynôme. 24 Chercher la racine sous la forme p/q avec (p, q) Z × Z , multiplier l'égalité par q n et utiliser le théorème de Gauss. 25 Pour A, C et D, trouver des contradictions pour des valeurs particulières. 26 Une racine multiple d'un polynôme P est aussi racine de P . Pour la question B, raisonner en termes d'équation différentielle. 27 Pour la première question, penser à l'orthogonalité de la famille pour un certain produit scalaire. Montrer ensuite que l'espace engendré par les vecteurs de la première question est inclus dans celui de la deuxième question. Pour C et D, utiliser la définition des familles libres. 28 Commencer par A, puis résoudre la question D avant les propositions B et C. Penser à l'exprimer de façon symétrique, en prenant pour hypothèse G F. 29 Utiliser la définition d'une famille libre avec les i . 30 La somme directe permet de décomposer les vecteurs de l'espace. 31 Pour A et B, repérer des contre-exemples faciles. Considérer ensuite la matrice représentative de la fonction dans la base proposée. 32 Pour C et D, considérer le cas p = 1. 33 Regarder les tailles des matrices proposées. 34 L'indication donnée par l'énoncé ne sert pas (elle est même fausse !). Considérer les fonctions constantes égales à 0 ou à 1. 35 Regarder si kf (u)k = kuk. Séparer ensuite x Vect (u) et x u . 36 Passer par la partie linéaire pour déterminer l'expression de la symétrie. Attention au piège caché dans les choix typographiques douteux de l'énoncé : par « IR », les auteurs sous-entendent bien « R » et non « iR »... 1 Soit R. En utilisant successivement les formules de Moivre puis le binôme de Newton, on a cos(5) = Re (e i5 ) = Re (e i )5 = Re (cos + i sin )5 5 P 5 5-k k k cos(5) = Re (cos ) i (sin ) k=0 k La partie réelle de cette expression est constituée de tous les termes où la puissance k de i est paire, c'est-à-dire k = 0, 2, 4 : 5 5 5 cos(5) = (cos )5 + (cos )3 (-1)(sin )2 + cos (sin )4 0 2 4 = (cos )5 - 10(cos )3 (1 - (cos )2 ) + 5 cos (1 - (cos )2 )2 = 11(cos )5 - 10(cos )3 + 5 cos (1 + (cos )4 - 2(cos )2 ) cos(5) = 16(cos )5 - 20(cos )3 + 5 cos La réponse B est donc exacte et la A est fausse. En appliquant ce résultat à = /10, on remarque que cos(5) = cos(/2) = 0 et on obtient que cos(/10) est solution de l'équation suivante : 16X5 - 20X3 + 5X = 0 En constatant que cos(/10) 6= 0 et en posant Y = X2 , on en déduit que (cos(/10))2 est solution de l'équation suivante : 16Y2 - 20Y + 5 = 0 Cette équation a pour discriminant = 202 - 4 × 16 × 5 = 80 = (4 5)2 . Ses solutions sont alors 5+ 5 5- 5 y1 = et y2 = 8 8 puis que cos(/10) (r r r r ) 5+ 5 5- 5 5+ 5 5- 5 , ,- ,- 8 8 8 8 étant donné que les deux solutions y1 et y2 sont positives. On conclut en se rappelant que 0 6 /10 6 /3, cos(/3) = 1/2, et que cos est décroissante sur [ 0 ; /2 ] : 1/2 6 cos(/10) 6 1. Cela exclut les deux valeurs négatives ainsi que la deuxième car (5 - 5)/8 6 (5 - 2)/8 < 1/2. Ainsi, cos(/10) = r 5+ 5 8 La réponse C est exacte et la réponse D est fausse. A B C D E