ENAC Maths toutes filières 2007

Thème de l'épreuve Nombres complexes, fonctions trigonométriques et hyperboliques
Principaux outils utilisés Nombres complexes, fonctions réelles, endomorphismes, polynômes
Mots clefs QCM

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ECOLE NATIONALE DE L'AVIATION CIVILE ANNÉE 2007 coucçuræs DE RECRUTEMENT D'ELEVES PILOTE DE LIGNE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Durée : 2 Heures Coefficient : 1 ' Ce sujetcomporte : o 1 page de garde, . 2 pages (recto-verso) d'instructions pour remplir le QCM, . 1 page d'avertissement . 9 pages de texte numérotées de 1 à 9. CALCULATRICE AUTORISÉE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES A LIRE TRÈS ATTENTIVEMENT L'épreuve de mathématiques de ce concours est un questionnaire à choix multiple qui sera corrigé automati- quement par une machine à lecture optique. ATTENTION, IL NE vous EST DÉLIVRÉ QU'UN SEUL QCM 1) Vous devez coller dans la partie droite prévue à cet effet, l'étiquette correspondant à l'épreuve que vous passez, c'est--à-dire épreuve de mathématiques (voir modéle ci--dessous). POSITIONNEMENT DES ETIQUETTES Pour permettre la lecture optique de l'étiquette, le trait vertical matérialisant l'axe de lecture du code à barres (en haut à droite de votre QCM) doit traverser la totalité des barres de ce code. EXEMPLES : » BON MAUVAIS MAUVAIS >< >< >< >< X " >< >< xxxxxxxxxxxxxxxx & BL 9 $? 8 Z |- G AXE 2) Pour remplir ce QCM, vous devez utiliser un STYLO BILLE ou une POINTE FEUTRE de couleur NOIRE. 3) Utilisez le sujet comme brouillon et ne retranscrivez vos réponses qu'après vous être relu soigneuse- ment. 4) Votre QCM ne doit pas être souillé, froissé, plié, écorné ou porter des inscriptions superflues, sous peine d'être rejeté parla machine et de ne pas être corrigé. 5) Cette épreuve comporte 36 questions, certaines, de numéros consécutifs, sont liées. La liste des ques---- tions liées est donnée au début du texte du sujet. Chaque candidat devra choisir au plus 24 questions parmi les 36 proposées. Il est inutile de répondre à plus de 24 questions : la machine à lecture optique lira les réponses en séquence en partant de la ligne 1, et s'arrêtera de lire lorsqu'elle aura détecté des réponses à 24 ques- tions, quelle que soit la valeur de ces réponses. Chaque question comporte au plus deux réponses exactes. 6) A chaque question numérotée entre 1 et 36, correspond sur la feuille--réponses une ligne de cases qui porte le même numéro (les lignes de 37 à 100 sont neutralisées). Chaque ligne comporte 5 cases A, B, C, D, E. ' Pour chaque ligne numérotée de 1 à 36, vous vous trouvez en face de 4 possibilités : > soit vous décidez de ne pas traiter cette question, la ligne correspondante doit rester vierge. > soit vous jugez que la question comporte une seule bonne réponse, vous devez noircir l'une des cases A, B, C, D. > soit vous jugez que la question comporte deux réponses exactes, vous devez noircir deux des cases A, B, C, D et deux seulement. > soit vous jugez qu'aucune des réponses proposées A, B, C, D n'est bonne, vous devez alors noircir la case E. En cas de réponse fausse, aucune pénalité ne sera appliquée. 7) EXEMPLES DE REPONSES Question 1 : 12 +22 vaut: A)3 B)5 C)4 D)-1 Question 2 : le produit (--1) (-3) vaut: A) -3 B) --1 C)4 D)O Question 3 : Une racine de l'équation x2 -----1 := 0 est: A)1 B)O C)-1 D)2 Vous marquerez sur la feuille réponse : [II:] -- (::.: [:::] [:::] A B C D E 1 E:: [:::] E:] E:] :::] :::] 1223 E:: ::::1 _ A B C D E 2 1:23 E::J [:::] [:::] :::: ÜHÜ QUESTIONS LIEES 1à4 5à9 10à21 22à32 33à36 PARTIE I 2i1:/... ?. On considère le système (E) On désigne par ] le nombre complexe e x+ y + z m a x+j y +sz * b x+fy +jz = c où a, b, c désignent trois nombres complexes donnés. Question 1 : Le nombre complexe ] vérifie A) fm1 B) 13 ---1...--...- 0 C) l+j+f= () D) 1...-- j -- f=-- () Question 2 : Les nombres complexes x, y, z vérifiant le système (E) sont tels que A) 3y+(x+z)(l+ j + f) = a+ bj2+ cj B) 3y+(x+z)(l+j+f) = a+ b + c C) 3y+(x+z)(l+j +_j2) = a+ bj + cf D) 3x+@+z)(l+ j + j'") =----* a+ bj2+ cj Question 3 : Le système (E) A) n'admet pas de solution B) admet au moins deux solutions C) admet une solution unique x=(a+b+c)/3 y=(a+ bj2+ cj)/3 zæ(a+ bj+ of)/3 D) admet une solution unique x=(a+b+c)/3 y=(a+ bj+ ch)/3 z==(a+ bj2+ cj)/ 3 Question 4 : Une condition nécessaire et suffisante pour que x, y, z vérifiant le système (E) soient des nombres réels est A) a, b, c réels B) a, b, c complexes non réels C) aréeletb*cm0 D) a réel et b et c complexes conjugués car j2 et (--j ) sont complexes conjugués PARTIE 11 11 étant un entier naturel et a un nombre réel non nul on pose : e'"cosnxdx et v,,=Ç e"sinnxdx Question 5 : u,, vérifie, pour tout n entier naturel 'Il: . A) u,, 3 (l/an) [ eax sin nx] pour n entier strictement positif et ug----* (e""--l)/a @ % B) un ===-- (l/a) [ e"Dc (cos nx ---- (n/a)sin ax)] + ("z/az) un ' 0 1L' C) u,, & (l/(nz--t--a2)) [ e'" (acos nx + nsin nx)] () D) un a (1/(n2--Æ))((--1)"ea" a--a) Question 6 : v,, satisfait, pour tout n entier naturel non nul 7! A) v,, =?"-- (l/an) [-- e'"' cos nx] @ B) v,, «"="---- (1/a) [ eax (sin nx -------- (n/a)cos nx)] Î--(nz/a7") v,, 0 C) v,, w (1/(nz--m--a2)) [ e"x (noos nx --- 6: sin nx)] " 0 D) v,, a (1/(nz--x--a2))((--1ÿ+lnea" +n) Question 7 : La valeur absolue de "un est, pour tout n entier naturel , majorée par A) lal/(nz+az) B) lal(l+e"'Ü/an»«a2l et celle de v,, est majorée par C) n(l--e"")/(nz+a2) D) (l+e"")/(an) Question 8 : La suite (v2k), k entier strictement positif, est équivalente à la suite de terme général A) (l--e'"')/(2k) B) (l+ea")/k C) 1/(2k) D) l/k Question 9 : A) les suites (un) et (v,,) ne peuvent être convergentes car elles ne sont pas de signe constant B) les suites (un) et (vn) convergent car toute suite majorée est convergente C) la suite (un) converge vers 0 D) la suite (un) diverge car la suite de terme général cos nx n'admet pas de limite PARTIE III On considère les fonctions (... qui à u élément du segment I=[O,n/2], associe (p1(u)= l/(x2 (cos u) 2 + (sin u) 2 ) et ([)2 qui à u élément du segment I associe (pg(u)m (sin u)/(x2 (cos u) 2 + (sin u) 2 ), x étant un paramètre réel. Question 10: La fonction (pl A) est définie sur I pour tout x réel B) est définie sur I pour tout x réel positif ou nul C) est définie et... continue sur I pour x réel strictement positif D) est continue sur 1 uniquement pour x réel strictement positif Question 11 : La fonction (pg A) est dérivable sur I pour tout x réel non nul B) est dérivable sur I pour tout x réel C) est dérivable sur ]0,7£/2] pour tout x réel et a pour dérivée O D) n/2 s. lim f(x) x------------>O Question 19: Lorsque x tend vers +oc, f(x) a pour limite, si elle existe, A) +oc B) -------oc C) 7c2/4 D) (n°:/4) -- (a:/2) /2 Soit g la fonction définie sur ]0,+oc[ par g(x) = {(a / (x (cos u) 2 + (sin u) 2 )) du 0 Question 20: x désignant un réel strictement positif et k un réel tel que 0 < | kl < x/2, on pose, pour tout u appartenant au segment I P === x (cos u)2 + (sin u)2 et Q = k (cos u)2 . On a A) 1/ (P+Q) * (UP) ------- (Q/P2 + (QQ/26"2 gP+Q))) B) " (P+Q) " (UP) + (Q/P ) ------ (Q /(P (P+Q))) n/2 flZ/2 C)! ((g(x+k)-- g(x))/k)+F(cosuÿ/{x(cosu)2+(sinu)2)zdul sl kl]u(cosu)"/{(x/Z)(cosu)2+(sin u)2)3du 0 0 TE/2 D) g est dérivable sur ]O,+oc[ et a pour dérivée g'(x) =_ &u(cosu)Z/(x(cosu)z+(smu)2)2 du 0 Question 21: On a _ A) f(x) x x g(x) pour tout x appartenant à l'intervalle ]0,+oc[ B) f(x) ===-- x g(x2) pour tout x appartenant à l'intervalle ]0,+oc[ C) f est dérivable sur ]O,+oc[ et a pour dérivée . n/2 f(x)=g(xz)+2xz 8°(X2) "'--"'" 8u(3ch(cosu)2+(sinar)2)/(xz(cosu)z+(sinu)z)2 du 0 D) f n'est pas dérivable sur ]0,+oc[ PARTIE IV Dans l'espace vectoriel F des fonctions réelles définies et indéfiniment dérivables sur [R, on considère l'ensemble E des fonctions de la forme P(x) ch x + Q(x) sh x où P et Q sont deux fonctions polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 2. On désigne par f1, f2, fg, f4, fig, f6 les fonctions définies Sur IR par fl(x)= ch x, fi(x)----*--= sh x, f3(x)= xch x, fl(x)m xsh x, f5(x)= xzch x, _ f6(x)= xzsh x. Question 22 : L'ensemble E A) est un anneau B) est un sous--espace vectoriel de F C) n'est pas un sous--espace vectoriel de F D) groupe pour la loi de multiplication des fonctions Question 23 : On pose j(x)== (À1+7t2 x+À3 x2) ch 3: + (...+... x+u3 x2) ex A) la fonction f(x) e"x tend vers 0 lorsque x tend vers +oc quelque soit les réels 7\'1_97\2:17\'3 9H1>H2a!l3 B) la fonction f(x) e"x tend vers 0 lorsque x tend vers '+oç si et seulement si 7t1+ M1 OEÀ2+ ll2 «"---7\.3+ M3 =() C) la fonction f(x) ex tend vers 0 lorsque x tend vers --oc quelque soit les réels Â1,7ï2,7&3 ,u1,H2,H3 D) la fonction f(x) ex tend vers 0 lorsque x tend vers +oc si et seulement si 7&1 "HI =M "M2 "'--""M "#3 30 Question 24 : La famille des six fonctions f1, f2, fg, f4, f5, f6 A) est une famille génératrice et liée de E B) est libre mais n'est pas une base de E C) est une base de E D) n'est ni libre ni génératrice dans E Question 25: On note D l'application de F dans F qui à une fonction f associe sa dérivée f ' A) D est une application linéaire de E dans F mais n'est pas un endomorphisme de E B) D n'est pas un endomorphisme de F C) D est un endomorphisme de E D) D n'est pas une application linéaire Question 26 : La matrice de D dans une base de E constituée à l'aide des fonctions fl, fig, f3, f4,fs,fs est A) une matrice carrée d'ordre 5 B) une matrice carrée d'ordre 6 symétrique réelle C) une matrice carrée d'ordre 6 antisymétrîque réelle D) une matrice à 5 lignes et 6 colonnes Question 27: L'application D A) réalise une bijection de E sur lui- -même B) ne réalise pas une bijection de E sur lui-même car elle n'est pas injective C) ne réalise pas une bijection de F sur lui-- -méme car D(f+k)=D(/) avec k est une fonction constante donnée D) réalise une bij ection de F sur lui--même Question 28 : On note id l'application identique de F dans lui--même. A) l'image de E par l'application (D2-- id) est l'espace vectoriel de dimension 4 engendré par la famille (fi, f2, fg,, f4) _ B) l'image de E par l'application (D2-- id) est un espace vectoriel de dimension 3 C) l'image de E par l'application (DZ--« id)2 est un espace vectoriel de dimension 3 D) l'image de E par l'application (D2-- id)'°, pour p entier supérieur ou égal à 3 est l'espace réduit au vecteur nul Question 29 : Le noyau de l'application (D2-- id) A) est réduit à l'application nulle car (Dz--« id) est une application linéaire inj ective B) est l'espace des solutions de l'équation différentielle f "---f=0 C) est l'espace des solutions de l'équation différentielle (f ')2 ----f=0 D) est l'espace de dimension 2 engendré par la famille (f1,f2) Question 30 : Le noyau de l'application (DZ---- id)2 A) est réduit à l'application nulle car (D2-- id) est une application linéaire injective B) est l'espace des solutions de l'équation différentielle } "------F0 C) est l'espace de dimension 2 des solutions de l'équation différentielle)" "--------F 7\. ch x + u sh 3: où 7L et u sont des constantes réelles D) est l'espace de dimension 4 engendré par la famille (f1,f2, f3, f4) Question 31 : Le noyau de l'application (l)2-- id)3 A) est l'espace des solutions de l'équation différentielle f "-------# 0 B) est l'espace de dimension 2 des solutions de l'équation différentielle f"--------f---- M ch x + 111 sh x+ 7t2 xch x+ ... xsh x où M, X2, ..., 112 sont des constantes réelles C) est l'espace de dimension 4 engendré par la famille (fl, f2, fo,, 12) D) est réduit à l'application nulle car {D2-- id) est une application linéaire injective Question 32 : L'ensemble des solutions de l'équation différentielle linéaire y") --3 y") +3 y "------y = 0 A) est égal à Ker((D2---- id)') B) est égal à Ker((DZ---- id)") C) est l'espace vectoriel, de dimension 6, E D) est égal à Im((D3-- idf) PARTIE V Soit 11 un entier positif ou nul, on note E,, l'espace vectoriel des polynômes à une indéterminée X à coefficients réels de degré au plus égal à n. Il existe, pour tout n entier naturel, un et un seul polynôme P,, appartenant à E,, qui vérifie cos(nx) z P,,(cos x) pour tout x réel Question 33 : On a pour tout n entier strictement positif A) Pn+1 + Pn-I : X Pn B) P... ... P..., n 2X P,, C) P,, a Z (...1)P( " ) X"? (1---- X2)P 052p$n p D) P,,m Z (") X"'2p (X2--1)P 0_<_2p_<_n 2p Question 34 : Ces polynômes vérifient pour tout n, P',, désignant le polynôme dérivé de P,,, A) P,,(O) : l et P,, est pair sin est pair B) P,,(--l) : 0 et P,, est impair si n est impair C) P2,,(O) : (--1)" et P'g...(0) === (----1)"(2n + 1) D) P,,(----l) m (----1)"' et P',,(----l) : 0 Question 35 : Pour n>0, lorsque x tend vers +oc, la fonction polynôme P,,(x) est équivalente à A) 2"x" B) 2n--Ixn C) (n--1)!x" D) 11! x" Question 36 : Les polynômes P3 et P4 sont A) Pgæ4X3--3X et P4 =8X4+8X2+1 B) P3==4X3+3X et P4 =8X4--8X2+1 (:) P3z3X3--4X et P4 = 12X4+8X2+1 D) P3m6X3--4X et P4 = 12X4--8X2+1

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 ENAC Maths toutes filières 2007 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Paul Pichaureau (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Jean Starynkévitch (Professeur en CPGE) et Sophie Rainero (Professeur en CPGE). Il est habituel que les sujets de l'ENAC abordent de nombreux points du programme de PCSI. Tout comme l'année précédente, ce sujet privilégie les questions portant sur les nombres complexes, les équations différentielles et le calcul intégral. Cette année toutefois, une partie importante des questions est consacrée à l'algèbre linéaire. · La partie I (questions 1 à 4) porte sur les nombres complexes et les systèmes d'équations linéaires. Elle utilise les propriétés de la racine cubique de l'unité j = e 2i/3 . · La partie II (questions 5 à 9) traite de deux suites définies à partir d'intégrales. Plusieurs thèmes classiques sont abordés : majoration, limite, équivalents de suites. · La partie III (questions 10 à 21) est la plus technique du sujet. Deux fonctions 1 et 2 d'une variable réelle t, et dépendantes d'un paramètre réel x, sont définies puis étudiées. À partir des intégrales par rapport à t de ces deux fonctions, on pose deux nouvelles fonctions dépendantes de x, qui sont ensuite examinées. Les sujets balayés sont nombreux : calculs d'intégrales, changements de variables, calcul d'équivalents et de dérivées, etc. · La partie IV (questions 22 à 32) concerne l'algèbre linéaire. On étudie un sousespace vectoriel de l'espace vectoriel des fonctions réelles indéfiniment dérivables sur R. En introduisant l'endomorphisme de dérivation, on en vient à aborder différentes questions sur les équations différentielles réelles. On utilise pour cela des matrices d'endomorphismes. Bien que classique, cette partie exige une excellente compréhension du cours d'algèbre linéaire de Sup. · Enfin, la partie V (questions 33 à 36) porte sur les polynômes de Tchebychev. Plusieurs types de calculs sur les polynômes sont effectués. Les questions de cette partie, sans être difficiles, sont assez calculatoires. Les sujets de l'ENAC sont des épreuves exigeantes, qui nécessitent beaucoup de soin et de concentration. Elles privilégient les aspects calculatoires et techniques. Il convient de s'entraîner spécifiquement à ces difficultés. Le candidat n'est tenu de répondre qu'à 24 questions sur 36. Cela permet de sauter les questions qui, à la première lecture, semblent exiger du temps. Toutefois, les questions sont très liées les unes aux autres ; on ne peut pas réussir cette épreuve sans entrer dans le détail de nombreuses questions dont le résultat est utilisé plus tard. La technique du QCM est assez particulière. Beaucoup de réponses pourraient sembler justes... si on les lit trop rapidement ! En général, il est indispensable d'examiner toutes les réponses à une question avant de pouvoir valider les bonnes. Indications 1 Réponses C et D : mettre j sous forme cartésienne. 2 Grâce à un des résultats de la question 1, les réponses proposées s'écrivent plus simplement. 3 Déterminer x et y à l'aide de la question 2. 4 En cherchant un contre-exemple, écarter les réponses A, B et C. 5 Intégrer par parties. 6 Intégrer par parties. 7 En prenant des valeurs judicieuses de a et de n, écarter les réponses A, C et D. 9 Examiner les justifications de chacune des réponses. 13 Reconnaître la primitive de t 7 1/(1 + t2 ). 14 Étudier les bornes de l'intégrale avec le changement de variable t = (tan u)/x. Remarquer ensuite que 1 1 1 1 = + 1 - (1 - x2 )v 2 2 1 - (1 - x2 )1/2 v 1 + (1 - x2 )1/2 v 16 Pour calculer f (x) + f (1/x), utiliser le changement de variable v = /2 - u. 17 Dresser le tableau de variation de h. 18 Se servir de la fonction h de la question précédente pour comparer K et f . 19 Utiliser une des réponses de la question 16. 1 1 1 Q 20 Calculer - + 2 , intégrer et en déduire la valeur g (x) en passant k P+Q P P à la limite quand k tends vers 0. 22 Trouver une famille génératrice de E. Prouver que E n'est pas stable par la multiplication de fonctions (par exemple en étudiant f6 2 ). 23 Étudier les limites, lorsque x tend vers +, de f (x)e -x et de f (x)e x dans plusieurs cas particuliers. 24 Établir la liberté de la famille (f1 , f2 , f3 , f4 , f5 , f6 ), en examinant les équivalents en + et - d'une combinaison linéaire de ces fonctions. 25 Prouver que E est stable par f en calculant l'image des vecteurs de la famille (f1 , f2 , f3 , f4 , f5 , f6 ) par D. 27 Utiliser la matrice de D. 28 Calculer la matrice de D2 - id . 30 Se ramener à une équation différentielle du second ordre, puis la résoudre. 31 Examiner la dimension de Ker (D - id )3 . 32 Utiliser la même méthode qu'à la question 30. 33 Calculer Pn (1) et comparer cette valeur à celle que fournissent les réponses A et B. Pour les réponses C et D, se servir de la formule de Moivre. 34 Dériver la relation définissant Pn pour trouver Pn (-1). 35 Déterminer le monôme de plus haut degré de Pn . 36 Calculer P3 et P4 à partir de la réponse à la question 33. Partie I 1 Trouvons d'abord par le calcul j 2 = e 4i/3 et j 3 = e 6i/3 = e 2i = 1. Ainsi la réponse A est fausse et la réponse B est correcte. Ensuite, mettons les nombres complexes j et j 2 sous forme cartésienne 1 3 3 1 2 j =- +i j =- -i 2 2 2 2 Par le calcul, on obtient alors 1 + j + j2 = 1 + 1 - j - j2 = 1 - ! 3 1 - +i + 2 2 ! 1 3 - +i - 2 2 ! 1 3 - -i =0 2 2 ! 1 3 - -i =2 2 2 La réponse C est correcte, mais pas la réponse D. A B C D E Rappelons que j est une racine cubique de l'unité, c'est-à-dire une solution de l'équation X3 - 1 = 0 (on retrouve la réponse B). Or, cette équation se factorise simplement en (X - 1)(X2 + X + 1) = 0. Comme j 6= 1, j est racine de X2 + X + 1, ce qui est une autre façon de trouver la réponse C. On peut aussi utiliser la formule donnant la somme des termes d'une suite géométrique 1 + j + j2 = 1 - j3 =0 1-j avec j 6= 1 et j 3 = 1. 2 Comme on a remarqué à la question précédente que 1 + j + j 2 = 0, ces équations se simplifient : il suffit de savoir combien valent 3y et 3x. En additionnant les trois équations du système (E), il vient 3x + (1 + j + j 2 )y + (1 + j 2 + j)z = 3x = a + b + c si bien que la réponse D est fausse. Multiplions ensuite la seconde équation par j 2 et la troisième par j, puis faisons la somme pour trouver (1 + j + j 2 )x + (1 + j 3 + j 3 )y + (1 + j 4 + j 2 )z = 3y + (1 + j + j 2 )z = 3y = a + j 2 b + jc ce qui nous indique que la réponse A est juste. Sans informations supplémentaires sur a, b et c, les autres réponses sont fausses. A B C D E 3 D'après le calcul de la question précédente, on sait tout de suite que 1 1 (a + b + c) y = (a + j 2 b + jc) 3 3 En utilisant la première équation, on a ensuite 1 1 1 1 z = a - x - y = a - (1 + j 2 )b - (1 + j)c = (a + jb + j 2 c) 3 3 3 3 2 où on s'est servi de l'égalité 1 + j + j = 0, qui donne 1 + j 2 = -j et 1 + j = -j 2 . On voit que le système possède une unique solution, les réponses A et B sont donc fausses. La réponse D est fausse également, puisque la valeur de y ne convient pas. Seule la réponse C est juste. x= A B C D E On peut aussi calculer le déterminant du système (E), avec la règle de Sarrus 1 1 1 j 1 j2 1 j 2 = j 2 + j 2 + j 2 - j - j 4 - j = 3j 2 - 3j = -3 3i j Comme ce déterminant est non nul, le système (E) possède une unique solution. En trouvant y d'après la question 2, on voit alors que seule la réponse C est juste. 4 Avec les trois réels a = 0, b = 1 et c = 0, on trouve comme solution x = 1/3, y = j 2 /3 et z = j/3. Ces solutions ne sont pas réelles alors que a, b et c le sont ; la réponse A est fausse. Avec les complexes non réels a = b = c = i, il vient x = i, qui n'est pas réel. Ainsi, la réponse B est également fausse. Avec a réel et b = c = 0, on obtient x = y = z = a/3, qui est bien une solution réelle du système (E). Toutefois cette condition n'est pas nécessaire. En effet, avec a = b = c = 1, on trouve x = 1 et y = z = 0 qui est une solution réelle. La réponse C n'est donc pas correcte. Comme j 2 et -j ne sont pas complexes conjugués, la réponse D est également fausse, puisqu'elle donne une justification fausse. A B C D E Notons toutefois que la réponse D donne la bonne condition nécessaire et suffisante. En effet, si a est réel et b et c sont complexes conjugués alors 1 1 y= a + b j2 + c j = a + cj + bj 2 = y 3 3 ce qui prouve que y est réel. Par un calcul similaire, on trouve également z réel. Réciproquement, si x, y et z sont réels, alors a est réel comme somme de trois réels. De plus b = x + j y + j 2 z = x + j 2 y + jz = c donc b et c sont complexes conjugués. Moralité : il faut faire bien attention à écarter les réponses qui donnent une justification fausse. C'est par ailleurs un bon moyen de gagner du temps.