ENAC Maths toutes filières 2006

Thème de l'épreuve Analyse classique et algèbre linéaire
Principaux outils utilisés intégration, équations différentielles linéaires, algèbre linéaire, nombres complexes

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE NATIONALE DE L'AVIATION CIVILE ANNÉE 2006 coNcDURS DE RECRUTEMENT - D'ELEVES PILOTE DE LIGNE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Durée : 2 Heures Coefficient: 1 _ Ce sujet comporte : o 1 page de garde, 0 2 pages (recto-verso) d'instructions pour remplir le QCM, . 1 page d'avertissement . . o 8 pages de texte numérotées de 1 à 8. CALCULATRICE AUTORISÉE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES A LIRE TRÈS ATTENT/VEMENT L'épreuve de mathématiques de ce concours est un questionnaire à choix multiple qui sera corrigé automati- quement par une machine à lecture optique. ATTENTION, IL NE vous EST DÉLIVRÉ QU'UN SEUL QCM 1) Vous devez coller dans la partie droite prévue à cet effet, l'étiquette correspondant à l'épreuve que vous passez, c'est-à--dire épreuve de mathématiques (voir modèle ci--dessous). POSITIONNEMENT DES ETIQUETTES Pour permettre la lecture optique de l'étiquette, le trait vertical matérialisant l'axe de lecture du code à barres (en haut à droite de votre QCM) doit traverser la totalité des barres de ce code. EXEMPLES : BON MAUVAIS MAUVAIS >< >< >< >< . >< >< >< >< xxxxxxxxxxxxxxxx & GL 9 E? 3 Z L 0 Xxxxxxxxx . xxxxx u.: >< >< LI.I _ < < à 2) Pour remplir ce QCM, vous devez utiliser un STYLO BILLE ou une POINTE FEUTRE de couleur NOIRE. 3) Utilisez le sujet comme brouillon et ne retranscrivez vos réponses qu'après vous être relu soigneuse- ment. ' 4) Votre QCM ne doit pas être souillé, froissé, plié, écorné ou porter des inscriptions superflues, sous peine d'être rejeté parla machine et de ne pas être corrigé. 5) Cette épreuve comporte 36 questions, certaines, de numéros Consécutifs, sont liées. La liste des ques- tions liées est donnée au début du texte du sujet. Chaque candidat devra choisir au plus 24 questions parmi les 36 proposées. . Il est inutile de répondre à plus de 24 questions : la machine à lecture optique lira les réponses en séquence en partant de la ligne 1, et s'arrêtera de lire lorsqu'elle aura détecté des réponses à 24 ques-- tions, quelle que soit la valeur de ces réponses. Chaque question comporte au plus deux réponses exactes. 6) A chaque question numérotée entre 1 et 36, correspond sur la feuille-réponses une ligne de cases qui porte le même numéro (les lignes de 37 à 100 sont neutralisées). Chaque ligne comporte 5 cases A, B, C, D, E. ' Pour chaque ligne numérotée de 1 à 36, vous vous trouvez en face de 4 possibilités : > soit vous décidez de ne pas traiter cette question, la ligne correspondante doit rester vierge. > soit vous jugez que la question comporte une seule bonne réponse, vous devez noircir l'une des cases A, B, C, D. > soit vous jugez que la question comporte deux réponses exactes, vous devez noircir deux des cases A, B, C, D et deux seulement. > soit vous jugez qu'aucune des réponses proposées A, B, C, D n'est bonne, vous devez alors noircir la case E. En cas de réponse fausse, aucune pénalité ne sera appliquée. 7) EXEMPLES DE REPONSES Question 1 : 12 +22 vaut: A)3 B)5 C)4 D)-1 Question 2 : le produit (-1) (-3) vaut : A) -3 B) -1 C) 4 D) 0 Question 3 : Une racine de l'équation x2 --1 = O est : A) 1 B) 0 C) -1 D) 2 Vous marquerez sur la feuille réponse : =1 -- c:: := |: A B (: D E 1 [:::] :] i:i :: :: :=1 :: :=: l:] _ A B (: D E 2 :: :: c:: :: l=l -- :=: - :: E:] A B C D E 3 =: :=: =: =: |__--__: ©... ...... mm mm « ?. â @ 3 mm .... NN ...maw... ...... a S a .... ... oe..._Ëq oeZO--Hoe...--DO PARTIE I Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (0, u, v). On considère une transformation qui à tout point m d'affixe le nombre complexe non nul 2, associe le point M d'afiixe le nombre complexe Z vérifiant l'équation (H) : Z = (22 +1) / 22 . On note z = reie la forme trigonométrîque ou exponentielle du complexe z. Question 1 : La forme trigonométfique ou exponentielle de Z s'écrit a) ( l/r2) e"2i9 b) 1- (1/72) e*2f9 0) 1+ (1/r2) e"2ie d) 1- (1/fi) e2ie Question 2 : La partie réelle de Z s'écrit a) (1/r2) cos(--29) b) 1+ cos(--2G ) 0) 1+ sin(29) d) 1+(1/fi) cos(29) Question 3 : La partie imaginaire de Z s'écrit a) 1+ (1/r2) cos(--29) b) sin(--26) c) --(1/fi) sin(2fi) d) 1-(1/fi) sin(29) Question 4 : Dans cette question on suppose que Z est un nombre complexe donné Za, distinct de let afiixe d'un point Mo . Pour un tel Z a) on ne peut pas trouver 2, non nul, vérifiant l'équation (H) b) il est toujours possible de déterminer 2, non nul, vérifiant l'équation (H) c) l'équation (H) a une solution unique za d) l'équation (H) admet deux solutions Question 5 : Soit Z un complexe, distinct de l, représenté sous forme cartésienne par le nombre X+iY, où X et Y sont deux nombres réels. Pour un tel Z, on note 2 = x+iy un complexe, solution, s'il en existe, de l'équation (H) : Z = (22 +1) / 22. On a nécessairement a) X difi°érent de l et Y non nul b) x2+ y2 = (x --1) / ((X --1)2 + Y2) c) x2-- yz = (X --1)/< 

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 ENAC Maths toutes filières 2006 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Vincent Perrier (ENS Cachan) ; il a été relu par David Lecomte (Université de Stanford) et Benoît Chevalier (ENS Ulm). Il est habituel que les sujets de l'ENAC portent sur la quasi-totalité du programme de mathématiques de PCSI (l'épreuve étant commune à toutes les filières). Ce concours intervenant tôt dans l'année, l'énoncé ne demande de traiter que les deux tiers des questions, afin qu'aucun candidat ne soit pénalisé par l'ordre dans lequel le programme est traité en cours. Le sujet comporte sept parties, d'importances inégales. On demande de traiter 24 des 36 questions proposées. · La première partie propose neuf questions portant sur la transformation du plan complexe z 7- (z 2 + 1)/z 2 . Toutes les connaissances indispensables sur les nombres complexes sont passées au crible. · Dans la deuxième, on propose trois questions sur l'équation différentielle y = - 2 y · La troisième part également d'une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants, mais propose surtout d'étudier en détail l'une des solutions de l'équation proposée. · La quatrième propose, en quatre questions, de calculer trois intégrales. Toutes les propriétés classiques de l'intégrale sont passées en revue. · La cinquième étudie des solutions d'une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients non constants. Cette partie demande des connaissances précises sur les équations différentielles. · Dans la sixième, on étudie la fonction x 7 e x tan x, iet en particulier leh comportement en l'infini de la suite des xn telle que xn - + n ; n + 2 2 et e xn tan xn = 1. · Enfin, la septième partie propose quatre questions simples d'algèbre linéaire. Remarquons que d'après les programmes, les nombres complexes et les équations différentielles linéaires doivent être étudiées dès le début de l'année, ce qui signifie qu'à la période où le concours a lieu, les parties 1, 2, 3 et 5 doivent pouvoir être traitées dans leur totalité. D'une manière générale, les QCM de l'ENAC sont des épreuves difficiles pour lesquelles il est indispensable de s'entraîner spécifiquement. Il faut notamment se méfier de la formulation précise des réponses proposées : on verra ainsi au long du corrigé que certaines réponses sont « presque » justes. Notons enfin que le fait que la copie soit corrigée par un ordinateur et non par un professeur permet de sauter certaines questions en évitant d'agacer le correcteur. Rappelons cependant que traiter plusieurs questions liées permet de manipuler plusieurs fois les mêmes concepts et peut permettre de se rendre compte a posteriori de certaines erreurs. Indications Partie I 2 5 Si z est tel que z = 1/(Z - 1), calculer la forme cartésienne de z 2 en fonction de x et y, puis en fonction de X et Y. 6 Calculer le module de z 2 . 7 Exprimer l'ensemble des affixes de la demi-droite de l'énoncé sous forme trigonométrique. 9 En prenant des points simples du cercle unité, montrer qu'aucune des propositions ne convient. Partie II 10 Utiliser la structure d'espace vectoriel de S. 11 Exprimer y comme combinaison linéaire de x 7 sin(x) et de x 7 cos(x). Partie III 15 Factoriser f par son terme dominant. 19 Afin d'exclure certaines réponses, on peut évaluer les expressions proposées et l'expression trouvée en certains points bien choisis. Partie IV 22 Simplifier correctement l'expression des dérivées pour voir si celles­ci correspondent aux propositions de l'énoncé. 24 Les propositions demandent d'une part de calculer J-K en fonction de I, et ensuite de trouver une relation entre J et K. Pour cette dernière relation, effectuer une intégration par parties de J pour faire apparaître K. 25 Utiliser la valeur de I calculée question 23. Les relations trouvées à la question 24 ramènent alors le calcul de K et J à la résolution d'un système linéaire 2 × 2. Partie V 28 Intégrer l'expression trouvée à la question 27. 31 Étudier le signe du polynôme 1 + X + X2 pour obtenir le signe de f . 32 Pour les trois premières assertions, utiliser le théorème de la bijection. Pour la quatrième, commencer par poser yn = xn - n. Remarquer d'abord que yn converge vers 0, puis établir yn = Arctan (e-n-yn ) Utiliser les développements limités des fonctions Arctan et exp pour obtenir d'abord : -n yn = e -n+o(e ) Réinjecter cela dans l'équation yn = Arctan (e -n-yn ) pour obtenir un développement de yn à l'ordre 2 en e-n . Itérer une troisième fois. Partie VI 35 Montrer que le rang de f est égal à 2, puis utiliser le théorème du rang. Partie I 1 Si re i est la forme trigonométrique de z alors 1 e -2i z2 + 1 = 1 + = 1 + z2 z2 r2 Dans les réponses proposées, seule la première correspond à une forme trigonométrique. Or d'après le calcul que l'on vient de faire, on voit immédiatement que Z 6= (1/r2 )e -2i . On en déduit qu'aucune des réponses proposées ne convient. Z= On voit, dès la première question, qu'il faut faire très précisément attention à la formulation des questions : ainsi, la proposition C correspond bien à une expression de Z, mais il ne s'agit pas d'une forme trigonométrique. A B C D E 2 En continuant le calcul entamé à la question précédente, il vient e -2i r2 cos(-2) + i sin(-2) = 1+ r2 cos(2) sin(2) Z = 1+ -i r2 r2 Z = 1+ Re (Z) = 1 + On en déduit que cos(2) r2 Les propositions B et C ne dépendent pas de r, et sont donc à rejeter. La proposition A correspond à Re (Z) - 1 et non à Re (Z), et la proposition D correspond à ce que l'on a trouvé. A B C D E 3 D'après le calcul que l'on a fait à la question précédente, Im (Z) = - sin(2) r2 Donc seule la réponse C est juste. A 4 On a Z0 = B C z2 + 1 z2 Z0 = z2 + 1 z2 D E 1 z2 1 Z0 - 1 = 2 z Z0 = 1 + z2 = 1 Z0 - 1 car Z0 6= 1 Notons e i une forme trigonométrique de 1/(Z0 -1). Alors l'équation trouvée admet notamment pour racine : z = e i/2 . On en déduit que la réponse B convient et que la réponse A est fausse. i/2 Par ailleurs, l'équation z 2 = e iadmet deuxracines + . Ces deux - e racines sont confondues, si et seulement si e i/2 = - e i/2 , c'est-à-dire si 2 e i = 0. Cela n'est possible que si = 0, c'est-à-dire si 1/(Z0 - 1) = 0, ce qui est impossible. On en déduit que l'équation (H) admet deux solutions distinctes. A B C D E 5 Calculons de deux manières différentes la forme cartésienne de z 2 : d'une part en utilisant la forme cartésienne de z, et d'autre part en utilisant la forme cartésienne de Z. D'un côté, on a z 2 = (x + iy)2 = x2 - y 2 + 2ixy Par ailleurs z2 = = 1 Z-1 Z-1 2 |Z - 1| X - iY - 1 = (X - 1)2 + Y2 X-1 Y z2 = -i (X - 1)2 + Y2 (X - 1)2 + Y2 X-1 (X - 1)2 + Y2 -Y 2xy = (X - 1)2 + Y2 x2 - y 2 = Finalement On en déduit que les assertions C et D sont exactes. Comme on sait qu'au plus deux réponses sont exactes, il n'est pas nécessaire de vérifier les deux autres. A B C D E Attention, la proposition A est un piège classique : il ne faut pas confondre l'ensemble n o (X, Y) R2 (X, Y) 6= (1, 0) qui correspond au plan R2 privé du point (1, 0), et l'ensemble n o (X, Y) R2 X 6= 1 et Y = 6 0 qui correspond au plan R2 privé des droites X = 1 et Y = 0.