ENAC Maths toutes filières 2005

Thème de l'épreuve Étude d'une suite récurrente un+1=f(un). Exercices divers de calcul matriciel. Propriétés des solutions d'une famille d'équations différentielles.
Principaux outils utilisés suites récurrentes, équations différentielles, calcul matriciel, étude de fonctions

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ECOLE NATIONALE DE L'AVIAI'ION CIVILE ANNEE 2005 CONCOURS DE RECRUTEMENT D'ELEVES PILOTE DE LIGNE {___--m...__ . _EPREÛVÈ DE MATHEMATIQUES __ 1 ---- Durée : 2 Heures Coefficient : 1 Le sujet comprend : 0 1 page de garde, . 2 pages (recto--verso) d'instructions pour remplir le QCM, . 1 page de consignes . 7 pages de texte, numérotées de 1 à 7. CALCULATRICE AUTORISEE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES A LIRE TRÈS ATTENTIVEMENT L'épreuve de mathématiques de ce concours est un questionnaire à choix multiple qui sera corrigé automati-- quement par une machine à lecture optique. ATTENTION, IL NE vous EST DÉLIVRÊ QU'UN SEUL QCM 1) Vous devez coller dans la partie droite prévue à cet effet, l'étiquette correspondant à l'épreuve que vous passez, c'est--à--dire épreuve de mathématiques (voir modèle ci--dessous). POSITIONNEMENT DES ETIQUETTES Pour permettre la" lecture optique de l'étiquette, le trait vertical matérialisant l'axe de lecture du code à barres (en haut à droite de votre QCM) doit traverser la totalité des barres de ce code. EXEMPLES : BON MAUVAIS MAUVAIS X xä XX XX XX XX ää'< XX X X X X 53£95ÜEZLD l/f"' ' "'fW l.l.l < . :: 2) Pour remplir ce QCM, vous devez utiliser un STYLO BILLE ou une POINTE FEUTRE de couleur ,. NOIRE. AXE 3) Utilisez le sujet comme brouillon et ne retranscflvez vos réponses qu'après vous être relu soigneuse-- ment. v * . 4) Votre QCM ne doit pas être souiIlé, froissé, plié, écorné ou porter des inscriptions superflues, sous peine d'être rejeté parla machine et de ne pas être corrigé. 5) Cette épreuve comporte 30 questions, certaines, de numéros consécutifs, sont liées. La liste des ques-- tions liées est donnée au début du texte du sujet. Chaque candidat devra choisir au plus 20 questions parmi les 30 proposées. Il est inutile de répondre à plus de 20 questions : la machine à lecture optique lira les réponses en séquence en partant de la ligne 1, et s'arrêtera de lire lorsqu'elle aura détecté des réponses à 20 ques- tions, quelle que soit la valeur de ces réponses. Chaque question comporte au plus deux réponses exactes. 6) A chaque question numérotée entre 1 et 30, correspond sur la feuille--réponses une ligne de cases qui porte le même numéro (les lignes de 31 à 100 sont neutralisées). Chaque ligne comporte 5 cases A, B, C, D, E. Pour chaque ligne numérotée de 1 à 30, vous vous trouvez en face de 4 possibilités : > soit vous décidez de ne pas traiter cette question, la ligne correspondante doit rester vierge. > soit vous jugez que la question comporte une seule bonne réponse, vous devez noircir l'une des cases A, B, C, D. > soit vous jugez que la question comporte deux réponses exactes, vous devez noircir deux des cases A, B, C, D et deux seulement. > soit vous jugez qu'aucune des réponses proposées A, B, C, D n'est bonne, vous devez alors noircir la case E. En cas de réponse fausse, aucune pénalité ne sera appliquée. 7) EXEMPLES DE REPONSES Question 1 : 12 +22 vaut: A)3 B)5 C)4 D)-1 Question 2 : le produit (--1) (--3) vaut: A) -3 B) -1 C)4 D)0 Question 3 : Une racine de l'équation x2 ----1 = 0 est: A)1 B)0 C)-1 D)2 Vous marquerez sur la feuille réponse : =: _ I:: :: :: A B C D E 1 E:] :: E::l :: :: c:: :: :: :: -- A B C D E 2 !: :: t:! :: c=1 _ :: _ :: c:: A B C D E 3 == :: c:: :=: :=: QUESTIONS LOEES 1 à 13 14à 17 18à26 27à30 PARTIE 1 On désigne par a, un réel strictement positif et par fa la fonction définie sur [O, +o<:[ par: fi, (x)= a e"x On considère la suite (un)" , N , N désignant l'ensemble des entiers naturels, définie par : un 3 [O, +oc[ et V n 3 N u,,+1= fi,(u,,) On suppose qu'il existe un et un seul x 3 [O, +oc[ qui vérifie l'équation x =fi, (x), on note la cette solution. l. Le réel la vérifie : a) v a ; ]O,+oe[ 1, / (1-1, +(1,2/2))<' a < 1,/(1--la) b) Va3 ]O,+oc[ !,  k d) la 51 ou bien uo= la 3. Soitx,ydeuxréelsvéfifiant O.<.x}, soit monotone et V n > k, u,, 3 [O,a] d) VnaN lun+1--lal_<_ a"+1 On note Fa la fonction composée fi, of}, lorsqu'elle est définie. 5. La fonction g qui au couple (x , y) de réels associe le réel y e"Jr a) n'est définie que sur [O,+c>c[2 b) est définie et continue sur [R2 c) a pzour dérivée partielle, par rapport à x, D1g(x , y) = e"Jr -- y e"" en tout point (x , y) de [R d) est de classe C1 sur IR2 car les fonctions dérivées partielles D1g et ng, par rapport à x et y rg:spectivement, définies par D1g(x , y) = -- y e :'et ng(x , y)= e J'sont continues sur IR 6. La fonction Fa a) est définie sur [R pour tout a > 0, puisque la fonction g est définie sur IR2 b) est définie sur IR* pour tout a < 1 c) n'est définie et continue que sur [a, +oc[ , pour tout a > 0 (1) n'est définie que pour a < 1 7. La fonction F,, est a) croissante pour tout a > 0 b) décroissante pour tout a > 0 c) défivable sur [O,+oc[ et on a F,; (x) = - ( f, (x))2 v (x , a) 3 [0,+oe[2 d) défivable sur ]O,+oc[ et on a Fa' ( la) = la2 pour tout a > 0 8. Pour tout a > 0, on a pour tout x 3 [O,a]: a) a ..<. x + fi,(x) b) 1+ln(a).<. x+ fi,(x) c) Fa' (x) ..<. a/e d) F,,' (x) .<. a2 e"' 9. Pour tout a appartenant à l'intervalle [l ,e[ et pour tout un 3 [O, +oc[, on a: a) V n 3 N | un -- ! |< | uo| (a2 e "')" terme général d'une suite qui converge vers 0 b) | un +1 -- u;...| < (ale)" | u1--uo| terme général d'une suite convergeant vers 0, donc la suite (un) est convergente e) V n 3 N | u2n +1 --la | < | u;-- --la | (a/e)" terme général d'une suite convergeant vers 0 d) La suite extraite (u;,,) est croissante et majorée, donc convergente 10. On suppose dans la suite de cette partie 1 que a = e. On a alors : a) Vx3 [O,+OE[xSFAx)et Fa(l)=Fa'(l)=l b) Vx 3 [O,+oc[ Fa (x) S x et Fa' (x) _<_ 1 c) Vx 3 [0,1[ U ]1,+oc[ (Fa (x) ----x) (x -- l) > 0 d) Vx 3 [0,1[U]1,+OE[ (Fa (x) --x) (x-- 1) <0 11. On considère la suite (v..) définie par : , . vo=uo et VnaN v,,+1 = Fa(vn) La suite (v") est a) croissante et ne tend vers 1 que si uo .<. 1 b) monotone et converge vers 1 pour tout un c) décroissante et ne tend pas vers 1 si uo < 1 d) décroissante pour n > 1, et converge vers l pour tout uo 12. La suite (un) a) ne tend vers 1 que si uo $ 1 b) est décroissante et ne tend pas vers 1 si uo < 1 c) est Croissante et ne tend pas vers 1 si uo < 1 d) converge vers 1 pour tout uo ' 13. On considère la suite (w.),,..., définie par ; v n 5 N w,, =(1/(un--l)) + (1/(u... -1)). Cette suite (w,,), a pour limite lorsque n tend vers +oc, si elle existe : a) 1 b) --1 c) +oc d) ' ---oc PARTIE II On désigne par mun réel tel que 0 < a; S 5 et par S(æ) l'ensemble des fonctions y de classe C2 sur [O,+oe[ à valeurs complexes vérifiant : Y(O) =Y(2fi) et V x 3 [O,+OE[ y"(x) + 6 y'(x) + (9 +Û)2) y(x) : eSix 14. On a : a) Toutes les fonctions y de S(æ) tendent vers 0 lorsque x tend vers +oc ( b) Pour w= 4, il existe au moins une fonction y de S(4) qui n'est pas bomée sur [O,+oc[ c) Il existe une fonction Y de S(m) telle que pour tout y 3 S(w), la fonction y(x) -- Y(x) tend vers 0 lorsque x tend vers +oe d) Il existe au moins une fonction y de S(æ) qui eSt périodique 15. On note So(a)) l'ensemble des fonctions y de S(æ) telles que y(O) = O. L'ensemble So(w) a) contient un élément et un seul pour tout a) b) contient au moins deux éléments pour un nombre fini de valeurs de a) c) est vide pour certaines valeurs de (0 d) contient un élément et un seul sauf pour un nombre fini de valeurs de w 16. On appelle Y l'élément de S(4) tel que 2 Y '(0) + 1 = 0. On note, pour tout x positif ou nul, Y 1 (x) la partie réelle de Y(x). La fonction Y], ainsi définie, est telle que : a) Vn3N Yl(mt)=0 b) v n 3 N Yl(mr /2) = Y.(0) 53" c) Les points x,, = (2n+l)n /2, n 3 N* sont des extrêma de Y 1 d) Les points x" = ( 4n+1)1t /4. n 3 N sont des extrêma de Y1 17. On revient au cas général où ma ]0,5]. On constate que pour tout y 3 S(æ), la fonction | y(x)| a une limite L(y) quand x tend vers +oc. On a alors a) L(y) est une fonction, non constante, de y'(O) _ b) La fonction qui à x associe L(y) e5ix appartient à S(co) c) L(y) < 1/6 pour tout y 3 S(æ) et tout wa ]0,5] d) L(y) = l/| a?-- 16 +611 pour touty 3 S(w) PARTIE III 18. Les racines cubiques de 1 sont a) --l ; (l--zVî)/2 ;(--l--zVî)/2 b) 1 ; (l--zVî)/2 = z; et zz conjugué de zl c) --1 ;(l+zVî)/2 ;(--1+NÎ)/2 d) 1 ; (1+Nî )/2 ; (--'--1--zVî)/2 On désigne par j une des racines cubiques non réelles de 1 et on pose Z=1+j221/3+J-41/3 19. Les complexes y et z vérifient : a) z=y2 et yz=21/3--1 b) z=y et yz=1--2ll3 c) |yl= '2IB-1et lzl=lfl=2"£1 d) |2| et |yl sont supérieurs à 1 20. Le nombre x", pour tout n entier strictement positif, peut s'écrire sous la forme x" = a,, + b,, 2... + c,, 41/3 où (au), (b"), (en) sont des suites de réels telles que : a) (a,,), (b"), (en) sont des suites d'entiers strictement positifs b) au moins une des suites contient des nombres réels non rationnels c) a... = a,, + 2b,,+ 26,,; bn+l = a,, + b,,+ 2"2 c,,; c... = a,, + b,,+ c,, V n 3 N' (1) a,... = a" + 2b,,+ 20,,; b... = a,, + b,,+ 20,,; c... = 2a,, +26,,+ C" V n 3 N* en (a"), (b"), (c,,) sont les suites définies dans la question III. 20, on a la relation matricielle X... = A X,, avec 122 a)A=112"2 111 11 mA=21 1 2 122 c)A=112 111 2 d)A=ll 22 22. La matrice A, définie dans la question III. 21, est : a) inversible car det A = 3 b) inversible car det A = --1 c) inversible car son déterminant est à valeurs non entières d) non inversible car son déterminant est non nul 21. n Pour tout n entier strictement positif, si l'on désigne par X.. la matrice unicolonne (bn) , Où _ _ .h--'NN 23. La matrice A, définie dans la question III. 21, est a) symétrique car elle est inversible b) de rang 3 donc symétrique _ ' c) de rang au moins égal à 2 car les deux premières colonnes sont indépendantes d) de rang inférieur ou égal à 2 car A n'est pas inversible 24. Pour tout ?. réel le déterminant POL) de la matrice (A --M), où I désigne la matrice unité dans l'ensemble des matrices carrées d'ordre 3 à coeflicients réels et A la matrice définie dans la question III. 21, s'écrit : a) PO.) = -28 +31' +371 --1 b) POL) = -23 +322 +(1+2"')}. +1--2"2 c) POL) = 46 +312 +72 +3 d) P(À) = --13 +32.2 +3}. +1 25. Le polynôme P, défini dans la question III. 24 a) admet trois racines réelles car tout polynôme de degré n à coefficients réels admet n » _ racines réelles b) n'admet aucune racine réelle . c) admet au moins une racine réelle car tout polynôme de degré impair à coefficients réels admet au moins une racine réelle d) admet une racine réelle et deux racines complexes conjuguées 26. Les racines M, Àp_, À3 du polynôme P, défini dans la question III. 24, vérifient, si l'on note 81 : X] + Âz+ Â3; Sz= À]Âg + Â.1Â3 + Â2À3; S3= Â1Â.z Â3 a) 81:32 ;Sz=--3 ; S3=dCÎA=--l b) sl=3 ; s2=-(1 +Vz') ; Sg=detA c) Sl=3 ; Sz=--7 ; S3=3 d) Sl=3;Sz=3 ; S3=1 27. La fonction f a) est dérivable sur [0,1[ puisque continue sur cet intervalle b) est défivable sur ]0,1[ 0) est défivable en 1/(2 I"""), pour p entier positif mais de dérivée discontinue en ces points " (1) n'est pas dérivable en l/(2"°""Ô, pour p entier positif 28. Soit j' la dérivée de la fonction f, si elle existe, on a a) fest au signe de 2px"(l--x) + 2x" - 1 sur ]1/(2W),1/(2"Wb[ b) fest négative sur ]1/(2"P),1/(2IW>)[ c) fest décroissante sur [0,1[ car f est continue en l/(2Up), pour tout p entier strictement positif d) fest une bijection de [0,1[ dans IR+ 29. La foncüon f venfie pour tout p entier strictement positif &) p < f(x) < p+l v x 3 [1/(2"P),1/(2"W))[ b) p--1 < f(x) 

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 ENAC Maths toutes filières 2005 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Tristan Poullaouec (ENS Cachan) ; il a été relu par David Lecomte (Université de Stanford) et Thomas Chomette (Professeur en CPGE). Ce sujet est constitué de trente questions à choix multiple, réparties en quatre parties indépendantes. Chaque candidat doit traiter au plus vingt questions. Dans la première partie (questions 1 à 13), on étudie l'ensemble des suites réelles (un )nN vérifiant u0 > 0 et la relation de récurrence n N un+1 = fa (un ) pour fa : R+ - R+ x 7- ae-x où le réel a > 0 est fixé. On s'intéresse alors au comportement de ces suites et à celui des suites extraites d'indices pairs et impairs (monotonie, convergence, recherche d'équivalents) selon les valeurs de a > 0. La deuxième partie (questions 14 à 17) traite d'une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants (dépendant d'un paramètre) avec second membre. On examine les solutions qui vérifient différentes conditions initiales. Puis l'on passe dans la troisième partie (questions 18 à 26) à l'étude de trois suites réelles vérifiant des relations de récurrence imbriquées, ce qui sert de prétexte à l'étude d'une matrice carrée et de son polynôme caractéristique. Enfin, la quatrième et dernière partie (questions 27 à 30) traite de diverses propriétés d'une fonction f de classe C par morceaux (définie explicitement). Globalement, c'est un sujet assez délicat et, vu sa longueur et la complexité d'un grand nombre de questions (plus particulièrement dans les première et troisième parties), il s'avère très difficile d'en traiter correctement vingt questions dans le temps imparti. En effet, chaque partie est en réalité un petit problème indépendant qu'il faut traiter complètement pour être en mesure de répondre aux différentes questions qui le constituent. Il y a peu de questions vraiment simples, et l'on ne peut la plupart du temps les aborder sans connaître les résultats des questions précédentes... qui ne sont malheureusement pas donnés dans le sujet. Cela complique grandement la tâche du candidat, qui ne peut pas faire d'impasse au sein d'une partie. Indications PARTIE I 1 Pour trouver des contre-exemples, penser à utiliser la valeur a = e, pour laquelle le réel la est aisé à calculer. 2 Appliquer le théorème des accroissements finis à la fonction fa entre deux points bien choisis. Utiliser la stricte convexité de fa . 3 Se servir de la valeur la . 4 Montrer que fa est lipschitzienne. 8 Prendre a = e et x = la . 9 On a montré dans la question précédente que Fa est lipschitzienne. 11 Fa est strictement croissante et admet la pour unique point fixe. 12 Reprendre les idées de la question 11 avec v0 = u1 . 13 Utiliser l'équivalent de un+1 - la établi question 2 ainsi qu'un développement limité au premier ordre en 0 de l'exponentielle. PARTIE II Il suffit dans cette partie de résoudre l'équation différentielle étudiée avec les diverses conditions initiales proposées. PARTIE III 19 Exprimer plus simplement x, y et z sous forme d'inverses en faisant intervenir des suites géométriques. 20 Déterminer des suites entières solution. Les réutiliser par la suite. Utiliser aussi la relation xn+1 = x × xn . 21 Pour la matrice proposé en b, résoudre le système de récurrences associé. PARTIE IV 27 Utiliser une famille de fonctions de classe C sur ] 0 ; 1 [ dont les restrictions définissent f sur différents intervalles. 29 Calculer f (2 -1 p ) pour p N . PARTIE I Établissons en premier lieu quelques propriétés spécifiques à cette première partie. 1. La fonction fa est de classe C sur R+ en tant que composée de fonctions usuelles, et à valeurs strictement positives puisque a > 0. 2. On a fa (x) = -fa (x) < 0 pour tout x R+ : la fonction fa est strictement décroissante, donc injective. C'est alors une bijection de R+ sur son image fa (R+ ) = ] 0 ; a ]. 3. De plus, fa (x) = fa (x) > 0 pour tout x R+ : la fonction fa est donc strictement convexe sur R+ . 4. Le réel la , qui est l'unique point fixe de fa , vérifie la relation a = la ela > 0. De ce fait, 0 < la = ae-la < a. 5. Si u0 6= la , il s'ensuit que un 6= la pour tout n N. En effet, dans le cas contraire, considérons E = n N un = la . L'ensemble E étant une partie non vide de N, il admet un plus petit élément n0 > 1. Comme n0 - 1 / E, on a un0 -1 6= la et f (un0 -1 ) = un0 = la = f (la ), ce qui contredit l'injectivité de fa . On obtient ainsi la propriété voulue en raisonnant par l'absurde. 6. De même, si u0 6= la , il vient un+1 6= un pour tout n N : en effet un 6= la qui est l'unique point fixe de f , donc un+1 = f (un ) 6= un . Donnons maintenant un résultat général sur les suites réelles qui nous permettra d'itérer sans scrupule des inégalités : si une suite réelle (vn )nN vérifie k > 0 n0 N n > n0 vn+1 6 kvn alors la propriété P(n) : vn 6 k n-n0 vn0 est vraie pour tout n > n0 . En effet : · P(n0 ) est vraie puisque vn0 6 vn0 . · P(n) = P(n + 1) : supposons la propriété P(n) vraie au rang n > n0 . Alors vn+1 6 kvn 6 k × k n-n0 vn0 = k n+1-n0 vn0 c'est-à-dire que P(n + 1) est vraie. · Conclusion : par récurrence, la propriété P(n) est vraie pour tout n > n0 . En remplaçant (vn )nN par (-vn )nN , on obtient le même résultat avec les inégalités contraires. Ceci nous permet de comparer (vn )nN à une suite géométrique. Enfin, rappelons quelques résultats au programme de la classe de Mathématiques Supérieures. Soient f une fonction continue sur un intervalle I et à valeurs dans I, et (vn )nN IN la suite définie par v0 I et la relation de récurrence n N vn+1 = f (vn ) Si f est croissante, (f (vn+1 ) - f (vn )) (vn+1 - vn ) = (vn+2 - vn+1 ) (vn+1 - vn ) > 0 pour tout n N : on en déduit par une récurrence immédiate que le signe de vn+1 -vn est constant. Ainsi, la suite (vn )nN IN est croissante si v1 > v0 et décroissante si v1 > v0 . Si f est décroissante, F = f f est croissante et l'on montre de même que les suites extraites (v2n+1 )nN et (v2n+1 )nN sont monotones. Enfin, si (vn )nN converge vers un réel l I, on déduit de la continuité de f sur I que lim vn+1 = l = lim f (vn ) = f (l) n+ n+ si bien que f (l) = l : le réel l est ainsi un point fixe de la fonction f . 1 Pour a = e = 1 · e1 , on note que le = 1 si bien que la quantité le /(1 - le ) n'est pas définie, et que e > le + (le 2 /2) = 3/2 : les deux premières assertions sont fausses. La fonction g : x 7- x ex vérifie g(la ) = a pour tout a > 0. Elle est de plus strictement croissante sur R+ en tant que produit de fonctions strictement croissantes et positives, donc sa réciproque a 7- la l'est également. Enfin, on a a = la ela pour tout a > 0, d'où ln(a) = ln(la ) + la 6 2la - 1 puisque ln(x) 6 x - 1 pour tout x > 0. On en déduit par comparaison des limites que et lim la = + a+ soit la A ln(la ) x+ B C = a+ o (la ) ln(a) D E Noter que les valeurs particulières a = e et x = le = 1 vont nous servir à plusieurs reprises de contre-exemples tout au long de cette partie. Il est bon de les conserver à l'esprit. 2 Pour n N , appliquons le théorème des accroissements finis à la fonction fa entre un-1 et un : il existe un réel vn compris entre un-1 et un tel que un+1 - un = fa (un ) - fa (un-1 ) = (un - un-1 ) fa (vn ) = (un-1 - un ) fa (vn ) Ceci prouve déjà que (un+1 - un )(un - un-1 ) = -fa (vn )|un - un-1 |2 6 0 Autrement dit, deux termes consécutifs de la suite (un+1 - un )nN sont de signes opposés. Nous aurons besoin de ce résultat plus loin, au moment d'étudier la validité de la proposition c. La suite (vn )nN est encadrée par les suites (un )nN et (un+1 )nN qui convergent toutes les deux vers la . Appliquons le théorème des gendarmes : vn tend vers la quand n tend vers +, d'où lim fa (vn ) = fa (la ) = la 6= 0 n la fonction fa étant continue sur R+ . Par conséquent un+1 - un n+ la (un-1 - un ) Pour des raisons de signe, les quantités un+1 - un et la (un - un-1 ) ne sont pas équivalentes lorsque u0 6= 0 et que n tend vers + : on a en effet un différent de un-1 pour tout n N . De même on établit, en appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction fa entre un et la , que un+1 - la n+ la (la - un ) et |un+1 - la | n+ la |un - la | Supposons la proposition d fausse ; on a donc la > 1 et u0 6= la . Dans l'introduction de cette partie, nous avons montré que cette dernière condition implique qu'aucun terme de la suite (un )nN n'est égal à la : n N un - la 6= 0