ENAC Maths toutes filières 2003

Thème de l'épreuve Endomorphismes de l'espace des fonctions continues, polynômes et fractions rationnelles, continuité
Principaux outils utilisés représentation matricielle, division euclidienne, décomposition en éléments simples, prolongements, développements limités

Corrigé

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ECOLE NATIONALE DE L'AVIATION CIVILE ANNEE 2003 CONCOURS DE RECRUTEMENT D'ELEVES PILOTE DE LIGNE EPREUVE DE MATHEMATIQUES Durée : 2 Heures Coefficient: 1 Le sujet comprend : O 1 page de garde, . 2 pages (recto-verso) d'instructions pour remplir le QCM, . 7 pages de texte, numérotées de 1 à 7. CALCULATRICE AUTORISEE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES A LIRE TRÈS ATTENTIVEMENT L'épreuve de mathématiques de ce concours est un questionnaire à choix multiple qui sera corrigé automati- quement par une machine à lecture optique. ATTENTION, IL NE VOUS EST DELIVRÉ QU'UN SEUL QCM 1) Vous devez coller dans la partie droite prévue à cet effet, l'étiquette correspondant à l'épreuve que vous passez, c'est--à-dire épreuve de mathématiques (voir modèle ci--dessous). POSITIONNEMENT ces ÉTlQUETTES Pour permettre la lecture optique de l'étiquette, le trait vertical matérialisant l'axe de lecture du code à barres (en haut à droite de votre QCM) doit traverser la totalité des barres de ce code. EXEMPLES : BON MAUVAIS MAUVAIS X n: x :: xx xx xx xx xx xx xx Xx x x x n ° .; N (J & Ul @ '8 O 'D AXE AXE AXE 2) Pour remplir ce QCM, vous devez utiliser un STYLO BILLE ou une POINTE FEUTRE de couleur NOIRE. 3) Utilisez le sujet comme brouillon et ne retranscrivez vos réponses qu'après vous être relu soigneuse-- ment. 4) Votre OCM ne doit pas être souiilé, froissé, plié. écorné ou porter des inscriptions superflues, sous peine d'être rejeté par la machine et de ne pas être corrigé. 5) Cette épreuve comporte 30 questions, certaines, de numéros consécutifs, sont liées. La liste des ques-- tl0flS hees est donnée au début du texte du sujet. Chaque candidat devra choisir au plus 25 questions parmi les 30 proposées. il est inutile de répondre a plus de 25 questions : la machine à lecture optique lira les réponses en séquence en partant de la ligne 1, et s'arrêtera de lire lorsqu'elle aura détecté des réponses à 25 ques- ÎIOHS, quelle que soit la valeur de ces réponses. Chaque question comporte au plus deux réponses exactes. 6) A chaque question numérotée entre 1 et 30, correspond sur la feuille--réponses une ligne de cases qui porte le même numéro (les lignes de 31 à 100 sont neutralisées). Chaque ligne comporte 5 cases A, B, C, D, E. _ Pour chaque ligne numérotée de 1 à 30, vous vous trouvez en face de 4 possibilités : ) soit vous décidez de ne pas traiter cette question, la ligne correspondante doit rester vierge. ) soit vous jugez que la question comporte une seule bonne réponse, vous devez noircir l'une des cases A, B, C, D. 0 soit vous jugez que la question comporte deux réponses exactes, vous devez noircir deux des cases A, B, C, D et deux seulement. ) soit vous jugez qu'aucune des réponses proposées A, B, C, D n'est bonne, vous devez alors noircir la case E. En cas de réponse fausse, aucune pénalité ne sera appliquée. 7) EXEMPLES DE RÉPONSES Question 1 : 12 + 22 vaut : A)3 B)5 C)4 D)-1 Question 2 : le produit (--1) (-3) vaut : A) -3 B) --1 C) 4 D) 0 . . , , . 2 Question 3: Une rac1ne de lequat10n x -- 1 = 0 est: A)1 B)O C)-1 D)2 Vous marquerez sur la feuille réponse : CZ: _ I:] [=] E:] l A B C D E E:] E:) E:] E:] L:] CII] C: E:] =: _ 2 A B C D E :] C:: :] [: E:] - - [I:] _ :] [=] 3 A B C D E E:: E:] E:] [: =3 Questions liées : 1 à 14 ' 15 à 19 et 20 à' 30 PARTIE I Soit E l'espace vectoriel des fonctions réelles définies sur IR et E1 l'ensemble des fonctions continues sur IR, sous espace vectoriel de E. Soit tp une fonction continue sur IR. A toute fonction f appartenant à El on associe la fonction g définie par : X Vx e IR g(x) = ] (p(t)f(t)dt 0 On définit ainsi une application Lq, de E1 dans E Le : f --9 g Question 1 : 

J d)f(x)= -------°... Vx e R (I (x)l VX E R g(X) = ®(X) + 1 + 1fll®(X)l Dans toute la suite de cette partie, la fonction (p considérée sera définie par : Vx e IR cp(x) = e". On considère l'espace vectoriel 'E3, sous-espace vectoriel de El, constitué des fonctions f telles que f(x) = acosx + bsinx où a et b sont des réels quelconques. Qge_sflgn_lfl_z La famille de fonctions suivantes forme une base de l'espace Lq> (E3) sinx -cosx 1 "------------ + = c v(x) = e --- a) {g,(x) (_)SX Vx e IR b) l . 2 2 Vx EUR IR 8200 = smx __ x smx +cosx 1 v2(x) -- e -------2------- - î VV1(X--) == 1 __ x 1 c) w2(x) = e"sinx Vx e IR d) {ul(x) _ e cosx - Vx e R uz(x) = e"smx w3(x) = e"cosx Question 11 : Reprenant les notations de la question 10 et l'espace vectoriel E3 étant rapporté C C donnée, représente matriciellement la restriction de ch à l'espace E3lorsque % (E3) est à la base (fl, f_,_) avec fl(x) = cosx et f2(x) = sinx, la matrice ( ] où C est une constante rapporté à la base : a) (gl, 82) b) (V1, V2) C) (ul, 112) (1) (W1, W2a W3) n étant un entier donné, on désigne par Pn l'espace vectoriel des fonctions polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à n. On considère les fonctions uo(x) = e" - 1, ul(x) = xe" , ....... , un(x) = x"e" Question 12 : Pour p entier naturel, la fonction gp image par Lçp de la fonction fp(x) = x" vérifie : a)go=-u0 b)go=uo <=)gp==-u]D d)gp=up-pgppreN' Question 13 : Pour p 6 N la fonction gp définie àla question 12 s'écrit, AZ"' désignant le nombre d'anangements de (p-k) éléments parmi p éléments : P a) g" = uID - up_l Vp & N° b) g" = 2(-1)"°"A3"'uk + (--1)" k=0 P P o) gp = 2(-1)""A£*uk d) g,, = 2(-1)°"'p!uk + <--1)° k=° k=0 Question 14 : La matrice de la restriction de l'application Lq, à ?,, par rapport àla base ' canonique de P,, et à la base (u0, ...... , un ) de L'" ( R,) est a) Carrée d'ordre (n+l) et diagonale b) triangulaire supérieure et carrée d'ordre n c) inversible car de déterminant égal à (-1)... d) de déterminant égal à 1 donc de rang n. PARTIE II -4x4 + 12x3 -34x +26 = 0 Question 15 : Le système d'équation : 3 2 a pour solution : -12x + 46x -- 34): = 0 17 a) x= 6 b) x = 2 c) x=O d) x=l Question lé : Le nombre complexe zl est racine du polynôme P : 17 . . . . &)Zl=-6--(l+l) b)zl=l-1 C)Zl=2(l+l) d)Zl=lÔZ(I--I) Question 17 : Le polynôme P est divisible par le polynôme Q défini par : l 7 a)Q=13 -2X+X2 b)Q=l3---3--X+Xz c)Q=l3 --4X+X2 d)Q=--1Êî-L7--X+X2 18 3 Question 18 : La fraction rationnelle î(125 se décompose en éléments simples sur le corps des réels sous la forme : 2x + --7-- x --5-- a) _815_ ____36__ _ ___1_&__ 5kx2 --1-Zx + l--8--9-- x2 4x + ê--6-Ê- 18 189 1 )_(_____ 2x + 7 2x + 3 ) 85x-2x+2 x2-4x+13 3x + 2 3 1 C) -- ___---- + "__--z-- -- __"-- 316x2--l-lx+l3 (X'4) x-4 A _ Question 19 ; A étant un réel positif fixé, l'intégrale I = J--1--dx vaut: 0 P(x) 17 189 1 Az'îA+Tg" 3 17 5 &)I=--'ln--------------3--6--g-- +--Arctm(A---)-_ 189 ?. 1 (A2'l3ZAH3Ï'W " 17 13 bI=---l------------------+zm :_--- ) 36 'A-4 ctan(A 6) A--4 1 A'-4 +1 ! - c) 1 = --[\n(------£----£] - 9Arctan(A-l) + lArctanê----2- -2--15 + lArctan-g-- + 1n_2_J 85 A2-2A+2 13 3 4 13 3 13 1 A2--2A+2 7 A-2 911 7 2 2" dI=--l----------+9Art A-1---Art------+------Art---l-- ) 5[n(A2-4A+13] °an( ) 3 ca" 3 4 3 can3 n13] PARTIEIII Soit f la fonction de la variable réelle définie par f(O) = O, ; f(l) = --1 ; f(-1) = 1 2t etVt & IR - {--1,0, 1} f(t) '=1 t21n|t| Question 20 : La courbe représentant f dans un plan rapporté à un repère orthonormé d'axes x'0x, y'Oy est symétrique par rapport : a) au point (0, 0) car f est paire b) au point (1, -1) c) à la droite x = 0 car f est impaire d) à la droite y = 0 Question 21 : La fonction f a) est continue sur R car une fonction définie en tout point de R est continue sur R b) n'est pas continue en 0 car ln n'est pas définie en 0 c) est continue sur R d) est continue sur R - {-1, O, 1} Question 22 : La limite de f(t) lorsque t tend vers - ce a) n'existe pas b) est nulle c) est égale à - oo d) est égale à + oo 1 Question 23 : Pour tout t e R *, on peut écrire f(t) sous la forme 1 l 1 1 1 2 _ = _ -- = --- = - -- = ----------l a) 'Ü f... b) @ f(t) c) 'Ü f(t) d) f(t) { 1) nl Question 24 : La limite lorsque t tend vers 0, de la fonction -î--f(t) a) est nulle et la courbe est tangente à l'axe x'Ox au point (0, 0) b) est égale à +oo c) est égale à --oo d) n'existe pas Question 25: Le développement limité à l'ordre n, n e N * de la fonction t +----> tlnt au voisinage de 1 s'écrit, la fonction £(t) tendant vers 0 lorsque t tend vers 1 a) t(t-l) - t(t'21)+ ......... +(1)"""fi"+ +(t 1) £(t) 2 £3_ . n tn b)t-3+ ....... À+(-l)n'l « * c) t(t--l) + tu? + + ":D +(t-1)"e(t) 2 n (H,) + ....... +..." "un] +(t 1) 8(t) + t"8(t) d) (t-1) + f(t) + 1 Question 26 : Le développement limité à l'ordre 2 au voisinage de 1 dela fonction t 1 a)l+£--t2 -b)t+t2 6 2 . "1 (t ") +(t -1)'e(t) avec 1Æoe(t) = o d) 3--53 + (t -'1) est Question 27 : La fonction f est a) dérivable sur IR* b) dérivable sur IR car continue sur tout point de IR et a pour dérivée si elle existe2 c) f(t)= |2_tt_--Î----(|(ll+ îî-...lnltl t2 pourt & IR ---,{11} et f(l)= = --f'(-l) 2 d) f(t)= 2..." ' 22+)[1nlt| "" )} pourt & lR' -{-1,1} etf(l) = o = f(-1) (++) ... Question 23: Ona , a) 0Vt & IR: b) (p'(t)>0Vt & lRl -- {l} etq>'(l) = o) (p est croissante puis décroissante sur R:, d) (p est strictement croissante sur R:, QEEURS_fiOEJÀL La fonction f' est a) positive sur ] O, 1 [ et négative sur ] 1, +oo [ car il en est de même de (p b) négative sur ] O, 1 [ et positive sur ] 1, +oo [ car de même signe que (p et la fonction f est c) négative sur IP. d) négative ou nulle sur R: et positive ou nulle sur ] - oo, 0 [ Question 30 : Soit g la fonction de la variable réelle définie par g(x) = tan(2x) ln ltanxl On a a) g est définie sur IR --\ {k -Ï-} ; paire et n--péfiodique keZ b) g est définie sur IR - {(2k +l) %} ; impaire et 27c-périodique keZ c)lin;g(x) = 0 car ltllim f(t) = 0 x-->--2- --->+oo (1) g est prolongeable par continuité sur IR

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 ENAC Mathématiques toutes filières -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Jean-Julien Fleck (ENS Ulm) ; il a été relu par Pierre Nolin (ENS Ulm) et Thomas Chomette (ENS Ulm). Ce sujet offre un bon panorama du programme de première année : · L'algèbre est introduite par le biais d'une application définie sur l'espace des fonctions continues. On s'intéresse notamment aux conditions portant sur sa réciproque, à sa représentation matricielle restreinte aux fonctions trigonométriques ou aux polynômes de degré inférieur à un entier n. · Les questions centrales sont consacrées aux polynômes et fractions rationnelles : division euclidienne, décomposition en éléments simples, intégration, etc. · L'analyse, quant à elle, est omniprésente à travers les prolongements par continuité ou les développements limités. Ce sujet n'est pas particulièrement difficile, mais les démonstrations rigoureuses sont longues à écrire, si bien que, le jour du concours, il faut savoir utiliser aux maximum les astuces pour sélectionner la bonne réponse. Indications Partie I g . ln(1 + g ) 6 Prendre la dérivée de la partie de f qui est susceptible de changer de signe et dresser son tableau de variations. 5 Remarquer que f = 9 Vérifier d'abord que g s'annule bien en 0. 10 Vérifier la condition d'annulation de g puis chercher les antécédents. 11 Écrire les images de f1 et f2 dans chaque base (v1 , v2 ) et (u1 , u2 ) pour voir laquelle convient. Partie II 15 Utiliser (et démontrer au besoin) que si p/q est racine d'un polynôme avec p et q premiers entre eux, alors p divise a0 et q divise aN . N P an xn n=0 16 Quel rapport y a-t-il avec la question 15 ? Poser X = x (1 + i). 17 Procéder à la division euclidienne de P par le polynôme déduit des racines trouvées à la question 16. 18 Les valeurs en 0 et en l'infini suffisent à choisir parmi les solutions proposées. 19 Faire apparaître des intégrales connues. Partie III 21 Vérifier que f se prolonge bien en -1, 0 et 1. 25 Écrire le développement limité de ln(1 + x) et exprimer le tout en fonction de (t - 1). 26 Développer le numérateur à l'ordre 4 et rechercher des simplifications. 30 Chercher le lien avec les questions précédentes (notamment en écrivant tan 2x en fonction de tan x). Partie I 1 La fonction g appartient à Im L si elle vérifie Z x g(x) = (t) f (t) dt avec f E1 0 Par conséquent, elle est continue et dérivable en tant que primitive d'une fonction continue et g (x) = (x) f (x) Dans le cas où (elle aussi continue) ne s'annule pas, f = doit être continue sur R, c'est-à-dire g est bien définie et g E1 Si s'annule, g = f doit s'annuler aux mêmes points et geable par continuité en ces points car f est continue. A B C D g doit être prolon E Notons que la proposition A est nécessaire au fait que g appartienne à Im L , mais pas suffisante. Comme il y a déjà deux réponses correctes et que le mode d'emploi précise qu'il y a 0, 1 ou 2 réponses correctes à une question, c'est une condition nécessaire et suffisante qui était attendue. Dans le cas où s'annule sur un intervalle entier, il est difficile de parler de prolongement par continuité. L'énoncé aurait gagné à être plus clair et écarter ces cas. 2 Dans le cas où g(x) = ex - x - 1 et (x) = 1 + x2 - 1 (qui s'annule en 0), g (x) = ex - 1 x 0 (x) = 1 + x2 - 1 et = 1+ Soit (x) Par conséquent, et x2 0 2 g 2 (x) 0 x x2 + o x3 - 1 2 g n'est donc pas prolongeable par continuité en x = 0. La fonction g ne vérifie pas la condition de la question 1. x2 x3 Dans le cas où g(x) = + et (x) = ln(1 + x + x2 ), s'annule en x = 0 et 2 3 en x = -1. En outre, et (x) = ln(1 + x (1 + x)) En x = 0 (x) x et g (x) x (x) -(1 + x) et g (x) -(1 + x) g (x) 1 0 et g (x) 1 -1 0 En x = -1 -1 d'où Ainsi, g (x) = x (1 + x) 0 -1 g g g est prolongeable par continuité aux zéros de avec (0) = (-1) = 1. g vérifie la condition de la question 1. A B C D Pour ce dernier cas, on pouvait aussi remarquer que l'équivalence ln(1 + u) u. E g g = et utiliser ln(1 + g ) 0 3 Il a déjà été montré à la question 1 que si g appartient à Im L , alors f (x) = A B g (x) C D E L'énoncé suppose implicitement que ne s'annule pas sur un intervalle tout entier. Il est assez facile de trouver des contre-exemples pour invalider les autres propositions. En posant x R on obtient (x) = 1 et f (x) = cos x g(x) = sin x ce qu'aucune des propositions A, B ou D ne vérifie. 4 On a vu dans le second cas de la question 2 que g / est prolongeable par continuité en 0 par la valeur 1 donc f= g est prolongeable par continuité en 0 par la valeur 1. A B C D E