ENAC Maths toutes filières 2002

Thème de l'épreuve Polynômes de Tchebychev, bases de polynômes. Intégrales de Wallis.
Principaux outils utilisés récurrence, équations différentielles, matrices

Corrigé

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J. 1968 ECOLE NATIONALE DE L'AVIATION CIVILE ANNEE 2002 CONCOURS DE RECRUTEMENT D'ELEVES PILOTE DE LIGNE EPREUVE DE MATHEMATIQUES Durée : 2 Heures Coefficient : 1 Le sujet comprend : . 1 page de garde, . 2 pages (recto--verso) d'instructions pour remplir le QCM, . 12 pages de texte, numérotées de 1 à 12. CALCULATRICE AUTORISEE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES A LIRE TRÈS ATTENTIVEMENT L'épreuve de mathématiques de ce concours est un questionnaire à choix multiple qui sera corrigé automati- quement par une machine à lecture optique. ATTENTION, IL NE vous EST DÉLIVRÊ QU'UN SEUL QCM 1) Vous devez coller dans la partie droite prévue à cet effet, l'étiquette correspondant à l'épreuve que vous passez, c'est-à--dire épreuve de mathématiques (voir modèle ci-dessous) POSITIONNEMENT DES ETIQUETTES Pour permettre la lecture optique de l'étiquette, le trait vertical matérialisant l'axe de lecture du code à barres (en haut à droite de votre QCM) doit traverser la totalité des barres de ce code. EXEMPLES : BON MAUVAIS MAUVAIS X X X X X'! >'X XX XX XX XX XX X)! X X X X 68L99bEUR3 LO Il" AXE AXE AXE 2) Pour remplir ce QCM, vous devez utiliser un STYLO BILLE ou une POINTE FEUTRE de couleur NOIRE. 3) Utilisez le sujet Comme brouillon et ne retranscrlvez vos réponses qu'après vous être relu soigneuse- ment. 4) Votre QCM ne doit pas être souillé, froissé, plié, écorné ou porter des inscriptions superflues, sous peine d'être rejeté par la machine et de ne pas être corrigé. 5) Cette épreuve comporte 30 questions, certaines, de numéros consécutifs, sont liées. La liste des ques-- tions liées est donnée au début du texte du sujet. Chaque candidat devra choisir au plus 25 questions parmi les 30 proposées. Il est inutile de répondre à plus de 25 questions : la machine à lecture optique lira les réponses en séquence en partant de la ligne 1, et s'arrêtera de lire lorsqu'elle aura détecté des réponses à 25 ques- tions, quelle que soit la valeur de ces réponses. Chaque question comporte au plus deux réponses exactes. 6) A chaque question numérotée entre 1 et 30, correspond sur la feuille-réponses une ligne de cases qui porte le même numéro (les lignes de 31 à 100 sont neutralisées). Chaque ligne comporte 5 cases A, B, C, D, E. Pour chaque ligne numérotée de 1 à 30, vous vous trouvez en face de 4 possibilités : b soit vous décidez de ne pas traiter cette question, la ligne correspondante doit rester vierge. . soit vous jugez que la question comporte une seule bonne réponse, vous devez noircir l'une des cases A, B, C, D. b soit vous jugez que la question comporte deux réponses exactes, vous devez noircir deux des cases A, B, C, D et deux seulement. ) soit vous jugez qu'aucune des réponses proposées A, B, C, D n'est bonne, vous devez alors noircir la case E. En cas de réponse fausse, aucune pénalité ne sera appliquée. 7) EXEMPLES DE RÉPONSES Question 1 : 12 + 22 vaut: A)3 B)5 C)4 D)-1 Question 2 : le produit (--1) (-3) vaut : A) -3 B) --1 C) 4 D) 0 . , . 2 Question 3: Une racrne de l'equatnon x -- 1 = 0 est: A)1 B)0 c>-1 D)2 Vous marquerez sur la feuille réponse : E.": _ [: [: [::l 1 A B C D E E:! [II:] III:] @ E:! E:] [:::] [=] E:] _ 2 A B C D E [:=] [: E:] E [:=] _ [:D _ [: [III 3 A B C D E [::] ÈÎÎ1 [:D E:] [:::l Questions liées: 1 à 16 17 à 25 26 à 30 PARTIE I Dans toute cette partie le corps de base est celui des nombres réels; on désigne par E (x) la partie entière du nombre réel x et par n un entier naturel. Question 1 Soit un polynôme de degré n à une indéterminée à coefficients entiers de la forme n - - P anx + + ao avec ao := O, admettant une rac1ne rationnelle -- ou p & Z* , q & Z* , p et q étant premiers entre eux ou étrangers. On a alors: q a) p divise an et q divise ao b) p et q divisent ao c) p divise ao et q divise an car q divise an p" d) p d1v1se ao mars pq ne d1vrse pas an ao Question 2 Soit f la fonction polynôme définie par Vx E R f(x) = x3 --x -- 1 a) f admet au moins 2 racines réelles car sa dérivée s'annule en 2 points b) f admet une racine rationnelle et 2 racines complexes conjuguées c) f ne possède aucune racine réelle d) f admet 2 racines complexes conjuguées et une racine réelle dans l'intervalle 1-53 fil ' 3 3 Question 3 Soit x un réel quelconque, on peut écrire cos (nx) sous la forme Pn( cosx) où Pn est un poly-- nôme à une indéterminée. a) de degré n + 1 à coefficients entiers relatifs b) de degré n à coefficients réels non entiers c) de degré n à coefficients entiers relatifs d) unique car l'application cos est surjective de R sur [--1,1] Question 4 Le polynôme Pn défini dans la question 3 s'écrit pour n = 0 &) PO(X) : X wæm=l 2 et pour n = 1 c) P1(X) : 2X2--1 d) P1(X) = X Question 5 On a la relation, pour tout réels a, b a) cosacosb : 2(cos(a+ b)--cos(a-- b)) b) cosacosb= l(cos(a+b)--cos(a--b)) 2 et la suite (Pn) " E N définie dans la question 3 vérifie, pour tout entier n strictement positif. c) P...(X3--Pn_lm= 2XP,,(X) d>Pn+loo +Pn_l(X)= XPn(X) Question 6 Cette suite de polynômes (Pn)n & N est telle que: k "_ k a) Pn(X) : X"-CÏX"'2(1--X2) +...+(--1)Cn2kX 2k(1--X2)+... et Pn est impair 31 n est pair b) le coefficient de X n est, pour tout entier n non nul, 2 2k _ CO+C +...+C +...=2"1 n ïl n c) Pn(-1) : (--1)"'1 Vne N* d) Pn(O) = (--1)" Vne N Question 7 Pour tout entier n strictement positif les racines xk de ce polynôme Pn sont: 1: kTC a) ---- +-- où k estun entiertel que OSkSn--l 271 n n 2k7t \ . . b) ---- + ---- ou k est un entrer est un ent1er tel que 0 .<. k S n -- l 211 n c) des réels n'appartenant pas à l'intervalle [--l, l] d) les n réels de l'intervalle ]--1 ,l[ définis par xk : cos (Â + 15--75) où k est un entier tel 2n n que 0 5 k S n -- 1 Question 8 Supposons n 2 2 , on note pour k entier tel que 0 S k 5 n --- 2 , x k les racines de Pn et y k celles n_l,onaalorsz a) xk+l>yk>xk b)xk+l>xk>yk TC kTC TC (k+1)1t +------_--- 2(n--l) n--l 2n " yk>xk+1 car " + k1c__7_r__lg >O 2(n--1) n--12n " TC + k7t_£_ k+11t >0 2(n--l) n--12n " et d) xk>yk>xk+1 car 11: knnkn<0 et 2(n--1) n--12n " Question 9 La fonction fn définie sur R par fn(x) : cos(nx) a) forme une base de l'espace des solutions de (E n) b) est une solution de (En) pour tout n e N c) vérifie l'équation (En) uniquement pour n E N* d) vérifie l'équation différentielle y" -- n2y : O pour tout n EUR N Question 10 Si on pose X : cos x on obtient pour y fonction de x 2 dy dy a)-- =--X dx2 dX 612 y 22d y d b) _ : sin 2----x --cosx--y- dx2 dX2 dX et l'équation (En) est transformée en l'équation (En) de la forme, d'y c) (1+X2)-------- -- dy+n2y= 0 cpf dX d2y d)(l--X2)-------- -- +n2y= 0 dX2 dX Question 11 Pour tout n ,entier naturel, la fonction polynôme Pn définie àla question 3 a) est solution de (En) b) est solution de (En) car (1 + x2)P"n(x)--xP'n(x) + n2Pn(x) = 0Vx & R c) ne vérifie ni (En) , ni (En) d) vérifie (En) car Vx e [--1 ,1] (1 + x2)P"n(x)--xP'n(x) + n2Pn(x) = E(Hl Question 12 2 Pour tout entier naturel n , on considère la fonction polynôme Qn(x) : 2 an'k x Si Qn est solution de l'équation (E 'n) , définie àla question 10, les coefficients an, k vérifient pour tout k compris entre 0 et E (g) . a) (n --- 2k)(n --2k-- l )amk + (n -- 2k+ 2)(n--2k+ l)an,k_ 1--(n -- 2k)amk + n2an,k : 0 l 1 b) an,k :_ÀÎçn--k(n_2k+2)(n_2k+l)an,k-l C) an,k :_ C d) an,k : Question 13 Pour tout entier naturel n , le polynôme Pn défini àla question 3 est donc de la forme: E a) P,,(X) = 2 k :O H--k (--1)k--1 n--2k--l k n--2k k n n--2k--l k n--2k+l C) Pn(XÛ= (--1) 2 C X këo n--k "'k E(â) k d) P,,(X)= 2 (_1)k n 2n--2k--1 C Xn--2k k=0 n--k n_k Soient p et q, 2 entiers naturels non nuls premiers entre eux (ou étrangers), tels 1 que le rationnel r : 'î--Ë vérifie 0 < r < Î et cos(rrr) EUR © ( @ désignant l'ensemble des nombres rationnels ) Question 14 On a alors: a) q = 2 et cosOE)EUR@ b) 3(u,V)EURZZÏCI ttîu+ttv =g c) qa 3 et El(u,v)EURZth cos(£)= Pu(cos(m)) 61 d) q 2 3 cos(î--) EUR @ car 3vEURZ 3nEUR th cos<-Ë) : (--l)an(cos(m)) Question 15 La relation q : 4k où k est un entier non nul. a) est impossible puisque q = 2 b) est impossible car q est nécessairement impair c) peut être réalisée d) est impossible car Pk(cos(Æ)) : cosE OE @ 4k 4 Question 16 L'égalité q = h entier impair a) ne peut être réalisée Si cette égalité est réalisée on a: b) Ph(cos(î')) = --1 h 0) cos (%) est racine du polynôme Ph. d) cos<%) est racine de 2h_1Xh+ + ah h 1X+ ]: 0 car Ph a un terme constant nul. "? PARTIE II On désignera par E l'espace vectoriel réel R[X] , des polynômes & une indétermi- née & coeficients réels et par F le sous-espace vectoriel des polynômes de E de degré inférieur ou égal à 3. On considère l 'application f qui à tout élément P de E associe le polynôme f(P) défini par [f(P)](X) : P(X) -- P(X --- 1 ) et on note fF la restriction de f & F Question 17 Le sous--espace vectoriel F est de dimension a) 3 b)4 et on a: c) f est une application linéaire de E dans F (1) fF est un endomorphisme de F Question 18 La matrice M de l'application f F par rapport aux bases canoniques des espaces de départ et d'arrivée de cette application s'écrit: 1--11 æM=02--3 00 3 0 000 1000 --1200 1--330 b)M= ("_--___"! 01-11 ClM= 002-3 0003 01--11 002--3 0003 0000 d)M= [___--_"! Question 19 De manière générale, pour des matrices de type (n,p) (n lignes et p colonnes) à coefficients dans le corps K (K = R ou C), on a: a) 2 matrices équivalentes sont semblables b) 2 matrices équivalentes ont même rang et lorsque l'on ajoute à la ligne i 0 d'une matrice de EDÈn,p(K ) la ligne il. multipliée par ?» e K , le rang de cette matrice, c) est inchangée (1) peut être modifié Question 20 Le rang de l'application f F a) vaut 3 car est égal au nombre de colonnes non nulles de M b) est nécessairement inférieur ou égal à 3 car l'espace F est de dimension 3 c) vaut 2 car il y a 2 colonnes de M linéairement indépendantes d) vaut 3 car on peut extraire au plus 3 colonnes ou lignes linéairement indépendantes deM Question 21 Les sous--espaces vectoriels noyau et image de ]} sont tels que: a) dim kerfF= dimF-- rng = 2 c) la famille de polynômes (1,X) forme une base de Im fF d) Im fF est le sous--espace R2[x] des polynômes de degré inférieur ou égal à 2 On considère la famille (AQ,A1,A2 ,A3) des polynômes de E définie par AO : 1 et Vie {1,2, 3} fF(Ai) : iAi_1 avec O racine de Ai. Question 22 Ces polynômes vérifient: a) 0 < degA,£ 3 Vi EUR {O, 1, 2, 3} b) Ai est divisible par X, Vi & {O, 1, 2, 3} c) A2()0 : X(X+ 1) et A3(X) : X(X+ 1)(X+2) d) la famille (AO,A1,A2 ,A3) forme une base de F On note B base canonique de F et .ÿfl la base de F formée à l'aide des polynômes (AO,A 1,A2 ,A3) classés par ordre croissant de degré. Question 23 La matrice de passage P de la base B àla base al s'écrit: 1000 0100 0110 0231 100 011 001 1000 0112 0013 0001 a)P b)P C)P= 1000 0111 0013 0031 d)P= Question 24 La matrice M' de l'application fF lorsque l'on rapporte F àla base .szï s'écrit: 0000 a)M' 1000 0200 0030 100 020 003 b) M' 0100 0020 0003 0000 c) M' PMP"' : 0100 d)M' 0020=P--1MP 0003 0000 Question 25 Soit g l'application définie par g(X') : A l. Vi & {(), l, 2, 3} . On a alors: a) g est un endomorphisme injectif mais non bijectif de F b) g est un endomorphisme bijectif de F car g transforme une base de F en une base de F et la matrice G de g par rapport àla base canonique de F vérifie: 1000 001--3 0001 d)G=P 10 PARTIE III 7t/2 On pose pour tout entier naturel n : In : J sin"x dx 0 Question 26 La suite (In)" E N est telle que: a) 10 = 0 c) In --- In _1 peut être nul pour certaines valeurs de n EUR N* d) In_In--1>O Vne N* Question 27 Pour tout entier n 2 2 on ala relation: 1 8') In : In--2--n+lln 17 b) In: n-lIn--2 --1 C) In : nn In--2 n+1 d)ln= " 1... Question28 Le terme général In de cette suite s'écrit, pour tout entier naturel n &) In = (n+1)10 2p 2 _ 2 (p!)1t _ (2p+1)! b)12p_ (2p)! îet12p+l--mVPEN 2p 2 _ (2P)! _ 2 (P!) C) IZP_W TCCÏIZP+1 ----(2p+l)!VpEURN 2p 2 _ (219)! _ 2 (P!) ("lap--W TCÊÏI2P+1 -- (2p+1)!VPEN 11 Question 29 La suite (In)" E N a) est strictement croissante b) est décroissante et peut être stationnaire et elle vérifie les inégalités c) 12p+1>12p>12p--1 VpEN* d) 12p+1<12p--1 etlzp>lzp_2 VpEN* Question 30 La suite (ln )n E N a) est convergente car les suites (1217 )p & N et (12!) + 1)p E N sont adjacentes b) est dwergente car les suites (Ï2p )p E N et (12p + 1)p & N ne convergent pas vers la meme limite et pour tout entier naturel n , on a, en introduisant le changement de variable x cost 1 c) f0(1--x2)ndx= 12... 1 n d)f0(1--x2) dx= 421 12 IMPRIMER/E NA TIONAL E. -- D'après documents fournis.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 ENAC Mathématiques toutes filières 2002 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Xavier Goaoc (ENS Cachan) ; il a été relu par Sébastien Gadat (ENS Cachan) et Éric Ricard (agrégé de mathématiques). Cette épreuve est composée de trois parties indépendantes. Les deux premières traitent de polynômes, l'une du point de vue de l'analyse et l'autre sous l'angle de l'algèbre linéaire. La troisième partie, quant à elle, étudie une suite définie par des intégrales. D'une manière générale, les questions sont assez mal posées, probablement pour juger du sens critique des candidats. · La première partie, la plus longue, porte sur les polynômes de Tchebychev. Il s'agit de passer en revue diverses propriétés de ces polynômes, puis de les expliciter. On utilise au passage un peu d'arithmétique et quelques propriétés des solutions polynomiales d'une équation différentielle. · La seconde partie s'intéresse à l'application linéaire ( E - E f: P 7- (X 7 P(X) - P(X - 1)) où E est l'espace des polynômes à une indéterminée. On se limite essentiellement à l'étude de la restriction de f à un sous-espace de dimension finie. On y manipule l'écriture matricielle de f dans différentes bases. · La dernière partie étudie les classiques intégrales de Wallis, c'est-à-dire la suite (In )nN définie par Z 2 In = sinn x dx 0 Cette partie fait intervenir quelques outils classiques d'analyse ainsi que des raisonnements par récurrence. Indications Partie I p par q n . 1 Multiplier P q 2 Utiliser la question 1 et le théorème des valeurs intermédiaires. 3 Exprimer Pn en se servant de la formule de Moivre. 6 Utiliser la formule obtenue à la question 3 ainsi que la question 5. 7 Chercher les racines qui se trouvent dans [-1, 1] et conclure en utilisant le degré de Pn . 11 Appliquer le résultat de la question 9. Remarquer qu'une relation entre polynômes vraie sur [-1, 1] est vraie sur tout R. 12 Pour décider des réponses C et D, utiliser le fait que deux suites coïncident si et seulement si elles ont même terme initial et suivent la même relation de récurrence. 13 Montrer que Pn satisfait aux hypothèses du polynôme Qn de la question 12 (pour cela, on peut étudier sa parité) puis en utiliser le résultat. 14 Appliquer le théorème de Bézout. 15 Utiliser le résultat de la question 14. Partie II 17 S'intéresser au degré de l'image d'un polynôme par f . 21 On peut utiliser le théorème du rang. 22 Montrer que les Ai sont définis de manière unique et vérifier les expressions proposées par l'énoncé pour A2 et A3 . 24 Utiliser la propriété qui définit les (Ai )i=0, ...,3 . Partie III 26 Étudier le signe de In - In-1 . 27 Penser à une intégration par parties. 30 Pour montrer la convergence, prouver que la suite (In ) est minorée. Partie I Dans les problèmes I et II, nous identifions implicitement un polynôme et la fonction polynomiale associée. p 1 Considérons un polynôme P à coefficients entiers admettant comme racine, q avec p et q premiers entre eux. On a alors p qn P = an pn + an-1 pn-1 q + . . . + a0 q n = 0 q soit p(an pn-1 + . . . + a1 q n-1 ) = -a0 q n Donc p divise a0 q n . Comme p est premier avec q, il l'est aussi avec q n . En appliquant le théorème de Gauss, on en déduit que p divise a0 . De même, q(an-1 pn-1 + . . . + a0 q n-1 ) = -an pn Et un raisonnement identique permet de conclure que q divise an . A B C D E La réponse C a été écartée en raison de sa justification insuffisante. p , avec p et q premiers entre eux, alors, en q appliquant le résultat de la question 1, p divise -1 et q divise 1. Par conséquent, les seuls rationnels qui peuvent être racines de f sont 1 et -1. Calculons les valeurs que prend f en ces deux points : 2 Si f admet une racine rationnelle f (1) = -1 et lim P(x) = + et f (-1) = 1 Il s'ensuit que la réponse B est fausse, puisque f n'admet aucune racine rationnelle. D'autre part, un polynôme P de degré impair a toujours au moins une racine réelle. En effet, x+ lim P(x) = - x- Il existe donc deux réels a et b tels que P(a) > 0 et P(b) < 0. Comme une fonction polynôme est continue, il suffit d'appliquer le théorème des valeurs intermédiaires pour obtenir l'existence d'une racine réelle entre a et b. La réponse C est donc incorrecte. Pour déterminer si la réponse D est vraie, examinons le signe de f aux bornes de l'intervalle proposé : ! ! 3 2 3 3 2 3 f - = -1<0 et f - =- -1<0 3 9 3 9 Le signe de f étant le même aux extrémités de l'intervalle, f s'y annule un nombre pair de fois, si l'on compte les racines avec leurs multiplicités. Si f a deux racines complexes conjuguées et une racine réelle, cette dernière est de multiplicité 1 (car f est de degré 3). Il en résulte que la réponse D est elle aussi fausse. A B C D E On peut d'emblée écarter la réponse A puisque le nombre de racines réelles d'un polynôme n'est pas caractérisé par le nombre de racines de sa dérivée (considérer les polynômes X2 , X2 + 1 et X2 - 1 par exemple). 3 Fixons n N et exprimons Pn au moyen de la formule de Moivre. (cos t + i sin t)n = cos(nt) + i sin(nt) t R Or (cos t + i sin t)n = n P Ckn ik sink t cosn-k t k=0 E( n 2) Donc P cos nt = 2k k C2k t cosn-2k t n (-1) sin k=0 E( n 2) ou encore cos nt = P k=0 Donc k 2 k n-2k C2k t n (-1) (1 - cos t) cos Pn est un polynôme de degré n à coefficients entiers relatifs. La fonction cos est surjective de R dans [-1, 1]. Par conséquent, si un polynôme Q vérifie t R Q(cos t) = cos nt alors Q coïncide avec Pn sur l'intervalle [-1, 1], ce qui implique que Q = Pn . Donc, pour tout n, Pn est défini de manière unique. A B C D E Les propositions A et B peuvent être rapidement écartées en observant que P0 (X) = 1 et P1 (X) = X. 4 Par définition de Pn , on a P0 (X) = 1 A B et C P1 (X) = X D E 5 Pour commencer, remarquons que les réponses A et B sont fausses. Pour s'en convaincre il suffit de prendre a = 0 et b = 0. La formule correcte, proche de celles proposées, est 1 (cos(a + b) + cos(a - b)) 2 Utilisons-la pour exprimer la relation de récurrence entre les Pn . Fixons n N et t R ; on a cos a cos b = Il s'ensuit que 2 cos t cos nt = cos(n + 1)t + cos(n - 1)t