ENAC Maths toutes filières 2001

Thème de l'épreuve Étude de trois suites liées par récurrence. Étude de la fonction x ↦ (1+sin x)cotan x. Démonstration de la formule de Stirling.
Principaux outils utilisés suites, étude de fonctions, équivalents, développements limités

Corrigé

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J. 4696 ECOLE NATIONALE DE L'AVIATION CIVILE ANNEE 2001 CONCOURS DE RECRUTEMENT D'ELEVES PILOTE DE LIGNE EPREUVE DE MATHEMATIQUES Durée : 2 Heures Coefficient : 1 Le sujet comprend : O 1 page de garde, 0 2 pages (recto-verso) d'instructions pour remplir le QCM, . 9 pages de textes, numérotées de 1 à 9. CALCULATRICE AUTORISEE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES A LIRE TRÈS ATTENTIVEMENT L'épreuve de mathématiques de ce concours est un questionnaire à choix multiple qui sera corrigé automati- quement par une machine à lecture optique. ATTENTION, IL NE VOUS EST DELIVRÉ QU'UN SEUL QCM 1) Vous devez coller dans la partie droite prévue à cet effet, l'étiquette correspondant à l'épreuve que vous passez, c'est-à-dire épreuve de mathématiques (voir modèle ci--dessous). POSITIONNEMENT DES ETIQUETTES Pour permettre la lecture optique de l'étiquette, le trait vertical matérialisant l'axe de lecture du code à barres (en haut à droite de votre QCM) doit traverser la totalité des barres de ce code. EXEMPLES : BON MAUVAIS MAUVAIS ë XXXXXXXXXXXXXXXX 69L9978Zl0 'lh; {Æ AXE AXE AXE 2) Pour remplir ce QCM, vous devez utiliser un STYLO BILLE ou une POINTE FEUTRE de couleur NOIRE. 3) Utilisez le sujet comme brouillon et ne retranscrivez vos réponses qu'après vous être relu soigneuse- ment. 4) Votre QCM ne doit pas être souillé, froissé, plié, écorné ou porter des inscriptions superflues, sous peine d'être rejeté parla machine et de ne pas être corrigé. 5) Cette épreuve comporte 32 questions, certaines, de numéros consécutifs, sont liées. La liste des ques- tions liées est donnée au début du texte du sujet. Chaque candidat devra choisir au plus 25 qUestions parmi les 32 proposées. Il est inutile de répondre à plus de 25 questions : la machine à lecture optique lira les réponses en séquence en partant de la ligne 1, et s'arrêtera de lire lorsqu'elle aura détecté des réponses à 25 ques-- tions, quelle que soit la valeur de ces réponses. Chaque question comporte au plus deux réponses exactes. 6) A Chaque question numérotée entre 1 et 32, correspond sur la feuille-réponses une ligne de cases qui porte le même numéro (les lignes de 33 à 100 sont neutralisées). Chaque ligne comporte 5 cases A, B, C, D, E. Pour chaque ligne numérotée de 1 à 32, vous vous trouvez en face de 4 possibilités : » soit vous décidez de ne pas traiter cette question, la ligne correspondante doit rester vierge. » soit vous jugez que la question comporte une seule bonne réponse, vous devez noircir l'une des cases A, B, C, D. b soit vous jugez que la question comporte deux réponses exactes, vous devez noircir deux des cases A, B, C, D et deux seulement. » soit vous jugez qu'aucune des réponses proposées A, B, C, D n'est bonne, vous devez alors noircir la case E. En cas de réponse fausse, aucune pénalité ne sera appliquée. 7) EXEMPLES DE REPONSES Question1 : 12 + 22 vaut: A)3 B)5 C)4 D)-1 Question 2 : le produit (-1) (-3) vaut : A) -3 B) -1 C) 4 D) 0 . . , . 2 Question 3 : les racunes de I'equatron x -- 1 = 0 sont : A)1 B)O c>-1 D)2 Vous marquerez sur la feuille réponse : [::] _ I:] E:] [: 1 A B C D E E:] E:] E:] E: :: [::] [::] [::] II:] _ 2 A B C D E E E:] [::] [: OE _ =3 _ [::] E: 3 A B C D E [: =1 [:::] I:] E Questions liées : 1 à 10 11 à 19 20 à 32 On considère 3 réels ua, vo, wo vérifiant ua > vo > wo > 0 et les suites (un), (vn), (wn) défi-- nieSpar uo,vo,wo et Vne N 3un+1 : un+vn+wn 3lnvn+1 : lnun+lnvn+lnwn 3 1 1 1 : --+--+-- w u v w n+l n n n 1. Soit f la fonction de la variable réelle définie par f(x) = (x + b + c)3 -- 27xbc où b et c sont des réels strictement positifs tels que b := c. On note f ' la dérivée de f si elle existe : a) f' est positive sur [----(b + c) -- 3JbZ', --(b + c) + l'.../bb] b) f' est négative sur [b + c -- 3JbZ', b + c + 3JË] c) f est maximum en b + c -- 3Jb--c d) f est minimum en -- (b + c) + 3Jb_c 2. Dans le cas où -- (b + c) + 3Jb_c < 0 , le minimum de la fonction f sur R+ est : a) 27bc0 (a+b+c)3--27abc>o d) Va>0 (a+b+c)3--27abc<0 4. Supposant un, vn, wn réels strictement positifs pour n entier fixé, on obtient en prenant b=vnetc=wn &) un+lwn+l>0 en prenant b = l etc : 1 vn wn C) un+l>vn+l d) vn+l>wn+l>o 5 . Pour tout n & N , on peut écrire : &) vn+1 : 3./un+vn+wn b) vn+1 : unvnwn c) u w v2 unvnwn(un+vn+wn) __ : ----------------------u V W n+1 n+1 n+1 unvn+unwn+vnwn n n n d 2 _ unvnwn(un+vn+wn) 2 2 2 1/3 ) un+1wn+l--vn+l "' "(unvnwn unvn + Ltan + Van . , 2 . , . 6. La quantite An : un +1wn +1 -- vn +1 peut, pour tout n ent1er, s expnmer sous la forme 3 3 \ ,, . _ An : Bn[unvnwn(un+vn+wn) --(unvn+unwn+vnwn) ] ou En 5 ecr1t. (u v w )2 n n n a) Bn : 3 (unvn + "'an + vnwn) b) 2/3 B _ (unvnwn) 1 n " 2/3 2 2 ' unvn+unwn+vnwn (unvnwn) (un+vn+wn) +(unvn+unwn+vnwn) +(unvnwn)l/3(un+vn+wn)(unvn+unwn+vnwn) 2/3 C) B : (unvnwn 1 " unvn+unwn+vnwn (u v 2/3( + + )2+( + + 2 n nwn un vn wn unvn "'an vnwn) _ (un+vn+wn)2 (1) B = 3 (unvn + "'an + vnwn) 3 7. Pour tout n & N , le terme unvnwn(un + vn + W") -- (unvn + "an + v,,wn)3 : Cn peut s'écrire: 2 2 3 3 2 2 a) C" : --(unwn -- vn)[vnunwn + vn(un + W") + unwn] 2 2 3 3 2 2 b) Cn : (Ltan -- vn)[--unvnwn + un(vn + wn)--vnwn] et le signe de An est, donc pour tout n E N , 2 c)é alausi nedeu w --v2 doncausi nedeu w --v g g n n n g 0 0 0 d)o oséausinedeuw --v2 PP g n n n 8. La suite (un) est: a) décroissante car (vn --- un) + (wn --- un) < 0 Vn E N b) croissante car u -- un 2 0 Vn & N n+1 et la suite (wn) est: c) décroissante car un(vn -- W") + vn(un -- wn) < 0 un(vn -- W") + vn(un -- wn) d) croissante car wn + 1 ---- wn : ------------------------------- > 0 unvn + "'an + "an 9. Les suites (un) et (wn) sont: a) convergentes car elles sont toutes deux croissantes et majorées b) convergentes car elles sont adjacentes puisque l'on a aussi 2 un+l--Wn+l<ä(un_wn) Vne N et les 3 suites (un) ; (vn) et (wn) c) sont convergentes mais de limites différentes car un > vn > wn Vn G N (1) sont convergentes et ont même limite car un S vn S wn Vn E N* 2 . . . . vo , la su1te (vn) a pour limite, 31 elle converge : 10. Dans le cas particulier où u0wo a) 0 b) ./uovo et dans le cas particulier où u 0w 0 > vî , la suite (vn) est : c) adjacente àla suite (un) d) adjacente àla suite (wn) -11- Soit la fonction f de la variable réelle x définie par f(x) = (1 + sin x)°°oe"x 11. ' f(x) peut s'écrire sous la forme : cotanx In 1 + sin 3) e( ) ( X) b) ln [e(l + sinx)ln(cotanx)] c) ln[(1 + sinx)ln(cotanx)] d) eln(l + sinx)ln(cotanx) 12. a) La fonction x --> sinx est définie sur R, il en est donc de même pour f. b) La fonction x --> cotanx est 1t -- périodique, il en est donc de même pour f. c) f est définie en 0 car lim cotanx : --oo d'où lim f(x) = 0 x---->O x---->O d) f est 11: -- périodique car cotan(n -- x) : cotanx et sin(7t -- x) : sinx 13. La fonction f est définie ou prolongeable par continuité au point : ' 7c &) 5 b) 0 f n'est pas définie ou n'est pas prolongeable par continuité au point : 3% C) Î d)TC 14. Si f est prolongeable par continuité en ces points alors on peut poser : &) f(0) = --1 b) f(2n) = --e 0) f(27t) = i-- _ 31t _ d) f(Î) .. 1 On considère la fonction g définie sur E = ]O, 7: [ U ]Tt, @ [ U ]ê-7--ç, 27t[ par 2 2 g(x) : (cotanx)ln(l + sinx) 15. ' a) La fonction g est prolongeable par continuité sur [O, 2711] b) lim g(x) : --oo 31t x----->---- 2 c) lim g(x) : + oo x-->1r d) lim g(x) : -----1 x-->()+ 16. On a pour tout x appartenant à E : a) (cotanx)' : .12 sm x b) [ln(l + sinx)]' = 1"fîÏîx c) [ln(cotanx)]' : -- sinl2x d) %cotanx : l---- sinx 17. La fonction g est dérivable sur E et : sin 2x ...(1 + 2811136) a) fg' = b) g est monotone sur E c) g n'est pas bornée sur E d) g'(x) > O pour tout x E ]1t, -3--2E [ ' 18. a) La fonction ln(l + sinx) n'admet pas de développement limité à l'ordre 2 au point E 2 car le nombre dérivé de cette fonction est indéterminé en ce point. . b) La fonction cotanx admet un développement limité au moins à l'ordre 2 au point E . 2 Si la fonction g admet un développement limité au moins à l'ordre 2 de la forme g(x) : oc + B(x -- %) + (x -- %)£(x) alors: c) B : ----ln2 d) ou = --1 19. a) La fonction f n'est pas dérivable sur E. Si la fonction f est dérivable sur E , sa dérivée est de la forme : b) f'(x)= "? 8111 2x c) f'M(--f--Î--'ï--)ÿ--"Ë-- "");--î m----------_----(x ")2îx '" 22. On obtient l'encadrement : (b'1"23SÙ) b----a (b--a)3 a>_M "m 12 3 b) _m(b-- 23a) <ÊÎh(X)dX--b--a(h(b)+h(a))S--M(bî2a) 3 e) M...; 23_2 ___---- " "" +12(n--1) 24. La suite (un) vérifie: l 2 12(n + 1) _ b) (un) est croissante et majorée 1 2 12(n + 1) d) (un) est décroissante et convergente __unS-- C) (un+lmun)Z 25. Si la suite (un) est convergente alors la suite (vn) est : a) décroissante et non minorée b) convergente de limite commune avec la suite (un) c) convergente car les 2 suites (un) et (vn) sont adjacentes d) croissante 26. De manière générale : a) toute suite positive et décroissante est convergente b) toute suite négative non majorée est divergente c) toute suite monotone non bornée est convergente (1) toute suite négative majorée par une suite divergente converge 1t/2 _ " On pose pour tout n EUR N In : J sm xdx 0 27. a) 11 = 0 b) 11 :] c)In--In_l<0 VneN* (1) In existe car toute fonction définie sur un segment est intégrable sur ce segment 28. La suite (In) vérifie: a) In : ";11n_2,vn22 b) In : n(n-- 1)In_2,Vn22 c) 1" : nÎ11n_2,vnzz d) I = n(n-- 1)In_l,Vn21 29. On a alors pour tout n & N a) 12n+1 : 0 \ (Zn)! b 1 : ----------------fl: ) 2" 22n+l(n!)2 (2n+1) ...... 3 °)12"+1= 2n ...... 2 d) In : n!10 et 10 =Ï2-° 30. On obtient pour n e N* a) (271 + 2)! > 12" > (2n -- 2)! b) 1>[(2n)!]24 n TC> 2n 24 "(n!)4 2n+1 22(n-- ]) 22n(n')2[(n--1)']2 ) (2n+1)'<12" (2n--1)! d) 22n(În--l)! 2n<<12 <(22n+1)2! [(ïl--1)']222n(71')2 31. Soit ! la limite de la suite (un) si elle existe. Un équivalent de -I--1-- lorsque n tend vers + oo est: 2n e_21 a) 7 b) 0 C) 6-21 6--1 (1) ÎÆ 32. La limite [ dela suite (un) est égale à :

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 ENAC Mathématiques toutes filières 2001 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Emmanuel Delsinne (ENS Cachan) ; il a été relu par Yacine Dolivet (ENS Ulm) et Laurent Thomann (ENS Cachan). L'épreuve est composée de trois problèmes d'analyse. · Le premier problème est une étude de trois suites liées par récurrence. Il fait appel aux notions de suites croissantes, décroissantes et adjacentes. · Le deuxième problème est consacré à l'étude d'une fonction. Il fait appel à la notion de prolongement par continuité. Pour cela, une bonne maîtrise des équivalents et des développements limités est nécessaire. · Enfin, le troisième problème vise à établir la formule de Stirling qui fournit un équivalent de n! au voisinage de +. On étudie au préalable une suite auxiliaire ainsi que la suite des intégrales de Wallis. Cette épreuve est particulière pour deux raisons. Premièrement, c'est un QCM. Une réponse partielle ou en partie fausse ne donne pas de point ; il faut donc être sûr de sa réponse. Deuxièmement, il y a 32 questions mais il ne faut répondre qu'à 25 d'entre elles. Il s'agit de se montrer sage dans le choix des réponses, d'autant plus que, comme nous le verrons, les réponses proposées sont truffées de pièges. Enfin, certaines questions sont très calculatoires (surtout dans le premier problème) et les résoudre prend beaucoup de temps (l'épreuve ne dure que deux heures). Indications Partie I 1 Dresser le tableau de variations de f . 4 Exploiter les résultats de la question 3 en utilisant le fait que pour tous réels x et y, on a sgn(x3 - y 3 ) = sgn(x - y). 6 Poser S = un + vn + wn n Pn = un vn wn Dn = un vn + un wn + vn wn et utiliser l'identité (x3 - y 3 ) = (x - y)(x2 + xy + y 2 ). 7 Développer puis factoriser Cn . 8 Calculer explicitement (un+1 - un ) et (vn+1 - vn ) et se servir de la question 4. 10 Étudier la suite (vn ) grâce aux propriétés de la suite (un wn - vn 2 ) étudiée à la question 7. Partie II 11 Quel est le domaine de définition de f ? 13 Au voisinage de 0, quel est l'équivalent de ln(1 + u) ? 3 , poser u = cos x. Au voisinage de 2 Au voisinage de , poser t = x - . 17 Trouver une expression « simple » de g grâce à la question 16. Chercher ensuite 3 un équivalent de g en , puis sa limite en . 2 18 Poser t = x - pour se ramener à un calcul de développement limité en 0. 2 Partie III 20 Calculer g1 (x0 ) et appliquer le théorème admis à g1 puis à g1 . x-b x-a 21 Poser g(x) = h(x)-h(a) -h(b) et appliquer les résultats de la question a-b b-a 20. P 1 24 Calculer un+1 -un et se servir de la question 23. Utiliser le fait que converge. k2 28 Remarquer que sinn x = (1 - cos2 x) sinn-2 x puis intégrer par parties. 29 Raisonner suivant la parité de n. 30 Exploiter les résultats des questions 27 et 29. 2 31 Calculer eu2n et eun . 4n 2 32 Calculer (I2n ) et se servir de la question 29 pour en trouver un équivalent en +. Comparer alors les deux équivalents de I2n . Partie I 1 Construisons le tableau de variations de f qui est définie et continûment dérivable sur R. f (x) = 3(x + b + c)2 - 27bc x R On a alors f (x) 6 0 De plus, 3(x + b + c)2 6 27bc |x + b + c| 6 3 bc -3 bc - (b + c) 6 x 6 3 bc - (b + c) et lim f (x) = - x- D'où - f -3 bc - (b + c) lim f (x) = + x+ + 0 3 bc - (b + c) - 0 + + + f - Donc, aucune des assertions proposées n'est vraie. A B 2 Si 3 bc - (b + c) < 0, alors f C R+ 3 D E est croissante et atteint donc son minimum en 0. Celui-ci vaut alors f (0) = (b + c) . b et c étant strictement positifs, on a toujours -3 bc - (b + c) < 0. On peut alors raisonner de deux façons : · soit on considère que le cas proposé (-3 bc-(b+c) > 0) est impossible, donc l'hypothèse est fausse et alors, logiquement, les deux assertions sont vraies. · soit il y a une erreur dans l'énoncé : il s'agit en fait du cas où 3 bc - (b + c) > 0. C'est ce dernier cas que nous traiterons. Le jour de l'épreuve, il vaut mieux ne pas perdre de temps avec une question aussi ambiguë. Ainsi, dans le cas 3 bc - (b + c) > 0, étant idonné que -3 bc - (b + c) < i où 0, 0 appartient à -3 bc - (b + c) ; 3 bc - (b + c) . Donc, d'après le tableau de variations, le minimum def surR+ est atteint en 3 bc - (b + c). Celui-ci vaut alors f (3 bc - (b + c)) = 27bc( b - c)2 . Les réponses C et D sont donc fausses. A B C D E 3 La question précédente permet d'affirmer que f admet un minimum sur R+ et que celui-ci vaut, suivant le cas, (b + c)3 ou 27bc ( b- c)2 . Or b et c sont strictement positifs et distincts ; donc ce minimum est strictement positif. On en déduit a > 0 (a + b + c)3 - 27abc > 0 A 4 B C D E Cette question est très mal posée et, qui plus est, admet en fait trois réponses exactes, ce qui est normalement impossible. En effet, la question est divisées en deux parties quin'ont pas lieu d'être: on peut poser indifféremment {b = 1 1 vn et c = wn } ou b = et c = pour démontrer les inégalités sans vn wn que cela change le résultat. On montre, par récurrence immédiate, que pour tout n N, un , vn et wn sont des réels strictements positifs. D'après la question précédente, en posant b = vn et c = wn : 3 (un + vn + wn ) - 27un vn wn > 0 soit 27(un+1 3 - vn+1 3 ) > 0 D'où un+1 > vn+1 1 1 et c = : vn wn 3 1 1 1 1 + + - 27 >0 un vn wn un vn wn De même, en posant b = soit 27 1 - wn+1 3 D'où 1 vn+1 3 >0 wn+1 < vn+1 Par suite un+1 > vn+1 > wn+1 > 0 A B C D E 5 Pour tout n entier naturel, on a : un+1 = 1 (un + vn + wn ) 3 vn+1 = wn+1 = 3 3 un vn wn un vn wn un vn + un wn + vn wn