ENAC Maths toutes filières 2000

Thème de l'épreuve Étude d'une équation différentielle et de ses solutions. Manipulation de matrices.
Principaux outils utilisés équations différentielles, analyse réelle, algèbre linéaire

Corrigé

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ECOLE NATIONALE DE L'AVIATION CIVILE _ CONCOURS DE RECRUTENOENT DYELEVES PILOTE DE LIGNE EPREUVE DE MATHEMATIQUES ; Durée : 2 Heures Coefficient: 1 Le sujet comprend : . 1 page de garde, . 2 pages d'instructions pour remplir le QCM, . 10 pages de-textes, numérotées de 1 à 10. CALCULATRICE AUTORISEE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES A LIRE TRÈS ATTENTIVEMENT L'épreuve de mathématiques de ce concours est un questionnaire à choix multiple qui sera corrigé automati-- quement par une machine à lecture optique. ATTENTION, IL NE VOUS EST DELIVRÊ QU'UN SEUL QCM 1) vous devez coller dans la partie droite prévue à cet effet, l'étiquette correspondant à l'épreuve que vous passez, c'est--à-dire épreuve de mathématiques (voir modèle ci-dessous). POSITIONNEMENT DES ETIQUETTES Pour permettre la lecture optique de l'étiquette, le trait vertical matérialisant l'axe de lecture du code à barres (en haut à droite de votre QCM) doit traverser la totalité des barres de ce code. EXEMPLES : BON MAUVAIS MAUVAIS ËË ë 88L99Y82L0 ' AXE AXE AXE 2) Pour remplir ce QCM, vous devez utiliser un STYLO BILLE ou une POINTE FEUTRE de couleur NOIRE. 3) Utilisez le sujet comme brouillon et ne retranscrivez vos réponses qu'après vous être relu soigneuse- ment. 4) Votre OCM ne doit pas être soulllé, froissé, plié, écorné ou porter des inscriptions superflues, sous peine d'être rejeté par la machine et de ne pas être corrigé. 5) cette épreuve comporte 30 questions, certaines, de numéros consécutifs, sont liées. La liste des ques-- tions liées est donnée au début du texte du sujet. Chaque candidat devra choisir au plus 25 questions parmi les 30 proposées. Il est inutile de répondre à plus de 25 questions : la machine à lecture optique lira les réponses en séquence en partant de la ligne 1, et s'arrêtera de lire lorsqu'elle aura détecté des réponses à 25 ques- tions, quelle que soit la valeur de ces réponses. Chaque question comporte au plus deux réponses exactes. 6) A chaque question numérotée entre 1 et 30, correspond sur la feuille-réponses une ligne de cases qui porte le même numéro (les lignes de 31 à 100 sont neutralisées). Chaque ligne comporte 5 cases A, B, C, D, E. _ Pour chaque ligne numérotée de 1 à 30, vous vous trouvez en face de 4 possibilités : ) soit vous décidez de ne pas traiter cette question, la ligne correspondante doit rester vierge. ' soit vous jugez que la question comporte une seule bonne réponse, vous devez noircir l'une des cases A, B, C, D. - ) soit vous jugez que la question comporte deux réponses exactes, vous devez noircir deux des cases A, B, C, D et deux seulement. ) soit vous jugez qu'aucune des réponses proposées A, B, C, D n'est bonne, vous devez alors noircir la case E. En cas de réponse fausse, aucune pénalité ne Sera appliquée. " 7) EXEMPLES DE REPONSES Question 1 : 12 + 22 vaut: A)3 B)5 C)4 D)-1» Question 2 : le produit (--1) (-3) vaut : A) -3 B) -1 C) 4 D) 0 Question 3: les racines de l'équation x2 -- 1 = 0 sont: A) 1 B) 0 C) -1 D) 2 Vous marquerez sur la feuille réponse : [H [HI [M] M [lw[l [H [H Ü°Ü D°Ü Hull U°U [I°[l M {M IN] Questions liées: [l à 22] [23 à 30] . xchx -- shx Soit f la fonction définie pour tout x réel par f(x) = chx-- 1 lsix=0 où'leR üx$0_ l. Le développement limité aù voisinage de 0 à l'ordre 5 de la fonction chx -- 1 est : ' 2 4 x x 5 &) --î+îz+x EUR(X)_ x2 x4 5 b) -2-- + î +x EUR(X) On obtient alors pour la fonction 1 : chx-- 1 2 1 _ 2 x 5 °) chx--1 " x2(1 12" EUR...) ' 2 ' 1 __ 2 x 3 ® chx--1 _ x2(1 + 12 +x 8(x)) 2. Pour obtenir un développement limité au voisinage de O de f à l'ordre 3 on doit considérer le développement limité de la fonction xchx -- shx : a) à l'ordre 3 'b)' à l'ordre 5 Le développement limité de xchx -- shx 'à l'ordre 6 s'écrit : x3' x5 6 C) ---â--.+ 56 + x £(X) 3 5 6 x x x 6 d) î+ä-Ô+ñô+x EUR(X) 3. Le développement limité de f au voisinage de 0 à l'ordre 3 est donc de la forme : 3 2x x 3 . &) --3---î--ë+x E(X) 3 2x x 3 b) --î+ÿô+x 8(X) La fonction f est continue sur R : _ 2 c) pourl - 3 "d) si et_seulementsj L; ___0_ Dans la suite de cette partie on prend pour I la valeur, si elle existe, rendant la fonction f con-- tinue en O. 4. La fonction f ainsi définie : _ a) est dérivable en 0 puisqu'elle est continue en-ce point b) n'est pas dérivable en 0 car la fonction a été prolongée en ce point c) est dérivable en0car lim @ = z et on a f(0) : 12-- x-->p x 3 3 2 . f(x) --5 d) n'est pas dérivable en 0 car lim : --oo x--9 0 x 5. La courbe (C) représentative dela fonction f. dans le plan rapporté à un repère ortho- normé sera au voisinage de 0 : a) au--dessous de la tangente pour x > 0 b) au-dessus de la tangente pour x < 0 et le point de coordonnées (0, l ) est : c) un point d'infiexion de (C) d) un point de rebroussement de (C) ' 6. La courbe (C) est symétrique : a) par rapport_à la droite x = 0 car f est impaire b) par rapport au point (0, 0) car f est paire comme quotient et différence de fonctions de même parité La fonction ]" dérivée de f, est : shx(x -- shx) (chx - 1 )2 d) positive sur R+* car Vx > 0 shx < x c) définie sur R+*_ par f(x) = 7. La fonction f est : ' a) décroissante sur R+ b) croissante sur R et la limite def en + en est égale à: (:) +oo car" lim thx : l x-->+oo d)l 8. Les asymptotes à la courbe (C) sont: a) les droites y = 1 ety : ---1 = +1 +oo "b) les droites _y x en y=x--1en--oo = --x--1 en +°° c) les droites y y : --x+ l' en --°o et la courbe (C) d) est au--dessus de l'asymptote en + ao car e_x + x -- 1 > 0 Vx & R+* on considère i'é£;£àfim différentielle (È) (c1{x!i)ÿ'(xÿ+{shk)y(àc)m= 5£3h£ 9. Une 1primitive 2 de la fonction sur tout intervalle de R ne contenant pas 0 est s :: chx-- l a) égaÎa'; --u------_l obtenue en posant u : shx b) --ln(lchx-- 1])+a où a E R et la solution générale y de l'équation sans second membre associée à (E) s'écrit, A étant une conStante réelle : ' c) y(x) : A(chx---l) A _ 'd) y(x) : chx--l Vxe R 10. Si l'on note ya la fonction engendrant l'espace des solutions de l'équation sans second membre associée à (E) , une solution particulière y p de (E) s'écrira : yp(x)_= K(x)yo(x) avec K vérifiant sur R+* et R--* : a) K'(x)yo(x) : xshx b) K'(x) : xshx c) K(x) : xchx+shx+B où Be R et la solution générale de (E) sur R+* et R-* est de la forme : d) y(x) : 1+f(x) oùAeR chx -- 11Q L'équation différentielle (E) a) n'admet pas de solution sur R car la fonction a une limite infinie lorsque x chx --- 1 tend vers 0 b) admet une infinité de solutions sur R c) admet comme Solution sur R la fonction y(x) : -- f (x) d) admet la fonction f comme seule solution sur R Soit g une fonction continue sur [G, + e°[ 12. L'intégrale [Z g(t)dt est définie: et) sur'R car g est continue sur R+ et Eg(t)dt = --JÎg(t)dt pour xe R- b) sur R+* seulement _... ._ a" 'n'--+1... . Eg(t)dt--n+lx est. et la quantité 1 : __1 _ n + 1 x c') ' définie sur R* & IJ"; |g(t)dt--at"ldt d) egale a n x 13. On suppose dans cette question que Vxe [O,+oe[ g(x) : ax"+x"el(x) avec a>0,ne N et limel(x) : _O _ x-->0 . x>0v Onaalors: _ 1 t " _ < <_. .. a) °_"Ï"JÂQ 81(t)dt Vx>0 . 1 . bl :dr- " "")--=1 e =Ocarl=e )ÆoOEg" x ; un 1(x) l(ac) n+l +l xâ0 x>0 x>0 a 1 +1 ' , . n+ lx"+ +x" £2(x) avec 82 venfiant et on peut écrire pour tout x > 0 : Jî)g(t)dt : c) lim E2(x) = 0 x-->O x>0 d) 82(X) = 81(x) On suppose dorénavant que g est continue sur R+ et strictement positive sur ]0, + °o[ et on OEæ(t)dr) 1 j;g(t)dt 0 six=0* üx>0 associe à g la fonction G définie sur R+ par G(x) : 14. Soit u la fonction déclasse 'EUR2 sur [D, + °o[ , telle que u" = g et u(0) = u'(0) = 0 . La fonction u est: . a) strictement positive et bijective sur ]0, + co[ b) négative ounulle surR:h ' et on a la relation : c) Vx20 G(x) : %.)ÏÂË d) Vx>0 G(x) : W 15. La fonction G : . a) est strictement positive sur ]0, + oo[ car la fonction xu'(x) -- u(x) est strictement croissante -b) peut s'annuler sur 10, + oo[ c) est continue en 0 car G(x) < x Vx > 0 d) n'est pas continue en 0 car G n'admet pas de limite en 0 16. La fonction G est: a) dérivable sur R+ car u et n' sont dérivablesl _ M(X)u"(X) 2 (u'(X)) c) strictement décroissante sur ]0, + oo[ car u" = g est strictement positive sur ]0, + °°[ b) dérivable sur R+* et Vx> 0 G'(x) : _ n+l +2 d) dérivable à droite en 0 et G'(O) : dans le cas où g vérifie la condition de la : question 13 17. Une fonction g continue sur :[0, + oo[ et strictement positive sur ]0, + °°[ telle que G soit la restriction à :[-O, + «[ de la fonction f, doit vérifier sur R+* : _ a) (x--shx)fig(t)dt+(chx-- 1)g(x) = 0 b) ((2chx--1)x--shx)Eg(t)dt--(chx--1)JÎ)(og(t)dt)ds = c) E(£g(t)dt)ds : 7t(shx--x) avec À.>O d) g(x') = Àchx avec X>O On suppose que g est la fonction définie sur R+ par g(x) : arctan(x + 1) 18. Cette fonction _g est: a) indéfiniment continûment dérivable et strictement positive sur [0 , + °°[ b) continue mais non dérivable s'ur Ï[O , + oo[ ne); continue et--strietemen--t croissante sur [»0 ,--+ eo[-- donc -bijeet--ive- d) continue, croissante mais non injective surj[0 , + °<>[ ' ' 19. On a pour tout x e R+, la relation : &) Ëg(t)dt : xg(x)+£t--â--îdt dt b) JËg(t)dt : (x+ l)g(x)-âln(f+2x+2)+âln2+fi m , + . ,2 c) JÎ)g(t)dt : (x+1)g(ar)--ln %+x+ 1--Z--î 2 ' 2 @ Eïg(f)df = %8(Û+â--ln %+x+1 20. On peut alors exprimer G(x) pour tout x & R*+ sous la forme : 2 { x2g(x)+ln +x+1 a)G(x)= @ 2 )x 2(x+1)g(x)-1n(î +x+l)--% x2 2 x--g(x)+ln +x+1 b) G(x) : 2 (2 )x 2 x TC (x+l)g(x)--ln ,--î+x+l--z 2 x2 x g(x)+x--ln(--+x+l) _c) G(.x) = î 2(x+1)g(x)--ln(ä--+x+1)---1--2E 2 x2g(x) -- x + ln(% + x +1) (1) G(x) ': A 2 2(x"_"2)g(x)----111(%+x+1)--%t " 21. Le développementlinfité au voisinagéde*1,à1'ordre'n;'n'e N* {de1ä"fôfi"ctiôfi"ïëtlnî est de la forme : 2 ' :: t(t-- 1) + + t(t-- 1) 2 n 2 "(:--1)" n(n--l) a) t(t--1)+ +(t--1)"e(t) , (t--l) b) t--1+ 2 t3 n c) t ----2--+...+(--1) n_1 2 + + (-1) '+(t--1)"£(t) + t"è(f) t(t--1) +m+(_l)n_ir(t--1)" 2 n +(t--1)e(t) d) t(t-- 1)-- 22. Au voisinage de Ole développement limité à l'ordre 2 de arctan (x + 1) s'écrit : 2 __ 1 t _ x x 2 a) arctan(x+ 1) -- Ë(Ï_fi+tel(t))dt - Ï_Î+x ez(x) " __ 7: 1 . 1 _ 1: 'x 2 b)aretan(x+1)_z+2j'g t2dt--Z+î--x £2(x) 1+(t+--) 2 et le développement limité de la fonction -G--Î--) au voisinage de 0 est de la forme : TC x2 2 G xz+Î+x 81(x) c) ... = ___-_-- : 1+e(x)etonaG'(0) = 1 ' x %x+xaz(x) 7: 2 2 --x +x sl(x) 2 2 d) G(x) : [j'--_-- : --+e(x) carln(£+x+l) : x+£--+x2£3(x) etona x 11: 2 2 2 2 2 . zx +x 82(x) G' -- 3 ' 2 L'application linéaire f de l'espace vectoriel E de base B E : (el, e2, e3, e4) dans l'espace vectoriel F de base B F = (81, 82, 83) est.définie par f (x, y, z, t) = (X, Y, Z) où X = x--y--Xz+t Y : Àx--y--z+£ %. étant un paramètre réel. On note M la matrice de f Z : --x+ky+(Ü+À--l)z--kt dans les bases BE et B,.-- 23. a) La matrice M ne peut être définie car les espaces vectoriels E et F ne sont pas de même dimension. Si elle existe, la matrice M s'écrit : il --1 b)M= -1--1 2 x --l--1k+k--l 11 --7\.. 1-1 -x 1 c)M= 1-1 -1 1 _1 7l. x2+x_1--x 1 --_1. --7_t 1 7r --1 --1 1 --1xxz+x-1-x o_o o o d)M= 24. La matrice M , si elle existe : a) ne peut être que de rang 4 b) est de rang au plus égal à 3 car M admet 2 colonnes opposées 03 n'est pas une matrice carrée par conséquent son rang est inférieur à inf (dimE, d imF) d) a ses vecteurs colonnes qui forment une base de F On transforme la matrice M , si elle existe, à l'aide des 2 opérations sur les lignes suivantes : L2 -- À.L1 ---> L2 puis L3_ + L1 ---> L3 et on note M ' la matrice ainsi obtenue. 25. a) Toutes les lignes de M' sont proporfionnelles 1 --l --7» 1 b) M' = 0 7L--1À2--1 1->. 'ox--1x2-1i--x 1 ' >. -1 . 2 1--7. 7.-1 >.2--7t--2 1 1 _). d) M' est semblable à M 26. à) Toute opération élémentaire sur les lignes ou sur les colonnes de M ne modifie pas son rang b) La matrice M' sera différente si les 2 opérations sont effectuées dans l'ordre inverse c) M a 2 colonnes opposées et M ' aussi d) M a 2 lignes opposées donc M' aussi 27. . à) dimKerf : 2 pour K2 = 1 b) dimlmf : 1 pour ?» = --1 C) J' est injectif pour ?» = 0 et X = 2 d) f est un morphisme bijectif pour 12 $ 1 On suppose À. : 1 dans les 3 questions suivantes. ' 28. a) x--y --- z + t = 0 est une équation de Kerf b) X : Y : Z sont des équations de Imf c)" Ke rf est un sous--espace vectoriel de F de dimension 3 d) Imf est un espace vectoriel de dimension 1 car rang M = 1 29. Soient les matrices T : l'MM et U = 1M 'M si elles existent: 4 4 a) les produits M 'M et 'M M ne sont pas définis car les matrices M et 'M ne sont pas carrées b) T et U sont des matrices carrées d'ordre 3 c) T et U sont des matrices carrées d'ordre respectivement 3 et 4 d) T = U donc M et 'M commutent 30. Les matrices T et U si elles existent sont: &) réelles et symétriques b) réelles et antisymétfiques et la matrice U vérifie: c) rangU = rang('MM) =(rangM)'°' . 3 ' d) detU = @) (detM)2 car det('M) = detM 10

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 ENAC Mathématiques toutes filières 2000 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Vincent Nesme (ENS Ulm) et Sébastien Desreux (ENS Ulm) ; il a été relu par Yacine Dolivet (ENS Ulm) et Pierre-Yves Rivaille (ENS Lyon). L'épreuve se compose de deux problèmes indépendants. Le premier problème, qui porte sur l'analyse, vise à étudier quelques résultats tournant autour d'une équation différentielle. Il fait appel aux fonctions ch et sh, dont on doit connaître les variations et les dérivées, ainsi qu'aux développements limités et aux intégrales (en particulier le théorème d'intégration par parties). Le second problème est consacré à l'étude sommaire d'une application linéaire entre deux espaces vectoriels ne possédant pas la même dimension. Il fait appel à des manipulations simples de matrices et à des considérations autour du théorème de la dimension. Cette épreuve est particulière pour deux raisons. Premièrement, c'est un QCM. Une réponse partielle ou en partie fausse ne donne pas de point ; il faut donc être sûr de sa réponse, ce qui est d'autant plus difficile que l'énoncé est par endroits ambigu ; il faut alors se demander s'il s'agit d'un piège ou d'une simple négligence de l'auteur du sujet. Deuxièmement, il y a 30 questions mais il ne faut répondre qu'à 25 d'entre elles. Il s'agit de se montrer sage dans le choix des réponses, d'autant plus que, comme nous le verrons, les réponses proposées sont truffées de pièges. Il faut savoir choisir selon son tempérament ; vous sentez-vous plus assuré avec une courte réponse théorique ou une longue réponse calculatoire ? Si les deux vous conviennent, nous vous conseillons d'écarter en premier les questions pour lesquelles au moins l'une des réponses proposées est ambiguë (en particulier les questions 15, 18 et 24). Indications Partie I Avant toute chose, étudier la parité de f . 1 Se ramener à un terme de la forme 1 , où u tend vers 0. 1-u 2 Exploiter la parité de x ch x - sh x. 4 Utiliser la définition de la dérivée en un point. 5 Exploiter les résultats de la question 3. 6 Prendre garde aux justifications proposées. 8 Étudier f (x) - x et utiliser la parité de f . 9 Penser au recollement en 0. 10 Prendre A = 1 pour y0 . 13 Peut-on intégrer les DL ? 14 Intégrer par parties. 16 Utiliser le résultat de la question 13. 17 Utiliser l'expression de f et celle de G trouvée à la question 14. 19 Intégrer par parties. 20 C'est une application directe de la question 19. 21 Se ramener à un développement limité au voisinage de 0. Partie II 23 Utiliser la définition de la matrice associée à une application linéaire. 27 Utiliser le théorème du rang. 28 Les lignes de M sont proportionnelles entre elles ; ses colonnes également. 29 Quand peut-on définir le produit de deux matrices ? 30 Que peut-on dire d'une matrice à la fois symétrique et antisymétrique ? Quand peut-on calculer le déterminant d'une matrice ? Partie I Dans toute cette partie, même si cela n'est pas stipulé dans l'énoncé, désigne à chaque question une application définie sur un voisinage de 0 à valeurs dans R telle que lim (x) = 0 (sauf à la question 21). C'est une x0 fonction « générique », une notation, dans le sens où l'on considère qu'elle peut changer d'une ligne à l'autre pendant le calcul sans que son nom change. Remarquons qu'il faudrait s'assurer que est intégrable, puisqu'on l'intègre dans le sujet. Mais en fait chaque est continue (donc intégrable). Enfin, il est judicieux d'étudier la parité de la fonction f dès à présent. Les fonctions x R 7 x ch x-sh x et x R 7 ch x-1 étant respectivement impaire et paire, f R est impaire. Ce résultat sera souvent utile par la suite. En particulier, dans tout développement limité de f en 0, les termes de degré pair doivent être nuls. 1 La fonction ch est la partie paire de l'exponentielle. Par suite, son DL en 0 à l'ordre 5 est la partie paire du DL en 0 à l'ordre 5 de l'exponentielle, soit ch x - 1 = x2 x4 + + x5 (x) 2 24 Pour calculer le DL en 0 de 1/(ch x - 1), il faut utiliser celui de 1/(1 - u) : 1 = 1 + u + u2 + u3 + . . . + un + un+1 (u) 1-u donc 1 1 1 2 = 2 = 2 2 ch x - 1 x x x4 x + + x5 (x) 1+ + x3 (x) 2 24 12 1 2 = 2 ch x - 1 x soit A B x2 1- + x3 (x) 12 C D E 2 Supposons que l'on ait trouvé un DL en 0 à l'ordre n de la fonction x 7 x ch x - sh x (il se termine par xn (x)). Pour trouver celui de f , il faut multiplier le premier DL par celui de 1/(ch x - 1), dont la partie principale est 2/x2 . Ce faisant, on abaisse de 2 l'ordre du développement limité. Pour obtenir un développement limité de f à l'ordre 3, il faut effectuer un développement limité de la fonction x 7 x ch x - sh x à l'ordre 5. x2 x4 + + x5 (x) ch x = 1 + 2 24 3 5 sh x = x + x + x + x6 (x) 6 120 Au voisinage de 0, Par conséquent : x ch x - sh x = x3 x5 + + x6 (x) 3 30 La réponse d) pouvait être exclue d'emblée car la fonction x 7 x ch x - sh x étant impaire, tous les termes pairs de son DL en 0 doivent être nuls. A B C D E 3 Au voisinage de 0, on a : 3 x5 2 x2 x 6 3 f (x) = + + x (x) 1- + x (x) 3 30 x2 12 2x x3 x2 = + + x4 (x) 1- + x3 (x) 3 15 12 2x x3 x3 - + + x3 (x) 3 18 15 = 2x x3 + + x3 (x) 3 90 f (x) = On en déduit lim f x0 R (x) = 0, d'où : f est continue sur R si est seulement si l = 0. Dans la suite de cette partie, on pourra utiliser f (0) = 0. A B C D E 4 La justification donnée en a) est bien sûr absolument fausse. Par exemple, l'application x R 7 |x| est continue sur R, mais pas dérivable en 0. La justification donnée en b) est également erronée. Par exemple, si g est une fonction dérivable sur R, alors sa restriction à R prolongée en 0 par la valeur g(0) est dérivable sur R, puisque les deux fonctions sont identiques.