X/ENS Modélisation PSI 2020

Thème de l'épreuve Étude d'un hydrofoil
Principaux outils utilisés mécanique des fluides, mécanique du solide, informatique, réduction des endomorphismes, diffusion thermique, électromagnétisme
Mots clefs hydrofoil, foil, stabilité, portance, actionneur, machine brushless

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ECOLES NORMALES SUPERIEURES - ECOLE POLYTECHNIQUE
CONCOURS D'ADMISSION 2020

VENDREDI 24 AVRIL 2020 - 8h00 - 13h00
FILIERE PSI

COMPOSITION de MODELISATION

Durée : 5 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être
une erreur d'énontcé, il le signale sur sa copie et poursuit sa
composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené
à prendre

Etude d'un hydrofoil

PLAN
e Présentation

e Partie A - Etude des surfaces portantes, dynamique du vol et étude de 
stabilité
1- Etude de l'aile portante
2- Choix du profil
3- Conditions d'équilibre et performances de vitesse
4- Modèle dynamique, stabilité

e Partie B - Etude des actionneurs hautes performances
1- Introduction
2- Modèle magnétostatique d'une machine brushless
3- Modèle thermique d'une machine brushless

e Conclusion

Annexe Python

Les différentes parties du sujet sont indépendantes.

Le codage des fonctions se fera en langage Python.

Page 3 sur 27

Présentation

L'intérêt pour un bateau de "déjauger", c'est-à-dire
de sortir sa coque de l'eau, est connu depuis déjà
longtemps. Quand il déjauge, le bateau voit sa
résistance à l'avancement notablement réduite,
augmentant ainsi ses performances en vitesse.

Des logiciels extrêmement puissants ont permis de
faire des calculs aérodynamiques et
hydrodynamiques de plus en plus poussés, créant
des navires incroyablement perfectionnés à une, deux ou trois coques. Mais ces 
bateaux
ont rapidement atteint leurs vitesses limites, car leur surface mouillée reste 
importante.

Présentement, la nouvelle tendance est le
développement d'hydrofoils, un voilier possédant
plusieurs dérives portantes (des foils) qui soulève la
coque grâce à une forme hydrodynamique générant une
force verticale.

Les hydrofoils existent depuis longtemps, mais sont
revenus au-devant de la scène lors de la coupe de
l'America et de la coupe Louis-Vuitton de 2013. En effet,
une faille dans le règlement de ces coupes a permis aux
AC72, immenses catamarans de 72 pieds, d'utiliser des
hydrofoils validant ainsi le concept et faisant rêver des
milliers de marins par le fait même. Depuis, les
hydrofoils sont de plus en plus présents sur tous les
marchés nautiques.

Les plus rapides peuvent dépasser les 50 noeuds (25 m/s ou 90 km/h) pour un vent
soufflant à 16 noeuds (8 m/s ou 30km/h).

Afin de mieux comprendre le rôle des foils, il faut les considérer comme des 
ailes d'avion;
seulement, au lieu d'agir dans l'air, leur milieu d'action est l'eau.

L'objectif de ce sujet est d'établir un modèle qui vérifie cette performance de 
vitesse
(atteindre le triple de la vitesse du vent !) et ensuite d'utiliser ce modèle 
pour déterminer
des conditions d'instabilités
(Première partie), car à ces

vitesses, il s'agit d'un jeu  (éouvernail)
d'équilibre délicat qu'il faut
maîtriser.

---- Foils escamotables.
Lorsque le bateau « vole »,
un seulest immergé.

Ces foils sont orientables.

Üne solution pour contrôler le
vol de ces voiliers est de piloter
l'inclinaison et l'orientation des
foils avant. La maîtrise des
phénomènes physiques qui  70 pour un angle
d'incidence inférieur à 10°

C2 - Nombre de Reynolds

7.10°

C3 - Epaisseur du profil

11% de la corde

Surface de portance

C4 - Longueur de la

corde

Entre 300 mm et 400 mm

Stabilité de l'hydrofoil

C5 - Profil du foil

Symétrique

Figure 6 -

Exigences relatives au choix d'un profil de foil

Question 7 -Écrire une requête SQL permettant de choisir un nom de profil selon 
les

critères C1, C2, C3 et C5 ci-dessus.

Page 8 sur 27

Un profil qui ressort est le NACA0009, dont les courbes caractéristiques sont 
données sur
les figures ci-dessous.

Question 8 - Montrer que l'exigence C1 est effectivement vérifiée.

1,4

1,2

Coefficient de portance Cz

1,4

1,2

Coefficiient de portance Cz
Le Q © ©
N & n ©

OQ

0,16
0,14

0,12

Le
+

0,08

0,06

Coefficient de traînée Cx

0,04

0,02

Courbe polaire du profil NACAOO09

a=12" a=13"

a=11°

a=14.5°
= Ct

27

a=15°

--_--_

sis p

Courbe polaire du profil NACAO0O09
Cz en fonction de Cx

0,04

0,06

0,08

Coefficient de traînée Cx

0,1

0,12

0,14

Coefficient de portance Cz en fonction de l'incidence a

0,16

O

\

N

6

10

12

Angle d'incidence a (degrés)

14

16

Coefficient de traînée Cx en fonction de l'incidence a

18

Figure 7 -

6

8

10

12

Angle d'incidence «à (degrés)

14

16

Courbes caractéristiques du profil retenu

18

Page 9 sur 27

3- Conditions d'équilibre et performance de vitesse

L'étude qui suit porte sur les conditions d'équilibre de ces merveilleux 
bateaux volants.
Les données numériques qui interviennent proviennent de simulations issues de 
modèles
simplifiés ou de caractéristiques réelles des catamarans de la classe F50. 
Elles appuieront
les discussions concernant la possibilité de naviguer au triple de la vitesse 
du vent.

Pour analyser l'équilibre de l'hydrofoil, nous prendrons en compte les forces 
de portance
et de traînée des foils immergés et de la voile soumise au vent ainsi que le 
poids du bateau.

Les figures 8 et 9 précisent le paramétrage choisi : À

Vhateau -- UE,

Surface de l'eau y |

TT : TR a + @
ey DE + æ F
L

-- S Plan matérialisant_D\ __,
e TL D. 7"  lavoile EUR
0 x 2 foils de safran 1 foil principal EUR, V
Figure 8 - Vue de côté et paramétrage Figure 9 - Vue de dessus
G : centre de gravité du bateau Ver est le vecteur vitesse du vent par rapport
P : centre de poussée des forces au sol (vent réel). On note V sa norme.
hydrodynamiques sur le bateau Vipp est le vecteur vitesse du vent par rapport

B : centre de poussée des forces
aérodynamiques sur la voile.

----

au bateau (vent apparent)
a et f sont les angles d'incidence respectifs du

PG = --XGExb foil principal et des foils de safran dans
PS = --xse;p -- Yseyp le repère du bateau
PF = xre,p -- Yreyr p = (e,, exp) angle de tangage
PB = --xpexp + Yreyp Û -- Ex -- Vréet )
Ro(O, ex, y, e;) : repère galiléen lié au sol ÿ = (er, --Voipp )
où ey est vertical ascendant ; Ua = (e, Vapo )
u : vitesse du bateau (m/s) suivant e, y désigne l'élévation du bateau par 
rapport au
Rp (P, Exp, eyp e;) est lié au bateau niveau de la mer (m), au point P.

Page 10 sur 27

Caractéristiques de l'eau, de l'air et du bateau :

Pair : masse volumique de l'air (1,2 kg.m' *)

Peau: Masse volumique de l'eau (1000 kg.m'*)

g : accélération de la pesanteur (10 m.s"*)

m : masse du bateau (Kg)

lp moment d'inertie du bateau autour de (P,e;) (en kg.m"°)

Sp Ssa : Surfaces portantes respectives du foil principal et de safran (m°)
S, . surface de la voile (m°)

C, : coefficient de portance (voile ou foil)

Cr : indique un coefficient de traînée (voile ou foil)

y et @ sont les variables décrivant le mouvement du bateau

Vent réel Cap du bateau

OT A  Y (Allure) : angle entre le vent na est orthogonal à V,,»
apparent et le cap du bateau ñ est orthogonal à e,
Vent apparent Vitesse du : er
bateau À
Vent de face Na
\ei® n
gOÊ
Pet:
Fer petit larg"
-Travers Il 7 Travers -- >
LA c:
Lar £ue
GG Y
?h 7 0
Lo Vréei
e Ua
ey Vapp
Figure 10 - Termes de navigation, définition de l'allure, du vent apparent et 
des angles

On peut voir sur les figures 8, 9 et 10 les vecteurs vitesse :

----------------

du vent par rapport au sol : Véel
du bateau par rapport au sol : ue,
du vent par rapport au bateau: VV,

Cette dernière vitesse, V,,,, est celle du vent apparent, c'est-à-dire le vent 
relatif que

perçoit la voile. L'angle Y formé par la direction du vent apparent et du cap 
du bateau se
nomme l'allure (figure 10).

----

Question 9 -Déterminer V,,, ainsi que sa norme en fonction de V -- Vel, O etu
(vitesse du bateau). Ce vecteur sera exprimé dans la base (e,, e,).

Question 10 -Exprimer VW»: n et en déduire une relation entre u,, 0,w,u et [.

Le résultat sera exprimé sous la forme f (Ua 0, æ) = (0,

Page I1 sur 27

On souhaite résoudre cette équation. Les paramètres suivants sont constants :

e u,:cet angle dépend du choix de la voile,
o - : ce ratio est fixé par la vitesse du vent et celle du bateau.

Question 11 -Écrire une fonction dicho(f,6;,8;,eps), qui renvoie la solution y, 
pour 6

fixé, de l'équation f(06, p) = 0. La méthode choisie est la dichotomie, eps
est la précision recherchée. Vous préciserez l'hypothèse qui assure
l'existence d'une solution unique sur l'intervalle de recherche [8;, O;|.

Ce vent apparent génère une force de portance Fh(ya-voue) Suivant n, (figure 
10).

On rappelle que la surface de la voile est notée S, .

Question 12 -Exprimer la force de traction qui permet au bateau d'avancer :
Fp(va-voue)- e,, en fonction de Diir, Sy, pp | et 6.

Question 13 -Ecrire une fonction Fi(u, V,u,) utilisant la fonction dicho 
précédente, qui
renvoie l'allure Y permettant au bateau de subir une force de traction
maximale.

Le résultat est donné sur la figure 11. Pour cette simulation, nous avons 
choisi u, = 20°,
ce qui correspond aux conditions de portance maximale pour les voiles des 
catamarans
auxquels nous nous intéressons ici.

(Degrés) Composante de traction (N):
Fp(va-voue)- ex ré

90 :

80 | Angle du vent réel 60 4000 |

70: 3500

3000 :
50 :

2500:
40

2000:
30 -

ü allure W jsop:

7 U
CE -- 109 + 700

TT T un 3 7 3 --

U
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 30 00 05 10 15 20 25 3.0

Sie

Figure 11- Variation des paramètres de navigation en fonction de -

Nous cherchons à travers cette étude à confronter notre modéle aux performances
observées, c'est à dire lorsque la vitesse du bateau atteint le triple de celle 
du vent réel.

Les hypothèses retenues sont les suivantes :

o ao1l2
1 Angles faibles : linéarisation des courbes de la figure 7 aux petits ap ° ) 
ve 71
x\(a) -- KÇ;U
angles Ca) =ka
La vitesse du bateau a permis la linéarisation de la force de portance u
H2 -- & 3
sur la voile (figure 11) 4

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ECOLES NORMALES SUPERIEURES - ECOLE POLYTECHNIQUE
CONCOURS D'ADMISSION 2020

VENDREDI 24 AVRIL 2020 - 8h00 - 13h00
FILIERE PSI

ERRATUM

COMPOSITION de MODELISATION

Remplacer les question 11 et 12 par:

Question 11- Écrire une fonction dicho(f,w;, Y, eps), qui renvoie la solution 
ÿY de

l'équation f() = 0. La méthode choisie est la dichotomie, eps est la
précision recherchée. Vous préciserez l'hypothèse qui assure l'existence
d'une solution unique sur l'intervalle de recherche [pi ÿ|.

Ce vent apparent génère une force de portance Fh(ya-voue) Suivant n, (figure 
10).

On rappelle que la surface de la voile est notée S, .

Question 12- Exprimer la force de traction qui permet au bateau d'avancer:
Fp(va-voue)y: EURx, en fonction de Pair, Sy, poil et d.

On souhaite résoudre cette équation. Les paramètres suivants sont constants :

e u,:cet angle dépend du choix de la voile,
o - : ce ratio est fixé par la vitesse du vent et celle du bateau.

Question 11 -Écrire une fonction dicho(f,6;,8;,eps), qui renvoie la solution y, 
pour @

fixé, de l'équation f(6, pd) = 0. La méthode choisie est la dichotomie, eps
est la précision recherchée. Vous préciserez l'hypothèse qui assure
l'existence d'une solution unique sur l'intervalle de recherche [8;, O;|.

Ce vent apparent génère une force de portance Fh(ya-voue) Suivant n, (figure 
10).

On rappelle que la surface de la voile est notée S, .

Question 12 -Exprimer la force de traction qui permet au bateau d'avancer :
Fp(va-voue)- e,, en fonction de Diir, Sy, pp | et 6.

Question 13 -Ecrire une fonction Fi(u, V,u,) utilisant la fonction dicho 
précédente, qui
renvoie l'allure Y permettant au bateau de subir une force de traction
maximale.

Le résultat est donné sur la figure 11. Pour cette simulation, nous avons 
choisi u, = 20°,
ce qui correspond aux conditions de portance maximale pour les voiles des 
catamarans
auxquels nous nous intéressons ici.

0 (Degrés) Composante de traction (N):
L F P(Va-voile): ex
80 Angle du vent réel 0 4000 Va FF

#9 3500:

60 :
3000 :
50 -

2500:
40:

2000:
30-

Sie

b. en LU pal u
Es T o
20 | = Qliure Y 1500 C4 103 -- + 700
nie u ' V
00 05 10 15 20 25 30 00 05 10 15 20 25 3.0
. . . \ . . . u
Figure 11- Variation des paramètres de navigation en fonction de 7

Nous cherchons à travers cette étude à confronter notre modéle aux performances
observées, c'est à dire lorsque la vitesse du bateau atteint le triple de celle 
du vent réel.

Les hypothèses retenues sont les suivantes :

o ao1l2
1 Angles faibles : linéarisation des courbes de la figure 7 aux petits ap ° ) 
ve 71
x\(a) -- KÇ;U
angles Ca) =ka
La vitesse du bateau a permis la linéarisation de la force de portance u
H2 -- & 3
sur la voile (figure 11) 4

Page 12 sur 27

Les actions mécaniques agissant sur les foils s'expriment ainsi :

= PeauS a.u" (key = ky1EURx
{Thpp} = 42 P _ ? action de l'eau sur le foil principal,
0
F

Sa U*(k,2ey -- Ky2ex
{Tp_ors} = fre saP-u (k2 #0) action de l'eau sur les 2 foils de safran.
0
s

Dans ces expressions, les valeurs de a et f sonten degrés. |

) . y . > . y (Ra voile: ex)ez
L'action mécanique de l'air sur la voile peut s'écrire : | >

|

{Tair-voile} -- {Rarvoue}
B 0

-- u
R'ar-voule: Ex = Go V + di

AVEC: RAir-voute- Ey -- 0

ay = 10° Neta; =700N

Pour information, ces valeurs ont été
obtenues dans les conditions suivantes :

Surface de voile : 103 m° 2 ons de safran |? Foil principal
Allure y : 18° y
Angle de vent réel : 0 = 75°. ex

Figure 12 - Représentation des

Ô > --
eftorts dans le plan (e,, ey)

Nous cherchons à vérifier la performance suivante :

« Le bateau peut atteindre trois fois la vitesse du vent réel V, avec des angles
d'incidence « et f inférieurs à 9°, lorsque le vent souffle à 16 noeuds (8 m/s) 
»

Dans ces conditions, le bateau avance à vitesse constante sur ses foils (la 
coque ne touche

pas l'eau) et n'a pas de mouvement vertical (@ = 0, @ = 0 y = 0, u = 0).

Question 14 -Dans ce contexte, écrire les 2 équations du théorème de la 
résultante
dynamique appliqué au voilier. Mettre le système obtenu sous la forme :

34o + 4

a 1 \ = A , =
A: el -- 72| mg | où À, est une matrice 2 X 2 a préciser

Question 15 -Montrer qu'avec ce modèle, la performance de vitesse ne peut être 
atteinte
que si les profils des foils avant et arrière sont différents.

On choisit des profils tels que :

Run = 0.002 71; kys = 0.121; k,) = 0.008 71; ky2 = 0.085 °71: S, = Si = 0.7m?

J J

Le système matriciel s'écrit alors : | " h -- Lao

Question 16 -Donner une valeur approchée de a et £. L'hypothèse H1 est-elle 
vérifiée ?
Page 13 sur 27

4- Modèle dynamique, Stabilité

La partie précédente a permis de mettre en évidence une propriété intéressante 
: lors de
la phase de vol, la vitesse du bateau peut dépasser la vitesse du vent, jusqu'à 
la tripler. Le
concept de l'hydrofoil prend alors tout son sens, notamment lors des 
compétitions
grandes distances telles que la coupe de l'América, le trophée Jules Verne, le 
Vendée Globe,
etc.

Cependant, le modèle que l'on a utilisé pour démontrer cette propriété ne 
couvre pas
toute la plage de vitesse exploitable par l'hydrofoil.

Nous allons dans cette partie étudier le vol dynamique du bateau, avec un 
modèle plus
général et tenter d'y rechercher des conditions d'instabilité.

Les paramètres décrivant le mouvement du bateau sont o et y. A l'équilibre, on 
a : @ = 0
et y = 0.

Hypothèses de modélisation :
e Le point P vérifie :
VPeRp/Ro -- Ulx + Yey
e Les variations de la vitesse horizontale ne seront pas prises en compte :

u = constante

e La vitesse horizontale est grande devant la vitesse verticale (u © y), on 
peut donc
donner une expression simplifiée des vitesses apparentes au niveau des foils :

Vsers/roll = ÎVrers/rol © 4
Commençons par nous intéresser à l'angle d'incidence du flux d'eau sur un foil. 
Cet angle
apparent d'incidence est modifié par le mouvement vertical du bateau.
On notera «a, l'incidence apparente du foil principal et f, celle des foils de 
safran.

La figure suivante résume les différents angles qui paramètrent le foil de 
safran :

--

e
A

EUR
4
he" . |
nr
1 L LP
LL S RE"
CS
dd L
a
Figure 13- Paramétrage du safran lors de mouvements verticaux et angulaires

Question 17 -Exprimer sinf, en fonction de Ver, /r,» B, @, u et des vecteurs e; 
ete,

Page 14 sur 27

Le calcul numérique de &, et f, ne sera pas développé ici. Concentrons-nous sur 
le modèle
dynamique.

On reprend l'expression des forces hydrodynamiques :

1
-- S,.u'(k e, --k e,
{Ta pp} = F Peau Sp 4" aa at) (eau sur le foil principal)
0
F

2 > k --
{To_ors} = fPeuusse-t (kz2Baey x2Paëx | (eau sur les 2 foils de safran)
0
S

Les coefficients C, et C, ont été linéarisés aux petits angles (< 9°) : Cu (aa) = kdo Avec : Cy1 (aa) -- k;14a k,1 D ky1 Cy2 (Ba) = K,2Ba ky2 D Rx2 Cy2 (Ba) = Kkz2Ba L''angle de tangage du bateau ©, est également faible. On donne également l'expression des forces aérodynamiques sur la voile : {Tair-voile} -- {Rarvoute} B 0 1 > 2 5° --
avec R'arvouler Ex -- -- 7 PairSvCz (Ua). Vopp et R'arvouler Ey -- 0

Question 18 -Ecrire le torseur dynamique du bateau, au point P, dans son 
mouvement par
rapport au repère galiléen À, : (Dry /Ro}:

Question 19 -En appliquant le principe fondamental de la dynamique au bateau au 
point
P, écrire 2 équations décrivant le mouvement en + et y. On prendra soin de
simplifier ces équations compte tenu des ordres de grandeurs des différents
paramètres (angle @ faible, vitesse angulaire @ négligeable, ...).

Montrons maintenant qu'en dessous d'une vitesse minimale, le bateau ne peut pas 
être en
équilibre sur ses foils.

A l'équilibre, on a &, = &uo et Ba = Ban, AVec:
[&aol < 9° etl Baol < 9° Question 20 -Déterminer la matrice À, telle que : Xao ... 1 1 A2 Ba E u? (o La géométrie du bateau est telle que 4, est inversible. Question 21 -Sans résoudre ce système, montrer qu'en dessous d'une certaine vitesse du bateau, l'équilibre n'est pas possible. Page 15 sur 27 La discussion sur la stabilité dynamique s'appuie sur la linéarisation des équations précédentes (Q19) autour d'une position d'équilibre, à laquelle correspondent les angles d'incidences &,o et Boo. Ces angles, qui dépendent de la vitesse u du bateau, sont solutions du système de la question 20. On note donc : la = Ano + Ô a Ba = Pao + Ô P = Po+Ô Question 22 -Ecrire les équations de la dynamique de la question 19 sous la forme : MX + KX = Fo + Xo Avec : __(Y + X=(3) e M:matrice 2 X 2 à préciser 0 R e K = Pl? 0 R où R, et R; sont à préciser, 2 e Fun vecteur à préciser, e XQ un vecteur contenant les termes liés à &o et fo, à préciser également, Question 23 -Montrer qu'on peut écrire, avec les notations précédentes : MX + KX = 0 Notons maintenant Y -- a | Question 24 -Ecrire l'équation matricielle de la question précédente sous la forme : Y = AY où À est une matrice à préciser qui dépend de M, K' et 1, (matrice identité). Les solutions de l'équation précédente sont : Y(t) -- etAY, Cette formulation est donnée à titre indicatif, la connaissance des propriétés de l'exponentielle d'une matrice n'est pas exigée. La stabilité est donc gouvernée par le signe de la partie réelle des valeurs propres de la matrice À et plus précisément : Le système est stable si, et seulement si: VAE o(4A),Re(A) < 0 où o(A) désigne le spectre de À. Question 25 -Montrer que les valeurs propres de la matrice A sont alors solutions de : det(2?M + K) = 0 Question 26 -Écrire la relation entre R, et R; conduisant à l'instabilité de l'hydrofoil. Page 16 sur 27 PARTIE B -- ETUDE DES ACTIONNEURS HAUTES PERFORMANCES 1- Introduction La navigation sur un bateau de type foil nécessite un pilote / équipage mais également dans le cas des bateaux à foils actifs d'un asservissement des grandeurs de contrôle. La stabilisation du bateau peut se faire dans ce cas par un asservissement des foils, on parle alors de stabilisation active. La régulation de la portance du bateau peut se faire par différentes techniques : Par la modification de l'angle de calage du foil et de sa jambe Modification du calage du foil Modification de la cambrure du profil Diminution de la portance par ventilation de l'extrados Foils de deuxième génération Foils asservis (Force 8 1976 - Philfly 1984) CE se = , pa 1. Incidence variable F+ Monsonmec 03-2011 Surface fixe Page 17 sur 27 La navigation sur ce type de bateau tient donc de la coopération entre différents organes, l'équipage, le microcontrôleur, les actionneurs et les capteurs, synoptique ci-dessous. me [Te AS RE eL'équipage définit les OM AN M M ui CE eo ARS je naviqalions navigation L n e Voir PARTIE A AY R To a a UE OT RES otNTe 1e 1e SUIS eLes capteurs ME (ot MURS commande en différents angles de aatol asle Se mesure pour la position des foils commande du e voir PARTIE B OELELC Les asservissements des différents organes de contrôle du foil nécessitent des actionneurs performants du point de vue de la commande mais également avec des rendements très importants et une compacité accrue car l'énergie embarquée à bord du bateau est limitée. eOffrir une densité volumique de force ou couple importante SM EALS °Limiter le poids des actionneurs eOffrir un rendement important eLimitation de la taille des batteries et/ou des al AC energies renouvelables installées eOffrir un fonctionnement optimal pour des conditions de fonctionnement difficiles (milieu salin) Robustesse Dans la palette des actionneurs électriques performants, nous trouvons les machines synchrones autopilotées (dont les références de courants sont en phases avec la position mécanique du rotor) plus communément appelées moteurs brushless ou moteurs sans balais, figure ci-dessous. Page 18 sur 27 C'est l'étude du dimensionnement de cet actionneur qui va être détaillé dans la suite. D'un point de vue de la commande, la relation courant-couple s'écrit : 3 C = 2 Pp Pinax max Dans cette équation, les différents termes qui apparaissent : Pp Le nombre de paires de pôles, i.e. le nombre de fois que le motif élémentaire électrique se répète de manière géométrique. Une machine trois phases à 2 paires de pôles aura sur sa circonférence (2 x) une succession de phases telles que : Phase À, Phase B, Phase C, Phase À, Phase B, Phase C. Pnax Le flux maximal dû aux aimants permanents dans le cas d'un moteur à aimants. Ce terme se détermine en résolvant les équations de Maxwell en magnétostatique lorsqu'aucun courant n'alimente les phases. Lnax Le courant maximal que l'on peut mettre dans les phases de telle manière que l'échauffement de température de la machine ne dépasse pas un seuil critique pour les isolants (Classe de fonctionnement) ou les aimants. Dans cette partie, nous proposons de déterminer le flux maximal par un modèle magnétostatique et le courant maximal par un modèle thermique. Page 19 sur 27 2. Modèle magnétostatique d'une machine brushless Nous allons considérer une machine brushless élémentaire trois phases (A, B et C) avec une seule paire de pôles (pp=1). Fer Stator Phase A 1,12 trefer Aimant| ; Ts Ha Fer Rotor Figure 14 - Représentation schématique de l'actionneur synchrone brushless Les paramètres géométriques du moteur sont les suivants : e Longueur de l'entrefer [m!| Ha Hauteur de l'aimant [m| If Largeur de la dent au stator, équivalente à la largeur de l'aimant [ml] Lcmfs Longueur totale des lignes de champ magnétique dans le stator [m| Lcmfr Longueur totale des lignes de champ magnétique dans le rotor [m] La Longueur active. Longueur de la partie 3D (axe z), dimension dans l'axe perpendiculaire à la figure [m| N Nombre de spires total de la phase A I Le courant qui traverse la phase A Les paramètres magnétiques des matériaux composant le moteur sont : Lo Perméabilité magnétique du vide uo = 47107"/[kg m A2 s-2] Urfs Perméabilité relative du fer au stator Urfr Perméabilité relative du fer au rotor Ua Perméabilité relative de l'aimant u,, = 1 Page 20 sur 27 Les grandeurs magnétiques des matériaux composant le moteur sont : B,,B,,H, | Linduction magnétique, l'induction rémanente et le champ magnétique des aimants permanents B,,H, L'induction magnétique et le champ magnétique dans l'entrefer B;s, Hs | L'induction magnétique et le champ magnétique dans le fer stator B;r, H;r | L'induction magnétique et le champ magnétique dans le fer rotor La relation entre l'induction magnétique et le champ magnétique dans le cas d'un aimant s'écrit : By = UoHa + Br Question 27 -Quelles sont les hypothèses liées à un modèle magnétostatique ? Dans la suite nous utiliserons les grandeurs liées au champ magnétique H [A/m|, à l'induction magnétique B [T|, au flux par spire w[Wb] et au flux total sur toutes les spires d'une phase D[Wb]. Question 28 - Comment s'écrit le théorème d'Ampère sous sa forme intégrale avec le champ magnétique H ? Avec un courant dans la phase À nul, et les aimants permanents ayant une induction rémanente Br, une simulation par la méthode des éléments finis a été réalisée, figure 15. {/} [tft Lt tal LU (TÉL ' At d j LU [11 Î ON lt \\ { vuuttt TA s sJ | ! | | , [f * ! | [| | |] /| ' 1 | | | (LIL | [I Au 4 | / | # A | " ' h, \ J # f) / Figure 15 - Représentation des lignes d'induction matgnétique de l'actionneur synchrone brushless Page 21 sur 27 Dans cette simulation, les lignes d'induction magnétique traversant le stator, l'entrefer, les aimants et le rotor sont considérées comme les lignes d'induction magnétique principales. Ce sont elles qui participent à la conversion d'énergie. Les lignes d'induction qui ne passent pas par l'entrefer sont considérées comme des lignes d'induction de fuite. Elles ne participent pas à la conversion d'énergie et ne seront donc pas considérées pour la suite du sujet. Question 29 - À partir de la figure 14 et de la répartition des lignes d'induction magnétique, figure 15, proposer un contour d'Ampère qui traverse le stator, l'entrefer, les aimants et le rotor et appliquer le théorème d'Ampère sur ce contour. Question 30 - Ecrire l'équation de conservation du flux magnétique. Dans la suite, nous considérerons que les sections de passage du flux dans les aimants, l'entrefer, le fer stator et rotor sont égales. Question 31 - Ecrire les relations entre l'induction magnétique et le champ magnétique dans le cas du fer stator, fer rotor, entrefer et les aimants. Question 32 - À partir des questions précédentes déterminer l'induction magnétique dans l'entrefer en fonction des paramètres de la machine et de l'induction rémanente des aimants permanents. En déduire l'expression du flux total vu par la phase À (le flux qui traverse toutes les spires de la phase). Question 33 - Tracer l'allure du flux maximal en fonction de la hauteur de l'aimant a. Dans la plupart des applications, le volume d'aimant cherche à être réduit au maximum pour des raisons d'approvisionnement et de raréfaction des terres rares nécessaires à la fabrication des aimants permanents. 3- Modèle thermique d'une machine brushless Dans un premier temps, nous considérons un barreau métallique de section S et de longueur infinitésimale dx, figure 16. Nous allons étudier la conduction thermique au sein de ce barreau. La convection et le rayonnement seront négligés. Une densité de flux thermique jth [W.m?| traverse la surface en x et en x+dx. Toutes les grandeurs ne dépendent que de x et du temps t. Soit K [W.m:!.K'1] la conductivité thermique du matériau. | Jn(x:t) Ja(x+dx;t) X x+dx --- Ex Figure 16 - Représentation d'un élément élémentaire de longueur dx Question 33 - Ecrire la loi de Fourier de la thermique liant la densité de flux thermique et la température T(x,t). Page 22 sur 27 Nous proposons d'appliquer le premier principe de la thermodynamique au barreau. Nous supposons qu'il n'y aucun apport de travail externe. Question 34 - Ecrire la variation d'énergie calorifique en entrée ÔQ(x,t) et en sortie ÔQ(x + dx,t) en fonction de la densité de flux thermique. Question 35 - Ecrire la variation d'énergie interne dans le barreau. On définit C [J.kg'!.K 1] la capacité calorifique isochore du matériau. Question 36 - Déduire des questions précédentes que l'équation vérifiée par la température s'écrit : O°T  PrnCÔT 0x2 K ôt Avec D, la masse volumique du matériau. Question 37 - Résoudre l'équation aux dérivées partielles en régime statique pour une température T(x)=Tin et T(x+dx)=Tout. En déduire la relation entre le flux thermique /;, [WI] et la température T. Par analogie avec l'électricité, mettre cette relation sous la forme : AT = RpJih Avec R;,la résistance thermique du matériau. Cette relation permet d'obtenir un schéma électrique équivalent où AT joue le rôle d'une tension et /,,le rôle d'un courant. Dans la suite, nous proposons d'étudier le transfert thermique au sein d'une encoche d'une phase électrique. Une encoche est composée des fils de cuivre qui conduisent le courant électrique mais qui génère également des pertes par effet Joule. Ces fils de cuivre sont recouverts d'une couche fine d'isolant et de l'air entre les différents fils de cuivre. Les bords de l'encoche correspondent à l'interface entre l'encoche et le fer au stator. Les pertes par effet Joule vont donc vouloir être extraites des conducteurs de cuivre vers Île stator (puis vers l'extérieur). Ju | J h t t. 0 0] 0] O] O0 Lt Cuivre Cuivre DUO T. T, Jn+ <én O000000"*% De, lu Jus CI CI CI CI OO N Isolant PS toitios OOO0000,_ 1 Ni } Y ] th,3 } Figure 17 - Schéma d'une encoche avec des Figure 18 - Schéma d'une encoche avec un conducteurs rectangulaires seul conducteur équivalent et rectangulaire Page 23 sur 27 Pour commencer l'étude, nous allons considérer une approximation de l'encoche. La forme des conducteurs est carrée (pour maximiser le remplissage des encoches). Et les dimensions du conducteur sont obtenues par équivalence avec toutes les dimensions de tous les conducteurs, figure 18. Les paramètres de l'encoche simplifiée sont alors : Le Largeur de l'encoche (encoche carrée) Ei,eq Epaisseur équivalente de l'isolant Ki Coefficient de conduction thermique de l'isolant Lceq Largeur équivalente du fil de cuivre (fil carré) Ke Coefficient de conduction thermique du fil de cuivre Cair,eq Epaisseur équivalente de la couche d'air Kair Coefficient de conduction thermique de l'air La Longueur active. Longueur de la partie 3D, dimension dans l'axe perpendiculaire à la figure [m]. Cette longueur est identique à celle définie pour la partie magnétique. N Nombre de spires total dans l'encoche Jp] Pertes par effet Joule totales dans l'encoche [W] (pour tous les conducteurs) Question 38 - Proposer un schéma thermique à partir de résistances thermiques équivalentes (analogie avec les circuits électriques) de l'encoche simplifiée. Les températures T:,T, T3, T, et les pertes par effet Joule /,; sont connues. Question 39 - Mettre le système d'équations du schéma thermique équivalent sous la forme : r0 1 1 1 1 1/,T, JP] 1 --Rey 0 0 0 Jens T, 1 0 --Req 0 0 Jtn2 -- T; 1 0 0 --Rea 0 Jth3 T; [1 0 0 0 -- Reg. J th,4 T4 Avec R,4 la résistance thermique équivalente à l'ensemble cuivre, isolant et air et Te la température au centre du cuivre. Pour résoudre le système linéaire, nous proposons de coder un algorithme de pivot de Gauss. Question 40 - Calculer le déterminant de la matrice du système. La matrice est-elle inversible ? Question 41 - Tracer l'algorigramme de la méthode du pivot de Gauss. Pour coder l'algorithme du pivot de Gauss avec le langage Python, nous proposons d'utiliser la bibliothèque numpy appelée par : import numpy as np Ün vecteur est donc défini comme : Page 24 sur 27 HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH # # Load des modules nécessaires # HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH import numpy as np HER RH HE HER HER HER HE RH HE RER RH HEAR RH HER RH HR HE HE HE HA # # Exemple d'utilisation de vecteurs / matrices # HER RH HE HER HER HEAR HE HEAR RH HER EH HE HER RH HE HER HE HE HE HA VECTEUR = nparray({[1, 2, 3], float) MATRICE = np.array({[[1, 2,3], [4, 5, 6], [7, 8, 9][, float) La méthodologie employée pour l'écriture du programme est un découpage en sous fonctions élémentaires. Question 42 - Coder la fonction cherche_pivot(MATRICE, i) qui recherche le meilleur pivot pour la i-ème variable dans les lignes suivant la ligne courante. Retourne l'indice de la ligne du pivot. Question 43 - Coder la fonction echange _lignes(MATRICE, i, j) qui échange les lignesiet) dans la matrice. Question 44 - Coder la fonction transvection(MATRICE, K ,i, alpha) qui transvecte la ligne K par la ligne i et le coefficient ALPHA. Question 45 - Coder l'algorithme général. Question 46 - Proposer une méthode d'homogénéisation permettant de passer de l'encoche réelle à l'encoche approchée. Page 25 sur 27 Conclusion Question 47 - Faites ressortir trois points importants de cette étude. --- Fin du sujet --- Page 26 sur 27 Annexe Python Rappels des syntaxes en Python et Numpy : Le module numpy importé dans python permet de réaliser des opérations sur les tableaux (et matrices). Les indices de ces tableaux commencent à 0. Fonction à réaliser Syntaxe Python Importation du module Numpy et de ses fonctions import numpy as np Définition d'un vecteur VECTEUR = nparray({[1, 2, 3], float) Sélection de l'indice i d'un vecteur VECTEUR/i| Définition d'une matrice MATRICE = np.array(|{[1, 2,3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]], float) Définition d'une matrice de 0 de taille À, B np.zeros((A, B)) Sélection de l'élément ligne = i, colonne = j de la | MATRICE/{i, j| matrice Sélection des N éléments d'une colonne de la matrice | MATRICE! ;, O:N-1] Taille d'une matrice (ligne, colonne) = np.shape(MATRICE) Produit matrice-vecteur np.dot(MATRICE, VECTEUR) Boucle for for iteration in range(N) : instruction Condition if if condition : instruction_A else : instruction_B Documentations : Photos : https://www.redbull.com/my-en/aerial-video-photos-of-oracle-team-usa https://www.thetimes.co.uk/article/larry-ellison-launches-sailgp-to-rival-americas- cup-rwg5jjcj7 http://www.morrellimelvin.com/ https://foils.wordpress.com/2016/07/19/foils-en-1-2-0-reflexions/ https://www.printedmotorworks.com/brushless-pancake-motors/ Sujet réalisé à partir des documents suivants : Morrelli&Melvin Superfoiler Design Intro Conception d'un système de stabilisation de vol de catamaran classe C - Enrique Delgado Rodriguez Thibault Martin On the stability of racing sailing boats with foils - Philippe Destuynder & Caroline Fabre Page 27 sur 27

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X/ENS Modélisation PSI 2020 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Freulon (professeur en CPGE) ; il a été relu
par Nicolas Courrier (professeur en CPGE) et Julien Dumont (professeur en CPGE).

Le sujet de modélisation proposait cette année l'étude d'un hydrofoil, qui est 
un
type de voilier disposant de plusieurs dérives portantes, appelées foils, 
permettant
au bateau de sortir sa coque de l'eau et ainsi de diminuer la résistance du 
navire
à l'avancement et d'augmenter ses performances en vitesse. Ce phénomène, appelé
déjaugement, permet d'atteindre de grandes vitesses, proches de la centaine de 
kilomètres par heure pour les navires les plus performants. Cette épreuve est 
découpée
en deux grandes parties.
· Dans la première partie, on cherche à développer un modèle dont on teste la
validité à l'aide de valeurs mesurées des vitesses atteintes, puis à utiliser 
celui-ci
pour déterminer les conditions d'instabilité. On fait apparaître l'existence 
d'une
vitesse minimale pour laquelle les foils permettent à la coque de se soulever.
· La seconde partie porte sur les phénomènes physiques intervenant au niveau
des actionneurs, afin de contrôler le voilier par l'intermédiaire d'une maîtrise
des foils et d'obtenir les objectifs voulus.
La première partie, variée, fait appel à divers domaines : mécanique des 
fluides,
mécanique du solide, informatique, et même réduction des endomorphismes suivant
une démarche originale et rarement rencontrée. C'est une partie intéressante, 
qui
contient quelques questions très calculatoires et trop peu guidées. La partie 
suivante,
beaucoup plus classique, aborde des problématiques d'électromagnétisme et de 
diffusion thermique, ainsi qu'une grosse partie d'informatique portant sur 
l'algorithme du
pivot de Gauss. Si le sujet est assez joli sur le fond, il pâtit de nombreuses 
faiblesses
de forme : coquilles, imprécisions, résultats à établir qui s'avèrent faux... 
jusqu'à une
question 33 qui apparaît deux fois. Ce sujet a toutefois le mérite de chercher 
l'originalité et de permettre de réviser de nombreux aspects du programme. Il 
est ardu et
classant.

Indications
Partie A
1 L'énoncé ne fait pas l'hypothèse, pourtant indispensable, de stationnarité de
l'écoulement.
3 La question consiste ici à comparer le comportement d'un foil avec celui d'une
aile d'avion.
4 Écrire le moment d'un petit élément d'aile en un point I et, après 
intégration sur
l'ensemble de l'aile, en déduire une condition pour que ce moment total soit 
nul.
Il faut penser à passer par l'origine A de l'axe des abscisses.
8 La quantité intervenant dans la condition C1 peut s'interpréter graphiquement
comme la pente d'une certaine droite passant par l'origine.
15 Le système n'admet des solutions que si le déterminant de sa matrice 
associée est
non nul.
17 Il est astucieux et rapide de passer par un produit vectoriel.
18 Penser au théorème de Huygens pour calculer le moment dynamique, en 
introduisant le moment d'inertie au centre de gravité dans un premier temps.
 
1
20 Erreur d'énoncé, le vecteur à droite est
.
1
23 La fin de cette partie peut être traitée quasiment entièrement même si l'on 
n'a
pas établi la relation de la question 22.
Partie B
29 Attention, l'énoncé suppose qu'il n'y a aucun courant dans la phase A. Les 
phénomènes magnétiques qui vont avoir lieu sont une conséquence du champ 
rémanent.
38 Ne pas oublier de prendre en compte les pertes Joule.
40 Développer le déterminant par rapport à la première ligne, puis les nouveaux
déterminants qui apparaissent alors par rapport à une ligne bien choisie.

Étude d'un hydrofoil
A. Étude des surfaces portantes, dynamique du vol
et étude de stabilité
1

L'énoncé ne précise pas que l'écoulement est stationnaire, ce qui est 
indispensable pour la suite, même si c'est assez implicite.
Lors de l'écoulement stationnaire et parfait d'un fluide incompressible et 
homogène, et en l'absence d'échanges de chaleur, le théorème de Bernoulli 
permet d'écrire
sur une ligne de courant entre un point de la section S0 et un autre de la 
section S1 ,
u0 2
p0
u1 2
p1
+
+ gz0 =
+
+ gz1
2

2

De plus, l'énoncé supposant l'absence de variation d'énergie potentielle de 
pesanteur,
l'expression se réduit à
u0 2
p0
u1 2
p1
+
=
+
2

2

La conservation du débit volumique due à l'incompressibilité du fluide en régime
indépendant du temps fournit
S0 u0 = S1 u1
Une reformulation de la formule de Bernoulli conduit à
  2

 u1 2
S1
p1 = p0 +
-1
2
S0
Puisque S1 < S0 , p1 < p0 2 Considérons le nombre de Reynolds Re associé à cet écoulement. Re = uLc e En introduction, l'énoncé indique que les vitesses les plus grandes sont de l'ordre de 25 m · s-1 , soit Re ' 25 × 0, 3 = 7, 5.106 10-6 Le nombre de Reynolds étant très grand devant 103 , l'écoulement est turbulent. C'est la viscosité cinématique qui est fournie, il ne faut donc pas diviser par la masse volumique. D'ailleurs à la question 7, on retrouve la valeur approchée de ce nombre dans l'énoncé. 3 Pour comparer les forces dans l'air et dans l'eau, on peut effectuer le rapport Fportance,eau eau Vfluide,eau 2 1000 × 252 1000 × 242 = ' ' = 10 Fportance,air 1,2 × 2402 1 × 2402 air Vfluide,air 2 Un calcul identique montre que le rapport des forces de traînée prend la même valeur. On en conclut que les efforts subis par une aile d'hydrofoil ou d'avion de ligne sont du même ordre de grandeur. Publié dans les Annales des Concours Usuellement, on considère que si deux grandeurs sont dans un rapport compris entre 0,1 et 10, elles sont du même ordre de grandeur. Le texte n'est pas très clair, on peut comprendre à la première lecture qu'il s'agit de comparer forces de portance et de traînée, ce qui est impossible puisque l'on n'a aucune donnée sur les coefficients Cx et Cz . 4 On assimile l'aile à un segment. Un élément d'aile centré en un point M situé à une abscisse x et de longueur dx, subit la force élémentaire, somme de deux forces pressantes de l'air en dessous et au dessus, ce qui s'écrit - +p - - dF(x) = pintra (x) dx dz - u y extra (x) dx dz (-uy ) = p(x) dx dz uy L'énoncé indique même de prendre une largeur unitaire, ce qui n'est pas très heureux si l'on veut vérifier l'homogénéité des formules intermédiaires. Le moment infinitésimal en un point I associé à cette force s'obtient alors grâce à une relation de Chasles : -- - - - - -- - dMI (x) = IM  dF(x) = IA  dF(x) + AM  dF(x) Pour avoir le moment total, on intègre sur toute la longueur du segment. Si on choisit I comme étant le point pour lequel ce moment total est nul, par définition de la longueur d, on parvient à l'égalité Z L Z L - - -- - IA  dF(x) = - AM  dF(x) x=0 Z L soit x=0 - - d- u x  p(x) dx dz uy = - Z x=0 , En projetant sur - u z L - x- u x  p(x) dx dz uy x=0 Z L Z L d p(x) dx dz = x p(x) dx dz x=0 x=0 Après simplification par dz, Z d L Z p(x) dx = 0 L x p(x) dx 0 L Z x p(x) dx d'où d = Z0 L p(x) dx 0 5 On parcourt chaque ligne de l'objet-fichier et, pour chacune d'entre elles, on crée une chaîne de caractères provisoire qui stocke les caractères lus successivement et se réinitialise à chaque rencontre d'un point-virgule, en même temps qu'elle stocke les caractères balayés dans une liste. Ainsi, on récupère les différentes informations que l'on peut convertir finalement depuis le type chaîne de caractères vers le type flottant. Enfin, le troisième terme contient le retour à la ligne, codé par \n, qu'il faut supprimer et qui a une taille égale à 1. On peut proposer le code suivant : def Extraire(fichier): fich = open(fichier,'r') # Ouverture du fichier en lecture Valeurs = [] # Initialisation de la liste de sortie for ligne in fich: # Lecture ligne à ligne # Stockage des élements de la ligne