X/ENS Modélisation PSI 2019

Thème de l'épreuve Étude d'un véhicule sous-marin autonome : modélisation, identification et localisation
Principaux outils utilisés dynamique des solides, modélisation des actions mécaniques, filtrage de signaux
Mots clefs dynamique, lois de commande, mesures de capteur

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                                                        

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
           

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X/ENS Modélisation PSI 2019 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Nicolas Courrier (professeur en CPGE) ; il a été relu
par Jérôme Didier (professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (professeur en CPGE).

Le sujet porte sur l'étude d'un drone sous-marin. Les objectifs sont 
principalement
d'étudier son comportement dynamique et les lois de commande permettant de le
diriger en fonction des mesures obtenues par différents capteurs.
· La première partie introduit le sujet par une question ayant pour intérêt les
applications civiles d'un drone sous-marin.
· La deuxième partie consiste à faire l'étude géométrique de la position du 
sousmarin et d'en déduire sa vitesse et son accélération en vue d'appliquer le 
principe fondamental de la dynamique.
· Après avoir exprimé ce dernier, on cherche à modéliser des actions mécaniques
extérieures s'exerçant sur le drone. Certaines de ces actions mécaniques 
dépendent de coefficients hydrodynamiques qu'il faut estimer.
· Dans la quatrième partie, on souhaite établir par une approche numérique ces
coefficients utiles pour l'étude dynamique complète du système.
· Dans la dernière partie, on cherche à proposer les lois de commande du drone
afin de contrôler son déplacement. Elles sont déterminées grâce à des mesures
effectuées à l'aide de capteurs.
Le sujet est relativement complet sur la dynamique du drone et permet l'étude
de différentes thématiques de sciences de l'ingénieur : calculs 
d'accélérations, modélisation d'efforts, contrôle et commande. Il est 
intéressant par la diversité des aspects
étudiés. Les questions 43 à 45 semblent difficilement abordables par manque 
d'explications dans le sujet.

Indications
Partie II
7 On demande les conditions de stabilité et pas seulement les conditions 
d'équilibre. Pour les différentes situations d'équilibre, préciser celle qui 
est stable.
9 Ne pas oublier que le mouvement se fait dans le plan de plongée. Certains
paramètres du torseur cinématique sont donc nuls.
----
10 Réfléchir d'abord à la façon dont on peut calculer le vecteur 10 (G) afin 
d'éviter
----
de se lancer dans le calcul en dérivant élément par élément le vecteur V10 (G).
----
, -
 -

12 Projeter le vecteur 10 (G) dans la base (-
x
1 y1 , z1 ).
Partie III

-

19 Penser à exprimer le vecteur -
ci en fonction d'un vecteur bj avec j = {0, 1}.
Il manque le paramètre  dans les grandeurs autorisées pour la réponse.
Partie IV
24 Il est demandé d'utiliser un schéma d'Euler explicite afin d'exprimer la 
relation entre sk et sk-1 . Écrire éventuellement la fonction liant e(t) et 
s(t) à
l'instant tk-1 afin d'éviter d'écrire un schéma d'Euler implicite.
28 Dans le code proposé dans le sujet, on peut identifier le coefficient a2, 
mais il
est possible de ne pas trouver la valeur suggérée. Dans ce cas, adapter la 
valeur
en multipliant les différents paramètres a0, a1, b0, b1 et b2 par un facteur.
Partie V

-

35 Exprimer l'accélération -
a-
spe et la projeter sur l'axe x1 pour la première partie

-
de la question et sur z1 pour la seconde.
43-45 Faute d'explications, ces questions sont difficilement faisables. Partir 
éventuellement de la réponse de la question 43 pour essayer de faire les deux 
suivantes.

Étude d'un véhicule sous-marin autonome
I. Présentation de l'étude
1 Les drones sous-marins peuvent servir dans le milieu de la pêche afin de 
cibler plus
précisément les lieux adéquats (recherche de bancs de poissons) et limiter 
l'impact
environnemental de certaines pratiques. Ils peuvent également servir à 
cartographier
les fonds marins notamment pour les grandes profondeurs. L'exploration d'épaves
ou la recherche de fuites de polluants après un naufrage peuvent également être
envisagées à l'aide d'un tel appareil.
Il faut comprendre ici que le terme « activités civiles » fait référence à 
celles
n'étant pas exclusivement réservées ou utilisées dans un but militaire.

II. Modélisation du comportement dynamique
du véhicule
2 La figure de changement de base (appelée aussi figure géométrale) de B0 à B2
est donnée en figure 5 du sujet. Elle permet d'écrire
(-
 = cos  -
 - sin  -

x
x
y2
0
2

-
 + cos  -

y0 = sin  -
x
y2
2
-
Attention à l'orientation du vecteur 
z0 sur le dessin de la figure 5.
 et -

L'expression des vecteurs -
x
y2 dans la base B0 amène à
2
(-
 = cos  -
 + sin  -

x
x
y0
2
0

-
-

y = - sin  x + cos  -
y
2

0

0

, -
 -

On peut alors écrire la matrice de passage P dans la base (-
x
2 y2 , z0 ) :

cos 
 sin 
0

- sin 
cos 
0

0
0
1

,
Par exemple, on peut vérifier que pour le vecteur -
x
2

cos  - sin  0
1
cos 
 sin 
cos  0 0 =  sin  
0
0
1
0
0

 exprimé dans la base (-
, 
- -

Ainsi, le vecteur -
x
x
2
0 y0 , z0 ) est bien
-
 = cos  -
 + sin  -

x
x
y
2

0

0

 et -

3 De la même manière que précédemment et en exprimant les vecteurs -
x
z3
1
-

-

-
dans la base (x2 , y2 , z0 ), on trouve

cos  0 sin 
1
0 
P =  0
- sin  0 cos 

, -
 -

En répétant l'opération avec les vecteurs -
y1 et -
z1 dans la base (-
x
1 y2 , z3 ),

1
0
0
P = 0 cos  - sin 
0 sin  cos 
t

4 Le vecteur 1 = [x, y, z] représente la position du drone au point C dans le
repère R0 . Par conséquent,
-
dOC ----
 + y -

= V10 (C) = x -
x
y0 + z -
z0
0
dt
----
+v-

Le vecteur V10 (C) est également égal à u -
x
y1 + w -
z1 . On peut alors utiliser la
1
matrice de passage P01 pour exprimer ce vecteur dans la base B0 . Ainsi,

x
u
y  = P01  v   1 = P1 (2 ).1
z
w
On en déduit

P1 (2 ) = P01

5 Par hypothèse, le drone évolue avec une attitude le gardant dans un plan 
parallèle
, -

-

à (0, -
x
0 y0 ). Par conséquent, il ne peut évoluer en translation que suivant les axes 
x0

et -
y0 . De même, la seule rotation envisageable est celle autour de l'axe -
z0 . Ainsi,
t

Le vecteur  prend la forme [x, y, h, 0, 0, ] .

 = -
 et -

Dans cette configuration, on note que -
z0 = -
z1 , -
x
x
y1 = -
y2 . De plus,
1
2
-

-
-

-
les vecteurs x1 et y1 sont coplanaires avec x0 et y0 (voir figure 5). Un 
mouvement
 et -

, -

suivant -
x
y1 se fait donc bien dans le plan (0, -
x
1
0 y0 ). Finalement,
t

Le vecteur µ est égal à [V, v, 0, 0, 0, r] .
Dans le cas particulier où  =  = 0, on a P01 = P . D'après la question 
précédente

x
u
y  = P01  v 
z
w

x
V cos  - v sin 
y  = V sin  + v cos  
qui permet d'obtenir
z
w=0

Le drone évolue à une profondeur d'immersion h constante, donc z = w = 0.

Puisque de plus dans ce cas d'étude -
z0 = -
z1 , on conclut par identification que
 = r