X/ENS Modélisation PSI 2019

Thème de l'épreuve Étude d'un véhicule sous-marin autonome : modélisation, identification et localisation
Principaux outils utilisés dynamique des solides, modélisation des actions mécaniques, filtrage de signaux
Mots clefs dynamique, lois de commande, mesures de capteur

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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 X/ENS Modélisation PSI 2019 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Nicolas Courrier (professeur en CPGE) ; il a été relu par Jérôme Didier (professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (professeur en CPGE). Le sujet porte sur l'étude d'un drone sous-marin. Les objectifs sont principalement d'étudier son comportement dynamique et les lois de commande permettant de le diriger en fonction des mesures obtenues par différents capteurs. · La première partie introduit le sujet par une question ayant pour intérêt les applications civiles d'un drone sous-marin. · La deuxième partie consiste à faire l'étude géométrique de la position du sousmarin et d'en déduire sa vitesse et son accélération en vue d'appliquer le principe fondamental de la dynamique. · Après avoir exprimé ce dernier, on cherche à modéliser des actions mécaniques extérieures s'exerçant sur le drone. Certaines de ces actions mécaniques dépendent de coefficients hydrodynamiques qu'il faut estimer. · Dans la quatrième partie, on souhaite établir par une approche numérique ces coefficients utiles pour l'étude dynamique complète du système. · Dans la dernière partie, on cherche à proposer les lois de commande du drone afin de contrôler son déplacement. Elles sont déterminées grâce à des mesures effectuées à l'aide de capteurs. Le sujet est relativement complet sur la dynamique du drone et permet l'étude de différentes thématiques de sciences de l'ingénieur : calculs d'accélérations, modélisation d'efforts, contrôle et commande. Il est intéressant par la diversité des aspects étudiés. Les questions 43 à 45 semblent difficilement abordables par manque d'explications dans le sujet. Indications Partie II 7 On demande les conditions de stabilité et pas seulement les conditions d'équilibre. Pour les différentes situations d'équilibre, préciser celle qui est stable. 9 Ne pas oublier que le mouvement se fait dans le plan de plongée. Certains paramètres du torseur cinématique sont donc nuls. ---- 10 Réfléchir d'abord à la façon dont on peut calculer le vecteur 10 (G) afin d'éviter ---- de se lancer dans le calcul en dérivant élément par élément le vecteur V10 (G). ---- , - - 12 Projeter le vecteur 10 (G) dans la base (- x 1 y1 , z1 ). Partie III - 19 Penser à exprimer le vecteur - ci en fonction d'un vecteur bj avec j = {0, 1}. Il manque le paramètre dans les grandeurs autorisées pour la réponse. Partie IV 24 Il est demandé d'utiliser un schéma d'Euler explicite afin d'exprimer la relation entre sk et sk-1 . Écrire éventuellement la fonction liant e(t) et s(t) à l'instant tk-1 afin d'éviter d'écrire un schéma d'Euler implicite. 28 Dans le code proposé dans le sujet, on peut identifier le coefficient a2, mais il est possible de ne pas trouver la valeur suggérée. Dans ce cas, adapter la valeur en multipliant les différents paramètres a0, a1, b0, b1 et b2 par un facteur. Partie V - 35 Exprimer l'accélération - a- spe et la projeter sur l'axe x1 pour la première partie - de la question et sur z1 pour la seconde. 43-45 Faute d'explications, ces questions sont difficilement faisables. Partir éventuellement de la réponse de la question 43 pour essayer de faire les deux suivantes. Étude d'un véhicule sous-marin autonome I. Présentation de l'étude 1 Les drones sous-marins peuvent servir dans le milieu de la pêche afin de cibler plus précisément les lieux adéquats (recherche de bancs de poissons) et limiter l'impact environnemental de certaines pratiques. Ils peuvent également servir à cartographier les fonds marins notamment pour les grandes profondeurs. L'exploration d'épaves ou la recherche de fuites de polluants après un naufrage peuvent également être envisagées à l'aide d'un tel appareil. Il faut comprendre ici que le terme « activités civiles » fait référence à celles n'étant pas exclusivement réservées ou utilisées dans un but militaire. II. Modélisation du comportement dynamique du véhicule 2 La figure de changement de base (appelée aussi figure géométrale) de B0 à B2 est donnée en figure 5 du sujet. Elle permet d'écrire (- = cos - - sin - x x y2 0 2 - + cos - y0 = sin - x y2 2 - Attention à l'orientation du vecteur z0 sur le dessin de la figure 5. et - L'expression des vecteurs - x y2 dans la base B0 amène à 2 (- = cos - + sin - x x y0 2 0 - - y = - sin x + cos - y 2 0 0 , - - On peut alors écrire la matrice de passage P dans la base (- x 2 y2 , z0 ) : cos sin 0 - sin cos 0 0 0 1 , Par exemple, on peut vérifier que pour le vecteur - x 2 cos - sin 0 1 cos sin cos 0 0 = sin 0 0 1 0 0 exprimé dans la base (- , - - Ainsi, le vecteur - x x 2 0 y0 , z0 ) est bien - = cos - + sin - x x y 2 0 0 et - 3 De la même manière que précédemment et en exprimant les vecteurs - x z3 1 - - - dans la base (x2 , y2 , z0 ), on trouve cos 0 sin 1 0 P = 0 - sin 0 cos , - - En répétant l'opération avec les vecteurs - y1 et - z1 dans la base (- x 1 y2 , z3 ), 1 0 0 P = 0 cos - sin 0 sin cos t 4 Le vecteur 1 = [x, y, z] représente la position du drone au point C dans le repère R0 . Par conséquent, - dOC ---- + y - = V10 (C) = x - x y0 + z - z0 0 dt ---- +v- Le vecteur V10 (C) est également égal à u - x y1 + w - z1 . On peut alors utiliser la 1 matrice de passage P01 pour exprimer ce vecteur dans la base B0 . Ainsi, x u y = P01 v 1 = P1 (2 ).1 z w On en déduit P1 (2 ) = P01 5 Par hypothèse, le drone évolue avec une attitude le gardant dans un plan parallèle , - - à (0, - x 0 y0 ). Par conséquent, il ne peut évoluer en translation que suivant les axes x0 et - y0 . De même, la seule rotation envisageable est celle autour de l'axe - z0 . Ainsi, t Le vecteur prend la forme [x, y, h, 0, 0, ] . = - et - Dans cette configuration, on note que - z0 = - z1 , - x x y1 = - y2 . De plus, 1 2 - - - - les vecteurs x1 et y1 sont coplanaires avec x0 et y0 (voir figure 5). Un mouvement et - , - suivant - x y1 se fait donc bien dans le plan (0, - x 1 0 y0 ). Finalement, t Le vecteur µ est égal à [V, v, 0, 0, 0, r] . Dans le cas particulier où = = 0, on a P01 = P . D'après la question précédente x u y = P01 v z w x V cos - v sin y = V sin + v cos qui permet d'obtenir z w=0 Le drone évolue à une profondeur d'immersion h constante, donc z = w = 0. Puisque de plus dans ce cas d'étude - z0 = - z1 , on conclut par identification que = r