X/ENS Modélisation PSI 2018

Thème de l'épreuve Bras exosquelette haptique
Principaux outils utilisés électricité, électronique numérique, induction, asservissement, mécanique, représentation des nombres
Mots clefs déformation, capteur de couple, pont de Wheatstone, échantillonnage, repliement de spectre, critère de Shannon, erreur de quantification, rapport signal sur bruit, conversion binaire, codeur inductif, haptique, exosquelette

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X/ENS Modélisation PSI 2018 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jérôme Didier (professeur en CPGE) et Cyril Ravat
(professeur en CPGE) ; il a été relu par Olivier Frantz (professeur agrégé en 
école
d'ingénieurs) et Stéphane Ravier (professeur en CPGE).

Ce sujet porte sur l'étude d'un bras exosquelette haptique (« à retour de force 
»).
L'introduction s'intéresse aux diverses applications d'un dispositif de ce type.
· La première partie propose la mise en équations du problème simplifié. L'étude
mécanique du système est suivie par la mise en place du couplage via un 
contrôleur entre le maître et l'esclave, l'objectif étant de déterminer les 
paramètres
du contrôleur afin de vérifier le cahier des charges.
· La deuxième partie se focalise sur l'exigence de stabilité. La fonction de 
transfert donnée étant relativement simple, les aspects traités restent proches 
du
programme de prépa.
· La troisième partie traite l'étude dynamique du bras avec la détermination des
couples à imposer afin d'obtenir le comportement souhaité : l'opérateur ne doit
ressentir que la force désirée et pas les effets dynamiques du bras.
· Deux constituants du banc permettant de tester le bras exosquelette sont 
étudiés dans la quatrième partie. Un capteur de couple met tout d'abord en jeu
une variation de résistance par déformation mécanique, mesurée électriquement
à l'aide d'un pont de Wheatstone. Deux solutions pour un capteur de position
angulaire sont ensuite comparées. Cela donne notamment l'occasion de traiter
le thème physique de l'échantillonnage et de mettre en place un codage original
d'entiers relatifs.
Ce sujet est intéressant et cohérent. On peut regretter toutefois que 5 
questions
seulement sur 51 soient associées à l'informatique, ce qui poursuit une 
évolution entamée ces dernières années. Quelques erreurs d'énoncé ont pu 
déstabiliser les candidats.

Indications
18 Cette question est relativement calculatoire, il ne faut pas oublier 
d'exclure les
termes d'ordre supérieur à 1 lors de la multiplication.
27 Le théorème du moment dynamique étant appliqué en un point non fixe, 
l'accélération de ce point apparaît donc dans le calcul du moment dynamique.
35 Il faut lire dans l'énoncé f M < Fe /4 et non f M < 4 Fe . La fréquence de 
coupure
du filtre doit garder la bande de base et supprimer les autres.
36 La caractéristique suit la première bissectrice du plan.
39 Penser à simplifier le calcul par symétrie du signal sur les quatre quarts 
de période.
40 Il faut lire dans l'énoncé R = S2 /e2eff et non R = S/e2eff . La question 
suivante
n'aurait aucun sens avec cette définition.
42 La valeur de N est donnée dans l'énoncé et permet de déterminer q et M.
La fonction est à réaliser pour un fonctionnement sur N bits.
43 Attention à ne pas décaler les valeurs obtenues : pour un signal faible, le 
niveau
est égal à 1 et non 0.
44 L'énoncé précisant le codage est faux à cette question. Il faut reprendre la 
première
explication, avant la question 37. En déduire ensuite la relation 
n-représentation
dans les deux cas, n positif et n négatif.
45 Il s'agit d'une conversion base décimale vers base binaire. Il faut adapter 
le cours
pour utiliser ici une chaîne de caractères. La concaténation est possible à 
droite
ou à gauche.
49 Le couplage est parfait, mais l'angle entre la bobine rotorique et chaque 
bobine
statorique modifie l'amplitude du flux reçu. Une fois le flux calculé, il faut 
le
dériver, sans oublier que  est faiblement variable devant  t.
50 Il faut montrer que l'on peut accéder à cos  et sin  en valeur absolue et en 
signe.
Cela permet d'obtenir .

Bras exosquelette haptique
Le sujet adopte une notation simplifiée des fonctions de transfert sans 
toutefois l'indiquer clairement ; par exemple les deux impédances notées Zm (p) 
et
Zs (p) au début deviennent subitement Zm et Zs .
1 Ce type de dispositif haptique peut être utilisé pour effectuer des tâches à 
distance
en conservant la sensation physique de l'action. Cela permet de :
· manipuler des objets dans un environnement dangereux ;
· réaliser des opérations chirurgicales.
L'intérêt majeur des dispositifs haptiques est le retour d'informations qui 
permet à
l'utilisateur de ressentir les actions mécaniques réelles.
On serait tenter de répondre : « porter des charges lourdes ». Cependant, cette
réponse est incomplète car l'objet du système haptique est de faire ressentir
à l'opérateur les efforts subis par le robot. Ainsi, le port d'une charge lourde
retournera à l'opérateur une « image » du poids.

1. Vérification de l'exigence de précision
2 On utilise le théorème du moment dynamique appliqué à l'arbre maître en 
projection suivant son axe de rotation. On obtient alors l'équation suivante
Im

dm
d2 m
= Cm + Ch - b m
dt2
dt

De même pour l'arbre esclave,
Is

d2 s
ds
= Cs + Ce - b s
2
dt
dt

3 Les conditions initiales étant nulles, les équations obtenues à la question 
précédente s'écrivent, dans le domaine de Laplace,
Im p 2  m = C m + C h - b m p  m

Is p 2  s = C s + C e - b s p  s

et

Ainsi, en utilisant les expressions des impédances Zm (p) et Zs (p), on a
Zm (p)m = Cm + Ch

et

Zs (p)s = Cs + Ce

De plus, on impose Ce = Cm et Cs = K(m - s ). Par conséquent, on obtient les
équations
Ch = Zm (p)m - Ce
Ainsi,

et
s =

s =

Cs + Ce
K(m - s )
Ce
=
+
Zs (p)
Zs (p)
Zs (p)

Km + Ce
K + Zs (p)

Le problème peut donc se mettre sous la forme matricielle

Zm (p)
Ch
m
K
=H
avec
H=
s
Ce
K + Zs (p)

-1

1
K + Zs (p)

4 Idéalement, l'angle de l'esclave doit être identique à celui du maître et le 
couple
qu'exerce l'opérateur sur le maître doit être opposé au couple de l'extérieur 
sur l'esclave, ce qui se traduit par les relations
et

m (t) = s (t)

Ch (t) = -Ce (t)

La valeur idéale de la matrice H est donc

0 -1
H=
1 0
5 On mesure les deux premières grandeurs dans la configuration Ce = 0 (mouvement
libre sans action de l'environnement extérieur sur l'esclave) et les deux 
autres dans
la configuration s = 0 (l'esclave est bloqué à un angle nul).
6 En utilisant la relation

Ch

= H m , on obtient le système d'équations :
s
Ce
(
Ch = h11 m + h12 Ce
s = h21 m + h22 Ce

Ainsi, lorsque Ce = 0, le système se simplifie en
(
Ch = h11 m
s = h21 m

ce qui permet d'obtenir les expressions de XT et Zmin
Zmin =

Ch
m

et

= h11

XT =

Ce =0

s
m

= h21
Ce =0

En revanche, lorsque s = 0, le système devient

Ch = h11 m + h12 Ce
0 = h21 m + h22 Ce
En injectant m dans la première équation, on obtient

h22
h12 h21 - h11 h22
Ce + h12 Ce =
Ce
Ch = h11 -
h21
h21
ce qui conduit à

FT = -

Ce
Ch

=
 s =0

h21
h11 h22 - h12 h21

De même, en injectant Ce dans la première équation,

h21
h11 h22 - h12 h21
Ch = h11 m + h12 -
m =
m
h22
h22
soit

Zmax =

Ch
m

=
 s =0

h11 h22 - h12 h21
h22

7 L'énoncé fournit les expressions de chaque boîte :
(1) = 1/Zm(p)

(2) = K1

(3) = Hc

(4) = 1/Zs (p) (5) = K2

8 En utilisant les blocs (1) et (5), on a