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X/ENS Modélisation PSI 2008 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE) ; il a été
relu
par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).
Fidèle à la tradition de cette épreuve alternant sujet de physique appliquée les
années impaires et problème de mathématiques les années paires, la cuvée 2008
est
en première approximation plutôt orientée mathématiques. Néanmoins, on remarque
un effort évident pour illustrer les méthodes mathématiques cachées derrière
les programmes de résolution numérique, via la propagation des ondes de chocs
dans la
structure de la fusée Ariane 5 lors de la séparation de l'étage primaire, de
propulsion,
et de l'étage secondaire. Après une unique question effectivement posée sur
Ariane 5,
le problème s'articule en trois parties quasi indépendantes :
· La première partie pose le problème en se basant sur des mesures
expérimentales
faites pour un système simplifié de plaque vibrante. On remarque la présence
de deux types d'ondes (transverses et longitudinales) dont l'étude constitue
le corps des deux parties suivantes. Toutes les observations qui y sont faites
trouvent une interprétation théorique par la suite. Pour cette raison, il peut
être intéressant de revenir à ces questions une fois le reste du problème
traité.
· La deuxième partie se focalise sur les ondes transverses. Par l'étude du
torseur
des contraintes dans la plaque, on détermine une équation d'évolution que l'on
cherche à résoudre par une méthode numérique basée sur un développement de
Fourier. Le cheminement menant à l'équation d'évolution est similaire à celui
mis en oeuvre dans l'épreuve de 2006, qui portait sur les modes de vibration
d'une poutre. L'équilibre entre la physique et les mathématiques est assez bon,
bien que la question 15 amène des calculs fastidieux sans intérêt pour la suite.
· La troisième et dernière partie s'attarde quant à elle aux modes membranaires
de propagation en se contentant d'illustrer la méthode mathématique permettant
de résoudre numériquement des équations d'évolution, sans du tout chercher à
savoir comment les obtenir. Néanmoins, si certains calculs peuvent paraître un
peu lourds au niveau des notations (bien qu'ils restent à des niveaux
élémentaires sur les intégrations par partie ou la représentation matricielle),
cette partie parvient à donner une idée relativement simple de la résolution
numérique par méthode de maillage et s'achève sur une série de questions très
faciles à traiter.
Cette année encore, cette épreuve de modélisation a su mettre en exergue sa
spécificité qui nécessite un entraînement ciblé. Elle commence par une série
d'observations
physiques, qui demandent d'expliquer « avec les mains », puis continue en
étudiant le
plus simple des modèles non triviaux du phénomène étudié. Ce modèle conduit
généralement à un système d'équations que l'on doit résoudre numériquement et
on étudie
la théorie mathématique sur laquelle est basée la méthode de résolution.
L'ensemble
constitue un tout cohérent et représentatif de ce que l'on attend du cheminement
intellectuel d'un ingénieur ou d'un chercheur.
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Indications
1 Que se passerait-il si un cordon ne s'allumait pas ?
Première partie
4 Un milieu est dit dispersif si toutes les fréquences ne se propagent pas à la
même
célérité.
5 Penser au sillage d'un bateau ou d'un avion en vol supersonique.
Deuxième partie
7 Faire un dessin du comportement d'une section de la plaque selon yb.
9 Le théorème du moment cinétique s'applique sans restriction au barycentre G du
système considéré.
---
-
11 Interpréter et calculer (Gx Qx d f ) · zb avec Qx un point de la section
droite de
la plaque.
12 Faire un schéma donnant la variation dv de la position de Gx quand on avance
d'une longueur dx.
15 Ne pas s'attarder sur cette question purement calculatoire et sans intérêt
pour la
suite du problème.
18 Se rappeler qu'une onde progressive vers la droite fait intervenir t - kx
avec
et k strictement positifs.
19 Faire le lien avec les moment et force à l'origine.
21 Penser au caractère dispersif des ondes étudiées.
Troisième partie
23 Calculer
Z
xx,x u dS et
Z
xy,y u dS puis procéder par analogie.
24 Prendre la trace de l'équation (4) pour exprimer Tr ([]) en fonction de Tr
([]).
27 Le produit matriciel est associatif, c'est-à-dire que
t
t
t
t
( U ·) · ( ·U) = U ·( · ) · U
32 On a quatre équations, une pour la valeur de à chaque sommet du carré.
33 (, ) se factorise pour une intégration plus facile en
1
1
(, ) =
-
-
2 x
2 y
38 À quoi ressemble une fonction sinusoïdale échantillonnée sur une grille ?
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Modélisation de la propagation des ondes de choc
dans la structure d'Ariane 5
1 On pourrait d'abord penser que l'utilisation de trois cordons explosifs plutôt
qu'un seul répond à une nécessité de symétrie dans la découpe. En effet, avec
un seul
cordon, l'explosion se propageant sur la circonférence d'Ariane, un couple
exercé par
le bout d'étage principal encore attaché sur l'étage secondaire pourrait
apparaître ;
il serait capable d'incurver sa trajectoire. Néanmoins, une rapide estimation
permet
d'obtenir le temps de découpe. En effet, on peut évaluer à environ 5 m le
diamètre de
la fusée à l'endroit de la coupe d'après la figure 2 de l'énoncé. Connaissant
la vitesse
de propagation de l'explosion d'à peu près 7 km.s-1 donnée un peu plus loin dans
le texte, on en déduit qu'il faut un temps × 5/7.103 2 ms pour séparer les
deux
étages. Sur une telle échelle de temps, le couple dû à l'asymétrie de découpe
ne serait
pas suffisant pour avoir un effet notable.
Si ce n'est la symétrie, qu'est-ce ? Il est un principe en astronautique qui dit
qu'il ne faut pas laisser à un seul système l'autorité de contrôler toute la
mission.
C'est pourquoi tous les dispositifs importants (processeurs, programmes,
gyroscopes)
sont doublés ou triplés au cas où l'un d'entre eux tomberait en panne : c'est
le principe de redondance. La présence de trois cordons permet donc de pallier
un défaut
d'allumage d'un voire de deux d'entre eux, la probabilité qu'ils faillissent
tous les
trois à leur tâche devenant suffisamment faible pour être acceptable.
I. Essais expérimentaux et observation
des phénomènes mis en jeux
2 Une jauge de déformation est un capteur qui traduit une déformation mécanique
(par exemple une élongation) en signal électrique. Elle sont le plus souvent
basées
sur les effets de piézo-résistance, c'est-à-dire la variation de la résistance
du capteur
en fonction de la déformation. Imaginons un capteur constitué d'un morceau de
métal conducteur. Sa résistance est donnée par R = /S en notant sa
résistivité,
S sa section et sa longueur. Si l'on suppose que la longueur du morceau varie
de ,
la résistivité et la section restant inchangée, alors la résistance varie de
S
Cette variation est convertible en tension à l'aide d'un dispositif tel qu'un
pont de
Wheatstone par exemple.
R =
3 Commençons par les mouvements membranaires. Si la plaque subit une
compression selon x ou z, les capteurs de chaque côté sont comprimés de la même
façon.
La demi-somme de leurs deux signaux est donc équivalente au signal de l'un ou de
l'autre.
Si au contraire le mouvement se fait selon y, les deux capteurs sont déformés
à l'inverse (l'un étant au-dessus et l'autre au-dessous), donnant lieu à des
signaux
opposés l'un à l'autre que l'on peut récupérer à l'identique avec la
demi-différence.
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Considérons à présent un mouvement quelconque. La partie symétrique des signaux
des deux faces donnée par leur demi-somme correspond à une déformation qui
se fait de la même manière au-dessus et au-dessous, donc à un mouvement
membranaire puisque le mouvement hors plan donne une déformation opposée et
disparaît
lors de la somme. Inversement, la demi-différence permet de supprimer la
déformation symétrique des mouvements dans le plan pour ne garder que la
déformation
antisymétrique des mouvements hors plan.
On aurait aussi pu invoquer l'unicité de la décomposition du signal en modes
symétrique (mouvements membranaires) et antisymétrique (mouvements de
flexion).
4 Une propagation est dite dispersive quand la vitesse de phase /k associée est
différente de la vitesse de groupe d/dk correspondante. En d'autres termes,
cela veut
dire que toutes les ondes ne se propagent pas à la même célérité.
Les ondes de flexion ont une propagation dispersive car on remarque que pour
une distance x donnée dans la plaque, on observe tout d'abord des ondes de
courtes
longueurs d'onde puis des ondes de longueur d'onde de plus en plus grande,
preuve
que les courtes longueurs d'onde se propagent plus vite que les longues.
5 Les ondes de compressions se propagent de manière circulaire autour de
leur point d'émission à la célérité c de
c dt
l'onde considérée. Le point d'émission
lui-même se déplace à la vitesse v > c
de l'explosion du cordon. On assiste
donc à l'apparition d'un front d'onde
v dt
qui est tel que
c
= sin
v
L'application numérique avec les données fournies en dernière page de l'énoncé
donne
d'où
cP = 5,65 km.s-1
et
cS = 3,12 km.s-1
P = 53,9
et
S = 26,5
en très bon accord avec les valeurs mesurées sur la figure.
On retrouve ici la forme caractéristique du sillage sonore d'un avion en vol
supersonique où la vitesse v de l'avion est supérieure à la célérité c du son.
Des sillages du même type se retrouvent plus aisément à l'arrière des bateaux
si la vitesse du bateau est plus grande que celle de propagation des vagues à
la surface de l'eau.
6 Expérimentalement, l'examen de la figure 8 de l'énoncé montre que les ondes de
flexion se propagent préférentiellement dans une seule direction (celle de
l'axe x),
d'où l'intérêt d'établir un modèle à une seule dimension. Au contraire, la
figure 9
montre qu'il existe deux types d'ondes membranaires dont les directions de
propagation ne sont pas identiques. L'interprétation de ce front à partir du
modèle des « ronds
dans l'eau » amène naturellement l'hypothèse d'une propagation à deux
dimensions.
