X/ENS Modélisation PSI 2007

Thème de l'épreuve Production d'une onde lumineuse de fréquence double dans un cristal anisotrope
Principaux outils utilisés électromagnétisme dans les milieux, ondes électromagnétiques
Mots clefs biréfringence, optique non linéaire, doublement de fréquence

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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CX 7612 MODÉLISATION EN SCIENCES PHYSIQUES ET SCIENCES DE L'INGENIEUR DURÉE: 5 HEURES Aucun document n 'est autorisé. L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé, une seule à la fois étant admise sur la table ou le poste de travail, et aucun n 'échange n 'est autorisé entre les candidats. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa c0pie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Le sujet comporte 23 pages et un document réponse Introduction Les sources laser1 actuelles ne permettent pas de couvrir toute l'étendue spectrale des ondes électromagnétiques: seules quelques plages particulières de longueurs d'onde sont efficacement générées, les valeurs correspondantes dépendant essentiellement des propriétés des matériaux utilisés. Pour autant, les applications commerciales sont en attente de sources laser efficaces pouvant couvrir une gamme de longueurs d'onde étendue, allant de 200 nm à 20 pm. Les débouchés visés sont extrêmement variés et vont de la détection de traces gazeuses (pour déterminer un indice de pollution) \ a la télémétrie militaire, en passant par la photolithographie ou encore certaines techniques chirurgicales. Pour générer tout ce panel de longueurs d'onde, une solution consiste à convertir la fréquence optique des sources laser actuelles en les associant à des cristaux qui permettent un effet optique non linéaire. Ce phénomène a été découvert en 1961, soit une année seulement après l'invention du laser. L'objectif de l'étude présentée ici est d'identifier les paramètres essentiels qui gouvernent l'efficacité d'un tel processus non linéaire de conversion de fréquences optiques. Ces interactions ayant lieu au sein de matériaux cristallins, il est essentiel de s'intéresser avant toute chose aux propriétés optiques spécifiques de ces cristaux, ce qui fait l'objet de la première partie. La seconde partie aborde le problème particulier du doublage de fréquence en utilisant une modélisation « ondulatoire » des phénomènes optiques. La troisième partie, plus succincte, traite de la question en prenant un modèle « corpusculaire » de la lumière : l'interaction n'est alors plus vue comme un doublage de fréquence, mais comme une fusion de photons. La quatrième et dernière partie propose une courte synthèse de ces différentes approches, et permet de choisir le modèle pertinent qui correspond aux conditions expérimentales proposées. Les différentes parties sont très largement indépendantes, sans toutefois l'être totalement. De nombreuses questions peuvent être abordées et correctement traitées même si les questions précédentes n'ont pas été résolues. Les candidats sont donc encouragés à avancer le plus loin possible dans l'énoncé, en gardant à l'esprit que la démarche de modélisation et l'esprit critique comptent davantage que la simple aptitude aux calculs. 1 LASER est un acronyme signifiant Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation. Page 2 Avant d'aborder le coeur du problème, nous tenons à rappeler ici les modèles utilisés pour décrire un faisceau lumineux d'une part, et le matériau dans lequel il se propage d'autre part. Modèle d 'un faisceau lumineux Nous utiliserons essentiellement une description ondulatoire de la lumière, en supposant que toutes les . . 2 , 'Î , - - ondes sont planes, progress1ves et monochromat1ques . Le vecteur d'onde est note k et mater1ahse la direction de propagation de l'onde. Toutes les ondes en interaction seront supposées avoir la même direction de propagation : il est alors commode de définir un repère lié au laboratoire (0, X, Y ,Z ) tel que l'axe (OZ ) soit colinéaire à la direction de propagation. Une onde électromagnétique est constituée de deux champs, l'un électrique E et l'autre magnétique B , qui peuvent dès lors s'écrire3 : ej(ax--kZ ) _"e' =B-ejW--kz) --b où e et b sont des vecteurs unitaires, (t) est la pulsation temporelle, et k = "lc" est le nombre d'onde oe1 mal Il Im dans le matériau considéré. Comme l'onde est plane, les amplitudes complexes E et _B_ sont aE_a_E__ a_zg_ag_ supposées indépendantes du temps et des variables transverses : ------- ---_-_---- EURt----+---- BX BY BX BY Enfin, pour définir un faisceau lumineux, il convient de considérer que les amplitudes complexes _E_ et ë sont définies dans un domaine d'étendue limitée : elles seront considérées comme nulles en dehors d'un cylindre de rayon W , centré sur l'axe ( OZ ) comme le précise la Figure 1. coupe transverse coupe longitudinale Figure 1 : modèle spatial d'un faisceau lumineux cylindrique ; la zone grisée correspond au domaine où l'onde est definie. 2 ces propriétés étant très bien vérifiées par les sources laser utilisées. 3 le choix du seul signe « -kZ >> n'est pas une omission ; il revient à privilégier une onde qui se propage dans le seul sens des Z croissants, ce qui correspond à une réalité expérimentale. Page 3, Modèle du milieu cristallin Les verres et les cristaux utilisés en optique sont des milieux non magnétiques, c 'est-- à--dire qu 'il n' y a pas d'aimantation induite, M: O, et par conséquent B= ,u0 H, où po: ---475 107 H m'1 est la perméabilité magnétique du vide, et H le vecteur excitation magnétique. De même, ces milieux sont des diélectriques, isolants et non chargés; la densité de courant et la densité de charges y sont donc nulles: j= 0 et p= 0 respectivement En revanche, le champ électrique associé à l'onde lumineuse peut induire une polarisation macroscopique au sein du matériau. La répartition des charges internes à chaque atome est alors modifiée": sous l'effet du champ électrique, les barycentres des charges positives (du noyau) et négatives (du nuage électronique) se dissocient, et donnent naissance à un moment dipolaire électrique induit, comme le montre la Figure 2. Sam champ A vec un champ appliqué ; _ b .--._ "575;- «EUR ':1-- '°- &" ïË'Ë' '? * «:",àä.' "' $... ,, _. "'*'- '?ä--Yw " \. \ ("' J£_ , i\"()_\-'t'ili (+) Nuage électroniqlw (_) Figure 2 : principe de la polarisation électronique. Lorsque le champ associé à l'onde optique est faible devant la valeur des champs qui assurent la cohésion de l'édifice atomique, la dépendance de cette polarisation induite vis--à--vis du champ inducteur est bien modélisée par une relation linéaire5 : P = 80 -- ,}; - E , où 80 = 8.85 - 10"12 F--m'1 est la permittivité diélectrique du vide, et }; est un coefficient sans dimension appelé susceptibilité électrique linéaire. Dans les cas qui nous intéressent, c'est un coefficient purement réel6. Pour rendre compte à la fois du champ électrique inducteur et de la polarisation induite par celui-ci dans le matériau, il est nécessaire d'introduire une nouvelle entité7 : le vecteur déplacement électrique, définitpar B=£O-Ë+B. 4 cette justification ne concerne que la polarisation dite « électronique » ; d'autres causes de polarisation peuvent intervenir, mais la polarisation électronique est prépondérante dans le cas des diélectriques. 5 les valeurs des champs intra--atomiques sont typiquement de l'ordre de 1010 à 1011 V-m'1 ; la relation linéaire proposée reste valable pour des valeurs de champ électrique incident allant jusqu'à 105 à 106 V"-m". 6 ce qui revient à négliger l'absorption. 7 cette démarche est parfaitement analogue à celle qui aboutit à définir une aimantation M et un champ d'excitation magnétique H dans un matériau magnétique, qui sont alors reliés par H = B / ,UO ---- M . Page 4, Une fois ces relations constitutives établies, il faut considérer les équations de Maxwell valables dans un milieu matériel. L'ensemble des équations modélisant le matériau peut donc s'écrire : {p=0 F=g,gË Î5=g,Ë+F 1=0 M=0 B=y0 H div(Ë)=0 Ë(Ë)=--%Ê dlv(Ë)=o fi(ÿ)=?äë Interaction envisagée Ces deux modèles étant posés a priori, l'objectif de l'étude est de modéliser l'interaction entre l'onde électromagnétique incidente et le matériau non linéaire. Le processus choisi est le plus simple qui soit : il s'agit de générer une onde de fréquence double, ce phénomène étant aussi appelé génération de second harmonique. La modélisation de cette interaction pourra nous amener à affiner les modèles retenus, tant pour l'onde incidente que pour le matériau dans lequel elle se propage. Le matériau retenu pour réaliser la génération de second harmonique est C dGeAs;. En partant d'un faisceau incident (la << pompe ») de longueur d'onde 10.6 um, issu d'un laser C02, on souhaite obtenir un faisceau le plus intense possible à la longueur d'onde moitié, soit 5.3 pm. Il s'agit bien d'un doublage de fréquence, puisque la longueur d'onde 10.6 um correspond à une fréquence de, 2.83-1013 Hz alors qu'à la longueur d'onde 5.3 um est associée une fréquence de 5.66 1013 Hz, c'est--à-- dire le double. Page 5 \ 1"re partie : optique linéaire cristalline Cas d'un matériau isotmpe Dans un matériau optiquement isotrope, la susceptibilité électrique linéaire est un scalaire, supposé réel, et indépendant de la direction de propagation de l'onde: ;{ =Constantc. La permittivité diélectrique relative, nombre sans dimension noté 8, , est alors définie en imposant la relation constitutive8 D = 80 --8,_ -E . ÆS Question I-1 : Montrer que la permittivité diélectrique relative s'écrit EUR, = (l + ;{ ) , et vérifier que le champ électrique est transverse, c'est--à--dire que div(E ) = 0 . £S Question I--2 : Montrer que les équations de Maxwell associées aux équations constitutives permettent d'aboutir à l'équation d'onde de D'Alembert suivante pour le champ électrique: 3%" al' =O. ?Æ(?Æ(Ë))+y,g,g... gg Question I--3 : Par un raisonnement sur les dimensions des différents termes de cette équation, montrer que le terme #0 --80 --8 est homogène à l'inverse du carré d'une vitesse, notée v. "' Cette vitesse v correspond à la célérité de l'onde électromagnétique dans le matériau. La célérité de la lumière dans le vide est quant à elle notée c, et elle est définie par ,UO -80 --c2 =l. On définit c également l'indice optique d'un matériau par n = -- . v 5 Question I--4 : Exprimer v en fonction de EUR, et C', puis en déduire l'expression de l'indice optique du matériau n en fonction de 8,_. Dans le cas d'un matériau linéaire et non absorbant, l'amplitude complexe du champ électrique _E_ ne dépend pas de Z. La dérivée temporelle et les opérateurs d'analyse vectorielle prennent alors des Ë _. . _ ___--. _-- _-- -- _-- formes simplifiées:%Ï--<=>jü)--E ; le(E)@--jkoE ; rot(E)c=>--jkAE. % Question I--5 : Déterminer la relation entre k = "k" , n , a) et c qui permet à l'expression choisie pour E de vérifier l'équation de D'Alembert9. ' encore une fois, cette démarche est à rapprocher de celle qui définit la perméabilité magnétique relative d'un matériau magnétique, ,a}, , par la relation B = flo - ,a}, -H . 9 la formule développée du double produit vectoriel est rappelée en annexe, page 23/24. Page 6 Les vecteurs D et H, sont pris sous la même forme que celle choisie pour E et B : 5 = Q--ej> par exemple, la réponse du milieu (id est la polarisation ?) ne soit pas la même si le champ électrique E est dans le plan du feuilletage ou au contraire orthogonal à ce plan. 10 les candidats prêteront attention à ne pas confondre vecteur polarisation, P , et direction de polarisation du _-- champ électrique associé à l'onde, matérialisée par le vecteur unitaire @ . Page 7 La susceptibilité électrique linéaire % d'un milieu anisotrope n'est alors plus représentée par un scalaire, mais par une matrice, toujours supposée réelle. En pratique, nous admettrons qu'il existe une repère orthogonal qui permet une écriture diagonale de ){ ; ce repère, appelé repère optique, est lié à la maille cristalline du matériau, et sera noté en lettres minuscules : ((),x, y,z). Dans ce repère, la relation constitutive P = 80 -- Z- E reste vraie, et s'écrit sous forme matricielle : Xxx 0 0 Px 80 .Zxx 0Ex P = 80 - 0 %,}, 0 --E , c'est-à--dire P) = 80 - ,}jyy --Ey Il apparaît alors clairement que les vecteurs D = 80 -E + P et E ne sont en général plus colinéaires ; cependant, comme le matériau reste non magnétique, les vecteurs H et B conservent la même direction : la relation B = #0 --H est préservée. Pour un matériau uniaxe, ce qui correspond au cas de CdGeAs2, deux valeurs propres de la matrice ,1/ sont égales. L'écriture est allégée en notant ;{xx = ly}, = ;{0 et ;{33 = }{e = ;{0. Nous supposerons que la relation D = 80 -8,. -E est toujours valable. Æî Question 1--10 : Montrer que la permittivité diélectrique relative EUR, est alors également une matrice dont l'expression dans le repère optique sera donnée en fonction de ,1/0 et X. . Cette écriture matricielle de la permittivité permet de conserver également l'expression de l'équation d'onde établie à la question 1--2. 5 Question 1--11 : En raisonnant dans le repère optique (O,x, y, z) , montrer qu'en général le champ électrique ---ÿ n'est plus transverse, ce qui revient à dire que div(E ) = 0 . Avant d'étudier le cas général, il est riche d'enseignement de se pencher sur le cas particulier d'un vecteur E orienté selon un axe du repère optique, c'est-à-dire (Ox) , (O)/) ou (02) . .@5 Question 1--12 : ...--). Dans chacun des trois cas particuliers proposés, vérifier que div(E ) reste nul, et montrer que l'équation d'onde aboutit alors à deux valeurs possibles du nombre d'onde, notées ko et k, , qui seront exprimées en fonction de ;{O et ;{e . Donner l'expression des indices optiques correspondants, n et ne , appelés respectivement indice « ordinaire » et indice 0 « extraordinaire », et précisez les vitesses de propagation associées, VO et V, . Page 8 Propagation dans une direction quelconque du milieu uniaxe Pour une direction de propagation quelconque, on peut montrer qu'il y a également deux ondes, notées (+) et (+), susceptibles de se propager dans le matériau, chacune ayant son indice optique propre, en adoptant le classement trivial rt... 2 n(--). L'un des deux indices obtenus dépend de la direction de _, propagation de l'onde, matérialisée par k : il faut donc pouvoir repérer le vecteur d'onde dans le repère optique. Compte tenu de la symétrie d'un matériau uniaxe, les axes (Ox) et (Oy) sont équivalents, de sorte que la seule donnée pertinente est l'angle 9 que fait le vecteur d'onde avec l'axe (OZ) , comme le montre la Figure 3(a). (a) Z ---- cercle n("' (9) (b) ------- ellipse la") (49) / | | | | | | | | | | | | | | .! \ no ne Figure 3 (a) : définition du vecteur d'onde dans le repère optique en coordonnées sphériques. (b) : configuration vectorielle des champs et des vecteurs d 'onde dans CdGeAsg. Pour chaque valeur de 9, la résolution de l'équation d'onde permet de calculer la valeur des deux indices. Pour le matériau considéré, CdGeAs2, on aboutit alors à une représentation graphique de cette dualité de l'indice optique, présentée sur la Figure 3(b) en exagérant l'écart entre no et ne. Il apparaît que l'une des deux valeurs de l'indice, rt... , reste constante, d'où la dénomination d'onde «ordinaire». En revanche, l'autre valeur de l'indice, rt"), dépend de 9, d'où le vocable « extraordinaire », et peut être représentée par une ellipse, de petit axe rt0 et de grand axe ne . Enfin, un calcul plus approfondi permettrait de déterminer la direction de polarisation de chacune des _, deux ondes associées aux deux valeurs de l'indice optique : e... est perpendiculaire au plan de la ___--, figure, alors que e... est porté par la tangente à l'ellipse, comme le montre la Figure 3(b). Pour chacune de ces deux ondes, (+) et (--), les résultats établis dans le cadre d'un matériau isotrope restent vrais : ainsi (E(+',H(+),H(+)) et (D"',B"' ,k(+') forment des trièdres directs, de même que nous conservons la relation ]... =%-rt"' (EUR) Ë-9-- _E_(+) 2, l'onde (+) étant associée à un indice #0 , . .. "(+) . a) .. C rt... (EUR) , à un nombre d'onde k... =---------- , et à une vitesse de propagation v... =... ; ces 6 rt résultats sont transposables par symétrie à l'onde (----). Page 9 Il existe cependant une différence importante entre les deux ondes : le champ électrique ordinaire est transverse, soit div (EH)=O, alors que son homologue extraordinaire ne l'est pas, soit div (E ...) = 0 , sauf dans les cas particuliers où 9 = O0 et 9 = 90° . ÆS Question 1--13 : En justifiant la démarche adoptée, compléter la figure reproduite sur le document--réponse page 24/24 (à rendre avec la copie) en traçant les vecteurs unitaires b... = h... , b(_) = h... ainsi que les vecteurs de Poynting associés aux ondes (+) et (----), pour lesquels une norme arbitraire sera choisie car c'est la direction seule qui nous intéresse. Angle de double réfraction et expressions des indices n... (9) et n°" (9) _? L'angle observé entre H... et HH est appelé angle de double réfraction, noté p. Il se traduit phénoménologiquement par le fait que l'énergie lumineuse incidente se sépare en deux rayons distincts, chacun ayant sa direction propre, et sa vitesse de propagation propre. Notons cependant que les deux ondes conservent la même direction de propagation de l'onde (matérialisée par les vecteurs k... et km qui sont colinéaires), même si elles sont associées à des directions de propagation d_e_ ---------> l'énergie différentes11 (matérialisées par les vecteurs Il... et H... ). 25 Question 1--14 : Pour 96 [00,900] , indiquer quelles sont les valeurs de 9 pour lesquelles l'angle de double réfraction est nul. 25 Question 1--15 : L'équation donnant l'indice ordinaire est triviale: n... (9) = no. En adaptant l'équation d'une ellipse12 à notre problème, déterminer l'équation donnant l'indice extraordinaire, n... (9) , en fonction de 9, no et ne. Æî Question 1--16: En exploitant la Figure 3(b) et l'équation établie à la question précédente, établir l'expression de la pente de la tangente à l'ellipse représentant la") (9) , notée p. 25 Question 1--17 : Etablir une expression de l'angle de double réfraction, p , en fonction de 9 , no et n8 . ÆS Question 1--18 : Calculer la valeur de ,0 associée à la seule direction qui nous intéressera ultérieurement, à savoir 9AP =33.58°, sachant que les indices principaux de CdGeAsZ à la longueur d'onde du laser COZ valent no = 35046 et ne =3.59l 1. Donner également la valeur correspondante de l'indice n... (HAP) . " une analogie peut être faite avec une vague qui se propagerait « en crabe >> : la normale à la crête de la vague correspond au vecteur d'onde, et n'est alors pas confondue avec la trajectoire d'un objet flottant. 12 les équations utiles sont rappelées en annexe, page 23/24. Page 10 Séparation des faisceaux lumineux La loi de Snell-Descartes régit les phénomènes de réfraction à l'interface entre deux milieux d'indices optiques différents H1 et H2 ; elle s'exprime par la relation rtl --sin(i,) = n2 -sin(i2 ) , où i est l'angle entre le vecteur d'onde k et la normale à l'interface. On s'intéresse à un faisceau lumineux interceptant perpendiculairement la surface du cristal. Le milieu n°1 est donc de l'air, isotrope et d'indice rz1 = l , alors que le milieu n°2 est CdGeAs2, donc anisotrope ; deux ondes sont susceptibles de s'y propager, chacune avec son indice propre. L'onde ordinaire se comporte comme s'il s'agissait d'un milieu isotrope: elle continue à se propager en ligne droite, alors que l'onde extraordinaire avance « en crabe », comme le montre la Figure 4 ci--dessous, sur laquelle l'angle p a été nettement exagéré pour une meilleure lisibilité. E. mcident Cristal de CdGeAsZ Figure 4 : exemple de séparation des rayons lumineux dans CdGeAs;. .e< Question 1--19 : En justifiant la démarche adoptée, compléter la reproduction de la Figure 4 disponible sur le document-réponse page 24/24 (à rendre avec la copie), en représentant la direction des faisceaux lumineux (matérialisés par les vecteurs de Poynting correspondants) à la sortie du cristal (id est dans l'air, après la traversée de la face de sortie). .e5 Question 1--20 : . ,, . . __ 13 , . En supposant que les faisceaux ont tous la meme dunenswn transverse W , déterminer la longueur LSép de cristal qui occasionne une séparation totale des deux faisceaux se propageant dans le matériau, en fonction de ,0 et W. Faire l'application numérique pour p =] .275 ° et pour W =lOO pm, ce qui correspond aux conditions expérimentales. Cette séparation des faisceaux peut devenir un «frein» à la réalisation d'interactions optiques non linéaires efficaces. Il conviendra donc de choisir des situations pour lesquelles l'angle de double réfraction est le plus faible possible, voire nul, sous peine de ne pourvoir utiliser efficacement qu'une faible longueur de cristal. 13 cette dimension est définie àla partie intitulée « modèle d'un faisceau lumineux », au début de l'énoncé. Page 11 \ 2°""' partie : optique non linéaire --- aspect ondulatoire Les interactions optiques non linéaires de conversion de fréquences les plus efficaces impliquent le plus souvent 3 ondes. Dans le cas simple qui nous intéresse, à savoir le doublage de fréquence (ou génération de second harmonique), deux ondes incidentes de même pulsation a) et de vecteurs d'onde ___-' respectifs k1 et k2 interagissent dans le cristal non linéaire en induisant une polarisation non linéaire ___--' PNL à la pulsation double 20), qui rayonne à son tour une onde de pulsation 260 et de vecteur d'onde _, _ ___--___, 163. Il y a donc trois champs électriques, E,(w), E,(w) et Ê(2æ), qui se propagent simultanément dans le cristal, ce qui peut être représenté par le schéma donné sur la Figure 5. Figure 5 : schéma de principe d'une interaction de doublage de fréquence. Notons que le milieu étant à la fois non, linéaire et anisotrope, les deux ondes incidentes, bien qu'ayant la même pulsation, peuvent avoir des directions de polarisation différentes, donc des vecteurs d'onde et des indices optiques différents ; elles doivent de ce fait être distinguées par les notations ] et 2. Mise en équation Les champs présents sont toujours choisis sous la forme d'ondes planes, progressives et monochromatiques; leur direction de propagation commune reste alignée avec l'axe (OZ ), mais leurs amplitudes complexes dépendent désormais de la variable d'espace Z. Leurs expressions respectives sont donc : ___--_, ___--_. ___--, (w)=a(2)-WW) ; a--WW)-e2 ; É(,w)zë3(z),,æ...)_,3_ Efil Ces trois champs induisent chacun une polarisation d'origine linéaire : ___--, ___--' _. ___--..., Ë(æ)=go°Ïr°--Ëi(æ) ; Pz(a))=go°/Ï2°Ez(w) ; P3(2w)=80°Ï3°E3(2w)° La non-linéarité occasionne une polarisation supplémentaire PNL (260) à la pulsation 20) dont seule la projection sur e3 nous intéresse. Cette composante projetée s'écrit : ä(2w).èg : 0 ÏÉË) (fil (z) ,eÏ(CÙÏ--kiz) ) (ë2 (Z) . ej(ax--ng) ) , où là? est appelé coefficient effectif non linéaire d'ordre 2, et s'exprime en m--V'l. Page 12 Notons que ce coefficient effectif Z$ dépend de la direction de propagation, repérée par 6', et des ---- _ directions de polarisation des deux ondes incidentes, repérées par 61 et 82 . Notons également que les susceptibilités électriques linéaires ;{1 , ,ï, et % sont a priori matricielles : chacune d'entre elles est donc associée à une valeur « ordinaire », indicée o, et à une valeur << extraordinaire », indicée e. ÆS Question II-1 : Exprimer la polarisation totale à la pulsation 20), Î'(2(0), puis établir l'équation différentielle vérifiée par le champ de second harmonique --E: (260) , et montrer qu'elle peut se mettre sous la forme : ___ __ __ 82 E? Za) 2_--* -- rot(rot(E3 (20))))+;10 --50 -8,3 ---(--â--(,----)-)- = --fl0 ê--%;ÊÊË, 1+ ){_,0 0 0 où la permittivité relative à la pulsation 20) s'écrit EUR,_3 = 0 1+ ,}{30 0 0 0 1+13, Nous avons donc une équation de D'Alembert, où la non-linéarité apparait comme un terme source qui sera traité comme une perturbation, les termes principaux restant ceux issus de l'optique linéaire. En projetant l'équation d'onde obtenue sur la direction de polarisation de l'onde de second ___--' harmonique, et en utilisant le fait que 63 est indépendant du temps, nous obtenons donc : __,__,__ __ azîzï" a2îffzf, rot(rot(E3 (20))))-e3 +,uO -80 --8,3 w = --,u0 -----£---A--/-Là--(Ï(Ï--)--Î--). Les amplitudes complexes étant désormais fonction de Z, nous ne pouvons plus utiliser les opérateurs simplifiés: notamment, l'opérateur rot(E) n'est plus équivalent à --jkAE . Les ondes restent cependant planes, c'est-à-dire que leurs amplitudes complexes ne dépendent ni de X ni de Y. De plus, nous supposerons que l'onde générée à la pulsation de second harmonique est ordinaire: nous avons donc div(E3 (2æ)) : 0 , ce qui revient à dire que le champ E3 (260) est transverse. La validité de cette hypothèse sera établie par la suite. .aç Question ll--2 : _, 82 (E3 (2w))o Montrer qu'alors nous pouvons écrire14 ?6i (fôî (E3 (20)))) = --- Pour pourvoir continuer sans que les calculs ne deviennent trop fastidieux, il convient ici de faire une approximation, dite de « l'enveloppe lentement variable » : l'amplitude complexe, même si elle dépend de Z, est supposée varier lentement. En particulier, sur une période spatiale, la variation du module de l'amplitude pourra être négligée, ce qui se traduit mathématiquement par : a%a Î6î ( i--Ëi (E3 (20)))) se met sous la forme d'un terme principal, (lg) -E3 (20)) , qui est celui 2 ___--'> obtenu dans le cadre de l'optique linéaire, et d'un terme de perturbation à déterminer. L'effet de la non--linéarité étant traité comme une perturbation de l'optique linéaire cristalline, les résultats établis en première partie sont toujours valables en première approximation, ce qui revient à 2 . 2 (250) _ . . . . _ conserver la relation (k3) : 8,3 - 2 pour chacune des ondes, ordinaire et extraordinaire, et donc (: , . . . . ., k3 -C la définition des indices associes : 1/23 = . ( 2w) ,@5 Question II-4 : Montrer alors que pour vérifier l'équation d'onde, le terme de perturbation déterminé à la question ll--3 doit être compensé par le terme source non linéaire, ce qui s'écrit _ 8 E_ (Z ,. OE_3 82 Î(2w)-Ë 2-].k3.__£_ä3îfi.61(2 À.Z)=_fl0_ (NLat2 3)_ 25 Question II--5: En utilisant l'expression de PNL (260)oe3 donnée dans l'énoncé, établir l'équation différentielle vérifiée par l'amplitude complexe _E_3 (Z ) , et la mettre sous la forme suivante : ÔE Z '-- . . _ _":3__(_l : _ ] (1) 3/2? -_E_l (Z) - E2 (Z) - e+J'Ak'Z , où Ak est un paramètre à déterminer. 32 6-113 _ Cette expression fait apparaître les deux paramètres essentiels qui nous occuperont ensuite : le coefficient effectif non linéaire d'ordre 2, 252? , qui doit être non nul, et le désaccord de phase, Ak -- Z , qui correspond au déphasage entre la polarisation non linéaire et le champ qu'elle rayonne. Pour intégrer cette équation, une autre hypothèse simplifie grandement les calculs: il s'agit de l'approximation dite de « la pompe non dépeuplée ». Cette hypothèse stipule que la génération du champ à la pulsation de second harmonique, 261), se traduit par une dépendance forte de _E__, en fonction de Z, mais qu'elle est sans effet notable sur les amplitudes complexes des champs incidents : _E_l et _l_î_2 sont alors supposés indépendants de Z. Cette approximation reste valable lorsque le . . 15 , rendement de l'interaction ne depasse pas quelques pourcents. 25 Question Il-6: Dans ces conditions, intégrer l'équation différentielle et déterminer l'expression de _E_3 (Z = L) , en choisissant une condition initiale pertinente. 15 le rendement de l'interaction est défini comme le rapport de la puissance générée à la pulsation de second harmonique sur la puissance totale incidente. Page 14 Rappelons que l'éclairement, c'est--à-dire la densité surfacique de puissance, a pour expression _1.. 80 2 . . . . . . 2 n-- --- |E_l . Dans la question suivante, toutes les ondes en interaction sont #0 supposées parfaitement superposées pendant toute la traversée du cristal, ce qui revient à négliger l'angle de double réfraction. générique ] = 25 Question II--7 : Etablir alors l'expression de l'éclairement généré à la pulsation 20) après la traversée d'un cristal non linéaire de longueur L, et le mettre sous la forme suivante : ,a a) 2 -2\ 2 . Ak--L 2 2° ? : («/éfl)) . SII] --ä---- l3(2w,Z=L)= 0" _n -n .L2--I,(w,Z=O)--I,(w,Z=O)-- -----W-- 1 2 3 ___-- 2 Notons que les éclairements incidents ]1 (60,2 = O) et 12 (((),Z = O) restent inchangés tout au long de la propagation au sein du cristal, du fait de l'approximation de la pompe non dépeuplée. Ils seront notés plus simplement ]1 ((l)) et 12 ((£)) . Accord de phase Pour bien comprendre l'influence du désaccord de phase sur l'éclairement généré à la pulsation 20), la Figure 6 représente l'évolution de 13 (20), L) en fonction de L, pour deux valeurs de Ak . Figure 6 : évolution de ! 'éclairement généré & 260 en fonction de la longueur du cristal pour deux valeurs différentes de Ak. Les unités choisies sur les 2 axes sont arbitraires. 25 Question II--8 : Parmi ces deux courbes, une seule correspond à la valeur Ak =0. Préciser laquelle, en justifiant la réponse. Page 15, L'objectif étant de générer une onde de second harmonique intense à la sortie du cristal, il apparaît ici clairement la nécessité absolue de travailler à désaccord de phase nul :Ak= 0. Cette contrainte est appelée « condition d'accord de phase >>. % Question II--9 : Quelle relation cette condition impose--t--elle entre les trois indices optiques nl , n2 et 113 Montrer que si 171 = 1/12 = n3 , la contrainte est satisfaite. Malheureusement, tous les milieux sont dispersifs, c'est--à-dire que la valeur de l'indice optique dépend de la pulsation de l'onde. En particulier, pour le matériau CdGeAs2 et dans la gamme spectrale qui nous intéresse, l'indice est une fonction strictement croissante de la pulsation. La relation n1 = 1/12 = 113 est donc impossible à satisfaire, puisque les indices H1 et n2 concernent la pulsation ((), alors que l'indice n3 est associé à la pulsation 20). Une solution existe cependant, en réalisant les interactions non linéaires dans des matériaux anisotropes. Ainsi, pour chacune des trois ondes, l'indice peut être choisi «ordinaire» ou « extraordinaire », en orientant de façon adaptée les champs électriques des ondes incidentes. La dispersion concerne les deux indices : n... ((O) < n(+'2 (2 (O)et n( ' ( (O) ('2( (O.) Pour autant, (-- n et par convention, ces indices vérifient toujours nH ((O) < n... ((O) et n ' (2(O).<. ... (2(O). ÆS Question 11--10 : Parmi les 8 combinaisons possibles pour le choix des indices, éliminer (en le justifiant) celles qui ne peuvent satisfaire à la condition d'accord de phase, c'est-à--dire Ak = 0 . Montrer alors que l'hypothèse stipulant que E3 (2(O) est « ordinaire », donc transverse, est validée. Dans la suite, les deux champs incidents sont désormais supposés avoir la même amplitude complexe, _E_l = E_2 , et nous nous limiterons à la seule configuration suivante, dénommée << type I » : _ _ (+) . _ (--) {"1 --n2 -n (à)),n3 -n (20))}. Outre la dépendance en fonction de la pulsation, rappelons que l'indice (+) dépend également de l'angle 9 qui définit la direction de propagation ; l'équation qui lie les trois indices n'est donc vérifiée que pour une direction particulière, appelée direction d'accord de phase. L'expression de n... ((O, 9) a __ _ --1.«'2 été établie dans la première partie: n +',((O 9)= ((n no (w)) 2 -(:OS2 (49) +(ne (w)) 2 --Sin2 (H)) . ÆS Question II-- 11. ° Pour l'accord de phase de type 1, quelle est l équation qui relie H "(,(O 9)à nH (2(O, 9) ? .@5 Question 11--12 : A l'aide d'un graphe s'inspirant de la Figure 3(b), représenter les 4 courbes relatives aux indices n... ((O,9) , n(_' ((£),9) , n(+' ( 2(O, @) et n(_) (2w,9) , en faisant apparaître la direction d'accord de phase de type I. Montrer graphiquement que la condition nécessaire pour qu'une direction d'accord de phase de type I existe est n, ((O) 2 no (2(O). Page 16. e: Question 11--13 : Dans le cas d'un accord de phase de type I, la direction de propagation qui satisfait à la condition d'accord de phase Ak = 0 correspond à un angle noté 9,1P . Etablir l'expression de Q,}. , qui pourra faire intervenir les différents indices no (260) , ne (260) , no (60) et ne (60) . 25 Question 11--14 : Connaissant les valeurs des indices principaux de CdGeAsz aux différentes pulsations concernées, à savoir no (260) =3.5304, ne (260) =3.6209 ", (60) =3.5046 et ne (60) =3.591 ], calculer la valeur de l'angle 94}, . Vérifier que n... (60, 94P) = n... (260, 9.4P ). Cette étude montre que la nécessité de travailler sous la condition d'accord de phase est une contrainte forte. Elle impose d'une part la direction de propagation des champs incidents, ainsi que leurs directions de polarisations respectives. Il peut d'ailleurs arriver que le coefficient effectif ,1/ÊÊ' associé à une configuration de polarisation donnée soit nul ou trop faible pour générer un faisceau... de second harmonique intense. Dans toute la suite de l'étude, nous supposerons que la condition d'accord de phase est parfaitement réalisée. Eflet de l'angle de double réfraction sur la puissance générée Nous n'avons pour l'instant pas encore pris en compte l'effet dû à l'angle de double réfraction: l'angle ,a entre les vecteurs de Poynting des ondes ordinaire et extraordinaire limite le recouvrement des faisceaux lumineux. Cet effet néfaste se fait sentir lorsque les cristaux sont plus longs que la longueur nécessaire à la séparation des ondes, Lsép , dont la valeur a été calculée à la question 1--20. Nous nous intéresserons à une tranche de cristal d'une épaisseur dX centrée autour de la position X = 0 . Nous choisissons d'orienter Y de telle façon que tous les vecteurs de Poynting soient contenus dans le plan (YOZ ) Dans le cas de l'accord de phase de type I, les deux ondes incidentes sont _ extraordinaires, leur vecteur de Poynting Il... fait donc un angle p ( 60) avec la normale à l'interface, comme indiqué sur la Figure 7, qui montre également le profil d'éclairement pour X ' = 0 et Z = L. Figure 7 : profil d'éclairement généré & la pulsation 20) par une tranche de cristal située en X=O. Page 17. QS Question 11--15 : Adapter l'expression de l'éclairement généré 13 (20),L) , donnée à la question Il--7, au cas d'un accord de phase parfait. Cette expression n'est valable que si l'angle de double réfraction p est nul : montrer que la puissance totale d£ (2w,L) , générée à la pulsation 20) et à la sortie du cristal par cette tranche d'épaisseur dX, est alors proportionnelle à L2 . Ce résultat montre l'intérêt de travailler avec des cristaux << longs >>. Nous supposerons donc que L > L , et les << effets de bords >> du profil d'éclairement seront négligés: ce dernier pourra être sep ' simplement modélisé par un créneau en fonction de la variable Y. L'angle de double réfraction p est supposé non nul, ce qui correspond au schéma de la Figure 7 et aux conditions expérimentales. 25 Question 11--16 : En considérant un volume élémentaire de cristal, compris entre les cotes Yet Y +dY, justifier que l'éclairement de second harmonique 13 (20),L) généré par ce volume est indépendant de Y (sur une très large plage de valeurs de Y, hormis sur les bords). Quelle est l'expression de la valeur maximale de l'éclairement ? ES Question 11--17 : En intégrant cet éclairement sur toute la hauteur du faisceau généré, montrer que la puissance totale émise par la tranche d'épaisseur dX, d9; (2w,L) , est alors proportionnelle à L et non plus à L2 . 5 Question 11--18 : Tracer qualitativement d9â (2æ,L) en fonction de L pour les deux situations étudiées, à savoir pour un accord de phase de type I, d'abord avec p=0 puis avec pi0. Les candidats veilleront à bien montrer bien la situation à la fois pour L < LSép et pour L > LS @ . Page 18, ' 3°""' partie : optique non linéaire ---- aspect corpusculaire Dans tout ce qui précède, nous avons conservé une vision strictement ondulatoire du phénomène. Si cette description suffit pour l'essentiel à rendre compte des observations, il est intéressant d'appréhender le phénomène sous un autre angle. Cela permettra notamment de s'affranchir de l'approximation de la pompe non dépeuplée, sans pour autant trop compliquer les calculs. L'année mondiale de la physique (AMP 2005) étant passée par là, le photon ou « grain de lumière » et ses propriétés quantiques sont sorties de l'anonymat. Rappelons cependant les principales caractéristiques d'un photon associé à une onde lumineuse dont le champ électrique s'écrit: _ E = E - ejW--kz) _..-- --e : son énergie vaut16 cf = F...) et sa quantité de mouvement 1) = ñk. Ainsi, la génération d'une onde de second harmonique au sein d'un cristal non linéaire peut--elle être vue comme la fusion de deux photons incidents, d'énergies 51 = (_Ïz = ha) et de quantités de mouvement respectives p1 = hkl et 192 = fik, : cette fusion consomme les deux photons incidents et donne naissance à un photon d'énergie 53 = ñ--(2w) et de quantité de mouvement ;)3 = hk3 . Nous supposerons bien entendu que les trois quantités de mouvement sont colinéaires. ÆS Question III--1 : Montrer que lors de l'interaction entre les trois photons, l'énergie globale est conservée, et que la condition d'accord de phase revient à conserver de la quantité de mouvement globale. Pour simplifier, nous négligerons l'effet de l'angle de double réfraction. Ni (60,0) est le nombre de photons associés à l'onde n°1 qui arrivent sur la face d'entrée par unité de temps et de surface (N représente donc une << densité de flux de photons >>). A l'intérieur du matériau, cette densité est amenée à diminuer du fait de la consommation des photons incidents pour générer des photons de second harmonique: N1 dépend donc de Z, et doit être noté N1 (w,Z). Notons de la même manière N2 (â),Z ) et N3 (260,2 ) les densités de flux de photons associées respectivement à l'onde n°2 et à l'onde de second harmonique. Il est bon de remarquer que N3 (20), Z ) est nulle en Z = 0 . ÆS Question III-2 : En isolant une tranche d'épaisseur dZ et en effectuant un bilan des populations de photons entrant et sortant par unité de temps et de surface, établir les relations qui lient les variations 8N1(a),Z) et E)N,(w,Z) etgénérée 8N3(2(0,Z)° az az ' ' 32 des populations incidentes, % Question III-3 : Montrer alors que les trois populations vérifient les équations simples suivantes : N1 (Cz),Z)+N3 (2w,Z) =N1 (w,0) N2 (w,Z)+N3 (250,2) =N2 (50,0) N1 (w,Z)--N2 (60,2) =N',(æ,O)--N2 (w,0) h 16 h n'est autre que 5---- où h = 6.63'lO'34 J-s est la constante de Planck. ][ Page 19/ L'énergie globale associée à l'onde n°1 est la somme des énergies élémentaires des photons associés à l'onde n°1. La densité de puissance associée à cette onde, c'est--à-dire l'éclairement, s'exprime donc par: Il(æ,Z)=NI(OE,Z)-hw. .é>5 Question III--4 : Vérifier que Nl(æ,Z)ñw a bien la dimension d'un éclairement, et exprimer les éclairements associés à l'onde n°2, 12 (&),Z ) , et à l'onde générée, 13 (260,2 ) . On suppose désormais que les deux ondes incidentes comptent le même nombre de photons: N1 (0), O) = N 2 (60,0) , ce qui simplifie les équations établies précédemment. Æ Question III-5 : Montrer que la densité de puissance disponible à la pulsation 260, 13(2(0,Z), est nécessairement majorée par un terme que l'on explicitera en fonction de Il (ü), O) . Il apparaît donc clairement que la puissance générée à la pulsation de second harmonique, même si elle est proportionnelle à L'2 dans l'approximation de la pompe non dépeup1ée, ne peut croître au--delà d'une certaine valeur dépendant de la puissance contenue dans les faisceaux incidents. Pour résoudre le problème lorsque la pompe se dépeuple, repartons de l'équation différentielle relative à l'amplitude complexe _E_3 établie dans la deuxième partie. En considérant un accord de phase parfait, soit Ak = O, et en assumant que les deux champs incidents sont équivalents, soit 8|_E_3 (Z)l _ (f)-Æ |_E_1 (Z )| : |E2 (Z)l , on aboutit à l'équation différentielle suivante : ------------------ ---------------I_E_1 (Z )'2 ÔZ (: - 113 Cette équation reste délicate à intégrer, puisque l'évolution de 'E1(Z)l n'est pas connue. .é5 Question III--6 : Quelle est l'équation qui associe |_E_3 (Z)'2 à |_E_l (Z)l2 et à |_E_1(0)|2 '? ÆEUR Question III--7 : fi3(zll d E Z --' , _ En déduire l'intégrale vérifiée par |_E_3 (z)| : [ ......------ = _w -- ;{QËJ --Z . 2 }'l 2 -- . Æ3(O)ll--E--1(O)l __ 3 'LE--3 (Z), 6 1/13 2 -- nl On peut montrer que cette intégrale donne le résultat suivant : _ (2) a) ' Ïefl" \/2-n1--n3--c où tanh est la fonction « tangente hyperbolique », dont la connaissance n'est pas requise. °Â1(O)|°Z ' ÆS Question III--8 : Etablir alors l'expression de l'éclairement généré 13 (20),Z ) , en fonction de l'éclairement _ 2 (2) ..." 'lél(0)l--Z C ./2--nl--n3-- incident ll (G),O) et de la fonction tanh Page 20. L'évolution de la fonction (tanh (x))2 est donnée sur la Figure 8 , . . 2 Figure 8 : evolutzon des fonctzons x2 et (tanh(x)) . QS Question III-9 : Retrouver à l'aide de ce graphe l'expression du majorant de l'éclairement généré, déterminée à la question Ill--5. Justifier l'allure de la fonction tracée pour les petites valeurs de Z, et montrer que l'on retrouve alors les résultats établis dans la question lÏl-7. ÆS Question III--10 : Donner l'expression de l'éclairement incident 11 (60,2) , en fonction de 11 (60,0) et de la fonction tanh ÆS Question III--11 : Tracer alors qualitativement l'évolution des deux éclairements 11 (50,2 ) et 13 ( 20),Z ) en fonction de Z. On rappelle quelques valeurs numériques utiles n1 = 112 = n3 = 35304, c = 3--108m--s'1, @ = 1.78 - 1014 rad°s'l, £Ë,' =235 pm--V'l, #0 = 472"qu Hm"1 et 80 = 8.85 - lO--12 F°m"l. % Question III--12 : Sachant que 11 (w,0) =12 (((),0) =100 kW-cm'2, déterminer un ordre de grandeur de la longueur de cristal L% nécessaire pour consommer la moitié l'éclairement total incident ] (æ,0)=ll(w,0)+12(w,0) : [% vérifie donc IÏOZ(a),LÂ)=l-l (60,0). Que peut-- ZÛÎ 2 ÏOÎ on en déduire concernant l'approximation de la pompe non dépeuplée dans le cas d'un cristal de longueur L = 5 mm ? Page 21, 4ème partie : synthèse Les conditions expérimentales sont les suivantes : le faisceau laser de pompe a un rayon W = 100 um, les deux ondes incidentes ont le même éclairement l1 (a),0) = 12 (60,0) = 100 kW°cm"2, et la longueur du cristal de CdGeAs; est L = 5 mm. L'accord de phase est parfaitement réalisé. On rappelle quelques valeurs numériques utiles nl = n2 = rz3 = 35304 , c = 3-108m°s'1, &) =1.78 -- 1014 rad°s'l, Æ? =235 pm--v1, ,uO = 47z--10"7 H-m'l et 50 = 8.85 --10"1'-- F°m"l. Dans les parties précédentes, nous avons modélisé l'interaction non linéaire entre le milieu matériel et les ondes électromagnétiques dans les différents cas suivants. 0 Si l'accord de phase est parfait (Ak = 0) , si l'angle de double réfraction p est nul, et si la pompe peut être considérée comme non dépeuplée, la puissance générée à Za) s'écrit : /U 60 2 '2' 2 2. 29_.[__£) .(Æfl>) . '> -- ----'> 0 ' --2 -- £(2w,L)=x--W*-I3(Za),L)=7z--W"-----------------------------V-L .11(æ,o).12(æ,0). "1°nz°n3 . Si l'angle de double réfraction p est non nul, les faisceaux ne se recouvrent plus totalement ; lorsque L > Lsép = 9 mm, ? (2(0,L) est alors proportionnel à L et non plus à L2 . 0 Si la pompe se dépeuple, en particulier lorsque le rendement de l'interaction dépasse quelques pourcents, nous avons enfin montré que la puissance générée doit s'exprimer par: [__--2--nl-n3 °C. Â1(Û)I°Z] ÿg(2w,L)=rz--WZ--2--II(OE,O)-- tanh{ % Question IV-l : En justifiant le modèle finalement retenu, calculer la valeur numérique de 52 ( 20), L) . 25 Question IV-2 : Calculer également la puissance incidente totale .? 101 (æ90) : OE(CÙ,O)+ÿÉ (60,0) , fit en 53(2w,L) ÿ't(a),0)° déduire la valeur du rendement de l'interaction : 77 = t() @5 Question IV-3 : Discuter des différentes façons de procéder pour augmenter significativement le rendement de cette interaction. Fin de l'énoncé Page 22/ Annexe E X Eléments d'analyse vectorielle : si Ë s'écrit Ey dans le repère ( X ,Y !,Z ) , EZ BEZ _ BEY BY BZ . ---» BE BE,. BE ---- ---- BE.) BE alors le(E)= X + _Y + Z et rot(E)= À ----- Z BX BY BZ BZ BX BEY _ BEX BX BY Double produit vectoriel : ;: A (; /\ îv) = (&oîV) ; -- (ii-3) îv . Equation d'une ellipse : b a X 2 2 en coordonnées cartésiennes : (----) +(--Ë--] = 1 , avec a = 1/2 grand axe, et b = 1/2 petit axe. a Géométrie : deux droites de pentes p et pi (non nulles) sont orthogonales si p -- p l = -----1 . Page 23 Académie : Session : Modèle EN. Examen ou Concours Série* : Spécialité/option : Repère de l'épreuve : ... Epreuve/sous--épreuve : :: 2 NOM : U {en majuscules, suivi s'il y a lieu, du nom d'épouse) u.: , _ ° _ o Prenoms . N du Câfldldât m % Né(e) le : {le numéro est celui qui figure sur la G convocation ou la liste d'appel) u.: 5 :: U *... 2 E'. n: w 2 Document-réponse (à rendre avec la copie) Réponse à la question 1--13 : cercle n(") (49) ---------- ellipse n... (9) no ? _ \ e e( )® \\ "___--T' " 9 k(+) \ +., \ k(--) \ '. | -- no ne x ou y Réponse à la question 1--19 : H(+) ___--_. k(+) Eincident k incident p e( +) ' ' <--> @ --'--+:> % nincident EUR [I( ) k( ) Cristal de CdGeAs;

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 X/ENS Modélisation PSI 2007 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Emmanuel Loyer (Professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE). Ce sujet, particulièrement bien conçu, nous entraîne dans les coulisses des phénomènes de biréfringence et de génération de faisceau optique par doublement de fréquence. Il se subdivise en trois grandes parties indépendantes auxquelles s'ajoutent trois questions de synthèse nécessitant les applications numériques effectuées dans chaque partie. · La première partie résume et illustre ce que pourrait être un cours sur la propagation des ondes lumineuses dans les milieux diélectriques linéaires et isotropes. Elle se prolonge par l'étude de milieux anisotropes (conservant tout de même un caractère uniaxe), aussi appelés milieux biréfringents pour leur capacité à séparer un faisceau incident non polarisé en deux faisceaux émergents polarisés. · La deuxième partie porte sur la non-linéarité que l'on peut rencontrer dans certains de ces milieux qui, à partir de vibrations de fréquence , fabriquent une vibration de fréquence 2. Après une étude générale de la non-linéarité, on explore les avantages et inconvénients de la biréfringence dans l'obtention d'une certaine puissance de sortie. · La troisième partie examine l'aspect corpusculaire qui n'a pas été pris en compte dans la deuxième partie, entièrement ondulatoire. On y introduit le concept de photon, ce qui permet de déterminer les équations d'évolution des intensités des faisceaux et de décrire correctement le phénomène de saturation. · La dernière partie, constituée de seulement trois questions, rassemble les avancées des parties précédentes afin de choisir le modèle caractérisant au mieux le système expérimental utilisé. Étant donné que l'énoncé traite du problème des milieux diélectriques, thème hors programme en PSI, tous les éléments nécessaires à sa résolution sont fournis. Particulièrement pédagogique et directif, c'est un supplément de cours à parcourir absolument tant il sait faire apparaître simple les secrets de l'optique non linéaire et non isotrope, sujet pourtant fort complexe au premier abord. Indications Partie I I.2 Procéder comme pour l'équation de propagation dans le vide en utilisant les équations de Maxwell-Ampère et Maxwell-Faraday. I.7 Relier H à E via l'équation de Maxwell-Ampère. I.8 La moyenne temporelle d'un cosinus carré vaut 1/2. I.10 Penser à introduire la matrice identité de dimension 3 et refaire la démonstration de la question I.1. - Ez I.11 Faire apparaître div E et donner une condition suffisante sur . z - I.13 Commencer par placer les vecteurs d . Le cas ordinaire est facile. Pour le cas - - extraordinaire, penser que d est dans le plan des vecteurs - e et k , tout en - - étant orthogonal à k car div D = 0. I.15 Chercher la représentation sous la forme z = n(+) cos et x = n(+) sin . I.16 La pente p s'exprime comme p = dz/dx, que l'on peut simplifier avec les formules précédentes pour faire apparaître . I.17 Introduire l'angle que fait la tangente avec l'axe horizontal Ox. Il est tel que |p| = tan . I.19 De retour dans l'air, le comportement est à nouveau « ordinaire ». Partie II II.1 L'équation est la même que pour le cas linéaire, excepté le terme supplémen - taire dans l'expression de D . II.2 Remarquer que E3Z = 0 et appliquer l'expression cartésienne du rotationnel. E3 II.6 L'équation s'écrit = -j e j k Z avec paramètre constant. Z II.7 Mettre e j k Z/2 en facteur pour faire apparaître l'expression du sin(k Z/2). II.12 Chercher un point d'intersection. II.16 L'intensité augmente tant qu'il y a recouvrement. II.17 Chercher une valeur minimale. Partie III III.6 Passer pour une équation sur les éclairements. III.12 Remarquer sur la figure que tanh2 (0,9) 1/2. Partie IV IV.1 Comparer la longueur effective L du cristal aux deux longueurs caractéristiques précédentes Lsep et L1/2 . I. Optique linéaire cristalline - I.1 L'énoncé fournit les définitions des vecteurs polarisation P et déplacement - électrique D comme étant - - P = 0 E - - - D = 0 E + P r On a donc d'où z }| { - - - - D = 0 E + 0 E = 0 (1 + ) E r = 1 + L'équation de Maxwell-Gauss s'écrit dans les milieux - - - 0 = div ( D ) = div (0 r E ) = 0 r div E La dernière égalité découle du fait que la susceptibilité électrique (et donc r ) est supposée ne pas dépendre des variables spatiales. Le produit 0 r étant non nul, il vient - div E = 0 I.2 Calculons le premier terme de l'équation proposée - - - - - B rot (rot E ) = - rot t - - = - (rot B ) t - - = -µ0 (rot H ) t - D = -µ0 t t - - - - 2 E rot (rot E ) = -µ0 0 r t2 On obtient bien - - B - car rot E = - t (théorème de Schwarz) car µ0 = Cte - - D - car rot H = t - - car D = 0 r E - - - 2 E - - rot (rot E ) + µ0 0 r = 0 2 t I.3 Le rotationnel du champ électrique a la dimension d'un champ électrique divisé par une longueur. Sa dérivée temporelle a la dimension d'un champ divisé par un temps. Il en résulte [E] [E] + [µ0 0 r ] 2 = 0 2 L T ou encore [µ0 0 r ] = T2 = [v]-2 L2 Le terme µ0 0 r est bien homogène à l'inverse du carré d'une vitesse v. I.4 En utilisant la relation µ0 0 c2 = 1, on en déduit immédiatement c v= r et n= r I.5 À l'aide de l'équation démontrée à la question I.2 et de la formule du double produit vectoriel rappelée dans les annexes de l'énoncé, on a - - - - - - - - - n2 (j)2 - n2 2 - -j k (-j k E ) + E = -[( k · E ) k - ( k · k ) E ] - 2 E 2 c c - - - La conservation du flux du champ électrique via la relation div E = -j k · E = 0 - indique que le champ est transverse, perpendiculaire au vecteur d'onde k ; l'équation se simplifie alors en - n2 2 - - k2 E - 2 E = 0 c k 2 c2 = n 2 2 Il vient I.6 L'équation de Maxwell-Ampère s'écrit en notation complexe - - - - -j k H = j D = j 0 r E - - - Les vecteurs - e et h qui portent respectivement E et H sont donc nécessairement orthogonaux par définition du produit vectoriel. De plus, comme le vecteur de Poyn - - ting est porté par définition par - e h, - - - Les vecteurs ( E , H , ) forment un trièdre direct. - L'équation de conservation du flux du champ magnétique div B = 0 assure que le - - vecteur B est orthogonal au vecteur d'onde k . En outre, on peut réécrire l'équation de Maxwell-Ampère - - - -µ0 j k B = j D - - - assurant que le trièdre ( k , B , - D ) est direct. Par permutation non circulaire, on en déduit - - - Les vecteurs ( D , B , k ) forment un trièdre direct. - - - - - - I.7 ( D , B , k ) formant un trièdre direct, ( E , H , k ) en est aussi un. Par conséquent, - - k H = -k H - e - - Projetée selon - e , l'équation de Maxwell-Ampère exprimée en fonction de E et H exploitée à la question précédente s'écrit k H = 0 r E n = n µ0 0 c la norme du vecteur de Poynting s'écrit Comme k= = et 2 0 n2 Re E e j (t-kZ) =n n µ0 0 r r = n2 2 0 Re E e j (t-kZ) µ0