X/ENS Modélisation PSI 2005

Thème de l'épreuve Autour des matériaux ciment et béton
Principaux outils utilisés hydrodynamique, thermodynamique, diffraction, diffusion thermique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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MODÉLISATION EN SCIENCES PHYSIQUES ET SCIENCES DE L'INGENIEUR DURÉE: 5 HEURES Aucun document n 'est autorisé. L'usage de calculatrices électroniques de poche & alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé, une seule & lafois étant admise sur la table ou le poste de travail, et aucun n 'échange n 'est autorisé entre les candidats. Autour des matériaux ciment et béton. Le béton est un matériau qui a pris une place très importante dans le domaine du génie civil depuis le début du siècle dernier. Des considérations économiques ainsi que des possibilités très vastes de formulation et de mise en oeuvre sont à l'origine de ce déve10ppement. C'est un matériau composite qui résulte du mélange de granulats, de ci-- ment, d'eau et éventuellement de particules fines ainsi que de faibles quantités d'adjuvants. Le mélange frais réalisé lors de la fabrication est mis en oeuvre à l'intérieur de coffrages qui jouent le rôle de moules. L'objectif de ce problème est de vous faire mieux connaitre le matériau béton et de vous montrer qu'au--delà d'une technologie d'usage courant, il nécessite une réflexion scientifique et un effort de modélisation important. Le problème est construit en trois parties indépendantes (néanmoins nous vous conseillons la lec-- ture de l'intégralité du sujet), présentant des applications industrielles pour lesquelles une modélisation des phénomènes est nécessaire. 1 Le ciment Le ciment est la " colle " qui permet de lier entre eux les granulats. La norme eu-- ropéenne EN 197 le définit comme " un liant hydraulique, c'est à dire un matériau fine-- ment moulu qui, gâché (mélangé) avec de l'eau, forme une pâte qui fait prise et durcit par suite de réactions et de processus d'hydratation et qui, après durcissement, conserve sa résistance et sa stabilité même sous l'eau." Le ciment, lorsqu'il ne contient pas de constituant secondaire, provient d'un mélange d'environ 80% de calcaire et 20% d'argile. Ce mélange est broyé puis calciné a 1450°C dans un four. On obtient alors des nodules de "clinker" qui sont broyés pour obtenir le ciment sous sa forme finale d'une poudre dont les grains ont quelques micromètres de diamètre. Dans cette première partie nous allons nous intéresser à la caractérisation de cette poudre et a la modélisation physique de l'hydratation. 1.1 Caractérisation du ciment Comme nous le verrons plus loin, l'hydratation du ciment dépend de la taille des grains de ciment : plus les grains ont une surface spécifique importante et plus ils sont réactifs. La surface spécifique est définie comme le rapport entre la surface des grains et leur volume. Elle est aussi souvent définie sous forme massique : c'est alors la surface développée par un gramme de poudre. 1.1.1 Surface massique et taille des grains En considérant des grains de masse volumique p, donner la relation liant la surface spécifique SS et la surface massique S A [. En supposant que tous les grains soient sphériques et de même rayon 7', donnez l'expression de la surface massique de poudre en fonction de 7' et de p. Compte tenu de la méthode de fabrication du ciment, que devra--t-on faire pour augmenter sa surface massique et obtenir ainsi un ciment plus réactif '? La mesure de surface massique peut se faire au moyen de méthodes physiques différentes que nous allons etudier. _ 1.1.2 Méthode Elaine Dans cette méthode, après avoir créé une dépression, on fait passer de l'air à. travers un volume de poudre de ciment. Le calcul de la surface spécifique repose sur une modélisation proposée par Kozény. 112.1 Equation de Carman--Kozény Soit un lit de poudre comprimée de hauteur L et de section A. La face supérieure est soumise à une pression d'air P +AP et la face inférieure à la pression P. Sous la différence de pression, un débit volumique Q d'air s'écoule au travers des espaces intergranulaires. Q HAP--» P FIG. 1--- On supposera dans ce qui suit que la différence de pression est assez faible pour que l'on puisse négliger la compressibflité de l'air entre les deux faces ce qui revient 'a supposer que le débit volumique est le même a travers les deux faces en régime stationnaire. Notations : v : volume des vides intergranulaires Al : masse des grains du lit de poudre p : masse volumique des grains A, L : section et longueur du volume traversé Va : A.L : volume apparent du lit de poudre ]) = "(>/Va : porosité du lit de poudre SM : surface massique du ciment (en C7n2.g"1) L'écoulement de l'air dans les vides intergranulaires est complexe. Pour simplifier son étude, on modélise le problème. Deux hypothèses concernent la géométrie de l'espace des vides, une troisième est relative à l'écoulement de l'air. Hypothèse 1 : On assimile les vides à un canal unique de section constante quelconque a et de longueur LEUR ; Hypothèse 2 : Le volume des vides intergranulaires est égal au volume du canal (@ = a,.Le) et la surface latérale du canal est égale à la surface externe des grains; Hypothèse 3 : Le régime d'écoulement est laminaire. Il est régi par la loi de Poiseuille; sous sa forme générale celle--ci s'écrit : Q 7712 AP ue :: -- : ___-- a' h0,U Le Nous verrons dans la Partie 3 comment démontrer cette relation dans le cas d'un tube cylindrique. Q est le débit a travers le canal modèle. m est le rayon hydraulique du canal, (1) FIG. 2 -- rapport entre le volume et la section latérale du canal. ho est un facteur de forme qui caractérise la forme de la section du canal. il est la viscosité de l'air. Exprimez le rayon hydraulique m en fonction de la surface massique S M, du volume des vides @ et de la masse de ciment M" . Après avoir exprimé le volume des vides de deux façons différentes en fonction de la porosité 1), des longueurs L et LEUR et des sections A et a, et en posant % = Ill--0%, donnez l'expression du débit Q en fonction de p, A, AP, SM, p, h, ,a et L. Kozény a montré que pour des lits de poudres dont les dimensions sont comprises entre 1 et 100 nm, ce qui est le cas du ciment, la valeur de h peutêtre prise égale à 5. 1.1.2.2 Le perméam'etre de Elaine Cet appareil permet de mesurer la surface massique des ciments. On la notera SMB. L'appareil se compose d'une cellule dans laquelle est placé le ciment. La partie inférieure de cette cellule est raccordée à un tube en U de section 5 contenant un liquide manométrique (poids volumique æg). Une tubulure latérale permet d'aspirer de l'air ce qui fait monter le liquide dans la branche de gauche. On notera : la dénivellation entre les deux branches. La différence de pression entre les deux faces du lit de poudre est : AP : sw; . On ferme ensuite le robinet d'aspiration. La face supérieure de la cellule étant au contact de l'air à pression atmosphérique, sous l'effet de la différence de pression, l'air s'écoule a travers la poudre et .: diminue. La pression qui intervient dans l'expression de Carman--Kozény varie donc au cours de l'essai. On utilisera la valeur moyenne AP... de cette pression calculée entre deux positions repérées sur le tube. Soient 31 et sg, les deux dénivellations correspondantes et At le temps de descente entre les deux repères. Dans un tel perméamètre le débit s'exprime par la loi de Darcy, kA AP @ = ----ÎÎ @) où le est la perméabilité du milieu (en 7712). dEURillî'içiaäï ", {, "31 ::EUR % dEUR ;;» L: c:il::l: }; "i. "&" Çc!lulEUR :: L , : ;." . {, L'" ÜEUR ' .. Mam:mEURm fin:... (Ï:EUR HÜÊOEÇÎÊ' pEURr IEUR mat--m: L1qmäk* ? .:.EURmEURtrtqoe war... Gt:ilEUR Lil' L: ..__,_3 ræmdzikw ée '" "" {mg--:::: film» :: . Lutplaavttmnt fil:: I:: à: !) Pm:::: :::: du !:qmd: EUR « ?::::mm d:: !:qmd mme... """" " """" uw:mmcmqoe *... *36Î3üî m:::::mwmuc ::: temp: : d£": lEUR<äaEUR: FIG.3 --Perméamètre de Elaine (d'après Granulats, sols, ciments et bétons, ed. Casteilla) a) A partir de cette expression, montrez que la loi de variation de z en fonction du temps t peut se mettre sous la forme : = 50 exp(--Àt). En déduire At le temps de descente entre les deux repères ::1 : SM) et :o : z(t;:) et enfin la pression moyenne définie par 4-- 1"2 APTR : ':TÏIOE. : _ 1 A: Z(Î)OE'[ dÏ (3) en fonction de :1, ::2 et to]. b) Exprimez le débit d'air moyen de l'écoulementà travers le lit de poudre entre les instants t1 et t:: en fonction de 5, At, :51 et :2. En 1 égalant au debit donné par la relation de Carman--Kozény, donnez l'expression de la surface massique SMB en fonction de p, At, p , L, A, w;, ,a, 31 et :2. 1 . 1 .2.3 Application On se propose de mesurer la surface massique d'un ciment de masse volumique p : 3,159.cm'3 au moyen de l'appareil de Elaine. On introduit une constante KB où sont regroupés les termes caractéristiques de l'appareil de Elaine utilisé : , L'appareil utilisé a une constante KB = 1500[SI]. Dans la cellule de perméabilité dont le diamètre est 1, 5 cm, on compacte 2, 8 g de ciment sous une hauteur de lcm. Le temps d'écoulement du liquide manométrique entre les deux repères est égal à 100 3. Quelle est la surface massique Elaine S M B du ciment ? En supposant que les grains de ciment sont sphériques et tous de même taille en déduire le rayon de ces grains. 1.1.3 Méthode BET Définitions préalables : adsorption : c'est un phénomène général qui se produit lorsqu'un solide est au contact d'un gaz; celui--ci est retenu par les atomes superficiels du solide et se concentre a sa surface. Ce phénomène ne doit pas être confondu avec l'absorption qui indiquerait que le fluide a pénétré dans la masse du solide. désorption : c'est la libération du gaz retenu par adsorption a la surface du solide. La méthode BET (du nom de ses auteurs Erunauer, Emmett et Teller) est une tech- nique permettant d'obtenir la surface spécifique d'une poudre mais aussi d'un milieu poreux comme la pâte de ciment durcie. Elle consiste a faire adsorber sur la surface du matériau à étudier un gaz, en général du diazote, à sa température normale de liquéfaction. Pour cela on dispose d'une cellule d'adsorption contenant l'adsorbant. Le gaz est intro-- duit dans la cellule et on mesure la pression d'équilibre. L'introduction d'une succession de doses de gaz permet alors de déterminer l'isotherme d'adsorption point par point. Cette isotherme relie le volume V de gaz adsorbé a ar rapport entre la pression P du gaz et P0 sa pression de vapeur saturante. Rappelez pourquoi r = 3 est compris entre 0 et 1. Po 1.1.3.1 Adsorption en couche monomoléculaire (Langmuir) Les hypothèses sont les suivantes : -- il existe un seul type de site d'adsorption capable de fixer une seule molécule d'ad-- sorbat; -- il n'y a pas d'interaction entre molécules adsorbées. Lorsqu'une molécule venant de la phase gazeuse heurte la surface nue SO elle peut s'y fixer. Par contre si elle rencontre une fraction de surface déjà couverte S1 elle rebondit élastiquement vers la phase gazeuse. Ceci revient à. supposer que les actions de surface ne se prolongent pas arr--delà de la première couche. FIG. 4 ---- Adsorption en une couche monomoléculaire On suppose enfin qu'à l'équilibre on a la relation suivante : 51 = 01780 Où EUR est une constante. a) Exprimez alors l'équation de l'isotherme d'adsorption donnant î"' en fonction de "777, C et cr, ou V... est le volume d'adsorbat nécessaire pour recouvrir d'une couche mono- moléculaire la surface de l'adsorbant. On notera VO le volume d'adsorbat nécessaire pour recouvrir d'une couche monomoléculaire une unité de surface de l'adsorbant. b) Tracez l'allure de l'isotherme d'adsorption (appelée dans ce cas isotherme de type I ou isotherme de Langmuir) avec C = 100. 1.1.3.2 Adsorption en couches multimoléculaires (théorie BET) On note Si la surface recouverte par exactement i couches de molécules (Figure 5). Les hypothèses de cette théorie sont les suivantes : -- La vitesse d'évaporation des molécules adsorbées sur une couche est égale à la vitesse de condensation de l'adsorbat sur la couche précédente (à. l'équilibre l'évaporation est compensée par la condensation pour chaque couche) ; -- La première couche voit l'effet de la surface alors que les autres couches ne sont liées que par des forces de type Van der \\'aals comme dans un liquide. Dans toutes les couches autres que la première7 l'énergie d'adsorption est donc égale à l'énergie de liquéfaction de l'adsorbat (Ei : EL pour i > 1 où Eli est l'énergie molaire d'adsorption de la couche i et E L l'énergie molaire de liquéfaction de l'adsorbat) ; -- Il n'y a pas de condensation capillaire. a) En supposant également que la vitesse d'adsorption sur une couche est proportion- nelle a la pression P et a la surface de la couche inférieure et que la vitesse de désorption est proportionnelle à la surface de la couche et fonction de la température T par le biais d'une loi d'activation s'exprimant par exp( };E'T), montrez que l'équilibre entre couches 9!" successives se traduit par : ai_1PS-_1 : bZ--Siexp(LE--L) avec ai_1 et bi coefficients de proportionnalité. ? ' . gere cm.:1e FIG. 5 -- Adsorption en couches multimoléculaires On notera El l'énergie molaire d'adsorption de la première couche et Rgp la constante des gaz parfaits. b) En supposant de nouveau que 51 : COES@ et pour i > 1, S.- = 1135 -__1, i étant l'ordre de la couche, montrez que : 92---- = 21 = . . . = 3L-- = g où g est une constante. Déterminez ai a2 al'--1 g en fonction de P... E L et T. Donnez enfin l'expression de C en fonction de ao, bl, 9, El, E L et T. C est appelée constante BET. c) En sommant les surfaces recouvertes par O, 1, '2, . . .n couches, exprimez la surface de l'adsorbant en fonction de 50, C , :t et n. Montrez que lorsque n tend vers l'infini la série converge. Donnez son expression. d) Donnez l'expression du volume V adsorbé sous la pression P en fonction de lfb. S... C , 17 et n. h--lontrez que lorsque n tend vers l'infini la série converge. Donnez son expression. e) On considère dans la suite que n tend vers l'infini. Exprimez l'équation de l'iso-- therme d'adsorption '-- en fonction de C et 17. Tracez son allure de variation avec C = 100. '777 f) Calcul de la surface massique On introduit la variable y = %--fi--;. Montrez que l'on peut écrire y : dl? + 8 et ex-- primez %. et C en fonction de d et [13 . Donnez enfin l'expression de la surface massique SMBET en fonction de M... du volume molaire de l'adsorbat u..., du nombre d'Avogadro NA et de l'aire d'encombrement d'une molécule adsorbée dans la couche monomoléculaire A.... g) Application La Figure (6) présente le résultat d'un essai BET obtenu non pas sur un ciment mais sur une addition que l'on peut ajouter au ciment : un filler calcaire. Calculez la surface massique SMBET pour le filler calcaire. En supposant que les grains de filler sont sphériques et tous de même taille en déduire le rayon de ces grains. Données : ,13 = O, 0098 g.cm'3 pour NZ à T = 77 K. 7\A=Ê--L : 4, 35.106 m"1 masse volumique du filler calcaire : 2, 74 g.cm" O "..:. CD ? .--.\ "A E U \ 22 > |. LIJ m : le " O C O LI. 0 FIG. 6 -- Résultat de l'essai BET pour lg de filler calcaire 1.1.4 Analyse granulométrique laser L'analyse granulométrique laser permet de déterminer la distribution des tailles des grains de ciment. Elle donne donc une information supplémentaire par rapport à la perméabilité Elaine et au BET. Nous allons étudier cette technique dans le cadre de la théorie de F raunhofer qui est suffisante pour les matériaux cimentaires (taille des grains > 1 pm). a) Théorie de Fraunhofer -- Cas d'une ouverture circulaire On considère un trou circulaire de rayon 7°, dans un écran opaque et éclairé sous incidence normale par une onde plane monochromatïque de longueur d'onde À . L'intensité lumineuse [(a) diffractée à l'infini dans une direction faisant un angle a avec la normale au plan de l'écran est égale à, J 13" ' | _ 2 [... = ]. (+.-->) <5> .? smo avec k-- ---- 7 où 10 est proportionnelà 7"1 et .Il est la fonction de Bessel définie par : J1(u)1/Ou/02fiexp(znc0s9)ndndû (6) =27ru ' La Figure (7) présente le graphe de variation de la fonction de Bessel. En déduire la méthode de détermination du rayon 7'. b) Cas d'un grain de ciment On fait l'hypothèse que la diffraction sur un grain de ciment est la même que celle d'une pupille circulaire opaque. En considérant la diffraction à l'infini dans une direction FIG. 7 -- Graphe de la fonction de Bessel J1(u) donnée de deux dispositifs complémentaires (une pupille circulaire opaque et un trou de même rayon dans un écran opaque), expliquez pourquoi l'image de diffraction est la même que celle calculée à la question précédente à l'exception de la tache lumineuse qui existe au centre dans le cas du trou (on pourra s'aider en remarquant que la superposition des deux cas complémentaires correspond à une pupille de transparence uniforme et égale à l'unité). En déduire la méthode de mesure du rayon du grain. (3) Cas de plusieurs grains de même taille On se place dans le cas de grains de tailles identiques suffisamment dilués pour que la diffraction s'effectue sur une particule à la fois sans interaction entre les particules. Mon-- trez que, l'intensité ne dépendant que de l'angle de diffusion a et du rayon 7° du grain, N grains donnent une image de diffraction semblable et superposable. d) Cas de plusieurs grains de tailles différentes On suppose maintenant que l' on a un nombre fini n connu de tailles de g1ains appelées classes granulaires. La répa1tition granulométrique en volume est définie pa1 pj-- -- % ou l] est le volume de la joemEUR classe granulaire et l' -- --ZÏ=1 l/j . Donnez une méthode permettant de détermine1 la distribution granulométrique des grains. e) Application Le Tableau (1) présente un exemple de distribution granulaire (d est le diamètre) obte-- nue par granulométrie laser pour un ciment. A partir de cette distribution granulométrique estimez la surface massique S...aser. Donnée complémentaire : masse volumique du ciment : 3, 08 g.cm"3 u--- 128 ...un--- 6 -- TAB. 1 1.2 Hydratation du ciment : modélisation physique On va maintenant modéliser la réaction d'hydratation des grains de ciment. On utili- sera pour cela une distribution granulaire de ciment simplifiée : la taille des grains varie de 0 à 100 mn et chaque population de grains considérés comme sphériques de diamètre d est représentée par la même fraction volumique, soit Vg(d) : ch où Vg(d) représente le volume de grains de ciment de diamètre d et VC le volume total de ciment. a) Comparez graphiquement les volumes cumulés C"Î"(d'= [: --%(6-- d9 obtenus avec cette hypothèse et à partir du Tableau (1 ). Sachant que l'hydratation ne pénètre jamais au--delà de 20 pm dans le grain, calculez la proportion de ciment ayant réagi a long terme. b) Calculez l'énergie thermique dégagée totale dans ces conditions par un m3 de béton utilisant ce ciment, puis déterminez l'élévation de température au coeur d'un ouvrage massif (on supposera que cela correspond à des conditions adiabatiques). Données : énergie thermique d'hydratation du ciment 400 J.g"1; le béton utilisé est composé de la manière suivante : pour 1m3 , ciment 380 kg, gravier et sable 1800 kg, eau 200L; Capacités thermiques massiques : ciment, gravier et sable 0, 8k'J.kg"l.K"l, eau 4,18 k.].kg'l.K'lg c) On suppose maintenant que la profondeur d'hydratation, e en ,um, est une fonction de type : e(t) : 20 -- iÎ--Ê avec t en jours. Déterminez l'énergie thermique produite en fonction du temps pour quelques valeurs de t (1, 2, 3, 4 et 8 jours). Tracez les graphes de l'énergie thermique dégagée et du taux de dégagement d'énergie. 2 Béton au jeune âge 2.1 Thermo--activation de la réaction d'hydratation La prise et le durcissement du béton sont le résultat d'un certain nombre de réactions chimiques en lien avec le ciment et l'eau. Ce processus d'hydratation est très complexe et fait toujours l'objet d'une activité de recherche importante. D'une manière générale, on constate que cette réaction est exothermique et thermo--activée. Dans les pièces massives, l'exothermie de la réaction d'hydradation du ciment se traduit par une élévation de la température. Par le biais du phénomène de dilatation ther-- mique, les différences de température ainsi obtenues entre l'extérieur et les zones à coeur peuvent donc avoir des conséquences mécaniques importantes. Celles--ci se manifestent en particulier par l'apparition de fissures qui seront nuisibles à la durabilité de l'ouvrage dans le temps. La thermo-activation cor1esponda l'accélération de la réaction d' h\ d1atation du ciment a\ ec l' augmentation de la tempé1atu1e. La vitesse de durcissement est ainsi plus importante, ce qui conduit à une augmentation plus rapide des caractéristiques du béton et en particulier de sa résistance mécanique. Afin de modéliser le processus d'hydratation du ciment, l'idée essentielle consiste à utiliser le degré d'hydratation { , défini de manière générale comme suit, 5 = --------"'S"" (T) m8k(oo) \ où msk(t) est la masse d'eau ayant réagi et msk(oo) la masse d'eau nécessaire a une hydratation totale. Sur la base de cette définition, la cinétique de la réaction d'hydratation est couramment modélisée par une loi d'Arrhénius, qui permet de mettre en avant le caractère thermo--activé de la réaction : 5 = A> = /tA(â)eXp ("È--%?) dr <12> L'âge équivalent teq correspond alors au temps durant lequel le béton doit être maintenu à la température de référence afin d'obtenir la même valeur de "maturité" que dans les conditions de mise en oeuvre réelle. Cette idée conduit donc à écrire, 5(t6q, Tref) = 50» T0» (13) d) Montrer que le temps équivalent teq peut se mettre sous la forme : t E 1 1 te = exp <-- a ( , -- ' )) d7' (14 q /0 a ... T...-- > Dans (14), l'énergie d'activation Ea est le paramètre qui traduit la sensibilité de la cinétique d'hydratation du béton à une variation de température. Dans tout ce qui suit, on considère que la prise du béton s'effectue, à partir du temps to, dans des conditions adiabatiques (cofirages thermiquement isolants) jusqu'au décoflrage au temps il. En accord avec la Figure (Sa), on retient les valeurs données dans le Tableau (2) pour l'évolution de la température adiabatique, entre les temps to et tl, : "... TAB. 2 e) En explicitant votre méthode et avec RÆL : 4000 K, calculer le temps équivalent teq 9D pour chacune des valeurs de temps réel t du tableau précédent. 2.2 Analyse transitoire après décofl'rage On s'intéresse à présent 'a la phase qui suit le décoffrage décoffrage (t > tl). A partir de cet instant, l'exothermie de la réaction sera négligée. En se plaçant dans un cadre unidimensionnel, le champ de température T(oe, t) peut alors être déterminé par la résolution de l'équation de diffusion de la chaleur dans le domaine Q = [--L ; L] : ô2T(æ, t) __ 13T(oe,t) Ôæ2 _ a Ôt Dans cette équation aux dérivées partielles, & est la diffusivité thermique du béton. Afin d'assurer l'existence et l'unicité de la solution, cette expression est complétée par une condition initiale, @@ T(oe,t : O) = T,-- (16) et des conditions aux limites, ÔT(oe,t) --k' = h T -- T 1" et, ÔT(oe,t) --lc ---- = --h T -- T 18 333 æ=_L < 1>|,=_L ( > où T1 est la température du milieu extérieur, supposée constante. a) Quelle est la dimension de a, diffusivité thermique ? b) De quel type de conditions aux limites s'agit--il ? En particulier que représente h ? Afin de s'affranchir des dimensions du problème, on se propose d'effectuer le change-- ment de variables suivant, T -- T1 Îzn-n (m) ç=1+% oeoe accompagné également de l'introduction d'une nouvelle variable temporelle FO (nombre de Fourier). En appliquant ce changement de variables, le problème de référence défini par (15), (16), (17) et (18) peut se mettre sous la forme : 82Î(Ç7 FO) _ 8T(Çv F0) (91) 8Ç2 '-- aræ " avec les conditions initiale et aux limites : T=1 . ( l\) l\? V -- . 1 ÔT T(Q == 0,Fo) = Ê 55 (23) ç=o Îî--Î = 0 (24) ôç Ç=l où Bi est appelé le nombre de Biot. 0) Donner l'expression de la nouvelle variable temporelle F0 en fonction de t et des données du problème de référence. d) Donner l'expression du nombre de Biot. Afin de résoudre ce problème, nous cherchons à trouver une solution en séparant les variables : T(Ç Fo) = X(Ç)Y(Fa) (25) e) Montrer que l'introduction d'une Solution sous la forme générale (25) permet d'écrire, XII Y'/ 0 = -- : --À" 26 {Y }! ( ) où À est une constante. f) Montrer que l'expression, Î(Ç, Fo) : e_'\2F° (G sin(ÀÇ) + Ecos(ÀÇ)) (27) où G et E sont deux constantes réelles, est une solution du problème. g) En appliquant les conditions aux limites, montrer que la solution générale du problème peut se mettre sous la forme : T)e-À%F° (28) n=0 avec : À t A,, = ---i 29 co an( ) BZ ( ) En appliquant la condition initiale ainsi que la relation d'orthogonalité, (ÀÎ, ---- ÀÎ,,) /- cos()...(Ç -- 1))cos(À...(Ç -- l)) dÇ : 0 si n # m (30) 1 11) Donner l'expression de G,, ainsi que la solution finale du problème. Afin de déterminer le temps de décoffrage tl, on s'intéresse àla différence de température maximale entre le coeur de la pièce considérée et la température de surface que l'on note T. i) Donner l'expression de T en fonction de FO sous la forme, 00 Î(Fo) = }: Ane--À%Fo ' (31) Afin d'évaluer numériquement le résultat précédent, on retiendra uniquement les deux premiers termes de la série; pour cela, les deux racines de l'équation (29) sont, avec B @ = 5, )... = 1,32 ;À1 = 4, 03 ' (32) et les termes A,, correspondants : AO = 0, 92 ;A1 = --0, 57 (33) j) Déterminer la valem* maximale de Î'(FÔ). Des considérations mécaniques, non exposées ici, permettent de quantifier l'écart de température entre le coeur et la surface extérieure de la pièce en béton conduisant à une rupture mécanique (216 une fissuration), Î *. L'évolution de ce critère "mécanique" est donnée dans le tableau suivant : -u 15 --n 4 TAB. 3 k) A partir de la température adiabatique (Tableau (2)), de l'écart de température maximal déterminé à la question (2.2.k) et du critère "mécanique" donné ci--dessus (Ta-- bleau (B)), déterminer graphiquement le temps de décoffrage il ne conduisant pas a la fissuration. 3 Enceinte de confinement - test décennal Afin de garantir la sécurité des centrales nucléaires, il a été choisi d'utiliser une en-- ceinte externe en béton pour protéger le réacteur nucléaire des agressions naturelles et accidentelles. En cas d'accident nucléaire (risque de dispersion d'éléments radioactifs), la protection de l'environnement est garantie par une paroi interne en béton d'épaisseur 1,2 m (réacteur de type REP 1400 MVVe). Elle est dimensionnée pour résister à une pression interne de 0,6 MPa et à une température voisine de 140°C, correspondant à l'accident de dimensionnement APRP (Accident par Perte de Réfrigérant Primaire). Un schéma simplifié des deux enceintes est donné sur la Figure (9). Afin de vérifier périodiquement que l'enceinte jouera son rôle de confinement en cas d'accident, des épreuves d'enceinte (application d'une pression interne de 0,6 MPa en air et à température ambiante) sont menées à l'issue de sa construction, puis ensuite tous les dix ans (test décennal). Pour simplifier, l'exploitant doit justifier devant les autorités de sûreté Enceinte interne ' ' Enceinte 950.9 , 0 F IG. 9 -- Schéma simplifié de la partie génie civil d'une enceinte de centrale nucléaire (réacteur français REP 1400 l\ÆVVe), dimensions en mètres (d'après Granger). de la capacité de l'enceinte à assurer un taux de fuite qui soit inférieur, par 24 h, à 1,5 % de la masse totale des fluides (mélange air + vapeur) contenus dans l'enceinte. Dans le cas des bétons, des vides sont présents, de différentes tailles. Il peut s'agir de pores (vides présents "naturellement" dans les bétons) ou de fissures (situations accidentelles) qui peuvent servir de chemin pour disperser les éléments radioactifs (dans le cas d'un accident), l'air (dans le cas du test décennal) dans l'environnement. Il est donc très important de bien comprendre l'influence de la porosité et de la fissuration sur l'étanchéité des enceintes de confinement. 3.1 Perméabilîté dans un milieu poreux On s'intéresse à un écoulement de fluide, l'air, dans un milieu poreux (contenant des pores). Le milieu peut être également fissuré. Afin de modéliser l'écoulement du fluide, plusieurs hypothèses sont considerées : -- Les efiets de la pesanteur sont négligés; -- Le fluide est considéré homogène et incompressîble, de masse volumique p et de viscosité dynamique ,a = 0, 0181810"3 Pa.s; -- Le régime d'écoulement est stationnaire; ---- L'écoulement est unidirectionnel selon l'axe 5:'; -- La pression hydrostatique est notée P. Dans ce milieu, le vecteur vitesse ?? du fluide au point M s'écrit : M(oe, y, :) : a : uoe(M)f + uy(A-I)ÿ'+ uz(A«f>î (34) en coordonnées cartésiennes M'(7', 9, :) : 17 = uT(J\J)7--"+ u9(J\I)Ô'+ uZ(«Ï)Ë (35) en coordonnées cylindriques. La pression hydrostatique P s'écrit P(AI ) : P(oe, y, :) en coordonnées cartésiennes et P(.M ) = P(r, EUR, :) en coordonnées cylindriques. ' Note : Les forces de surface de viscosité dÊ,, dans un fluide newtonien, s'opposent à l'écoulement (voir la Figure (10)). Elles s'appliquent sur les surfaces latérales (parallèles à l'écoulement) et sont proportionnelles au gradient transversal de la vitesse. Elles s'écrivent, si l'écoulement s'effectue selon un axe E', Ôu (Al) __ dÊ, = (21d:)p 83; (36) en coordonnées cartésiennes, en faisant les hypothèses suivantes : - -- La vitesse U; ne dépend pas de :c; -- Il existe une symétrie par rapport au plan (0, £, :?) ; ---- La largeur l est infiniment plus grande que la hauteur h. En coordonnées cylindriques, elles s'écrivent :_ ô'U;-: (fl/[) dF,= (27rrd:)u ? (37) Ô7' " PIG. 10 ---- Eléments de volume soumis a une force de viscosité en coordonnées cartésiennes et en coordonnées cylindriques. 3. 1 . 1 Calculs préliminaires On considère l'écoulement dans un tube de Courant de section c0nstante A = l:z:h selon un axe ?On utilisera les coordonnées cartésiennes. a) Etablissez l'équation de conservation de la masse de fluide dans le tube. Simplifiez cette équation en utilisant les hypothèses de calcul. En déduire alors que uz(.M ) ne dépend pas de :. b) Ecrivez la conservation de la quantité de mouvement, en utilisant les hypothèses de calcul. Montrez alors que la pression P ne dépend que de :. 3.1.2 Ecoulement dans un pore - Relation de Poiseuille On considère l'écoulement d'un fluide, selon un axe 5, dans un pore, assimilé à un cylindre de rayon R et de longueur L. Le fluide est soumis une pression constante P1 en : = 0 et à une pression P2 en :: = L . On pose AP : P2 -- Pl. Un schéma est proposé sur la Figure (11). PIG. 11 -- Schéma d'un pore. a) Que peut--on dire de la dépendance entre uz et 6 ? En isolant un élément de volume cylindrique de rayon r et de longueur dz, effectuez un bilan de la quantité de mouvement. b) Déterminez l'expression de la vitesse u: en fonction de AP , ,u, 7", L et d'une constante d'intégration. c) On suppose que la vitesse du fluide au contact des parois est nulle. Commentez cette hypothèse. En déduire alors l'expression de la constante d'intégration, puis de la vitesse u,. d) Montrez que le débit volumique Q circulant à travers le pore peut s'écrire sous la forme (relation de Poiseuille) : 7TR4AP Q = --é--fl--L---- (38) 3.1.3 Perméabilité au gaz dans un milieu poreux sans eau : effet de la distri-- bution de la porosité On définit la porosité p d'un milieu poreux, comme le rapport entre le volume de vides, v, et le volume total l/Ç, : "U v. | (39) La porosité caractérise donc la proportion de vides dans le milieu et est comprise entre 0 et 1. Plus le volume de vide est important (a volume V}, constant) et plus la porosité est importante. Les pores de ce matériau sont assimilés 'a un ensemble de n tubes cylindriques et parallèles. Chaque cylindre est supposé indépendant des autres, et le fluide circulant, Pores de différents rayons FIG. 12 -- Schéma d'un milieu poreux. selon un axe 5', est soumis à une pression constante P1 en ;: == 0 et à une pression P2 en : = L. On pose à nouveau AP : P2 ---- Pl. Un schéma est proposé sur la Figure (12). On définit la perméabilité le {7712} d'un milieu poreux par la relation (voir la Partie 1.) : kAAP o=--îOEe  où Q est le débit volumique de fluide s'écoulant a travers une section A du matériau poreux. ' a) On suppose tout d'abord que tous les pores ont le même rayon R. Déterminez l'ex-- pression reliant la porosité p a n, R et A. A partir de cette relation et de l'équation (38), établissez la relation entre kf, R et p. On considère maintenant que tous les pores n'ont pas le même rayon. La Figure (13) présente les courbes de porosités cumulées obtenues pour 3 matériaux différents (notés 1, 2 et 3). Les courbes donnent en ordonnée la porosité cumulée pc dont la dimension est supérieure au rayon R porté en abscisse. Ces courbes sont modélisées par l'équation suivante (i étant le numéro du matériau) : (pC(R))i : Clé + bzR + CiR2 Si R _<_ Ri et ('bc)z : 0 Si R > R1 (41) Les valeurs des coefficients sont indiquées dans le Tableau (4) : l\flatériauxl 8,078.10--2 --6,6--1O.10"4 --4,073.10"6 Matériaux2 2,583.10"1 --27303_10--3 53071_10_6 l\/Iatériaux3 3,687.10"1 --97759_10--4 6,035.10"7 TAB. 4 b) Déterminez la porosité totale de chacun de ces 3 matériaux. Puis déterminez la perméabilité associée à chacun de ces matériaux. fvtatérèaux 3 0,2 O 100 1000 Rayon des pores [nm] Porosité cumulée pc 35 FIG. 13 --- Porosité cumulée pc c) Calculez alors pour chacun de ces 3 matériaux7 la valeur de rayon de pore Req pour laquelle on obtient une perméabilité identique. Pour une même valeur de porosité globale, est-ce que le rayon de pore a une influence importante sur la perméabilité ? 3.1.4 L'eau dans les milieux poreux Dans les liquides (et dans les solides aussi) existent des forces de cohésion inter-- moléculaires agissant sur des distances très courtes : arr--delà de quelques nanom'etres, l'interaction entre deux molécules peut être négligée. FIG. 14 -- Mise en évidence de l'existence d'une tension superficielle. La couche dans laquelle existent ces forces a une très faible épaisseur 6 et est appelée couche capillaire. Si l'on considère une facette verticale dans cette couche (pour une surface libre horizontale) la force s'exerçant sur cette facette est horizontale. Si l'on se ramène à une ligne sur la surface libre on aura : ôÎ : deñ où u est le coefficient de tension superficielle (valeur positive), dl un élément de la courbe sur la surface libre et 7? la normale à cet élément de courbe (voir la Figure 14). PIG. 15 -- Pore cylindrique. a) On considère maintenant un pore cylindrique de rayon R contenant un liquide d'angle de mouillage 9 (Figure 15). En supposant que le ménisque est sphérique de rayon Rsph, en déduire l'expression de la différence des pressions P -- Po en fonction de w et Rsph (cette équation est appelée loi de Laplace). On pose Pc = P -- PO et 9 = 0 (liquide parfaitement mouillant) où Pc est appelée pression capillaire. Simplifiez alors l'expression précédente et montrez que la pression capillaire correspond a une dépression. On se place ici dans le cas d'un matériau poreux dont la porosité peut contenir de l'eau liquide et un gaz composé d'air et de vapeur d'eau. La pression dans le liquide sera notée PI, celle dans le gaz Pg (air + vapeur d'eau) et celle dans la vapeur d'eau Pv. On suppose aussi que les transformations sont isothermes. L'enthalpie libre s'exprime par la relation : G : nÇ où n est le nombre de moles et Ç est le potentiel chimique. On a de plus l'identité de Gibbs Duhem : sdT + ndÇ ---- VdP = 0 où 3 est l'entropie, T la température, V le volume et P la pression. b) En supposant que l'eau liquide est incompressible, montrez que le potentiel chi-- mique de l'eau liquide @ peut s'écrire : Ç; --- C... : J\/I(PI -- P...)/p; où ]\I est la masse molaire de l'eau et (Q... P...) caractérisent un état de référence. Puis, en supposant que la vapeur d'eau suit la loi des gaz parfaits (PV : nRng), montrez que le potentiel chimique de la vapeur d'eau ÇL. peut s'écrire : ÇU -- EUR... : Rngln(Pv/on) où Rgp est la constante des gaz parfaits et (Ç..., on) caractérisent un état de référence. 0) On choisit comme état de référence de l'eau liquide P... : Pg et pour la vapeur d'eau P... : PDS (pression de vapeur saturante). On- suppose qu'à l'équilibre thermodynamique, on a Ç; : @... En déduire alors que C... = EUR.... En définissant l'humidité relative H (O S H _<_ 1) comme le rapport PL,/PCS, montrez que l'on obtient la loi de Kelvin : RWTW M" PC : P; -- Pg : lnH (42) d) En introduisant dans l'équation précédente la loi de Laplace (cf. a.), en déduire l'expression du rayon de pore Rsat correspondant à une humidité relative donnée H à l'équilibre liquide-vapeur. 3.1.5 Ecoulement dans une fissure - Relation de Poiseuille On considère l'écoulement d'un fluide, selon un axe E' , dans une fissure de largeur !, de longueur L et d'ouverture e, qui est assimilée à deux plans parallèles infinis, tels que la largeur 1 soit infiniment plus grande que l'ouverture e. Le fluide est soumis à une pression constante P1 en : = 0 et à une pression P2 en :: = L. On pose AP : P2 -- Pl. Un schéma est proposé sur la figure (16). PIG. 16 ---- Schéma d'une fissure. a) Que peut--on dire de la dépendance entre u,_. et a: ? En isolant un élément de volume de largeur [, de longueur d: et compris entre les plans iy, effectuez un bilan de la quantité de mouvement. b) Déterminez l'expression de la vitesse u: en fonction de AP, ,a, y, L et d'une constante d'intégration. c) On suppose que la vitesse du fluide au contact des parois est nulle. En déduire alors l'expression de la constante d'intégration, puis de la vitesse u,.. d) Montrez que le débit volumique Q circulant à travers toute la fissure peut s'écrire sous la forme (relation de Poiseuille) : 63ZAP @ = _îzfiî (43) 3.1.6 Perméabilité au gaz dans un milieu fissuré On assimile chaque fissure à. une ouverture séparée par 2 plans parallèles infinis. Afin de quantifier le nombre 72 de fissures dans l'élément de volume de la figure (17) et leur épaisseur 6 (constante), on définit la variable d'endommagement du milieu D, comme étant le rapport entre la surface des fissures A,, (perpendiculaire à l'axe 5 ) et la surface totale A : D=ÆM (@ FIG. 17 -- Schéma d'un milieu fissuré. a) Déterminez la relation entre D, n, h et c. b) A partir des relations (43), (40) et (44), exprimez la perméabilité du milieu fissuré k en fonction de D et @. L'approximation proposée pour les fissures n'est pas en réalité conforme aux résultats expérimentaux. On propose d'introduire le coefficient de correction x, par rapport à l'équation de Poiseuille (43) : On donne les valeurs expérimentales dans le Tableau (5) pour une fissure, pour une variation de pression AP : --100Pa et une longueur L = 1 1m : e3lAP . = -- " 45 Q x _12#L ( ) IHMWOEDOEOE"NËOEOEI EMÜÜHflÉOE"ËEOEMÆ TAB. 5 c) Proposez une méthode numérique permettant d'identifier la valeur du coefficient de correction x. Calculez alors ce coefficient par la méthode de votre choix. 3.1.7 Application à une enceinte de confinement de bâtiment réacteur de centrale nucléaire On se place dans le cas d'un test décennal d'une enceinte de confinement. On assimile la paroi de l'enceinte 'a une paroi parallélépipédique (Figure (18)). L'épaisseur est L = 1, 2m. On considère une surface A = 6880 m2 de béton. Le volume de l'enceinte est Ve : 75300 m3. ' P2 Z:L Extérieur de l'enceinte P1 2 = 0 Intérieur de l'enceinte PIG. 18 -- Schéma simplifié d'une enceinte. On suppose que l'enceinte est réalisée à partir du matériau 1 (voir % 3.1.3). On se place tout d'abord dans le cas où il n'y a pas de fissure. Le fluide circulant dans l'enceinte est de l'air. On suppose que P1 = O, 6MPa et P2 = O, 1AfPa. a) En supposant que les pores ne contiennent pas d'eau (voir $ 3.1.3). calculez le débit volumique d'air Q,,, puis le volume Vmîr d'air ayant traversé la paroi pendant 24 11. On considère maintenant que les pores peuvent contenir de l'eau. La teneur en eau dans un pore peut être évaluée via son humidité relative (% 3.1.4). On suppose deux cas pour l'évolution de l'humidité relative H (:) dans la paroi de l'enceinte ( j étant le numéro du cas) : Hj(5) : OEj + /3jZ + ')'jZ2 (46) Les valeurs des coefficients sont données dans le Tableau (6). A partir des résultats obtenus dans la partie @ 3.1.4d, on considère que si le rayon de pore R est inférieur à R..., le pore est saturé d'eau (le transport d'air est impossible), sinon le pore ne contient pas d'eau (le transport d'air peut être calculée via l'équation 38). ___-- __"... _O,464 1,472 --1,153 TAB. 6 Humidité relative 0 02 0,4 (3,6 0,8 "t' '! ,2 2 [ml PIG. 19 --- Evolution de l'humidité relative dans les deux cas. b) Pour les deux conditions de profil d'humidité relative, recalculez la valeur de la perméabilité en prenant en compte la présence d'eau dans certains pores. En déduire alors le volume va,--,d'air ayant traversé la paroi pendant 24 h. On donne la constante des gaz parfaits Rgp = 8,314J.mol'1.°K"1,w : 0,073N.m"fl ]\[H : 1g.mol'1 et AJO : 16g.mol". Les pores sont considerés cylindriques et parallèles. On prend en compte maintenant l'existence de fissures assimilées à des ouvertures entre deux plans parallèles (supposés infinis) espacés d'une distance 6. La valeur de l'endom- magement est D. On utilisera également le coefficient de correction calculé au paragraphe 3.1.5c. c) En considérant le volume d'air maximum traversant la paroi déterminé en b), rem-- plissez le Tableau (7) (donnant le volume d'air ayant traversé la paroi pendant 24 h) pour les différentes valeurs d'endommagement D et d'ouverture des fissures e. Commentez ce calcul et comparez ces valeurs aux exigences des enceintes. _ e = ...... D = 50....-1 ---- D = ......--w __ TAB. 7 FIN DE L'EPREUVE

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 X/ENS Modélisation PSI 2005 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Jean-Julien Fleck (ENS Ulm) ; il a été relu par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE). Cet énoncé, assez long, montre l'utilisation de nombreux domaines de la physique dans l'étude et la modélisation du ciment et du béton. Son avantage est que si un candidat a des lacunes dans un des domaines traités, il peut toujours répondre à un grand nombre de questions. De plus, elles ne nécessitent fréquemment aucune autre aptitude que celle de bien comprendre les termes de l'énoncé. Le sujet est constitué de trois parties indépendantes et de questions elles-mêmes autonomes ou qui peuvent être traitées en supposant vérifiées les relations données aux questions précédentes. · La première partie introduit la notion de surface spécifique ou massique pour un ciment que l'on cherche à déterminer de diverses manières par la suite : hydrodynamique avec le perméamètre de Blaine, thermodynamique en étudiant l'adsorption d'un gaz sur le ciment ou encore optique en utilisant la diffraction. Les dernières questions traitent de la thermodynamique du dégagement de chaleur dû à l'hydratation. · La deuxième partie s'intéresse à l'évolution thermique du béton après hydratation, que l'on traite à l'aide de l'équation de diffusion de la chaleur. En pratique, il s'agit d'une étude importante puisqu'elle permet de prévenir la formation de fissures lors du décoffrage du béton. · La troisième et dernière partie traite d'hydrodynamique au moyen de la loi de Poiseuille pour quantifier les fuites dues au caractère intrinsèquement poreux du béton ou celles dues aux fissures provoquées par exemple par un accident nucléaire dans une centrale. Cet intéressant sujet permet d'appréhender tout un panorama de la physique développée autour du béton. Il constitue un excellent problème de révision mais peut être traité petit bout par petit bout tout au long de l'année. En outre, les applications numériques et l'utilisation de tableaux de données sont très poussées : les candidats capables de programmer rapidement leur calculatrice gagneront de précieuses minutes lors du concours face à la répétition de calculs parfois fastidieux. Indications 1.1.2.2.b Ne pas s'étonner s'il reste un s dans l'expression finale de la surface massique SMB . Il disparaîtra dans la question suivante avec l'introduction de KB . 1.1.2.3 Attention, le système « SI » utilisé par l'énoncé est le système CGS et non MKS : l'unité de distance est le centimètre, celle de poids le gramme. 1.1.3.2.d Il y a i couches présentes sous la surfaces Si , donc d'autant plus de volume occupé. Penser à la série résultante comme à la dérivée d'une série connue. 1.1.3.2.f À l'aide de l'expression de V trouvée à la question 1.1.3.2.d, trouver une relation entre y, S0 , V0 et 1 - x. Éliminer alors S0 et V0 à l'aide de Vm . 1.1.4.b Il s'agit de redémontrer le théorème de Babinet, au choix avec les mains ou en écrivant posément les intégrales de surface et en les sommant. 1.1.4.c Expliquer en quoi déplacer l'ouverture diffractante n'introduit qu'un déphasage dans l'amplitude lumineuse sur l'écran, donc aucun déplacement de la figure de diffraction (intensité inchangée). 1.2.c La seule quantité variant en fonction du temps est le taux d'hydratation du ciment. Écrire un petit programme simplifie les calculs. 2.1.a Introduire « à la main » la capacité thermique massique du système par rapport à sa masse en eau. 2.1.d Intégrer la relation (8) sous la forme Z (t,T(t)) Z t d Ea = exp - d A( ) Rgp T( ) 0 0 et expliquer pourquoi Z (t,T(t)) 0 d = A( ) Z 0 (teq ,Tref ) d A( ) 2.1.e Approximer la courbe exp [-Ea /Rgp T( )] par une fonction en escalier et intégrer sous les histogrammes. 2.2.h Écrire l'intégrale suivante sous deux formes différentes. Z 2 T(, 0) cos [n ( - 1)] d 1 2.2.k Les teq donnés dans le tableau 3 correspondent très exactement aux t donnés dans le tableau 2. Le tracé des deux courbes et le prolongement par linéarité au-delà de t = 100 h permet de conclure. 3.1.3.b La porosité totale se cumule de R = Ri à R = 0. La porosité correspondant aux tubes de rayon compris entre R et R + dR et nécessaire pour calculer la perméabilité vaut dpc dR dR 3.1.4.a Les forces de capillarité non intérieures au système s'exercent sur tout le cercle de contact de l'interface au tube. Les forces de pression se calculent simplement à l'aide de la section du tube. 3.1.4.c Montrer que l'état de référence défini par le sujet est un état d'équilibre du système. 3.1.7.b Quand l'humidité est totale, les pores sont tous bouchés... Quand elle n'est que maximale, ils sont bouchés jusqu'à un certain rayon. dp(R) = 1. Le ciment 1. Caractérisation du ciment 1.1.1 La surface spécifique SS est définie comme le rapport de la surface S d'un grain par son volume V, alors que la surface massique SM est le rapport de la surface S d'un grain par sa masse V. On en déduit donc SM = SS En supposant les grains sphériques et tous de même rayon r, on a 4 S = 4 r2 et V = r3 3 d'où SS = 3 r et SM = 3 r Pour augmenter la surface spécifique du ciment, il faut réduire la taille des grains en broyant plus finement les nodules de « clinker ». 1.1.2.1 Le rayon hydraulique m est défini comme le rapport du volume v du canal (c'est-à-dire celui du vide dans le ciment selon l'hypothèse 2) par la section latérale SM M du canal (c'est-à-dire la surface des grains du ciment par la même hypothèse) où M est la masse du ciment. On a donc v m= SM M Le volume v étant à la fois égal au volume des vides A L p dans le ciment et au volume a Le du canal, on a a Le = A L p ALp a En remarquant de plus que la masse M de ciment s'exprime en fonction de la porosité p et de la densité par d'où Le = M = V = Va (1 - p) = A L (1 - p) on obtient m= ALp p = SM A L (1 - p) SM (1 - p) On peut donc remplacer Le et m dans l'expression du débit Q fournie par l'énoncé. En remarquant que 1/h0 = (1/h) × (A p/a)2 , il vient Q = a m2 =a Q= 1 P h 0 µ Le p SM (1 - p) 2 1 h Ap a 2 1 P a µ ALp A p3 P 2 SM 2 2 (1 - p) h µ L 1.1.2.2.a Le débit volumique Q correspond à la variation dans le temps du volume V = s (z(t) - z0 ) du perméamètre de Blaine (avec s section du tube en U). La loi de Darcy permet donc d'écrire s d(z(t) - z0 ) k A P k A z =- =- dt µ L µ L dz k A =- z dt sµL d'où et avec z(t) = z0 e -t = k A sµL Par définition des temps t1 et t2 , z1 = z0 e -t1 et z2 = z0 e -t2 . En prenant le rapport et le logarithme, on en déduit t = 1 z1 ln z2 Calculons pour terminer la pression moyenne Z 1 t2 Pm = z(t) dt t t1 Z t2 = z0 e -t dt t t1 - = z0 e -t2 - z0 e -t1 t Pm = z1 - z2 ln (z1 /z2 ) 1.1.2.2.b Le débit volumique moyen s'exprime simplement comme le rapport du volume d'air s (z1 - z2 ) par le temps t écoulé entre les instants 1 et 2, c'est-à-dire Qm = s (z1 - z2 ) t En l'égalant à la relation de Carman-Kozény trouvée à la question 1.1.2.1, on obtient, avec la chute de pression moyenne Pm , A p3 (z1 - z2 ) s (z1 - z2 ) = 2 2 2 t SMB (1 - p) h µ L ln (z1 /z2 ) d'où SMB = s A p3 2 t (1 - p) h µ L ln (z1 /z2 ) s 2 L'énoncé n'annonce pas de dépendance en h qui a été pris égal à 5. Néanmoins, par souci de généralité, nous gardons h dans nos expressions. Il ne parle pas de s non plus, mais comme rien de plus n'est signalé à propos de la section s du tube en U, on ne peut pas simplifier l'expression plus avant. Par ailleurs, l'introduction de la constante KB (où apparaît s) dans la question suivante confirme cette intuition.