X/ENS Modélisation PSI 2003

Thème de l'épreuve Modélisation d'un propulseur à plasma
Principaux outils utilisés équations de la dynamique, bilans, gaz parfait électronique, étude asymptotique, approche perturbative
Mots clefs moteur ionique, plasma

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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MODÉLISATION EN SCIENCES PHYSIQUES ET SCIENCES DE L'INGENIEUR DURÉE: 5 HEURES Pour les épreuves d'admissibilité, l'usage de calculatrices électroniques de poche & alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé, une seule à la fois étant admise sur la table ou le poste de travail, et aucun n 'e'change n 'est autorisé entre les candidats. Introduction Dans ce problème, on se propose d'étudier la modélisation d'un propulseur plasma susceptible d'être embarqué sur des satellites comme moteur d'appoint de contrôle d'attitude. Le principe de ce propulseur est d'injecter un gaz neutre à la rencontre d'un faisceau d'électrons ionisant. Les ions produits sont fortement accélérés et leur vitesse de sortie du propulseur fournit l'impulsion et donc la poussée nécessaire au satellite. Pour que l'ionisation soit efficace, il est nécessaire de confiner les électrons par un champ magnétique produit par un dispositif qui ne sera pas étudié dans ce problème. " Les différentes parties du problème sont relativement indépendantes, à condition d'admettre les expressions données dans l'énoncé. Dans la partie I. on étudie le rôle essentiel du champ magnétique appliqué dans le processsus d'ionisation des atomes neutres de Xénon injectés dans le moteur. Une première modélisation simple du fonctionnement en régime stationnaire est abordée dans la partie II. et conduit aux courbes de la figure 4. Les insuffisances de cette modélisation conduisent alors à une amélioration du modèle qui fait l'objet de la partie III. Compte tenu des résultats obtenus par simulation figure 5, on développe dans la partie IV. une approche asymptotique simplifiée afin d'obtenir l'expression analytique des paramètres caractéristiques importants. Pour garantir un bon fonctionnement du propulseur, il est important que le flux d'ions soit stable et ne subisse pas, notamment, d'oscillations temporelles, fréquentes dans les plasmas. On étudiera donc une de ces oscillations en fin de problème dans la partie V. Le schéma d'ensemble du propulseur est représenté figure 1. Circuit magnétique ions î «\ /. Axe de symétrie 6166ü'on3 de révolution du V dlSp081tlf cathode Dispositif d'injection des Figure 1 électrons Sur la figure 2, est représenté un schéma de principe du même dispositif, en coupe (2.a.) et en représentation quasi uni dimensionnelle simplifiée (2.b.) dont le principe sera précisé dans la partie 1. On distingue essentiellement trois zones, en allant de la droite vers la gauche : ° entre la cathode et le point H, une zone d'accélération des ions par le champ électrique (fourni par le générateur de tension Vd), ces ions étant créés par des collisions électrons-neutres dans la région H-D ° entre H et D une zone où se situe la région d'ionisation des neutres par les électrons ° entre D et l'anode une zone où coexistent les neutres émis de l'anode vers la droite avec la vitesse vn, des ions et des B (a:) électrons dont on verra qu'ils sont essentiellement en régime diffusif, en provenance des deux zones précédentes. (b) Figure 2 Un des paramètres cruciaux caractérisant l'efficacité d'un propulseur spatial est la vitesse de sortiefi du fluide propulsif par rapport au moteur. 1. En raisonnant sur un système fermé que l'on précisera, établir que tout se passe comme si dM.. l'éjection du fluide donnait lieu à une force supplémentaire (la poussée) : T : ----------- u où M dt représente la masse totale de l'ensemble propulseur--fluide à l'instant t. 2. On suppose fi indépendant du temps et on souhaite accroître la vitesse du satellite d'une quantité Av fixée dont on notera la norme Av. On néglige, pendant l'application de la poussée, toute autre force s'exerçant sur le satellite. En déduire la masse de combustible dépensée Am afin de réaliser cette variation Av en fonction de Av, u et de la masse M,, masse initiale avant application de la poussée. , , . Am . . , 3. Tracer sur un meme graphe l'evolution de ---- en fonction de Av pour differentes valeurs de u. M. 1 4. Conclure quant à l'intérêt d'avoir une valeur élevée de 11. Un dispositif à plasma permet d'atteindre typiquement u de l'ordre de 3 104 ms1 alors que les propulseurs classiques à combustion chimique ne permettent que d'atteindre des vitesses d'éjection dix fois plus faibles. 5. Sachant que dans les moteurs à plasma étudiés ici les débits de masse sont de l'ordre de la dizaine de milligrammes par seconde, expliquer pourquoi ces moteurs sont utilisés pour les contrôles d'attitude des satellites, mais pas pour le lancement et la mise sur orbite initiale. Les données numériques nécessaires aux différentes applications demandées sont regroupées ci-- dessous. ° Constantes fondamentales : masse de l'électron m = 9,10 10°3 ' kg charge élémentaire e = 1,60 1049 c constante de Boltzmann k = 1,38 10"23 JK"1 permittivité diélectrique du vide 80 = 8,84 10'12 Fm"l ° Masse d'un atome de Xénon : M = 2,1 10'25 kg ° Ordre de grandeur du champ magnétique : 2 10"2 T ° Vitesse des neutres : vn = 300 ms"' ° Débit massique des neutres à l'anode : m = 5,32 mg s'l ° Fréquences caractéristiques : ve = 106 s'1 v... = 6,4 105 s'1 ° Energie d'ionisation du Xénon : E, = 12 eV ° Température électronique en B : kTeB = 1 eV ° Longueur du réacteur : d = 4 cm en Il, d = 2,5 cm en 111, IV, V ° Surface de l'anode : S = 45 cm2 ° Rayons (cf. figure 2 (a)) : rl = 3,3 cm, & = 5 cm Partie ! Rôle du champ magnétique sur la mobilité électronique et l'efficacité de I'ionisaticn On considère ici le réacteur, de longueur (1, modélisé de façon quasi-bidimensionnelle comme suit : la propagation des neutres et des ions produits se fait suivant l'axe Ox, le champ électrique étant aussi dirigé suivant Ox : È=E(x)ëx Le champ magnétique radial est supposé ici uniforme et dirigé suivant Oz, la direction orthoradiale étant ici modélisée comme deuxième direction des coordonnées cartésiennes (Oy). Figure 3 1.1. À quelle condition sur les dimensions du réacteur cette approximation est-elle justifiée ? Dans toute la suite du problème on se place dans un cadre non-relativiste et on considère le référentiel lié au satellite comme galiléen pendant la durée de transit des électrons dans le dispositif. 1.2. On considère d'abord le mouvement des électrons en l'absence de champ magnétique. En plus de --. la force électrique, ils sont soumis à une « force de frottement visqueux » d'expression ---mve u où m est la masse des électrons, il leur vitesse et vEUR = Un,. a. Rappeler la signification d'un tel terme dans l'équation du mouvement. A quoi correspond la durée "Ce ? En régime permanent on peut alors écrire ü = '"eo E où Me0 est la mobilité. Exprimer "ce en fonction de e, m et V.,. b. On suppose que les électrons se meuvent dans un champ électrique uniforme créé par une différence de potentiel de 300 V imposée sur la distance d = 4 cm. Les électrons sont injectés dans le réacteur en x = d (par la sortie) avec une vitesse négligeable. Déterminer la valeur numérique de Meo et de la vitesse atteinte en régime permanent. Si on suppose au contraire que le terme de frottement est négligeable, quelle est la vitesse maximale atteinte par les électrons, et la durée de leur traversée du réacteur (de x = (1 jusqu'à x = O) ? Application numérique. Que conclure des résultats précédents quant à l'efficacité du processus d'ionisation dans une telle situation '? 1.3. On considère à présent le mouvement d'ions de charge +e ou d'électrons dans un champ Ë uniforme et permanent, en l'absence de champ électrique, les particules arrivant dans la zone de champ perpendiculairement à ce champ, avec une vitesse de module vo. a. Rappeler sans démonstration la nature des trajectoires. , b. Exprimer le rayon R de ces trajectoires en fonction de vo, B, e, rn (ici m peut être suivant les cas la masse des électrons ou des ions). c. En supposant que vo est la vitesse atteinte par les particules si elles sont accélérées par le l champ électrique de la question précédente sur la distance d, en déduire que R = Km2 où K est une constante dont on précisera l'expression et m la masse des particules. Application numérique : B = 2 10'2 T, calculer R pour les ions de Xénon, et pour les électrons. d. Conclure quant à l'influence du champ magnétique sur les ions dans les conditions de l'expérience. Quelle est la nouvelle contrainte qui doit être vérifiée dans le cadre de la question 1.1. ? Est-ce le cas ? _. 1.4. On s'intéresse à présent au mouvement des électrons en présence des champs Ë et B croisés (figure 3) et en tenant compte du terme de relaxation collisionnel --mvEUR ü (désormais et jusqu'à la fin du problème, m désigne la masse de l'électron). Le champ des vitesses électroniques est décrit par ü(x) en régime stationnaire. On néglige en première approximation l'accélération convective des électrons dans les équations du mouvement. On pose ("be =--°Ë . m 3. Ecrire l'équation du mouvement et la projeter sur les trois axes de coordonnées. b. En déduire uz, une relation entre les composantes uX et uy, et montrer que l'on peut en "(:O 2 1+ & Ve (1) c. Application numérique : calculer --i et comparer Me et Meo- Calculer l'ordre de grandeur V e déduire : u" = --ueE avec u = EUR de uX et de uy. d. Conclure quant à l'efficacité du processus d'ionisation dans cette nouvelle configuration. e. En analysant les équations du mouvement en l'absence de collisions, expliquer le rôle déterminant du couplage champ électrique-champ magnétique pour piéger les électrons tout en accélérant les ions. f. On cherche à vérifier à présent la validité de l'approximation consistant à négliger l'accélération dans les équations du mouvement des électrons. Exprimer l'accélération en fonction du champ des vitesses et de ses dérivées spatiales. Évaluer un ordre de grandeur des termes de l'accélération suivant ES,. et ëy; conclure sur la validité de l'approximation. g. Le terme collisionnel traduit l'influence des collisions des électrons sur les neutres et doit donc faire intervenir la vitesse relative (& -- vu) au lieu de ü . Montrer, toujours par une étude d'ordre de grandeur, que ceci ne modifie pas de façon notable l'étude ci--dessus. 1.5. Etude microscopique simplifiée : On cherche ici à retrouver directement par une étude microscopique simplifiée le mouvement de ... dérive des électrons dans les champs croisés E et B dans le cas particulier où me >> ve. Les champs E et B sont ici toujours supposés uniformes et perpendiculaires et on ne s'intéresse qu'au mouvement d'un électron entre deux collisions, projeté perpendiculairement à B. On note vl(t) sa vitesse --' --. perpendiculairement à B , v sa valeur juste,après une collision avec un neutre. On note 1:e ro l'intervalle de temps moyen entre deux collisions. On décompose \7_L(t) en v, + @@ où 6, ne dépend pas du temps et v,... satisfait à une équation où n'intervient plus le champ électrique. a. Exprimer alors v en fonction de B et B. 1 V =v +i V h . On introduit la variable complexe V = V1 + V; avec : ' "' . 'y . Montrer que . V2=v2X +1 v2y dV, , , , . . . dt" =1oeEUR V2 et en dedu1re ] expressmn de V(t) puis celle de r(t) = x(t) + 1 y(t) en prenant pour origine la position juste après la dernière collision. c. En déduire moyennant quelques hypothèses que l'on précisera, dans le cas ("Je >> 1 , que le déplacement moyen entre deux collisions peut s'écrire (Ar) = -- i -E--r -- -----E-- BEUR Bd)e d. Retrouver alors les expressions de ux et uy déterminées en I.4.b. (dans le cadre de , . . 1 approx1mat10n oee >> Ve)- Partie II Première approche simpli iée d'une solution stationnaire Les équations qui régissent le comportement des électrons, des ions et des neutres ainsi que l'expression du champ électrique sont couplées et relativement complexes. On s'intéresse ici à une mise en équation simplifiée conduisant par une résolution numérique à une première solution décrite par les courbes de la figure 4. On note ni la densité particulaire des ions Xénon monochargés et 11EUR celle des électrons. Les hypothèses de ce premier modèle sont les suivantes : (î) (ii) (iii) (iV) (V) (Vi) (vii) Potentiel (V) Taux d'ionisation (Il)" cm'3 8") O'"NWÀM quasi-neutralité du plasma (ni = ne) vérifiéé localement toutes les grandeurs ne dépendent que de l'abcisse x la distribution de champ magnétique B(x) ëz est imposée de l'extérieur (figure 4.f) les neutres, émis à l'anode en x = 0, ont une vitesse vn uniforme et constante parallèle à l'axe du réacteur Ox les ions positifs sont créés avec une vitesse initiale vn par impact des électrons sur les neutres. Leur vitesse reste alors parallèle à l'axe Ox et ils ne subissent aucune collision après leur création. Leur masse est notée M (ainsi que celle des neutres) le mouvement des électrons est donné par les équations déterminées en I.4.b., en particulier uX = -- ue(x) E(x) selon l'axe Ox le nombre de collisions efficaces (conduisant à ionisation) par unité de volume et de temps est décrit par S(x) = ki(Te(x)) nn(x) ne(x) où ki est une fonction connue (non précisée ici) de la température des électrons Te décrivant la collision au niveau microscopique. Champ électrique (102 V cm") {\ ..:" % _? 1'.5 :==» "2 E ;; 1.0 .S E 8 2 % $ 005 :. 3 on 1 2 3 5 5 0 1 2 3 4 r.: % 60 ; 2 : 50 "° 8 30 __:_r 1 '2 20 ": ë %' .2 ... E ' &" 0 g 0 1__234201234201...234 Posmon (cm) "' Position (cm) ' U Pos1üon (cm) Figure 4 11.1. On note I'e(x), R(x) et I'n(x) les flux surfaciques de chaque espèce (ou densités volumiques de courant particulaire) comptés algébriquement suivant l'axe orienté Ox. a. b. Exprimer 1Ï,(x) en fonction de nn(x) et v... En effectuant un bilan sur les neutres, déterminer une équation différentielle reliant I'n(x) et S(x). Relier les variations spatiales de Fe(x), I'i(x) et Pn(x), et en déduire l'expression de 11(x) et Pe(x) à l'aide de l',,(x) et l',,(d), et des conditions aux limites Fn(0) et I'e(d) (on précisera la . valeur choisie pour I'i(O) au vu des hypothèses du modèle). La connaissance de I'n(x) nécessite alors celle de Te(x) et de ne(x) = ni(x). 11.2. Pour déterminer ni(x), on utilise l'hypothèse (v). a. On s'intéresse aux ions produits par unité de temps dans la tranche de section unité et comprise entre les abcisses x0 et x0 + dxo. Exprimer la vitesse vi(x,xo) de ces ions lorsqu'ils parviennent à l'abcisse x > x0 en fonction de la différence de potentiel <) n,(X) u,(><) ' 11.4. L'ensemble de la démarche ci--dessus permet alors la résolution du problème stationnaire par une méthode numérique itérative par relaxation dont le détail ne sera pas abordé ici. Les résultats sont représentés par les courbes de la figure 4 (on fera attention aux unités utilisées et à la double échelle, potentiel à gauche, champ électrique à droite, de la figure 4 (a) ). a. b. c. d. L'ionisation est--elle efficace ? Pourquoi S(x) passe-t-il par un maximum ? Le mouvement réel des ions n'étant pas tout à fait unidimensionnel, pourquoi choisit-on de localiser la zone de champ magnétique plutôt vers la sortie du réacteur '? Commenter la forme de la partie droite de la courbe 4 (b) m(x) (x > 3 cm) compte tenu de l'allure de S(x) : que retrouve--t-on ici comme information concernant les ions ? 11.5. On s'intéresse dans cette question à l'étude, à partir des courbes de la figure 4, de la validité de certaines approximations effectuées dans la modélisation. a. On note An = (ni -- n,). En utilisant une équation de Maxwell, relier An aux variations spatiales du champ électrique. En déduire un ordre de grandeur de An pour x = 2 cm, 3 cm, 3,5 cm. Compte tenu de la courbe 4 (b) peut--on considérer que l'hypothèse (i) est correctement vérifiée ici '? On s'intéresse à l'hypothèse (vi) et on suppose que les électrons sont assimilables à un gaz parfait de température Te(x) et de densité n,,(x). Quelle force n'a pas été prise en compte dans le modèle pour l'étude du mouvement des électrons ? Donner son équivalent volumique en fonction de se, nEUR et de leurs variations spatiales, puis en utilisant les courbes, montrer que l'on ne peut négliger cette force dans la zone x > 1 cm. On est donc conduit à reprendre les équations ci-dessus afin d'améliorer la modélisation et si possible, en même temps, de préciser la forme du bilan énergétique. C'est l'objet de la troisième partie. Partie III Amélioration du modèle stationnaire On considère à présent que les neutres, les ions et les électrons satisfont aux équations suivantes en régime stationnaire : (III.1.) -(%{(nêuX -- (%--(nêvi )= -- â-- nnvn )= kinenn et on note vi = k,n,1 (III.Z.) ' 'Ïxn = 0 (III.3.) Mvi%= -- egd%--ViM(Vi -- vn) (III.4.) 0 = e neg£-Ê-- - -(--î--î--(--(ne k Te )-- vdm 11e 11" avec vd % Îî III.]. a. À quoi correspondent les équations (III.1.) ? Quelle hypothèse est implicitement conservée ici ? b. Expliquer la forme du premier membre de l'équation (III.S.). À quoi correspond physiquement le dernier terme de cette équation ? c. En utilisant les résultats des parties 1 et Il, commenter l'équation (III.4.) : on identifiera l'origine de chaque terme, on précisera quelles sont les approximations qui ont été effectuées (termes manquants) et pourquoi. Pourquoi appelle--t-on vd fréquence effective de diffusion axiale ? III.2. Afin de pouvoir réaliser un bilan énergétique correct concernant les électrons en utilisant le premier principe de la thermodynamique, on s'intéresse d'abord à l'étude simplifiée du bilan associé à une ionisation. Lors d'une ionisation, un électron rencontre un neutre et provoque la création d'un ion et d'un nouvel électron. a. Si l'électron incident a une énergie de l'ordre de la dizaine d'électronvolts, et l'atome neutre de Xénon une vitesse de l'ordre de 300 m s'1 , comparer leurs quantités de mouvement. b. Justifier alors que l'on a considéré en Il que l'ion était créé avec une vitesse vn égale à celle des neutres. c. En déduire que lors de l'ionisation, l'énergie E, nécessaire à la création de la nouvelle paire (électron, ion) est essentiellement fournie par l'électron. d. En comparant alors l'énergie disponible après le choc pour les deux électrons et l'énergie de l'électron incident, montrer que tout se passe comme si l'électron incident perdait E, et l'électron créé l'était avec une énergie nulle. " e. En déduire que dans le bilan d'énergie, on peut oublier le terme associé aux électrons créés en incluant seulement un terme associé aux pertes d'énergie de la forme -- vi ne E,-- par unité de volume et de temps. f. En fait, on écrit ce terme de perte II = -- V, a nEUR E, où ou est un coefficient sans dimension de l'ordre de 2 à 3. En considérant que toutes les collisions n'aboutissent pas à une ionisation, proposer une interprétation de on > 1. 111.3. On considère à présent le bilan énergétique issu du premier principe, en négligeant l'énergie cinétique macroscopique des électrons devant leur énergie interne. a. Quelle est l'expression de la puissance volumique cédée par le champ électrique aux électrons ? b. On considère le système ouvert constitué des électrons présents entre x et x + dx évoluant dans l'intervalle de temps (t, t + dt). Construire un système fermé adapté que l'on précisera en tenant compte des conclusions de III.2.e. et Ill.2.f.. En lui appliquant le premier principe, établir : (Ill.5.) d(âneth,XuxEUR)=neu ÊÊ--vlocneEl dx 2 dx III.4. Une manipulation fastidieuse mais sans difficulté des équations précédentes permet d'obtenir les dérivées spatiales de chaque variable en fonction de l'ensemble des variables du système. On obtient dn G,=kTe--âMvÿ ainsi par exemple : GluX ----'î = nEUR G2 avec 2 3 5 dx G2=vi[g0tiEi+ch,--gMux(2vi --vn) ""'diî' a. Pourquoi dit-on que 61 = 0 correspond à une transition subsonique-supersonique pour les ions ? b. À quelle condition cette transition peut--elle avoir lieu de façon régulière (sans divergence des dérivées spatiales) ? 1115. La résolution numérique des équations du modèle amélioré fournit alors les courbes de la figure 5 (On notera que la figure 5 (b) modifie les dimensions du réacteur, différentes dans cette simulation de celles utilisées dans la partie H, E désignant le point de sortie, A l'anode de potentiel (DA et S le point de passage sonique). Sur la figure 5 (a), 1 G = 10"4 T. On remarque que l'ionisation est extrêmement localisée ici, en présence. d'un champ B qui n'est pourtant négligeable nulle part . Proposer une explication à partir des courbes. En s'aidant des courbes 5 (c), 5 (d) et 5 (g), expliquer pourquoi la zone située entre 0 et 15 mm est appelée région de diffusion. Commenter les différences apparaissant entre les deux modèles dans cette région. 100 © % ;îm CO 100 È! 0 0 ' 0 20 40 60 0 20 40 60 l?" zo "-- /'\ 60 "J; E > _ â 4° _fi 10 Attention, courbe 0 0 'Vd =----Vd 0 20 40 60 0 20 40 /\300 A 3 E, 4 Æ--5 lâ"° "â % | 100 | 2 lits 0.5 @ 0 A ÎÊL 0 f : 0 20 40 60 0 5 10 æ(mm) æ(mm) 2x(mm) Figure 5 Afin de préciser les paramètres importants du modèle, on cherche, en exploitant les courbes, à trouver .des expressions simplifiées des variables dans différents domaines, c'est le cadre de l'étude asymptotique menée dans la partie IV. Partie IV Étude asymptotique : exemple dela région pré-ionisation Compte--tenu des résultats de la figure 5 (h), l'ionisation est limitée à une couche de faible épaisseur en amont du point S où l'écoulement des ions devient supersonique. On peut considérer en outre qu'en amont de cette couche d'ionisation, dans la zone B-D (figure 2 (b) ), la fréquence effective de diffusion axiale des électrons est à peu près constante et égale à m. Les ions présents dans cette zone ont été produits en aval et donc v; < 0. IV.1. Que deviennent alors les équations (III.I.), (111.3.) et (III.S.) compte-tenu de ces approximations ? En proposer des intégrales premières. Les densités volumiques de courants particulaires I' - et I', ionique et électronique sont toutes deux négatives dans la zone B- D considérée loi; on note I';B la valeur de F en B, 88 la valeur de I' ., en B et VB la valeur de la vitesse ionique associée en B. . . . . 5kT B Une étude plus approfondie et non abordée 101 montrera1t que viB = --'/--31©--î--) et que _/1lB âï'Ïme x--p( e<®(B) )----------------)OE...(A)) à la transition entre la zone de quasi-neutralité et la kT (B) gaine très mince A-B chargée existant au voisinage de l'anode. On considère que xB z xA = O. Déduire des équations précédentes la relation : d 1 d 4 2 F dv. (IV.1.) nkT +----nMv = ------Mv, --lB------' dx ( ) 5 dx( ) 5 B v,2 dx En utilisant également l'équation (III.4.) simplifiée, établir alors que : d (IV.2.) n MV nkT = --nev muX dX ___--C( 12+) dX _( 6) d0 En déduire par élimination de Te entre ces deux équations que : ... Vi dv . V! : Î \ (IV.3.) l-- -- 2--a--L-- = 2 ou on note 18 et ou on vi X 36 = %" précisera X0 en fonction des données en B. En utilisant la relation entre 113 et I"eB et l'expression de Vila données en IV.l.b., et en exploitant les courbes de la figure 5, donner une estimation numérique de xc en prenant kTeB : 1 eV. En intégrant (IV.3.), en déduire, en supposant que les ions sont à vitesse subsonique entre D et B, que : (IV.4.) V, = 1 + î - J(1+îï _1 IV.2. L'estimation numérique effectuée en IV.l.d. montre que xc<< xD. On s'intéresse donc ici aux expressions approchées des différents paramètres dans la zone de diffusion caractérisée par '>?" >> 1 . a. b. Quel est le comportement asymptotique de Tri dans cette zone ? En déduire que Te(x) et d dans cette zone que l'on exprimera en fonction de Tag et (DB. Comment est alors le champ électrique dans cette zone ? d. Déduire alors de l'équation (III.4.) simplifiée l'évolution de la pression dans cette zone et comparer à la courbe de la figure 5 (g). On utilisera dans la suite que, compte tenu de cette figure, pB z 0. , e. À quoi est dû le mouvement des électrons dans cette zone '? Pourquoi est--elle appelée région de diffusion ? Les mesures expérimentales confirment bien l'existence de cette zone ainsi que ses caractéristiques. IV.3. Afin de déterminer la position xD du début de la couche d'ionisation, on considère à présent que vi n'est plus tout à fait nul, mais varie avec Te suivant : (IV.5.) v. =v. e "c tant que kTEUR reste inférieur à quelques E. a. En utilisant les courbes, peut--on considérer que CD(x) reste constant '? b. En utilisant alors l'expression obtenue en IV.2.d. pour la pression, en déduire une relation entre T.,, uX et x où interviennent v..., et m. c. En reprenant le bilan d'énergie (III.5.) et les équations de conservation (III.1.) dans ce cas, établir alors : d kT (IV.6.) kT ( ") = (kT + âE.) v. de m x où â=--2--a ° dx " ' ' 5 d. Déduire de (IV.5.) que : (IV.7.) £i--Yl = E'2 dTEUR vi kTe e. V, variant beaucoup plus rapidement avec x que Te dans le début de la zone d'ionisation, déduire alors de (IV.6.) et (IV.7.) que l'on a à peu près 1 1 _ , . __ _ __ z A( Te,Ei,m,vdo,a ) x2 où V... est la valeur de vi dans la reg10n de Vid V" ! diffusion et A une expression que l'on précisera. f. Compte tenu de la courbe 5 (h) caractérisant l'évolution de v,, en déduire en précisant le raisonnement la position de l'entrée dans la couche d'ionisation en fonction de A et de vid. On prend "oî = 1 . A l'aide des valeurs numériques données en introduction et de la valeur de vd tirée de la courbe 5 (h), calculer n... V..., xc et xp et comparer les valeurs obtenues à celles de la figure 5. Partie V Instabilité du plasma Dans cette partie, on souhaite étudier un exemple d'oscillations qui peuvent naître spontanément dans le plasma et entraver le bon fonctionnement du moteur. Cet exemple est celui d'oscillations de la région d'ionisation, région d'extension faible en x et située à l'abcisse xD près de la sortie du réacteur (figures 2 (b) et 5 (i) ). On suppose toujours valable l'hypothèse de neutralité locale dans le réacteur. On note 1 l'extension typique en x de la zone d'ionisation, l< 

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 X/ENS Modélisation PSI 2003 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Jean-Julien Fleck (ENS Ulm) ; il a été relu par Vincent Fourmond (ENS Ulm) et Jean-David Picon (École Polytechnique). Ce sujet, qui comporte de très nombreuses questions, s'intéresse à la modélisation d'un moteur ionique pour satellites. Il est divisé en cinq grandes parties précédées d'une courte introduction : · Les questions introductives constituent un exercice classique de mécanique portant sur la propulsion d'une fusée. · La première partie étudie l'action des champs électrique et magnétique sur le système et démontre en particulier comment la présence d'un champ magnétique permet d'augmenter le taux d'ionisation. · La deuxième donne une première approche simplifiée du problème en régime stationnaire. On y définit les notations utiles pour la suite, ainsi que la notion de gaz parfait électronique. · La troisième améliore le modèle du régime stationnaire. Des considérations énergétiques permettent de dériver des relations supplémentaires et d'obtenir une modélisation plus proche de la réalité. · La quatrième se concentre sur la résolution des équations établies à la troisième partie dans la région de pré-ionisation, où l'on peut négliger le taux de formation d'ions. Elle nécessite d'avoir bien en tête les deux parties précédentes. · Enfin, la cinquième partie est complètement indépendante des autres au niveau conceptuel et propose une étude rapide et très simple des oscillations dans les plasmas. De nombreuses questions constituent des applications directes soit du cours, soit des formules données par l'énoncé. Cela en fait un sujet abordable par tous. Les questions introductives ainsi que les parties I et V sont faciles et permettent de réviser respectivement la propulsion des fusées, les effets des champs électrique et magnétique sur des électrons et les instabilités oscillatoires dans les plasmas. En revanche, il est nécessaire d'avoir une idée précise du système et de son fonctionnement pour aborder sereinement les parties II, III et IV, qui constituent le coeur du problème. Celles-ci sont plus particulièrement axées sur les problèmes liés aux bilans de matière ou d'énergie, aux implications des hypothèses d'un modèle et aux résolutions asymptotiques dans certaines régions. Indications I.1 Le champ est uniforme si la distance d'action est négligeable devant la courbure. I.2.b Est-on bien dans un cadre non relativiste ? est de l'ordre de uy /r1 , ce qui n'est pas I.4.f L'accélération convective en uy y négligeable. I.5.c Supposer que l'énergie de l'électron est entièrement absorbée dans le choc. En outre, noter que pour e e 1, e i e e = 0 II.1.c Écrire une équation-bilan chimique et utiliser les connaissances correspondantes. II.4.b Chercher où S(x) est presque nulle. II.5.b Penser à la théorie cinétique des gaz : que manque-t-il pour avoir un vrai gaz parfait ? III.1.b Penser à l'accélération particulaire des ions. III.2.f Si le choc n'aboutit pas à une ionisation, l'énergie peut être rayonnée par le xénon. III.3.b Le terme de gauche correspond à la variation d'énergie interne à laquelle on soustrait le travail des forces de pression. Considérer une tranche d'épaisseur dx en x à l'instant initial, évoluant en une tranche d'épaisseur dx + ux (x + dx) - ux (x) dt en x + ux dt à l'instant final. III.4.a Estimer que 5/3 n'est pas très différent de 3. III.5.b Regarder le potentiel et considérer que les chocs sont plus fréquents à mesure que le champ magnétique augmente. IV.1.a Lire le préliminaire de la question IV.3 pour trouver l'approximation. Intégrer entre xB et x. IV.1.b Isoler le membre de gauche et utiliser toutes les autres équations (y compris intégrales) écrites précédemment pour mettre le membre de droite sous la bonne forme, en introduisant TeB puis v iB . vi 1 de puis mettre tout ce qui reste à IV.1.d Trouver d'abord le terme en 1 - vei dx droite dans la définition de xc . 1 1 IV.2 Développer d'abord en plutôt qu'en pour simplifier les calculs 1+x e x e IV.3.f Chercher une relation très simple où intervient la densité nn de neutres à l'anode. Estimer id au point B grâce à la valeur de i0 donnée dans l'énoncé. xc a déjà été calculé à la question IV.1.d. V.3 Développer calmement au premier ordre et s'attendre à des simplifications. Introduction 1 Plaçons-nous dans le référentiel galiléen géocentrique par rapport auquel on me sure la vitesse - v de la fusée. La fusée n'a pas une masse fixe puisqu'elle éjecte constamment de la matière : c'est, par essence, un système ouvert. Comme les principes de physique s'appliquent à des systèmes fermés, on définit le système fermé coïncidant S qui est composé : · à l'instant t de la fusée de masse M(t) ; · à l'instant t + dt de la fusée de masse M + dM et de la matière éjectée (-dM) entre t et t + dt. Remarquons dès à présent que la vitesse d'éjection de la matière se fait à la vitesse - u par rapport au moteur, c'est-à-dire à la vitesse - u +- v dans le référentiel galiléen - dans lequel est évaluée v . - S est un système fermé. Soit P sa quantité de mouvement. La relation fondamentale de la dynamique donne - P- dP = F ext dt La variation de quantité de mouvement pour ce système s'écrit, au premier ordre, - - - d P = P (t + dt) - P (t) - = -dM (- u +- v ) + (M + dM) (- v + dv) - M - v - - d P = -dM - u + M dv d'où - P- d- v dM - u +M = F ext dt dt P- d- v dM - M = F ext + u dt dt Si l'on isole la variation de quantité de mouvement du système ouvert constitué par la fusée, on voit qu'il est équivalent de considérer que l'éjection de matière donne lieu à une force de poussée : - dM - T = u dt 2 On suppose ici que - u et - v sont colinéaires à l'axe de translation (et donc de sens contraire) : c'est le cas par exemple pour un réacteur primaire de fusée. Toute autre force étant négligée, la projection de l'équation du mouvement donne M dv dM = (-u) dt dt dM M et comme u est supposée constante, on obtient, avec Mf = Mi - m, Mf v = -u ln Mi m d'où v = -u ln 1 - Mi et on en déduit m = Mi 1 - e -v/u On sépare les variables : dv = -u 3 On peut tracer l'évolution de m/Mi en fonction de v pour différentes valeurs de u (u1 < u2 < u3 ). 4 Par conséquent, plus u est grand, plus on peut obtenir une grande variation de vitesse pour une même masse de carburant consommé (v1 < v2 < v3 ). m M i u2 u1 u3 v1 v2 v3 v 5 La poussée s'exprime comme le débit que multiplie la vitesse. Un rapide calcul donne T = 1.10-2 × 3.104 = 300 N La force produite est à peine suffisante pour soulever une masse d'environ 30 kg à la surface de la Terre. . . Par suite, on ne peut utiliser ces moteurs que lorsque g est totalement négligeable, ou compensée par la rotation du satellite autour de la Terre. Ils ne sont pas efficaces lors du lancement ou de la mise en orbite initiale. I. Rôle du champ magnétique sur la mobilité électronique et l'efficacité de l'ionisation I.1 Le champ magnétique peut être supposé uniforme à condition qu'un déplacement de dr dans l'anneau du réacteur produise une variation d'orientation d négligeable. Il faut donc que l'on ait, en ordres de grandeur, r2 r1 r2 2 (r2 - r1 ) 1 r2 + r1 r1 r1 + r2 2 Avec les données fournies par l'énoncé, on remarque que l'approximation n'est pas vraiment justifiée, mais on verra à la question I.3.d qu'on n'a en fait besoin que d'une contrainte plus faible.