X/ENS Physique PSI 2025

ECOLES NORMALES SUPERIEURES
ECOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D'ADMISSION 2025

MERCREDI 16 AVRIL 2025
08h00 - 12h00
FILIERE PSI

-

Epreuve n° 4

PHYSIQUE (XSR)

Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve

Debut du sujet

Phenomenes de transport, thermoelectricite et applications.
Dans ce probleme, nous nous interessons a quelques phenomenes couplant les 
transports de charge
et de chaleur. Dans un premier temps, on etudie les notions elementaires sur le 
transport de la chaleur
et de la charge dans un metal. Dans un second temps, nous nous interesserons au 
couplage entre ces
phenomenes, et nous analyserons en particulier les effets thermoelectriques.
Les effets thermoelectriques peuvent etre utiles dans differents contextes. 
Notamment, ces dernieres
annees, des dispositifs utilisant ces effets ont ete envisages afin d'elaborer 
des solutions de recuperation
d'energie thermique dissipee dans des centres de donnees pour produire de 
l'energie electrique.
Les materiaux ayant des proprietes thermoelectriques sont notamment utilises 
pour realiser des mesures de temperature. On etudiera ainsi, dans une derniere 
partie, les performances des thermometres
bases sur des jonctions thermoelectriques, que nous comparerons dans ce 
contexte aux caracteristiques
des thermometres utilisant les proprietes des metaux.
 Les applications numeriques seront effectuees avec la precision qu'un calcul a 
la main permet
aisement, et (sauf mention contraire) sans exceder deux chiffres significatifs. 
Les ordres de grandeur seront donnes avec un seul chiffre significatif. Les 
donnees numeriques ont ete choisies pour
rendre aises les calculs.
 Les references des questions abordees devront etre indiquees de facon claire.
 Le sujet comporte 12 pages : les deux parties constituant ce sujet sont 
independantes et peuvent
etre traitees separement. Certaines sous-parties peuvent etre abordees 
independamment des questions precedentes. Il est conseille d'aborder le sujet 
dans l'ordre des questions.
Notations, formulaire et donnees numeriques.
 Charge elementaire : e  1,6 × 10-19 C
 Constante de Boltzmann : kB  1,4 × 10-23 J · K-1
 Masse d'un electron : me  9,1 × 10-31 kg
 Masse d'un proton (ou d'un neutron) : mp  1,7 × 10-27 kg
 Conductivite electrique du cuivre : 0  6,0 × 107 S · m-1
 Conductivite thermique du cuivre : Cu  3,0 × 102 W · m-1 · K-1
 Conductivite thermique du platine : Pt  8,0 × 101 W · m-1 · K-1
 Permittivite dielectrique du vide : 0  10-11 F · m-1
 Masse volumique du platine : Pt  2,1 × 104 kg · m-3
 Capacite thermique massique du platine : cPt  1,3 × 102 J · K-1 · kg-1

 = (Ar ,A ,Ax ) :
Operateur laplacien vectoriel en coordonnees cylindriques (r,,x), pour un 
vecteur A
 2

 Ar
1  2 Ar
 2 Ar
1 Ar
2 A
Ar
- 2
- 2 ur
+ 2
+
+
2
r 2
x2
r r
r 
r 
 r
2A
2A
2A

1

1
A
2
A
A
r

= +
A
+ 2
+
+
+ 2
- 2 u .
2
2
2
r
r

x
r
r
r

r
 2

1  2 Ax  2 Ax 1 Ax
 Ax
+
+ 2
+
+
ux
x2
r 2
r2
r r
On notera i l'unite imaginaire telle que i2 = -1.

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I

Transport de charge et de chaleur dans un materiau metallique

Deux solides, notes S1 et S2 , de meme capacite thermique C, sont mis en 
contact a l'aide d'un
barreau cylindrique conducteur de conductivite thermique , de capacite 
thermique massique c, de
masse volumique , de longueur  et de rayon a. La conductivite electrique du 
barreau conducteur en
regime permanent est notee 0 (conductivite statique).
Le barreau conducteur contient des charges libres de se deplacer. On note n la 
densite volumique
d'electrons (en m-3 ), m la masse d'un electron et -e sa charge. Les 
temperatures des deux solides
S1 et S2 sont respectivement T1 et T2 , et leurs potentiels electriques 
respectifs sont notes V1 et V2 .
Les electrons du barreau conducteur sont donc soumis a une difference de 
potentiel electrique. Ces
derniers subissent egalement une dissipation d'energie, en raison de 
collisions, modelisee par une force
m
de frottement visqueux fv = - v , ou  est un temps caracteristique de collision 
et v la vitesse d'un

electron. L'origine des positions, materialisee par le point O, est prise a la 
jonction entre le barreau et
le solide S1 . La situation est representee sur la figure 1.

Figure 1 ­ Le dispositif complet est constitue de deux solides notes S1 et S2 , 
portes a des temperatures
Tk , avec k = 1,2, et des potentiels electriques Vk differents, relies par un 
conducteur de longueur .
Le barreau reliant les deux reservoirs a une longueur  = 2 cm et un rayon a = 1 
mm. L'origine des
positions est prise a la jonction entre le barreau et le solide S1 .
Les sections suivantes abordent les caracteristiques du transport de charge 
dans un conducteur
metallique en regime continu (I.A) et en regime variable (I.B), et celles du 
transport de chaleur dans
le meme type de materiau (I.C). Enfin, une etude des effets thermoelectriques 
est conduite dans la
partie I.D.
I.A

Transport de charge en regime continu

1. Par un raisonnement en ordres de grandeur, justifier que, dans un metal, les 
proprietes de conduction electrique sont essentiellement dues aux electrons.
2. Etablir l'equation regissant l'evolution temporelle de la vitesse d'un 
electron dans le barreau
cylindrique conducteur. En regime permanent, montrer que la vitesse v d'un 
electron et le champ
 dans le barreau cylindrique, sont proportionnels. On appellera mobilite ce 
coefficient de
electrique E
proportionnalite positif. On le notera µ, et on l'exprimera en fonction de m, 
e, et  . On negligera les
effets du champ de pesanteur.
3. En deduire une expression de la conductivite du metal en regime permanent 0 
, en fonction de
n, e,  et m.
4. Exprimer alors la resistance electrique Rel du barreau metallique reliant 
les deux solides, S1 et
S2 , en fonction de 0 et des parametres geometriques.

­ Page 2/12 ­

I.B

Transport de charge en regime lentement variable

Les proprietes de transport electrique d'un barreau metallique evoluent en 
fonction de la tension
appliquee a ses bornes, en particulier vis-a-vis de la frequence de cette 
derniere. Dans le cas d'un
regime harmonique, on peut decrire la dependance de la resistance vis-a-vis de 
la frequence. En regime
harmonique a la pulsation , la conductivite dynamique () peut s'ecrire, en 
notation complexe :
0
() =
.
(1)
1 + i
Pour les grandeurs physiques en representation complexe, on considerera que la 
dependance temporelle
est de la forme eit .
5. Retrouver l'expression de () dans le cas d'une sollicitation du barreau 
metallique par un champ
electrique sinusoidal.
6. En exploitant les equations locales de l'electromagnetisme en notation 
complexe, montrer que la
densite volumique de charge (M,t) en un point M du conducteur verifie 
l'equation suivante :
2
1 
(M,t) +
(M,t) + p2 (M,t) = 0 ,
(2)
t2
 t
avec p une pulsation caracteristique dont on determinera l'expression en 
fonction de n, e, m et 0 .
7. Donner un ordre de grandeur du parametre de maille dans un metal. En 
supposant que chaque
atome du reseau cristallin donne un electron de conduction, en deduire une 
estimation numerique de la
densite electronique n dans un metal. Pour un conducteur de bonne qualite, 
comme le cuivre, evaluer
numeriquement un ordre de grandeur de  et de p .
8. Determiner alors l'expression du facteur de qualite Q de l'oscillateur 
amorti decrit par l'equation
(2) et une valeur numerique de ce dernier. Representer graphiquement l'allure 
de la densite volumique
d
de charge en fonction du temps, en supposant les conditions initiales suivantes 
: (0) = 0 et
(0) = 0.
dt
En deduire que lorsque   1, la densite de charge au point M peut etre 
consideree comme nulle.
Dans la suite, on se placera dans le regime   1.
9. Dans cette approximation, justifier que le vecteur densite volumique de 
courant j = jx (r,,x,t)ex
ne depend pas de la coordonnee x, definie par l'axe de revolution (Ox) du 
barreau cylindrique conducteur. Expliquer egalement pourquoi jx est independant 
de .
10. Montrer que la densite volumique de courant jx (r,t) verifie l'equation 
suivante :
jx = µ0 0

jx
.
t

(3)

E
devant le
On justifiera notamment pourquoi on peut negliger le courant de deplacement jd 
= 0
t
courant de conduction j = jx (r,t)ex . Donner le type de cette equation aux 
derivees partielles.
Le graphique de la figure 2 represente l'allure de la densite volumique de 
courant jx (r) le long
de l'axe (Ox) en fonction de la distance
r r au centre du conducteur, pour differentes valeurs de la
2
pulsation, a un instant t. On note  =
une distance caracteristique.
µ0  0 
11. En adaptant la modelisation mise en oeuvre a la question 4 et en utilisant 
le graphique de la
figure 2, decrire le comportement de la resistance du barreau conducteur en 
fonction de la pulsation
du courant qui le traverse. En particulier, on etablira une expression de la 
resistance en fonction de
la pulsation. On s'appuiera pour cela sur une modelisation simple du profil 
spatial de jx (r).
Pour tenir compte d'eventuels phenomenes de propagation au sein du cable, on 
souhaite decrire le
comportement du potentiel electrique le long du barreau metallique sur la base 
du modele suivant :

­ Page 3/12 ­

=a
= a/2
= a/5
= a/10

2
|jx| aI

r
a

Figure 2 ­ Densite volumique de courant axiale dans le cable jx (r) en fonction 
de r, pour differentes
valeurs de . Le courant total parcourant le cable est note I.
 A la position x et a un instant t, le potentiel electrique est note V (x,t).
 A la position x et a un instant t, le courant electrique est note I(x,t).
 Un element infinitesimal de conducteur de longueur dx situe a l'abscisse x est 
modelise par une
resistance dR = Rdx, reliee a la masse par une capacite dC = dx, comme 
represente sur le
schema de la figure 3. R est une resistance lineique et  est une capacite 
lineique.

Figure 3 ­ Element infinitesimal de cable de longueur dx, modelise par une 
resistance elementaire
Rdx et une capacite elementaire dx.
12. Etablir une relation entre les potentiels V (x,t) et V (x + dx,t), et avec 
le courant I(x,t).

13. En deduire alors que le potentiel verifie une equation de diffusion, 
faisant intervenir un coefficient
de diffusion, note D, dont on determinera l'expression et la dimension.

14. Une modelisation analogue a celle presentee dans le schema de la figure 3 
permet de decrire
un cable coaxial sans pertes : on remplace pour cela la resistance elementaire 
dR = Rdx par une
inductance elementaire dL = dx, ou  est une inductance lineique. Montrer que le 
potentiel electrique
(ou le courant electrique) obeit a une equation de d'Alembert dans le cadre de 
cette modelisation.

15. En cherchant une solution des equation obtenues aux questions 13 et 14 sous 
la forme V (x,t) =
V0 ei(t-kx) , determiner les relations de dispersion associees a ces equations.

16. Commenter l'expression mathematique de la relation de dispersion obtenue a 
partir de l'equation
de la question 13 et comparer a la relation de dispersion obtenue pour une 
equation de D'Alembert
(question 14). Expliquer les phenomenes qui apparaitront en fonction de 
l'expression de la relation de
dispersion.

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I.C

Etude thermique

Afin de conduire l'etude thermique du barreau metallique, on se refere au 
schema de la figure 1.
On suppose que l'ensemble est calorifuge, notamment les parois laterales du 
barreau metallique. On
negligera donc les echanges d'energie entre le systeme, constitue par les deux 
solides et le barreau, et
l'exterieur.
On suppose dans un premier temps que les solides S1 et S2 se comportent comme 
des thermostats
(aussi appeles reservoirs de temperature dans la suite) et que leurs 
temperatures respectives T1 et T2
sont constantes. On suppose egalement que la temperature est continue a 
l'interface entre les solides
et le barreau, hypothese traduite par les conditions suivantes : T (x = 0) = T1 
et T (x = ) = T2 .
Le barreau est modelise comme une phase condensee ideale de capacite thermique 
massique, notee c.
17. Rappeler la definition d'un thermostat. Donner la condition portant sur 
leur capacite thermique
qui permettrait de considerer les solides S1 et S2 comme des thermostats.
18. Dans l'hypothese de reponse lineaire (concept a preciser), rappeler la loi 
a laquelle obeit le
vecteur densite de courant thermique jQ . On notera la conductivite thermique .
Pour un conducteur metallique a temperature ambiante, la conductivite thermique 
 et la conductivite electrique 0 sont reliees par la loi de Wiedemann-Franz :
2
 2 kB

=
.
0 T
3e2

(4)

19. Justifier l'affirmation :  un bon conducteur electrique est un bon 
conducteur thermique . En
utilisant la loi de Wiedemann-Franz et sur la base d'arguments physiques 
numeriques, justifier que
l'evolution de la conductivite thermique d'un metal est conforme aux 
comportements attendus et en
deduire un ordre de grandeur de la conductivite thermique du cuivre Cu .
20. On constate que la conductivite thermique du diamant est particulierement 
elevee, et de l'ordre
de 2,2×103 W · K-1 · m-1 . Pourquoi la loi de Wiedemann-Franz ne 
s'applique-t-elle pas au diamant ?
21. Etablir l'equation gouvernant l'evolution spatio-temporelle du champ de 
temperature T (x,t)
dans le barreau metallique.
22. Determiner l'expression du profil de temperature T (x) dans le barreau, en 
regime permanent.
23. Apres avoir rappele la definition de la resistance thermique d'un materiau, 
en deduire l'expression mathematique de la resistance thermique Rth du barreau 
metallique.
On etudie maintenant la situation ou la temperature des thermostats T1 et T2 
dependent du temps.
Initialement, T1 (t = 0) = T01 et T2 (t = 0) = T02 . L'etude est conduite dans 
l'approximation des regimes
quasi-stationnaires, c'est-a-dire qu'on suppose que les relations etablies 
precedemment restent valables.
On rappelle que pour un thermostat dU = Cth dT , avec Cth la capacite thermique 
du thermostat, les
capacites thermiques des deux thermostats etant identiques.
24. On note therm , le temps caracteristique de thermalisation des thermostats, 
et ech , le temps
caracteristique des echanges de chaleur dans le barreau. Definir le cadre 
d'etude dans lequel on pourrait
supposer que les temperatures T1 (t) et T2 (t) sont homogenes dans les 
reservoirs de temperature.
25. Determiner un systeme de deux equations differentielles verifiees par T1 
(t) et T2 (t). On fera
apparaitre une duree  , caracteristique de l'evolution de T1 (t) et T2 (t), et 
dependant de Rth et Cth .
26. Determiner les expressions de T1 (t) et T2 (t). On pourra introduire les 
fonctions auxiliaires
T1 (t) + T2 (t)
T (t) = T1 (t) - T2 (t) et T (t) =
, et montrer que ces fonctions obeissent a des equations
2
differentielles decouplees (independantes).

­ Page 5/12 ­

27. Representer graphiquement l'evolution de T1 (t) et T2 (t) en fonction du 
temps et analyser le
resultat obtenu.
28. Donner l'expression du temps caracteristique th (assimile a ech ) de la 
diffusion thermique le
long du barreau metallique en fonction des parametres geometriques et grandeurs 
caracteristiques
physiques du barreau. Montrer que l'approximation des regimes stationnaires 
sera verifiee a condition
que l'on puisse negliger la capacite thermique massique c du barreau devant une 
capacite thermique
massique caracteristique, dependant de Cth , Rth , ,  et .
Dans la suite, on supposera la capacite thermique du barreau metallique 
negligeable
et obeissant a la condition etablie a la question precedente.
29. Determiner l'expression de la variation d'entropie d'un thermostat de 
capacite thermique Cth
passant d'une temperature Ti a une temperature Tf . En deduire la variation 
d'entropie S du systeme
complet, compose des deux solides S1 et S2 et du barreau metallique.
T01
, et comT02
menter cette evolution. On identifiera les lieux et les sources donnant 
naissance a une irreversibilite.
30. Tracer la variation d'entropie S en fonction de la variable sans dimension  
=

On considere dans la suite un element infinitesimal de longueur dx du barreau 
metallique, situe a
l'abscisse x.
31. Determiner l'expression de la quantite elementaire d'entropie d'echange, 
notee Se , pour cet
element infinitesimal entre les instants t et t + dt. On prendra en compte pour 
le resultat final le
caractere negligeable de la capacite thermique massique du barreau, 
c'est-a-dire que son coefficient de
diffusion thermique est suffisamment grand. On montrera en particulier que le 
resultat se met sous la
forme

T 2
Se = f (T )
dxdt ,
(5)
x
avec f (T ) une fonction de la temperature a determiner.
32. En deduire que le bilan local d'entropie volumique creee, notee sv , peut 
s'ecrire de la maniere
suivante :

sv
f (T ) T 2
=-
.
(6)
t
a2
x
Commenter l'evolution temporelle de sv et comparer aux precedentes analyses de 
la creation d'entropie.
On se place maintenant en regime harmonique, a la pulsation . Les temperatures 
des contacts
entre les solides S1 et S2 et le barreau metallique sont de la forme suivante :
T1 (t) = T01 cos (t) + T02
T2 (t) = T02 .

(7)

On observe alors le comportement du champ de temperature T (x,t) en differents 
points du barreau metallique et en fonction du temps. Les representations 
graphiques de l'evolution du champ de
temperature et du flux thermique dans le barreau metallique en fonction du 
temps sont presentees sur
la figure 4.
33. Analyser les differentes courbes de la figure 4 et expliquer le phenomene. 
Proposer, sur la base
d'arguments dimensionnels, une expression de la longueur caracteristique du 
phenomene d'attenuation

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(a)

70

T(x, t) ( C)

60
50
40

x = 10

30
0.0

x=4
2.5

5.0

x=2

x = 34

7.5

10.0
t(s)

12.5

15.0

17.5

20.0

(b)

(x, t)W

x = 10

x=4

x=2

x = 34

t(s)

Figure 4 ­ (a) : Temperature dans un conducteur de platine en fonction du 
temps, pour differentes
valeurs de x. (b) : Flux thermique dans le meme conducteur en fonction du 
temps, pour les memes
valeurs de x. La frequence vaut f = 0,1 Hz, les temperatures T01 et T02 valent 
T01 = 20  C et T02 =
50  C.

observe. Evaluer numeriquement une longueur caracteristique d'attenuation a 
partir des courbes de
la figure 4, et montrer qu'elle est compatible avec l'expression proposee 
precedemment.

34. Etablir enfin une condition sur la pulsation  pour que la norme du vecteur 
densite de courant
de chaleur puisse etre consideree comme uniforme sur une section du barreau 
metallique.

I.D

Effets thermoelectriques

Les effets thermoelectriques regroupent differents phenomenes mis en avant a la 
fin du XVIIIieme
et au debut du XIXieme siecle, qui mettent en evidence le couplage des 
phenomenes de transport de
charge et de chaleur. On distingue les differents types de couplages mentionnes 
ci-dessous :
 L'effet Peltier consiste en un deplacement de chaleur provoque par un courant 
electrique ;
 L'effet Thomson, a l'inverse, designe l'apparition d'un courant electrique 
provoque par un courant
de chaleur ;
 L'effet Seebeck designe l'apparition d'une difference de potentiel provoquee 
en circuit ouvert par
une difference de temperature.

En presence d'effets thermoelectriques, les vecteurs densite de courant de 
chaleur jQ et de charge j

­ Page 7/12 ­

s'ecrivent
-
--
jQ = - -
grad T - T  grad V
-
--
j = - -
grad V -  grad T .

(8)
(9)

ou  est la conductivite thermique intervenant dans la loi de Fourier,  la 
conductivite electrique statique intervenant dans la loi d'Ohm locale,  le 
pouvoir thermoelectrique, et V le potentiel electrique.
35. En presence d'effets thermoelectriques, on definit la conductivite 
thermique (T ) par l'ex--
pression du vecteur densite de courant de chaleur jQ = -(T ) grad T , en 
l'absence de mouvement
macroscopique de charges. En deduire l'expression de (T ).
36. Montrer qu'en circuit ouvert, la difference de potentiel aux bornes du 
conducteur se met sous
la forme
V (0) - V () = - (T (0) - T ()) ,

(10)

avec  un coefficient a exprimer en fonction d'un ou plusieurs des coefficients 
precedemment definis.
1
37. Montrer, dans le cas general, que la densite volumique de courant 
d'entropie js = jQ se met
T
sous la forme
-
js = j -  -
grad T .
(11)
T
En deduire alors une interpretation du coefficient  faisant intervenir 
l'entropie.
38. L'expression generale du taux de creation d'entropie
sc 
= js ·
t

-- !
grad T
-
+ j ·
T

sc
est la suivante :
t

-- !
grad V
.
-
T

(12)

Montrer que cette grandeur peut etre mise sous la forme
-- !2  2
grad T
j
sc
=
+
.
t
T
T

(13)

Commenter cette expression et conclure quant a la reversibilite des effets 
thermoelectriques, decrivant
le couplage entre le transport de charge et le transport de chaleur.

V
Figure 5 ­ Jonction thermoelectrique entre deux materiaux 1 et 2.
Pour determiner le coefficient , on utilise un montage dont le principe est 
decrit sur la figure 5.
Une jonction thermoelectrique est constituee de deux materiaux 1 et 2, chacun 
etant caracterise par
sa conductivite electrique i , sa conductivite thermique i , et son coefficient 
i , i = 1,2. Avec les
notations de la figure 5, on definit le coefficient Seebeck de la jonction par 
l'expression suivante :
S12 =

VC - VD
.
TA - TB

(14)

­ Page 8/12 ­

En pratique, on branche un voltmetre aux bornes de la jonction entre les deux 
materiaux (denotees
C et D sur la figure 5). On prendra TD = TC .
39. Justifier que le courant electrique parcourant le circuit peut etre 
considere comme nul dans la
configuration de la figure 5.
40. Exprimer le coefficient S12 en fonction des coefficients i du pouvoir 
thermoelectrique de chacun
des deux materiaux.
41. En deduire une methode pratique permettant de determiner le coefficient 0 
d'un materiau
inconnu.

II

Mesures de temperatures

Dans cette partie, on s'interesse a la realisation de mesures de temperatures 
en exploitant les
phenomenes decrits precedemment et en etudiant des dispositifs, dont une 
grandeur physique, dite
grandeur thermometrique, depend de la temperature.
II.A

Mesure de temperature avec un conducteur ohmique

Une thermoresistance est un capteur thermique exploitant la dependance de la 
resistance d'un
composant vis-a-vis de la temperature. Ici, on se propose d'etudier le 
fonctionnement d'une sonde
de temperature de ce type utilisant un fil metallique, qui sera le plus souvent 
du platine, du cuivre
ou du nickel. Ces thermometres tendent a remplacer les thermocouples pour les 
mesures a basses
temperatures, notamment dans le domaine medical. La thermoresistance etudiee 
est assimilee a un
conducteur metallique en platine, de geometrie cylindrique de longueur  et de 
section S.
La resistivite d'un metal, notee , depend de la temperature en  C, notee  dans 
la suite de l'etude.
Pour toute la suite du sujet, la notation  fera reference a la resistivite. La 
dependance precise en
temperature de la grandeur thermometrique, ici (), depend du materiau 
considere. Dans le cas du
platine, on a l'expression mathematique suivante, valable entre 0 C et 850 C :

() = 0 1 + A + B2 ,
(15)
avec  la temperature en  C, A = 3,9 × 10-3  C-1 et B = -5,8 × 10-7 C-2 .
42. Proposer une interpretation simple du parametre 0 au regard du modele 
mathematique eq.
(15). Discuter, sur la base d'arguments numeriques, l'approximation consistant 
a considerer la resistivite
comme une fonction affine de  sur la plage de temperature consideree.
On se placera dans le cadre de cette approximation pour le reste de l'etude de 
la
thermoresistance.
43. Determiner la condition sur A permettant de garantir que la 
thermoresistance a une sensibilite
maximale. Proposer un argument qualitatif permettant d'expliquer l'augmentation 
de  avec .
Pour mesurer precisement la valeur de la resistance de la thermoresistance, et 
en deduire la
resistivite connaissant les parametres geometriques de celle-ci, on utilise le 
montage electronique
represente sur la figure 6. Ce montage, appele pont de Wheatstone, permet de 
deduire la valeur
d'une resistance a priori inconnue a partir de la valeur des autres composants 
et d'une mesure de la
tension U . La mesure de la tension U s'effectue avec un voltmetre, dont 
l'impedance d'entree est tres
elevee.
La resistance de la thermoresistance est notee R = R0 + R , avec R0 = R( = 0). 
La tension d'alimentation E est choisie egale a 10 V.

­ Page 9/12 ­

Figure 6 ­ Montage permettant de determiner la valeur de R en mesurant la 
tension U . La valeur
de la tension E est fixee par l'utilisateur. On prendra E = 10 V. Les valeurs 
des resistances usuelles
sont prises a R0 .

44. Exprimer la resistance R0 en fonction de 0 et la variation de 
thermoresistance R en fonction
de  et R0 .

45. Etablir l'expression de la tension U en fonction de R , R0 et E, puis en 
deduire l'expression de
U en fonction de  notamment.

dU
46. La sensibilite du systeme de mesure est definie par  =
. Deduire des expressions de U et
d
 deux inconvenients de ce montage pour realiser une mesure de temperature.

Afin d'ameliorer le dispositif precedent de mesure de temperature, on adapte le 
montage electronique
represente sur la figure 6, et on etudie celui propose sur la figure 7. Ce 
dispositif de mesure adapte le
pont de Wheatstone de la figure 6, en introduisant deux ALI (Amplificateur 
Lineaire Integre), supposes ideaux et en fonctionnement lineaire. La grandeur 
physique mesuree est maintenant le potentiel
Vs .

Figure 7 ­ Montage de mesure de temperature. Les ALI sont supposes ideaux, et 
fonctionnent en
regime lineaire.
47. En reliant Vs et I par une expression mathematique, determiner la fonction 
realisee par l'ALI

2.
48. Etablir la relation entre Vs et R et en deduire une expression de Vs en 
fonction de la temperature

.

dVs
49. Determiner la sensibilite de ce nouveau montage, definie par 
e =
, ou la grandeur therd
mometrique est maintenant Vs . Commenter l'expression de la sensibilite 
obtenue, et proposer des
preconisations concernant le choix des valeurs R et E. On prendra R = R0 . 
Evaluer alors numeriquement

e .

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II.B

Utilisation de jonctions thermoelectriques pour la thermometrie

Un thermocouple est un dispositif de mesure de temperature, exploitant le 
principe de l'effet
Seebeck. Il est constitue d'une jonction entre deux materiaux possedant des 
coefficients Seebeck
differents. Le dispositif experimental de mesure de temperature est represente 
sur la figure 8.

V
Figure 8 ­ Schema du montage permettant la mesure de la temperature Tmes . Les 
traits noirs epais
correspondent a un conducteur de cuivre, les traits gris aux materiaux 1 et 2 
constituant la jonction
thermoelectrique. La difference de potentiel est notee V .
Le systeme dont on souhaite mesurer la temperature Tmes est mis au contact de 
la jonction
thermoelectrique. Les jonctions aux points A et B sont maintenues a une 
temperature Tref . Le voltmetre
est en contact electrique avec les jonctions A et B a travers un conducteur de 
cuivre (represente en
traits noirs epais sur la figure 8). Les pouvoirs thermoelectriques i des deux 
materiaux peuvent a
priori dependre de la temperature.
50. Montrer que la difference de potentiel mesuree par le voltmetre s'ecrit
Z Tmes
(1 (T ) - 2 (T )) dT .

V =

(16)

Tref

Determiner la condition permettant que la tension mesuree soit proportionnelle 
a la difference de
temperature.
51. Proposer une methode permettant de fixer en pratique la temperature de 
reference Tref et
justifier sa pertinence.
On represente sur la figure 9 le graphe de l'evolution de la tension generee 
par differents thermocouples en fonction de la temperature, pour une 
temperature de reference valant Tref = 0 C.
(;m=om1|bom7; T

(;ml(

"

T;m 

Figure 9 ­ Evolution de la difference de potentiel mesuree pour differents 
thermocouples, en fonction
de l'ecart T a la temperature de reference, pour une temperature de reference 
Tref = 0 C. Les
thermocouples de type B et S contiennent du platine, et ceux de type J, E et K 
contiennent du nickel.

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52. Comparer la sensibilite des differents thermocouples presentes sur la 
figure 9, et la comparer a
celle de la thermoresistance etudiee plus haut.
53. Expliquer les avantages et inconvenients des thermocouples contenant du 
platine (type B et S)
sur la base du comportement de la grandeur thermometrique mesuree en fonction 
de la temperature,
et de leurs proprietes chimiques.
54. Dans une perspective plus generale, a quelle application pourraient etre 
destines les effets
thermoelectriques ?

Fin du sujet

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