X/ENS Physique PSI 2023

ECOLES NORMALES SUPERIEURES
ECOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D'ADMISSION 2023

MERCREDI 19 AVRIL 2023
08h00 - 12h00

FILIERE PSI

PHYSIQUE (XSR)

Durée : 4 heures

L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve

Autour des thermogénérateurs magnétiques

Dans ce problème, nous étudions des dispositifs particuliers appelés 
thermogénérateurs magnétiques.
Après une étude générale des propriétés d'une machine thermique en partie I et 
IT, on s'intéresse aux
aspects thermodynamiques plus spécifiques des thermogénérateurs magnétiques 
dans la partie III
et aux propriétés thermodynamiques et magnétiques des matériaux 
magnétocaloriques utilisés dans
les thermogénérateurs en partie IV. Les parties V et VI permettent de 
comprendre le fonctionne-
ment mécanique du système à partir d'une approche énergétique des forces 
magnétiques. L'étude du
système est complétée par une approche thermique en partie VIT et par la 
présentation du système de
détection de la position du matériau magnétocalorique situé à l'intérieur du 
thermogénérateur dans la
partie VIIL. Les différentes parties du sujet sont relativement indépendantes 
entre elles et des résultats
intermédiaires permettent d'avancer dans la compréhension du système présenté.

Notations, formulaire et données numériques.

e Constante universelle des gaz parfaits : R = 8.,3J.mol !.K-!{
e Masse molaire de l'air : M -- 29g.mol |

e Capacité thermique massique à pression constante de l'air, considéré comme 
gaz parfait diato-
mique : Cp = 1,0 x 10° J.kg"!.K-

e Perméabilité magnétique du vide : 40 -- 47 x 107 H.m !

e Capacité thermique à excitation magnétique constante du Gadolinium : ey(Gd) = 
3,0x107! J.g-LK71

e Masse volumique du Gadolinium : p(Gd) = 7,9g.cm *

e Conductivité thermique du Gadolinium : £ca =10W.m !.K-!

e Conductivité thermique du Cuivre : kcu = 3.0 x 10° W.m !.K-!

e Conductivité thermique de l'air : &air = 2,0 x10-?W.m !K !

Quelques données numériques : 1,1%° & 1,4; 1,1 %° & 0,7; In(1,4) & 0,3; In(0,7) 
& --0,3

I Contexte de la chaleur perdue et machine thermique

Les enjeux de la transition énergétique amènent des réflexions sur l'efficacité 
des systèmes de pro-
duction et de conversion de l'énergie, ainsi que sur la récupération d'énergie. 
Optimiser les systèmes de
production d'énergie et récupérer le plus d'énergie possible lors d'une 
conversion d'énergie deviennent
des sujets majeurs dans le cadre d'une politique d'économie d'énergie.

Lors du fonctionnement d'un procédé industriel, l'énergie thermique produite 
grâce à l'énergie apportée
n'est pas utilisée en totalité. Une partie de la chaleur est inévitablement 
rejetée et non récupérée. En
raison de ce caractère inéluctable, on parle de chaleur fatale. Cette quantité 
d'énergie perdue constitue
un gisement potentiel à récupérer.

Cependant, cette appellation est en partie erronée car la chaleur fatale peut 
être en partie récupérée.
L''ADEME (Agence De l'Environnement et de la Maîtrise de l'Energie) classe le 
gisement de chaleur
fatale disponible par écart de température par rapport à la température 
ambiante (source froide).

Écart de Température Gisement
30°C 20 TWh
75°C 20 TWh

TABLEAU 1 -- Gisements de chaleur fatale (Energie thermique) disponible par an 
et classés par écart
de température avec la température ambiante, ici prise à 27°C.

-- Page 2/14 -
1. Rappeler l'expression du premier principe et du deuxième principe de la 
thermodynamique. Que
deviennent ces expressions sur un cycle thermodynamique ?

2. En considérant un système thermodynamique quelconque, noté $, en contact 
avec deux thermo-
stats aux températures Te et T5 avec Ten > Tfr, établir les différents régimes 
de fonctionnement
d'une machine thermique idéale. On s'appuiera sur une représentation graphique, 
appelée dia-
gramme de RAVEAU, donnant la chaleur échangée Qc entre le système $S et la 
source Tin, en
fonction de la chaleur échangée QFr entre le système $ et la source T1,.

3. Rappeler le nom et la définition des transformations associées à un cycle de 
CARNOT subi par le
système $ en contact avec les deux thermostats précédents. On représentera les 
étapes du cycle
dans le plan (T°, S) en faisant apparaitre clairement les températures des 
thermostats.

4, Dans le cas d'un système subissant un cycle de CARNOT, réaliser un bilan 
d'énergie et un bilan
d'entropie, et en déduire l'expression du rendement 7 en fonctionnement moteur 
en fonction de
Ten et Ze.

5. À partir des données du tableau 1, justifier pourquoi l'ADEME classe les 
gisements par écart
de température par rapport à la température de la source froide et en déduire 
en Wh l'énergie
que l'on pourrait récupérer par an et par gisement.

II Machine de Carnot opérée avec un gaz parfait

Considérons le système $S précédent comme étant un gaz parfait et subissant un 
cycle de CARNOT
entre Tin et Tf, respectivement à 57°C et 27°C. À chaque état du cycle, le 
volume, la pression et la
température du système $ sont indicés successivement par 1, 2, 3 et 4.

L'état 1 du cycle correspond au moment juste avant la phase de compression 
adiabatique. Dans cet
état, le système est dans un volume de 1 cm x 1cm x 1mm (noté Vi), la pression 
est de 1 bar (notée
Pi) et sa température est T1 = T3. On notera que sur la phase d'échange de 
chaleur avec la source
chaude, la variation de pression est de 0, 4bar.

On note c, et © les capacités thermiques massiques du système à pression 
constante et à volume
constant, respectivement, en J.K_!kg !. On rappelle que ces capacités 
thermiques obéissent à la
relation de MAYER : EUR, -- EUR = R/M, où R est la constante universelle des 
gaz parfaits, et M la masse
molaire. On considère dans la suite que le système $ est constitué d'air, 
assimilé à un gaz parfait

C
diatomique, tel que l'indice adiabatique + = Æ vaut 7/5.
Cv
6. Caractériser qualitativement la variation de pression du système $ le long 
du cycle, en détaillant
les transformations entre chaque état thermodynamique : 1 -- 2,2 -- 3,3 -- 4et 
4 -- I.

dP
7. Donner l'expression de la dérivée ---- pour chaque transformation en 
fonction de 7, P et V et
représenter les étapes du cycle dans le plan (P, V').

8. Exprimer la variation infinitésimale d'entropie du système $S en fonction 
des variations de
température et de pression, puis en fonction de P1, Vi, Ti, et des capacités 
thermiques mas-
siques. On ne fera pas intervenir dans le résultat le nombre de moles, noté n, 
ni la masse du gaz,
notée m.

9. Donner l'expression de la pression P;:1 de l'état 4 + 1 (i = 1,2,3) en 
fonction de la pression P;,
et des températures des thermostats, au cours des différentes transformations. 
En déduire une
estimation numérique de la pression pour chaque état thermodynamique du système.

10. Exprimer les chaleurs échangées Q4 en fonction de Pi,V, T5, Ten, P2/P3 et 
Qf en fonction de
en fonction de Pi, V3, T3, Tfr, Pa/ P1. Évaluer numériquement Qn et Qfr.

11. En déduire l'expression et la valeur numérique du travail mécanique 
récupéré pour un cycle mo-
teur. Le résultat paraît-il cohérent avec la valeur obtenue si on utilise 
l'expression du rendement
de CARNOT ?

-- Page 3/14 -
12. Les machines thermiques de récupération de chaleur fatale fonctionnent en 
réalité avec deux
transformations isobares pour des raisons techniques. Expliquer pourquoi un 
fluide subissant
une transition de phase (un changement d'état ici) permet d'améliorer 
l'efficacité de la machine
thermique.

III Compromis puissance/efficacité : thermodynamique à temps fini

Historiquement, la thermodynamique à accompagné la révolution industrielle et à 
été initialement
stimulée par le besoin d'optimiser la production d'énergie et d'améliorer 
l'efficacité des machines
thermiques. Cependant, un cycle thermodynamique qui produit le travail maximum, 
soit le cycle
réversible, a besoin d'un temps infiniment long pour échanger de la chaleur sur 
des transformations
isothermes, et produit donc une puissance nulle. La thermodynamique à temps 
fini étudie comment
la contrainte de réalisation d'un cycle en une durée finie va affecter le 
compromis entre la puissance
et l'efficacité.

La figure 1 (figure de droite) décrit le fonctionnement d'un cycle 
thermodynamique dit endoréversible.
Ce dernier possède deux transformations isentropiques et deux transformations à 
température constante
mais à une température qui n'est pas celle des réservoirs (sources) de 
température. Les sources
d'irréversibilité sont uniquement liées aux échanges thermiques avec les 
sources chaude et froide.

La figure 1 (figure de gauche) décrit un modèle d'échange thermique avec les 
réservoirs aux températures
Tin et Tfr, reposant sur des interrupteurs thermiques idéaux et une conductance 
thermique K (en
W.K"1). Ici, la substance active de la machine thermique est alors 
alternativement en contact ther-
mique avec une zone chaude à la température T1 et une zone froide à la 
température T4.

En résumé, les irréversibilités dues à l'échange, avec T1 et 7%, seront 
quantifiées à partir
du modèle d'échange thermique, alors que le cycle dit < intérieur > entre T5 et 
T2 sera
considéré comme réversible.

On notera ATres = Th -- Tfr et ATadia = T1 -- 2, et également ga(t) et qr(t), 
les flux thermiques
instantanés (en Watt) échangés respectivement avec la source chaude et la 
source froide. Les chaleurs
moyennes échangées sur un cycle seront notées Q4x et Qr (en Joule) et les 
conventions (différentes
de la partie précédente) sont fixées par la figure 1 (figure de gauche). P 
correspond à la puissance
moyenne produite sur un cycle.

ù interrupteur : T,
he Ts À
Thermo \ li |
i\Generateu >P | die
E T, : :
TS 2 T5

©
ES
EC

5
FIGURE 1 -- (figure de gauche) Description schématique d'un générateur 
thermomagnétique en prenant
en compte un modèle d'échange avec les réservoirs. Les interrupteurs thermiques 
représentent le fait
que la substance active du système est alternativement en contact avec le côté 
chaud à Ti et le côté
froid à T2 ; (figure de droite) Représentation graphique du cycle 
thermodynamique endoréversible dans
un diagramme (T, 5).

-- Page 4/14 -
13.

14.

15.

16.

17.

Dans un diagramme (7, S), en faisant apparaître les températures des 
réservoirs, tracer un cycle
de CARNOT et un cycle endoréversible, puis les comparer.

À partir de la conductance thermique K, déterminer l'expression des flux 
thermiques (instan-
tanés) échangés avec la source chaude et la source froide, respectivement qa(t) 
et q(t), le sens
du transfert étant indiqué sur la figure 1. En considérant que, lors d'un 
cycle, la substance active
du système est en contact thermique avec le réservoir <« chaud > durant la 
durée t; et avec le
réservoir < froid > durant la durée t2, en déduire les chaleurs échangées Qn et 
Qf sur un cycle
thermodynamique.

En appliquant le deuxième principe de la thermodynamique au cycle 
endoréversible, en déduire

L
une relation entre le rapport _ et les différentes températures introduites en 
figure 1.
2

La période du cycle, notée t,, se décompose en deux durées correspondant aux 
durées de chaque
échange thermique, telle que {, = t1 +12, les deux transformations 
isentropiques étant considérées
comme instantanées. On définit la puissance produite par le système P par 
l'expression :

_ wWw _ Qch -- Qfr
lp lp |

P (1)

Montrer que la puissance P se met sous la forme suivante :

(Tr = T,) (T> = Tr) (Ty = Tu)

Ta. Ta Ti. D) = K | 2
PL; Tir, T1, D) TT, = TT, (2)

où les indices w, x, y, z sont à compléter.

Déterminer 74 le rendement du cycle endoréversible (end) relativement au cycle 
de CARNOT

- TJendo .
(nc), SOit Mrel -- en fonction de ATiqias Ares, Len et T1.
C
1 I Der I
#7
0.8. A" C |
#
/
0.6 - s +
4
#
#
0.4 [ / :
'
2
{
0.2F |
{
{
4

0 l l l
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
max

Tel

FIGURE 2 -- Graphique illustrant le compromis puissance-efficacité.

Après maximisation de la puissance par rapport à T1, on obtient l'expression de 
la puissance

maximale Pmax et du rendement relatif maximal 7

max .
rel

AT ai
Pnax(ATes; ATadia: Nc) -- K AT adia 1 -- ----adia f(nc) ; (3)
ATies
AT, v d ( AT, a ) L
max adla adla adla
max + fa de | | 4
Pl AT | ATres ATses 7° ?
2(Ne -- 1 2--7)11 --
avec f(nc) = ne 1) +7 me) 1 où mn est le rendement de CARNOT.

MeV 1 -- Me

-- Page 5/14 -
18. Dans le cas d'une récupération d'énergie thermique avec un faible écart de 
températures, justifier
que le rendement de CARNOT est faible, et en déduire une simplification de la 
puissance maximale
ainsi que du rendement relatif maximal.

19. Montrer que pour un AT. fixé, la puissance maximale P,,,% peut s'exprimer 
en fonction du ren-
dement relatif maximal 74", de K, de AT. et de Tin. Justifier l'allure de la 
courbe représentée
figure 2 en précisant l'ordonnée du graphique.

20. Dans un diagramme (T°, S), tracer les cycles correspondants aux points À, B 
et C. En déduire
pourquoi les cycles À et C sont en mesure de produire la même puissance. 
Préciser, en justifiant,

quel point de fonctionnement est le plus intéressant entre À et C.

IV Substance active du système : matériau magnétocalorique

On s'intéresse maintenant à la mise en oeuvre d'une machine thermique à partir 
d'un matériau
magnétocalorique qui constitue la substance active du système $S. Avant 
d'étudier un thermogénérateur
magnétique, soit une machine thermique impliquant un matériau magnétique, on 
souhaite caractériser
plus précisément les propriétés des matériaux magnétocaloriques. La relation 
constitutive de ces
matériaux magnétiques soumis à une excitation magnétique H s'écrit À = 0 + M ) 
avec M l'ai-
mantation. Le matériau étant isotrope, les vecteurs É. et M sont tous 
colinéaires. Les matériaux
magnétocaloriques sont des matériaux ferromagnétiques doux qui présentent une 
dépendance forte de
leur courbe d'aimantation à la température. En appliquant le premier principe 
sur 1 kg de matériau
magnétique à l'équilibre thermodynamique, nous obtenons l'expression suivante 
de la variation infi-
nitésimale d'énergie interne massique :

H
du(S, M) = Tds + am , (5)
P
avec p la masse volumique (supposée indépendante de la température T), u 
l'énergie interne massique,
T la température du matériau et s l'entropie massique. Puisque uw et s sont 
définis pour 1 kg de sub-
stance, nous utilisons des notations minuscules. Ici, la substance dans le 
système $ est le Gadolinium,
noté Gd. Les données numériques concernant le Gadolinium sont référencées en 
début du sujet.

On introduit dans cette partie la fonction thermodynamique « enthalpie libre > 
massique g dont

/ 0 0
la définition est g = u -- Ts --- --HM.
p
1
sunruuns 35 |*
rnenennnenttett 5
0.8 - OC rene 8
el Su C 20 Li
rs t 15 15
F 0.6 - < 4 20°C nunnnnunt 10 -- s oC = ' t=25 o © 04 1730 7=-35°C 0.2 à 0 L 1 L L L 1 L L L O 0.1 0.2 03 04 0.5 06 07 08 09 1 u HT) FIGURE 3 -- Caractéristiques LoM(T') en fonction de uoH(T) d'un matériau magnétocalorique, la légende indique la température en °C du matériau. 21. Exprimer la différentielle totale de l'enthalpie libre massique dg en fonction des variations infi- nitésimales de la température dT et de l'excitation magnétique dA. -- Page 6/14 - k 2 9? 22. À partir de légalité OT -- OTOH et des propriétés de la différentielle totale de g, montrer que si M dépend de T alors s dépend de H. À partir de la représentation graphique de l'aimantation M en fonction de l'excitation magnétique H du matériau pour différentes températures (figure 3), nous allons approximer les caractéristiques à différentes températures par la relation uoM{(H,T) = CinioH +C2(35 --T) sur le domaine d'utilisation du matériau. C1 et C2 sont deux constantes telles que C1 = 0,35 et C2 = 0.03 T.K-f. 23. À partir du modèle de matériau proposé pour M (T', H), en déduire l'expression de la variation d'entropie massique du matériau, notée As, pour un champ uoH variant de 0 à 1 tesla. 24. À partir du deuxième principe de la thermodynamique et de la différentielle totale de s(T', H), en déduire la variation de température AT\u,, dans le cadre d'une transformation adiabatique réversible et pour un champ magnétique 40H, variant de 0 à 1 tesla. On introduira la capacité Os OT fier l'estimation de la variation de température, cy est supposée constante sur la gamme de thermique massique à excitation magnétique constante, Cx = T | , et afin de simpli- H température explorée. La température initiale, notée T;, sera prise à 25°C. Après avoir obtenu la tend vers (0. variation de température ATai, simplifier l'expression en considérant que CH PHO 25. Sachant que ATaia © 2 K, expliquer pourquoi les thermogénérateurs ont un fonctionnement plus proche de celui de CARNOT pour des sources de chaleur avec de faibles écarts de température. v_ Étude des forces magnétiques Dans la suite du sujet, nous étudions le thermogénérateur plus en détail et procédons à des analyses magnétique, mécanique, puis thermique. La figure 4 représente la structure du thermogénérateur, avec une source chaude (en haut), une source froide (en bas), et un matériau magnétocalorique au milieu. La source chaude est constituée du fer, du cuivre et de deux aimants, un aimanté vers le haut et un vers le bas (voir les flèches). Le matériau magnétocalorique se déplace pour être alternativement en contact avec les aimants (constituant la source chaude), et avec la source froide. La grandeur ei, est une épaisseur d'air qui varie en fonction de la position du matériau magnétocalorique. Quand le matériau est en position haute et en contact avec la source chaude, e;i, = 0; en revanche, pour le matériau en position basse et en contact avec la source froide, on a eaï, = d. Le matériau est relié mécaniquement au bâti de la source froide par l'intermédiaire d'un ressort de constante de raideur k. L'air est considéré comme un isolant thermique mais grâce au déplacement du matériau magnétocalorique, un flux de chaleur est transféré de la source chaude à la source froide. Sur la figure 4, on matérialise e,;ÿ, pour une position quelconque, ni en contact avec la source chaude, ni en contact avec la source froide. Le cycle thermodynamique de fonctionnement du générateur se décrit en 4 étapes énumérées ci- dessous : e Etape 1 : le matériau est en contact avec la source froide et se refroidit, ce qui induit une augmentation de l'aimantation ; G Étape 2 : lorsque les forces magnétiques (attraction du matériau magnétocalorique par l'aimant) deviennent prépondérantes sur la force de rappel du ressort, l'équilibre mécanique qui prévalait jusqu'ici est rompu. À cette étape, le matériau est donc en mouvement rapide vers la source chaude ; e Etape 3 : le matériau est en contact avec la source chaude et se réchauffe, ce qui induit une diminution de l'aimantation ; o Étape 4 : lorsque les forces magnétiques deviennent faibles devant celle du ressort, l'équilibre mécanique est rompu. À cette étape le matériau est en mouvement rapide vers la source froide. -- Page 7/14 - Surface active 1 cm x 1 cm Source chaude fer Matériau | ] e magnétocalorique cuivre m O N air Contour CA ES | Cair | | " Y ressort de . raideur k Source froide FIGURE 4 -- Structure du thermogénérateur magnétique dans une position quelconque. On obtient alors une oscillation auto-entretenue. 26. Reproduire la figure 5 et indiquer qualitativement pour les étapes 2, 3 et 4 la position du matériau magnétocalorique (dessiner le matériau), la résultante des forces (flèche simple : --) et le flux thermique éventuel entre le matériau et les sources (flèche double : =). L'étape 1 a été complétée pour donner un exemple. Etape 1 Etape 2 Etape 3 Etape 4 Source chaude Source chaude Source chaude Source chaude | | | | | | | = el = Source froide \y = Source froide = Source froide FIGURE 5 -- Différentes étapes du cycle - Les étapes 2, 3 et 4 sont à compléter en reproduisant la figure sur la copie. Pour déterminer les forces magnétiques en action sur le matériau magnétocalorique, nous utilisons une approche énergétique. On définira les grandeurs magnétiques et géométriques avec les indices {fer, m, air, MC} pour désigner respectivement le fer, les aimants, l'air et le matériau magnétocalorique. L'épaisseur d'un aimant est notée e, et l'épaisseur de la couche d'air est notée er. Pour cette modélisation, l'aimant se comporte comme B} = uo(Hn + Mn) avec 10M constant et égal à 1,4T et le fer se comporte comme un matériau ferromagnétique linéaire de splitéabilité relative ur. Le matériau magnétocalorique est lui toujours modélisé par uoMuc = CiuoHuc + C2(35 -- T'). Pour l'air, on prendra y. air = 1: Afin de permettre la mise en équation simplifiée du problème, les lignes de champ magnétique sont supposées colinéaires au contour EUR (ligne pointillée sur la figure 4). La longueur de la portion du contour C dans le fer est notée /. et celle de la portion du contour EUR dans le matériau magnétocalorique est notée luc. 27. Appliquer le théorème d'AMPÈRE sur le contour C. En supposant que les lignes de champ sont parfaitement canalisées dans le fer, les aimants et le matériau magnétocalorique, la conservation du flux du champ d'induction magnétique donne : Pair Sair -- Bm9m -- BucSuc -- BferSfer ; (6) -- Page 8/14 - où les grandeurs Sx avec X = {air, fer, m, MC}, désignent les sections du tube de champ dans les matériaux traversés. 28. Montrer que le champ magnétique dans l'air B,;- s'écrit sous la forme : a2C2(35 -- T a Mn + Dair -- a3 GA A5 (7) Ho Ho(l+Ci)  Hobr avec 41, &2, 43, &4, &5 à déterminer en fonction des paramètres géométriques. D'après la géométrie du problème, nous avons Sir = Sn = 28uc = Sfr. De plus, la splitéabilité magnétique du fer étant très élevée, elle est supposée infinie, c'est-à-dire y, -- 00. 29. Simplifier l'expression du champ magnétique et déduire de cette expression que la position du matériau magnétocalorique contrôle en partie le champ appliqué sur le matériau. L'énergie magnétique EUR d'un système correspond à l'intégrale sur tout l'espace du produit scalaire B HdB intégré pour B allant de O0 au point de fonctionnement, soit EUR -- | | HdB'aV, où V est V JO le volume d'intégration. Pour déterminer l'énergie magnétique du système, notée Enag(T', Eair), nous devons déterminer les énergies magnétiques dans le volume correspondant à l'air, au fer, aux aimants et au matériau magnétocalorique à partir de B;i.. Ces différentes contributions à l'énergie magnétique seront notées respectivement Eair(Bair), Efer(Bair); Em(Bair), EMC(Baïr). Il convient de remarquer que Eair et Em sont associés à deux volumes. 30. 91. 32. 39. 34. 39. 36. Déterminer l'énergie magnétique dans l'air, en fonction de Bi. et des paramètres géométriques, et l'énergie magnétique dans le fer, ces milieux étant supposés linéaires. Déterminer l'énergie magnétique dans les aimants EUR en fonction de B;, My, Sm et Em (on rappelle que la relation magnétique est une fonction affine). Déterminer l'énergie magnétique dans le matériau magnétocalorique £muc en fonction de Buc, C1, C2, T, Suc et luc. En déduire l'énergie magnétique dans les aimants EUR, et dans le matériau magnétocalorique Emc en fonction de B;ir, Mn, C1, C2 et pour les paramètres géométriques en fonction de Sir, Em et luc. Montrer que l'énergie magnétique du système, Emag(1", air), peut s'écrire sous la forme : C3 Emag(T', Eair) -- er + ) air (8) où les expressions de C3 et C4 sont à déterminer. On effectue un bilan d'énergie magnétique sur le système. Ce bilan est donné par l'équation suivante : dËmag (T, Eair) -- -- Fmagdeair -- MmMcsAT . (9) En déduire l'expression de la force magnétique Fmag exercée sur le matériau magnétocalorique. On note mc la masse du matériau magnétocalorique, et on utilisera l'expression de Emag(T, Eair) donnée par l'équation (8). Discuter le sens et la direction de la force magnétique. Expliquer pourquoi la force magnétique dépend de la température. Indiquer quel coefficient varie C3 en fonction de la température dans l'expression de la force Fnag = --------. (Eair + C4)° -- Page 9/14 - VI Etude mécanique du thermogénérateur Dans la partie précédente, nous avons étudié la force magnétique en fonction de la position du matériau magnétocalorique. Les forces magnétiques obtenues sont représentées en fonction de e;i- et pour différentes températures sur la figure 6. Le matériau magnétocalorique se déplace de la source chaude, soit (ei; -- 0), vers la source froide, soit (eair -- d), et inversement. La force du ressort est nulle à eair = EURp avec EUR0 > d.

14 [T I 3 I TT
-F,,, pour le MC à 20°C
12È D! -
A
U -F,,, pour le MC à 30°C 5:
SO D: |
Il D I
D |! A1
qu S = : --
|!
n LB
o 6 -
O [ NT :
© le
En 4h53 ! A |
È --
I =
2 no Fiessort
15 -F,3, pour le MC à 40°C
1
( | I I I I I I | I
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 O8

Cair (mm)

FIGURE 6 -- Représentation graphique de la force du ressort Fressort EURt de 
l'opposé de la force
magnétique --Finag appliquées sur le matériau magnétocalorique, en projection 
sur l'axe Oy de la

figure 4.

37. En reproduisant sur la copie la figure 7, tracer sur ce graphique 
force-déplacement le cycle

38.

39.

mécanique (trajectoire, sens) emprunté par le matériau magnétocalorique. On 
fera apparaître
sur le cycle mécanique les différentes étapes du cycle thermodynamique associé 
(1, 2, 3, 4).

Réaliser un bilan des forces sur le matériau magnétocalorique et appliquer le 
principe fondamen-
tal de la dynamique. On note mc, la masse du matériau magnétocalorique, £ la 
constante
de raideur du ressort et eo la position où la force du ressort est nulle. On 
rappelle l'exis-
tence d'une force de contact Fiontact(eair) telle que Veair EUR [0,d{, on à 
Fontact(Eair) = 0, puis
Fcontact (air -- 0) > 0 et Fcontact (Eair -- d) < 0. Écrire la condition d'équilibre mécanique lorsque le matériau est dans l'étape 1 du cycle. Expli- quer pourquoi la force de contact tend vers O0 quand la température diminue. Le matériau passe de l'étape 1 à 2 au point À de la figure 6. En ce point, la force de contact est nulle et la force magnétique est opposée à la force du ressort. Afin d'obtenir un système qui transite rapidement vers la source chaude (e;i = 0), l'équilibre mécanique doit être instable. A0. A. En linéarisant le système (développement de Taylor à l'ordre 1) autour du point À, soit en Eair -- Eair -- d, déterminer les conditions pour que l'équilibre soit instable. Cette condition est- elle respectée sur la figure 6 ? Sur la plage |0, d|, discuter, à partir de la figure 6, la stabilité des points d'équilibre en fonc- tion de la température. En déduire pourquoi le comportement du système peut être qualifié de « bistable >.

-- Page 10/14 -

à à
ND FR
T =

mi
©

-- Ï

Force sur le MC

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
Cair (mm)

©
© EF

FIGURE 7 -- Graphique force-déplacement à reproduire et à compléter.

42. Que peut-on dire de Tr et T# par rapport à la température au point À, notée 
TA, et au point
B, notée TB, afin que le système soit en oscillation auto-entretenue entre la 
source froide et la
source chaude ?

VII Étude thermique du thermogénérateur

On s'intéresse maintenant à la modélisation thermique du thermogénérateur. Pour 
cela, on considère
le modèle unidimensionnel représenté sur la figure 8.

À
Source chaude
T4
Cuivre
T3
> MC
Air
T]
Cuivre
0

Dissipateur (Source froide)

FIGURE 8 -- Modèle thermique unidimensionnel du thermogénérateur.

Dans le prototype de thermogénérateur magnétique, la source chaude est réalisée 
à l'aide d'une
résistance chauffante À, infiniment fine de valeur numérique de l'ordre de 100 
(. Cette résistance est
alimentée par un hacheur, comme indiqué sur la figure 9, dont le rapport 
cyclique, noté «, et la période
de découpage, notée Ta, sont tels que :

e de 0 à a7a, le transistor est fermé :

e de aTa à Ta le transistor est ouvert.

Puisque la période de découpage 74 est bien plus petite que la réponse 
thermique du système, dans la
modélisation thermique on ne prendra en compte que la puissance moyenne 
produite par la résistance,
notée Pr. La tension d'alimentation du hacheur, notée E, vaut 10 V.

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La chaleur produite par la résistance chauffante passe ensuite au travers du 
générateur thermo-
magnétique puis est dissipée dans l'air au travers d'un dissipateur thermique.

Les épaisseurs, les conductivités thermiques et les capacités thermiques 
volumiques des éléments
sont notés e;, k; et c; respectivement, avec l'indice à correspondant aux 
matériaux qu'elles modélisent :
air, cuivre ou MC. Les deux éléments en cuivre sont chacun d'épaisseur ec, = 1 
mm, alors que le
matériau magnétocalorique (MC) et l'air sont d'épaisseur ei = emc = 0,6 mm. Les 
surfaces $S des
différents éléments précédents sont de 1 cm'.

Vgs À

FIGURE 9 -- Schéma électrique de l'alimentation de la résistance associée à la 
source chaude.

Les caractéristiques du dissipateur, placé à x = 0, sont données sur la figure 
10. L'ensemble du
dissipateur est modélisé par une résistance thermique, notée R;1, entre l'air à 
la température Tamb
et la surface du thermogenerateur à la température T'(x = 0,t). On considère 
ici qu'il n'y a pas de
convection forcée. Le dissipateur échange de la chaleur avec l'air à la 
température T;mt. Dans cette
étude, on considère le matériau magnétocalorique fixe et en contact avec la 
source chaude.

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FIGURE 10 -- Extrait de la documentation technique du dissipateur.

43. Déterminer la puissance produite par la résistance et en déduire une 
relation entre Pr, a et E.

A4, Rappeler l'équation de la diffusion thermique en régime dépendant du temps 
dans le cas d'un
modèle unidimensionnel dans les matériaux de la figure 8. Définir les 
conditions aux limites à
l'interface avec le dissipateur, avec la résistance chauffante et à l'interface 
entre les différents
matériaux. Les phénomènes de convection dans la couche d'air située entre les 
abscisses x1 et x
sont négligés.

45. En déduire les températures T(x1) et T(x3) en régime permanent.

46. En relation avec l'analyse de stabilité de la partie précédente, en déduire 
un encadrement de
la puissance Pr permettant les oscillations auto-entretenues du matériau 
magnétocalorique en
fonction de T1 et 7B.

47. En se plaçant à une température T1 égale à 10°C, déterminer un encadrement 
du rapport
cyclique à pour lequel on obtient une oscillation de la structure 
magnétocalorique (on donnera
un encadrement de & par des valeurs numériques avec un seul chiffre 
significatif).

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VIII Capteur de position pour l'étude du système

Les études précédentes du thermogénérateur magnétique montrent l'importance de 
la position du
matériau magnétocalorique dans le fonctionnement du dispositif. Il est donc en 
général important
de connaître la position du matériau magnétocalorique avec précision. Pour ce 
faire, un capteur de
position, fonctionnant par effet capacitif, est intégré au dispositif. Il est 
modélisé sous la forme d'un
système de deux condensateurs déformables comme celui présenté sur la figure 11 
où la plaque du
haut correspond à la source chaude, la plaque du milieu au matériau 
magnétocalorique et celle du bas
à la source froide. Ces trois plans parallèles conducteurs sont de surface $ et 
séparés respectivement
de eaïr et de (d-- ei). Pour éviter un court-circuit lors du contact, les 
électrodes sont recouvertes d'un
isolant infiniment fin. Les condensateurs étant déformables, leurs capacités 
sont variables.

48.

A9.
90.

91.

92.

19
eu il V9
res U1

, T- < / FIGURE 11 -- Schéma de principe du capteur de position proposé. Dans un système formé de deux électrodes planes parallèles de surface $ et de distance esir, donner la relation entre le champ électrique (sens, direction, valeur) et la charge portée par les armatures. En déduire la capacité C' du système entre les deux électrodes. Réaliser un schéma électrique équivalent de la structure proposée en figure 11, en faisant inter- venir la notation C4 pour le condensateur du bas et C'Z pour le condensateur du haut. Indiquer les expressions de C1 et C'B en fonction de e;i. On rappelle que e;i, est une quantité physique pouvant varier dans le temps. À partir de l'équation liant une charge g(t) au courant i(t), et de la relation de comportement d'un condensateur, en déduire la relation entre la tension du condensateur v(t) et le courant (4) dans le cas général où la capacité du condensateur, notée C(t), dépend du temps. Déterminer deux équations différentielles ordinaires reliant à et 2 à v1, va, CA(É) et CB(t). Dans la suite de la partie, nous mesurons directement les grandeurs 1 +22, 12, Ua -- v1 et v1 et nous utilisons par la suite uniquement ces grandeurs physiques. 93. 04. 99. 96. Réécrire le système d'équations obtenu à la question (52), en fonction de ÿ1 + 42, 2, va -- v1 et V1. Afin d'avoir directement accès aux grandeurs physiques d'intérêt, soit 51 + 2, 42, vo -- v1 et v1, expliquer comment disposer des sondes de mesure de courant et de tension sur le schéma représenté figure 11. Dans la situation où on impose vo = 2ÆE et v, -- E, donner l'expression des courants mesurés lorsque le matériau magnétocalorique se déplace avec une vitesse v. On notera v la vitesse de la Eair dé À partir du raisonnement précédent et si on doit mesurer la position de la plaque centrale, quel inconvénient ou problème pouvons-nous rencontrer avec cette technique ? plaque centrale telle que v -- On impose maintenant v1 et v2 en prenant des grandeurs sinusoïdales. On pose pour cela vo -- 2E cos(wt) et v1 = E cos(wt), avec w la pulsation. -- Page 13/14 - 57. Donner l'expression des courants mesurés lorsque le matériau magnétocalorique se déplace à une vitesse v. 58. En comparant à la situation où les tensions vi et v2 ne sont pas sinusoïdales, préciser les avantages et/ou les inconvénients de la méthode où les tensions sont sinusoïdales. 59. À partir de fonctions électroniques comme la soustraction, l'addition, la multiplication ou des fonctions de filtrage, proposer un schéma électrique pour extraire les composantes utiles du signal, qui après traitement numérique permettront de remonter à la vitesse et à la position. On justifiera succinctement le choix des paramètres des dispositifs utilisés. -- Page 14/14 -