X/ENS Physique PSI 2021

Corrigé

(c'est payant, sauf le début) : - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES - ÉCOLE POLYTECHNIQUE
CONCOURS D'ADMISSION 2021

MERCREDI 14 AVRIL 2021
08h00 -- 12h00

FILIÈRE PSI

COMPOSITION de PHYSIQUE
(XCR)

Durée : 4 heures

e L'utilisation de calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

e 51, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une
erreur d'énoncé, 1l le signale sur sa copie et poursuit sa composition en
expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Autour de la modulation acousto-optique

Le fonctionnement d'un modulateur acousto-optique repose sur l'interaction 
entre un faisceau op-
tique et une onde acoustique dans un cristal. Les applications d'un tel 
dispositif sont nombreuses.
Nous nous intéresserons dans ce problème à l'analyse des fréquences de 
vibration dans un cristal.

Ainsi, nous allons dans un premier temps étudier les principes de la 
propagation d'ondes acoustiques,
dans l'air et dans un cristal. Ces ondes acoustiques peuvent être générées à 
l'aide d'un transducteur
piézoélectrique dont nous étudierons le fonctionnement dans un deuxième temps. 
Une fois ces éléments
décrits, nous explorerons les moyens de mettre en oeuvre l'analyse spectrale à 
l'aide de différentes
méthodes optiques.

Notations, formulaire et données numériques.

--
Pour un champ scalaire w, div(grad(w)) = Av, où À est l'opérateur laplacien
1

Célérité de la lumière dans le vide : c = 3,00 x 10° m:s--

e À 20 °C pour l'air, la compressibilité isentropique est vs = 7,00 x 106 Pa! 
et la masse
volumique est po = 1,20 kg: m *

Quelques données numériques : 5,870 & 0,415; 8,409 & 0,345; 8,405 & 2,90: 5,805 
& 2,41:
205 & 1,4: 305 R 1,7; 35/1,4 = 25

I Génération d'ondes acoustiques

émetteur onde
ultrasonore acoustique

Figure 1 --- Un émetteur ultrasonore connecté à une source de tension 
sinusoïdale émet
une onde acoustique via la vibration d'un matériau piézoélectrique.

Nous étudions dans cette partie un dispositif permettant la génération d'ondes 
acoustiques dans
une certaine gamme de fréquences. Il s'agit d'un émetteur d'ondes acoustiques 
ultrasonores, relié à une
source de tension sinusoïdale, comme présenté sur la figure 1. Ce dispositif 
expérimental, usuellement
utilisé en séance de travaux pratiques, est constitué d'un matériau 
piézoélectrique. Le comportement
d'un tel matériau et la modélisation de sa réponse à une sollicitation seront 
détaillés dans la partie IT.
Le principe de fonctionnement d'un émetteur ultrasonore est le suivant : sous 
l'influence d'une tension
oscillant à une certaine fréquence, le matériau piézoélectrique vibre. Cette 
vibration provoque une
surpression acoustique à l'origine d'une onde acoustique.

I.A Étude fréquentielle de l'émetteur ultrasonore

À l'aide d'un générateur de signaux, on alimente un émetteur ultrasonore par 
une tension sinusoïdale
Ua(t) = Uocos(2r ft), de fréquence f, que nous pouvons faire varier, et 
d'amplitude Uo. On mesure
l'amplitude de l'onde acoustique à l'aide d'un microphone qui convertit la 
surpression acoustique en
une tension Us(t) = Us m cos(27 ft+4). Les résultats expérimentaux sont 
représentés sur la figure 2 : on
S,n ° ' Z ' ° \ '
en fonction de la fréquence. Emetteur et récepteur se font face. On considère 
que le récepteur

trace
0
présente une réponse uniforme sur la plage de fréquences considérée et on 
souhaite caractériser la

réponse en fréquence de l'émetteur.

U, m/Uo

0.35
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10

0.05

0.00
37 38 39 40 41 42 43 44

Fréquence d'excitation f (kHz)

U,
Figure 2 - Tracé de ---- en fonction de la fréquence d'excitation f.
0

1. Interpréter la courbe de réponse, représentée figure 2, comme celle d'un 
filtre, dont on précisera
la nature, et dont on évaluera par lecture graphique les grandeurs 
caractéristiques suivantes :
fréquence propre f,, bande passante Af à --3 dB et facteur de qualité Q.

2. Rappeler la gamme de fréquences sur laquelle l'oreille humaine est sensible. 
Conclure quant à la
dénomination de l'émetteur.

I.B Étude de la propagation des ondes acoustiques

Dans ce paragraphe, nous rappelons quelques résultats relatifs à la propagation 
des ondes acous-
tiques dans l'air. On modélise l'air comme un fluide homogène, sans viscosité, 
de masse volumique p
et de compressibilité isentropique xs. On négligera l'influence du champ de 
pesanteur. À l'équilibre,
le fluide est caractérisé par un champ de pression uniforme, noté Pj, une masse 
volumique uniforme,
notée po, et un champ de vitesse uniforme de valeur nulle Y -- 0.

En présence d'une perturbation acoustique, les amplitudes des champs de 
pression P(r;t), de vi-
tesse U(r,t) et de masse volumique p(r't) diffèrent de leurs valeurs à 
l'équilibre. La perturbation sera
caractérisée par les grandeurs p(r,t), u(r,t) et v(r;t) telles que :

P(rt) = Fo + prit), (1)
p(rit) = po + (rt), (2)
d(rt) = 0 + D(rt) (3)

-- Page 3/15 -

LL4sn

S5dus

IC Propagation d'ondes acoustiques dans un cristal

La propagation des ondes acoustiques ne se limite pas à un fluide. Il est 
possible de modéliser la
propagation d'une onde de compression dans un solide cristallin, en 
s'intéressant aux vibrations du
réseau cristallin.

Nous considérons un modèle unidimensionnel de cristal, de longueur ZL, 
constitué de N atomes
identiques de même masse m. À l'équilibre, chaque atome est situé sur un noeud 
d'un réseau cristallin
de pas a et d'axe (Ox). La position d'équilibre du n-ième atome est na, avec n 
entier naturel dans
l'intervalle [1; N]. Sous l'influence d'une excitation collective, la position 
d'un atome au cours du temps
peut varier. Elle est désignée par son abscisse x, (t), repérée par rapport à 
l'origine O du repère, placée
à une extrémité du cristal. Pour un atome quelconque indexé par n, on définit 
u,(t) = æn(t) -- na,
l'écart à sa position d'équilibre. L'interaction d'un atome avec son 
environnement est modélisée par
une force de rappel de constante de raideur K° pour chacun des atomes voisins. 
On néglige l'influence
du champ de pesanteur. Les différentes notations sont rappelées sur le schéma 
de la figure 4.

atome n-1l atome n atome n+1l
K K K
O | T | | »
(n-1)a na (n+1)a
En à » --+
Uy_1 (4) u,(t) Uni1 (4)

Figure 4 --- Représentation du modèle unidimensionnel d'un cristal. Chaque 
atome est relié
à ses deux voisins par un ressort de constante de raideur K et de longueur à 
vide a.

6. Établir l'équation différentielle reliant wn(t), un_1(t) et unr1(t).

7. Pour cette question uniquement, nous nous plaçons dans l'approximation des 
mi-
lieux continus. Cette approximation consiste à considérer que les atomes sont 
très rapprochés
vis-à-vis de la distance caractéristique À. de variation de u, en fonction de n 
: a EUR À. On
peut alors considérer u,(t) comme une fonction continue u(x,t) = u(x,y = na;t), 
Vn. Établir
que le champ de déplacement u(x,t) est solution d'une équation de D'ALEMBERT. 
On précisera
l'expression de la célérité c; de l'onde ainsi décrite.

e On considère maintenant l'équation obtenue à la question 6. On cherche des 
solutions sous la
forme d'ondes planes, faisant apparaître le caractère discret du réseau 
cristallin, et dont l'expression
est :

un(t) = uo exp li(gna -- wt)] , (8)
où u ERt,weRTtet i = ---1.
8. Montrer que la relation de dispersion w(q) se met sous la forme suivante :
m(S)
sin (| --
2

où À est une constante à exprimer en fonction des données.

w(q) = A

| (9)

-- Page 5/15 -
10.

11.

12.

13.

. On suppose que le cristal est de longueur L suffisamment grande pour négliger 
les effets de bord

et considérer le cristal comme infini. Afin de faire disparaître les effets de 
bord, nous utilisons
des conditions aux limites périodiques : nous supposons que les deux extrémités 
sont liées entre
elles de sorte à fermer la chaîne linéaire d'atomes sur elle-même. Cela se 
traduit par la condition
mathématique uy+1(t) = ui(t). En déduire que q = pqo, où p EUR Z, qo étant à 
exprimer en
fonction des données. Chaque nombre d'onde q, quantifié par l'entier relatif p, 
correspond alors
à un mode de vibration du cristal.

27T
En considérant q et q" deux nombres d'onde tels que g --q = hx--, où h EUR Z, 
expliquer pourquoi
a

T T
nous pouvons restreindre l'étude aux nombres d'onde q appartenant à 
l'intervalle --- -- |
a &@

Représenter graphiquement sur cet intervalle, appelé première zone de 
BRILLOUIN, l'évolution
de la pulsation w(q) en fonction de q.

Proposer un critère quantitatif permettant de fixer un domaine sur lequel la 
relation de disper-
sion w(q) peut être linéarisée. Comparer ce critère à celui utilisé dans le 
cadre de l'approximation
des milieux continus, mise en oeuvre à la question 7. Donner alors le lien 
entre w et q. À quoi COr-
respond le facteur de proportionnalité ? On fera apparaître cette relation 
linéaire sur le graphique
représenté en réponse à la question 11.

Ainsi décrite. l'onde se propageant le long du réseau cristallin peut être 
assimilée à une quasi-
9
particule, appelée phonon, matérialisant la propagation d'un mode de vibration 
au sein du cristal
induite par le mouvement collectif d'oscillation des atomes. Par analogie avec 
un autre domaine
de la physique. nommer la particule associée à une onde également caractérisée 
par une relation
9
de dispersion linéaire.

II Fonctionnement d'un transducteur piézoélectrique

Pour générer une onde acoustique dans l'air ou dans un cristal, nous utilisons 
un transducteur
piézoélectrique dont nous allons étudier le fonctionnement dans cette partie. 
La piézoélectricité est une
propriété électromécanique de certains matériaux. Elle correspond à 
l'apparition d'une polarisation
électrique sous l'effet d'une contrainte sur le matériau induisant une 
déformation ou, inversement, à
la déformation du matériau sous l'effet d'un champ électrique.

ITA Modèle électromécanique de la piézoélectricité

U= V(L)- V(0)

VV

matériau piézoélectrique

Y
à

Figure 5 -- Schéma d'un matériau piézoélectrique, limité par deux armatures 
conductrices
situées en x = 0 et x -- L et respectivement chargées --Q et +Q. L'armature 
placée en
x = L est susceptible de se déplacer et son déplacement algébrique est noté &.

-- Page 6/15 -
On considère un élément de volume de matériau piézoélectrique électriquement 
isolant. Cet élément
est limité dans l'espace par deux surfaces conductrices parallèles de section 
$, appelées armatures,
séparées d'une distance L quand le matériau n'est soumis à aucune sollicitation 
mécanique ou électrique.
On suppose que les deux surfaces conductrices sont deux plans identiques, de 
longueur et de largeur
l, et £., telles que £,, {, > L, et portant les charges totales, relatives à 
chacune des plaques, +Q et
--Q, comme représenté sur la figure 5. On suppose que le système $S = {matériau 
piézoélectrique + ar-
matures} est placé dans le vide.

Par ailleurs, le matériau peut se dilater ou se contracter sous l'influence 
d'une force F.On supposera
dans la suite que la force s'applique uniquement dans la direction (Ox) : F = 
F&,. L'allongement
algébrique résultant, noté &, est petit devant la longueur caractéristique du 
matériau au repos L (|| &
L). On suppose que seule l'armature portant la charge +Q peur se déplacer. Elle 
est située en x = L
lorsque le matériau est au repos. L'autre armature, portant la charge --Q, est 
considérée comme fixe
et choisie comme origine de l'axe (Ox). On note U = V(L) -- V(0) la tension 
entre les deux armatures,
où V (0) et V(L) sont les potentiels électrostatiques des armatures portant 
respectivement les charges
--Q et +Q. Notons que les charges --Q et +Q ne représentent que les charges 
libres accumulées sur les
armatures liées à une tension appliquée entre ces dernières et ne sont pas la 
conséquence du caractère
diélectrique (isolant) et piézoélectrique du matériau.

14. Rappeler l'équation locale de MAXWELL-GAUSS dans une zone de l'espace où il 
existe une
distribution volumique de charges p. Déduire de cette équation le théorème de 
GAUSS.

e Un matériau piézoélectrique peut être considéré comme un matériau 
diélectrique, c'est-à-dire
présentant une polarisation lorsque le matériau est sollicité électriquement. 
En réponse à un champ
électrique extérieur, une distribution locale de charges pi se crée. Celle-ci 
peut alors s'ajouter à une
densité volumique de charges pré-existante fibre. Ainsi, la densité volumique 
de charges totale s'écrit

P = Pliée + Plibre-

Un dipôle électrostatique est un ensemble de charges, négatives et positives, 
de charge totale nulle,
disposées de telle sorte que le barycentre des charges positives ne coïncide 
pas avec le barycentre des
charges négatives. On associe alors au dipôle électrostatique un moment 
dipolaire, défini par p -- qd où
q est la valeur absolue de la charge portée par chaque barycentre et d le 
vecteur reliant le barycentre
des charges négatives au barycentre des charges positives. p est exprimé en C - 
m.

En introduisant la polarisation P qui correspond à la densité volumique de 
moments dipolaires

--
--

P -- _ il est possible d'écrire pliée -- --div(P). Dans un milieu diélectrique 
linéaire, homogène,
isotrope et pour des champs harmoniques ou statiques, la polarisation est liée 
au champ électrique
par P = Eo(Er -- 1) E où EUR, appelée permittivité relative du matériau, est 
une constante supérieure à
1 qui dépend du matériau considéré. On note D = oË + P le vecteur déplacement 
électrique.

15. Réécrire le théorème de GAUSS pour le déplacement électrique D dans le 
milieu diélectrique.

16. On considère que le système S constitué des deux armatures séparées par un 
matériau diélectrique
matérialise un condensateur plan. On souhaite déterminer la capacité C de ce 
condensateur. On
se place dans les conditions de l'électrostatique, c'est-à-dire que les champs 
ne dépendent pas du
temps.

16.a) Expliquer pourquoi l'amplitude du champ D est constante par morceaux, 
dans chacune des
zones æ < 0, x EUR ]0,L] et x > 0, qu'on dénommera respectivement zones I, IT 
et IIT. On
notera Dr, Dr et Drrx les composantes algébriques de D selon EUR, dans les 
différentes zones.

16.b) Établir que le champ D est nul hors du système S.
16.c) Déterminer le champ D pour x dans l'intervalle ]0,L|.

16.d) En déduire la capacité C du condensateur en fonction de EUR, EUR0, $ et L.

-- Page 7/15 -
e Dans les paragraphes précédents, nous avons déterminé les propriétés 
électriques d'un matériau
diélectrique. Nous étudions maintenant le phénomène de piézoélectricité qui 
caractérise le couplage
entre la déformation mécanique d'un matériau et les propriétés électriques 
relatives à ces déformations,
à l'aide d'un modèle élémentaire.

Considérons un cristal, dont la maille est hexagonale, composé d'ions 
électropositifs et d'ions
électronégatifs régulièrement répartis et alternés, de manière à ce que la 
charge totale d'une maille
soit nulle. En fonction de l'étirement ou de la compression, induits par 
l'action mécanique F, les deux
barycentres des charges positives et négatives ne sont plus confondus. Dans les 
deux configurations,
représentées en figure 6, la charge totale est nulle. On note d+ la distance 
entre les barycentres des
charges positives et négatives au sein d'une maille déformée.

F
------
+ - + -
- + - +

+ - + -
charge totale nulle + _ charge totale nulle
moment dipolaire nul + moment dipolaire non nul
barycentres des charges positives + _ barycentres des charges positives
et négatives confondus et négatives non confondus

Figure 6 --- Représentation schématique de la déformation d'une maille 
cristalline d'un
matériau piézoélectrique et apparition d'un moment dipolaire.

17. Représenter la position des barycentres des charges positives et négatives 
pour la maille déformée
représentée en figure 6. Exprimer, pour cette maille, la valeur absolue du 
moment dipolaire Phex
créé par l'élongation en fonction de la distance d+ et de la charge élémentaire 
e.

e Sous l'action d'une force F qui provoque l'allongement 6EUR, il apparaît une 
densité de moments
dipolaires P jéo; liée à une densité volumique de charges pie, de façon 
similaire à la description
adoptée pour un matériau diélectrique. On admet que la polarisation totale, 
prenant en compte l'effet
piézoélectrique et le caractère diélectrique du milieu, s'écrit alors

P -- Eo(Er -- 1) E + 20EUR Es, (10)

où 7 est appelé coefficient piézoélectrique et dépend du matériau considéré.

18. En utilisant l'expression de P de l'équation (10) et en reprenant le 
raisonnement conduit à la
question 16 pour la situation illustrée sur la figure 5, déduire que la tension 
Ü entre les armatures
du matériau piézoélectrique s'écrit :

= HE. (11)

Cette équation est l'équation électrique d'un matériau piézoélectrique.

e On admettra que l'équation mécanique d'un matériau piézoélectrique, donnant 
la force F à
appliquer pour obtenir un allongement algébrique £ et pour une charge Q s'écrit 
:

F=79Q + ké. (12)

-- Page 8/15 -
19.

En déduire la force de rappel qui s'exerce sur l'armature de charge +Q, si 
celle-ci présente
un déplacement EUR par rapport à sa position au repos en x = L. De plus, la 
modélisation de
la dissipation au sein du matériau piézoélectrique lors du mouvement de 
l'armature se traduit

par une action mécanique fe -- A x qui s'exerce sur celle-ci. On suppose par 
ailleurs que

l'armature est caractérisée par une masse effective m, qui prend en compte 
l'inertie du matériau
piézoélectrique. Montrer alors que l'équation différentielle régissant le 
mouvement de l'armature
se met sous la forme suivante :
2
d'é dé

-- = LE = 0. 13
Mas ta + E+7Q (13)

e Le système S = {armatures + matériau piézoélectrique} de la figure 5 est 
sollicité par une tension

sinusoïdale, comme illustré figure 7. On impose entre les armatures du matériau 
piézoélectrique une
tension sinusoïdale U(t) = Up cos(wt), dont la représentation complexe est U(t) 
= Un exp(iwt), avec
Uo EUR R*. La représentation complexe de l'élongation algébrique £(#) est 
donnée par : £(t) = EUR : exp(iwt),
où 6, -- éoexp(ig), 60 EUR R.

20.

-Q +Q

U(i)

(0)

It

Figure 7 -- Sollicitation d'un cristal piézoélectrique par une tension 
sinusoïdale.

À partir des équations (11) et (13), montrer que la fonction de transfert 
électromécanique du
système À ,,(w) peut s'écrire sous la forme :
é H9
IL em) = 7 = 5 (14)
0 WT.  W
1 +i--

VW Qemwo

où l'on exprimera Ho, wo et Qem en fonction des paramètres du problème. On 
supposera que k > °C.

21.

22.

23.

Déterminer l'expression du module |A ,,,(w)| de la fonction de transfert en 
fonction de Ho, w,
wo et Qeim. Déterminer pour quelle valeur w,, > 0 de w la réponse du système 
est maximale, en
précisant la condition pour laquelle w,, existe.

Dans l'approximation d'une résonance aigüe, c'est-à-dire pour Qeim > 1, 
exprimer w,, en fonction
de wo. Étudier le comportement asymptotique de |A ,1,,| pour w > wm et w & wm. 
Représenter
graphiquement la courbe |H ,,(w)|. On fera apparaître les valeurs de |A ,,,| 
pour w = 0 et
W -- ©, ainsi que l'ordonnée et l'abscisse du point correspondant à la 
résonance.

Comparer la courbe de la fonction de transfert électromécanique obtenue avec la 
courbe de
la figure 2 obtenue expérimentalement. À partir de l'évaluation des paramètres 
expérimentaux
réalisée à la question 1, discuter de l'approximation réalisée à la question 22.

-- Page 9/15 -
IIB Modèle électrocinétique d'un transducteur piézoélectrique

Le système $ -- {armatures + matériau piézoélectrique} peut être étudié par une 
approche
électrocinétique, dont le lien avec la modélisation électromécanique sera 
établi au paragraphe II.C.
On modélise le système S par un circuit électrique équivalent représenté figure 
8. Le système $S entre
les bornes À et B est alimenté par la tension sinusoïdale U(t) de pulsation w.

U(1)
AN ET
I(t)
© ---- +
A C, B
| |

Figure 8 - Modélisation électrocinétique d'un transducteur piézoélectrique.

24. Montrer que l'impédance du dipôle électrique Z AB s'écrit de la manière 
suivante :

1+iQ, (2 -#)
1 Wy  W
ICO Lio, en)

Va &

(15)

ZAB =

On exprimera wy, Wa, Qr et Q, en fonction de L,»n, Co, Cm et Rm. En déduire 
l'expression du module
|Zag| de l'impédance complexe ZA18.

25. En ignorant le préfacteur 1/Cow, déterminer successivement les minima du 
numérateur et du
dénominateur de |Zag| en fonction de w. En déduire si [Zap(w,)| et [Zap(wa)l 
sont des minima
ou des maxima de |Zag|.

26. L'amplitude de la tension étant fixée par la source, justifier qu'on 
observe une résonance concer-
nant l'émission d'une onde sonore pour w = w, et une anti-résonance pour w = wy.

II.C Lien entre le modèle électromécanique et le circuit équivalent

27. Le courant J(t) représenté sur les figures 7 et 8 et Q(t) la charge des 
armatures du matériau
piézoélectrique ont pour notation complexe respectivement Z et Q. En utilisant 
les équations (11)
et (13), montrer que l'impédance Zs du système S peut se mettre sous la forme 
de l'impédance
ZaB du dipôle électrique AB, dont l'expression est donnée par l'équation (15).

28. Relier les paramètres électrocinétique Co, Cm: Rm EURt Lm aux paramètres 
électromécaniques ",
C,a,met k.

29. Identifier le paramètre électrocinétique responsable de la dissipation dans 
le système. Est-ce
cohérent avec le modèle électromécanique ?

III Analyseur spectral

Nous étudions dans cette partie le principe d'un modulateur acousto-optique. Le 
cristal peut conte-
nir plusieurs modes de vibration, associés à plusieurs fréquences acoustiques. 
Le dispositif présenté

-- Page 10/15 -
ici peut être utilisé pour analyser les modes de vibration dans un cristal 
excités par un transducteur
piézoélectrique. Ce dispositif repose sur l'interaction entre une onde 
électromagnétique et les modes
de l'onde acoustique dans un cristal.

III.A Interaction entre un champ électromagnétique et les phonons

re (A)

cristal

LASER

VV

onde acoustique

Figure 9 --- Schéma de principe de l'utilisation d'un modulateur 
acousto-optique.

On considère le système simplifié d'un modulateur acousto-optique, présenté sur 
la figure 9, où une
source laser illumine un cristal parcouru par une onde acoustique progressive, 
créée par un dispositif
piézoélectrique, étudié dans la partie IL.

Une onde lumineuse monochromatique de pulsation w en incidence normale sur le 
cristal est
matérialisée par un rayon lumineux. Le faisceau incident est issu de la source 
laser, parallèle à l'axe
optique (A). À la suite de son passage dans le cristal, le faisceau lumineux 
est dévié d'un angle 0 par
rapport à l'axe optique. Cet angle dépend des propriétés du cristal et de 
l'onde incidente.

Pour modéliser l'interaction entre l'onde lumineuse et l'onde acoustique 
générée dans le cristal,
nous adoptons une approche corpusculaire.

k = kçu
ki = kju; wo
oe 0
> (A)
1. A _,
" q qÙ
Ux

Figure 10 --- Approche corpusculaire de l'interaction d'une onde 
électromagnétique avec
une onde acoustique dans un cristal. Le vecteur d'onde et la pulsation sont 
rappelés pour chaque
particule et quasi-particule.

x L'onde lumineuse incidente de pulsation w, de longueur d'onde À et de 
direction de propagation
u; peut être décrite par un flux de photons. On note alors k; -- k;u; le 
vecteur d'onde d'un photon
incident, £; = hw son énergie et p; -- hk; sa quantité de mouvement.

x L'onde lumineuse émergente est décrite de la même façon avec une pulsation 
w', une longueur
d'onde X" et une direction de propagation üf. On note alors k = kçü le vecteur 
d'onde d'un photon

émergent, EUR -- fw' son énergie et Dr -- hkr sa quantité de mouvement.
8 J 8 J J

x L'onde acoustique dans le cristal de pulsation (, de longueur d'onde À et de 
direction de pro-
pagation Ü peut être décrite par une quasi-particule appelée phonon, comme nous 
l'avons remarqué

-- Page 11/15 -
au paragraphe IC. On note alors g le vecteur d'onde du phonon, EUR = À son 
énergie et P. -- hq sa
quantité de mouvement.

x L'interaction entre l'onde lumineuse et l'onde acoustique se traduit par 
l'interaction entre un
photon incident de quantité de mouvement p; et un phonon incident de quantité 
de mouvement P.
pour donner un photon émergent de quantité de mouvement pr, comme présenté sur 
la figure 10. On
considère que le phonon est absorbé à la suite de l'interaction avec l'onde 
lumineuse.

Nous supposons que les photons se déplacent dans le vide.

30. Rappeler l'expression de la relation de dispersion k(w) pour des ondes 
électromagnétiques dans
le vide, ici assimilées à des photons.

31. Établir la relation liant w, w' et Q.

32. On souhaite déterminer la fréquence de l'onde acoustique dans le cristal. 
Un spectromètre optique
usuel possède une résolution d'environ Apec -- 1 nm. On considère une onde 
acoustique de
fréquence F = 200 MHz à la célérité c, = 1.00 x 10% m:s"{ et la source laser 
émet une radiation
de longueur d'onde À -- 600 nm. Préciser à quelle couleur correspond cette 
longueur d'onde.
Expliquer pourquoi un tel spectromètre ne permet pas de déterminer la valeur de 
À. On pourra
réaliser des approximations pertinentes qui pourront être réutilisées dans la 
suite.

33. En utilisant la conservation de la quantité de mouvement, obtenir deux 
relations : l'une exprimant
q en fonction de k- et 0, l'autre reliant k;, kr et 0.

34. Exprimer sin(0) en fonction de F', c; et À puis évaluer numériquement 
sin(6).

35. En déduire, à l'aide d'une approximation, une expression simple de 0 en 
fonction de À et À. Quel
phénomène optique avons-nous modélisé ici ?

IIIB Montage optique

On souhaite donc réaliser un montage optique afin d'analyser les faisceaux en 
sortie du cristal pour
déterminer les longueurs d'onde des modes acoustiques présents dans le cristal. 
On se propose dans
cette partie d'utiliser deux montages différents mettant en oeuvre deux 
techniques d'analyse différentes.

IIILB.a Conjugaison des angles

La première technique consiste à réaliser un montage optique pour faire 
correspondre les angles en
sortie du cristal avec un déplacement latéral du point d'impact du faisceau 
dans le plan focal d'un
objectif de microscope. On considère pour cela le montage présenté sur la 
figure 11 composé des lentilles
minces convergentes (L1) et (L2) de distances focales respectives f1 > 0 et f2 
> 0 et d'un objectif de
microscope équivalent à une lentille mince convergente de focale f,5; > 0. La 
surface de détection d'une
caméra est placée dans le plan focal image de l'objectif afin d'observer le 
faisceau lumineux. On éclaire
le cristal avec un faisceau laser de longueur d'onde À = 600 nm et on suppose 
pour simplifier qu'il existe
deux modes acoustiques dans le cristal de longueurs d'onde À; et A2 
correspondant respectivement

aux angles d'émission 6; et d. On considère que les deux modes acoustiques ont 
des longueurs d'ondes
proches, telles que A1 = A9 + AA/2 et A2 = Ag -- AA/2 avec Ag > AA.

On pourra considérer que pour tout angle &, on à tan(a) & sin(a) & a.

36. Reproduire le schéma de la figure 11 et dessiner le chemin optique des deux 
rayons (traits plein
et pointillés) jusqu'à la surface de détection de la caméra.

37. Le faisceau issu du cristal avec un angle 0; rencontre la surface de 
détection de la caméra au
point C1. Exprimer la distance Fb;C1 en fonction de f1, f2, 61 et fob;.

-- Page 12/15 -
(L1) (L2) Objectif

A A A

Plan de détection
de la caméra --
plan focal

i
i
i
i
i
i
i
i

? ' e e

, de l'objectif
? I
? !
cristal ,
? à I

+ O2 ) D
2 ô: Où 2 Fo] Por p (A)
modes acoustiques ! l 7
longueurs d'onde F'--F
A, et À
4 NP à I
fo fo |
d L h , f
N F F I ob)
fi f

Figure 11 - Montage optique permettant la mesure des angles en sortie du 
cristal.

38. La taille d'un pixel de la surface de détection de la caméra est dixer = 50 
um. Les distances focales
ont pour valeurs f1 -- 500 mm, f2 -- 60 mm et jp; -- 2,5 mm. Déterminer 
l'expression de l'écart
minimal en longueur d'onde AA que ce montage permet de résoudre. Évaluer 
numériquement
cette résolution. On déterminera la valeur de À, en utilisant les valeurs des 
paramètres de l'onde
acoustique proposées à la question 32. Discuter le choix des distances focales 
pour augmenter la
résolution.

III.B.b Superposition d'ondes lumineuses

Une autre technique consiste à observer la superposition du faisceau optique 
traversant le cristal
avec un faisceau de référence. Le montage optique consiste à séparer en deux le 
faisceau issu du laser
comme présenté en figure 12. Le faisceau d'intérêt va traverser le cristal 
(dans lequel se propage une
onde acoustique de longueur d'onde À et de pulsation Q) et va être ensuite 
recombiné avec le faisceau
de référence sur la surface photosensible d'une photodiode rapide. On considère 
que le faisceau de
lumière de pulsation w et de longueur d'onde À = 600 nm se propageant dans le 
vide correspond à une
onde électromagnétique, décrite par une grandeur scalaire s(M;t) = 50 cos(wt + 
d(M)) dont l'évolution
est régie par l'équation de D'ALEMBERT, où M est un point de l'espace et O(M) 
est une phase qui
dépend du parcours de l'onde.

Les deux faisceaux, correspondant à des ondes électromagnétiques, sont donc 
décrits par les am-
plitudes scalaires s1(M,t) = 51,0 cos(wit + d1(M)) et s2(Mit) = 520 cos(wot + 
p2(M)). Par ailleurs,
le montage optique est réalisé de sorte à avoir 510 = 820 = 80 et (M EUR 
photodiode) = (M EUR
photodiode) = 0.

39. En utilisant les résultats obtenus dans la partie TITI.A, donner 
l'expression de w et w2 en fonction
de w et (2.

AO. Expliquer pourquoi l'amplitude scalaire au point M au niveau de la surface 
photosensible de la
photodiode s'écrit comme la somme des deux amplitudes scalaires :

Stot(t) = 81(M EUR photodiode;t) + s2(M EUR photodiode,t). (16)

-- Page 13/15 -

photodiode
miroir" s (Mt)

oscilloscope

N

cristal

- 59 (Mt)

LASER £

, onde acoustique
? | longueur d'onde A
lame séparatrice

vw

Figure 12 --- Montage optique permettant de réaliser la superposition de deux 
ondes lumi-
neuses.

41. La photodiode est sensible à l'intensité lumineuse 1,(4) = |st|*(#) et a un 
temps de réponse de
10 ps. Expliquer pourquoi le signal observé u(t) en sortie de la photodiode est 
proportionnel à
1 + cos (Qt) et en déduire que ce dispositif permet de mesurer Q.

IIIC Traitement du signal obtenu

On se place dans la configuration de la partie IIT.B.b représentée par la 
figure 12. On suppose
que plusieurs modes acoustiques peuvent se propager dans le cristal. Leurs 
fréquences sont comprises
dans l'intervalle [200 ; 230] MHz. Cependant, la bande passante de 
l'oscilloscope vaut 100 MHz et ne
permet pas d'observer convenablement le signal. Il faut donc réaliser un 
traitement du signal afin de
pouvoir en extraire l'information recherchée. Afin d'obtenir un signal à des 
fréquences exploitables,
on utilise le montage représenté en figure 13. On suppose dans un premier temps 
que seul un mode
acoustique de pulsation ( est présent dans le cristal.

photodiode u(t)

h D

K passe-bas

oscilloscope

Urer(t)

Figure 13 --- Montage électronique pour réaliser le traitement du signal.

Le signal u(t) en sortie de la photodiode est envoyé sur une entrée d'un 
multiplieur, l'autre entrée
étant alimentée par un signal de référence urer(t) = Uret.o COS(wrert). Le 
signal en sortie du multiplieur,
produit des deux signaux entrants multiplié par un facteur numérique K, est 
ensuite filtré à l'aide
d'un filtre passe-bas puis observé sur un oscilloscope. On règle la pulsation 
du signal de référence pour
avoir Wrer = 27 X 2,00 x 10$ rad sf.

42. On considère que seulement la composante alternative uax(t) du signal u(t) 
est envoyée dans
le multiplieur. On écrit alors uax(t) sous la forme uat(t) = Uato Cos(wart). 
Exprimer w,x en
fonction de (Q. Exprimer ensuite le signal U,,(t) en sortie du multiplieur en 
une somme de deux
termes à déterminer.

43. Expliquer la valeur choisie pour wef.

-- Page 14/15 -
A4. Le filtre réalise une fonction passe-bas du premier ordre. Réaliser un 
schéma d'un montage
permettant de réaliser le filtrage passe-bas, utilisant deux composants passifs 
usuels. Proposer
des valeurs réalistes des deux composants pour réaliser le filtrage souhaité.

us(t) (unité arbitraire)

Figure 14 -- Signal u;(t) observé sur l'oscilloscope.

45. Le cristal présente en réalité plusieurs modes acoustiques. Sur 
l'oscilloscope, on observe alors
le signal représenté figure 14. Proposer un outil d'analyse pour déterminer les 
composantes
spectrales du signal.

46. Le spectre du signal u,(t) observé sur l'oscilloscope (figure 14) est 
présenté figure 15. Déterminer
les valeurs des fréquences des modes acoustiques dans le cristal.

Spectre de u/(t)
(unité arbitraire)

1 à

À

Figure 15 -- Spectre du signal u;(t) présenté en figure 14.

47. Dans cette étude, nous nous sommes intéressés au fonctionnement d'un 
modulateur acousto-
optique et nous avons utilisé les propriétés de l'interaction entre une onde 
acoustique et une
onde lumineuse pour analyser les modes vibratoires présents au sein du cristal. 
Proposer une
autre utilisation de la modulation acousto-optique.

-- Page 15/15 -

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X/ENS Physique PSI 2021 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Tom Morel (professeur en CPGE) ; il a été relu par
Louis Salkin (professeur en CPGE) et Julien Dumont (professeur en CPGE).

Ce sujet composé de trois parties indépendantes porte sur la modulation 
acoustooptique.
· Dans la première partie, on caractérise l'onde acoustique produite par un 
émetteur à ultrasons. Après avoir étudié la courbe de réponse de l'émetteur, on 
décrit
la propagation de l'onde acoustique dans l'air puis dans un solide cristallin.
· Dans la deuxième partie, on s'intéresse au fonctionnement d'un transducteur
piézoélectrique, élément essentiel pour générer une onde acoustique. On 
détermine les propriétés électriques du matériau et sa réponse à une tension 
sinusoïdale. La partie s'achève sur l'étude du modèle électrocinétique du 
transducteur
et son lien avec le modèle électrique.
· Le principe d'un modulateur acousto-optique, reposant sur l'interaction entre
un faisceau optique et une onde acoustique, est abordé dans la dernière partie.
À partir d'une approche corpusculaire, on montre que l'interaction entre ces
deux ondes engendre une déviation de l'onde électromagnétique et une 
modification de sa fréquence. Cette dernière est ensuite mesurée grâce à un 
montage
optique constitué de trois lentilles et d'un récepteur optique. Pour finir, on 
détermine le spectre de l'onde déviée grâce à un montage de détection synchrone.
Cette partie fait appel à des notions d'électrocinétique et d'optique de 
première
année.
L'épreuve est de longueur typique pour un sujet du concours X/ENS. Les 
questions font appel à des connaissances de sup et de spé, alternant les 
calculs et les
interprétations. La calculatrice n'est plus autorisée pour cette épreuve. Il 
faut donc
s'entraîner à faire les applications numériques à la main.

Publié dans les Annales des Concours

Indications
Partie I
1 Le facteur de qualité Q est défini par Q = f p /f .
6 Déterminer l'équation différentielle vérifiée par xn (t). Au repos, tous les 
ressorts
ont une longueur a.
7 Faire un développement limité à l'ordre 2 de un+1 et un-1 .
8 Utiliser la relation trigonométrique 1 - cos x = 2 sin2 (x/2).

15 Écrire  = liée + libre

Partie II

-
avec liée = - div P dans l'équation de Maxwell-Gauss.

16.a Utiliser l'équation locale de Maxwell-Gauss ou le théorème de Gauss.
16.b Suivre le même raisonnement que le calcul du champ électrique d'une 
distribution plane infinie.
18 Déterminer l'expression de E en fonction de D et  puis l'injecter dans le 
calcul
de la tension électrique.
21 Poser x = /0 puis étudier les extrema du dénominateur de |Helm |.
27 Reprendre l'équation différentielle (13) puis remplacer  par (U-Q/C)/. 
Déterminer l'équation différentielle vérifiée à la fois par U et Q. La réécrire 
finalement
en notation complexe avec Q = I/(i).
28 Écrire l'expression de 1/ZAB puis la comparer à
1
ZAB

=

1
1
+
= iC0  +
Z1
Z2

1
Rm + iLm  +

1
iCm 

Partie III
31 Utiliser la conservation de l'énergie.
32 Montrer que  ' 0 , où 0 est la longueur d'onde de l'onde lumineuse émergente.
33 Projeter la relation de conservation de la quantité de mouvement sur les axes
horizontal et vertical.
38 Déterminer dans un premier temps l'inégalité sur les angles  puis reprendre 
les
résultats de la question 35.
41 Comparer le temps de réponse de la photodiode à la période d'oscillation du
signal à la pulsation .
43 On peut visualiser les fréquences du signal de sortie si elles se situent 
dans la
bande passante de l'appareil de mesure.

I. Génération d'ondes acoustiques
1 On remarque que la tension Us,m tend vers 0 à « hautes fréquences » et « 
basses
fréquences », et présente un pic de résonance à une certaine fréquence f p : il 
s'agit
d'un passe-bande.
La fréquence propre f p correspond à la fréquence de la résonance, c'est-à-dire
celle où l'amplitude Us,m est maximale. Graphiquement, on lit environ
f p = 39,8 kHz
La bande passante à -3 dB est définie par f = f2 - f1 avec f1 et f2 vérifiant
Umax
Us,m (f = f2,1 ) = 
2
avec Umax = 0,35U0 (d'après la figure 2). On cherche alors les abscisses des 
points
d'ordonnée 0,35/ 2 = 0,35/1,4 = 0,25 d'après l'aide numérique. On lit 
graphiquement f1 = 40,5 kHz et f2 = 39,0 kHz. Finalement,
f = 1,5 kHz
Par définition,

Q=

fp
39,8
2 × 39,8
'
=
= 2 × 13,3 = 27
f
1,5
3

2 Les sons audibles pour une oreille humaine ont des fréquences situées entre
20 Hz et 20 kHz. D'après la figure 2, la quasi totalité de la puissance de 
l'émetteur
se situe entre 37 kHz et 44 kHz, c'est-à-dire dans le domaine des ultrasons. Il 
s'agit
bien d'un émetteur à ultrasons.
3 On peut linéariser les termes en négligeant les infiniment petits d'ordre 1 
devant
les termes d'ordre 0. Ainsi, on a tout d'abord
-
-

v

v
-
-
= 0
et div (
v ) = 0 div 
v

t
t
-- -
-
La vitesse est un terme d'ordre 1 donc le terme convectif (
v · grad )
v est un infiniment petit d'ordre 2. Ce terme peut être négligé devant le 
premier terme de l'équa--
--
tion (4) de l'énoncé. Enfin, P0 est indépendante de la position donc grad P = 
grad p.
L'équation (4) linéarisée s'écrit alors
0

-
--

v
= - grad p
t

µ
=
. L'équation (5) de
De même, la masse volumique 0 est une constante :
t
t
l'énoncé devient
µ
-
0 div 
v +
=0
t
La linéarisation de la masse volumique vue en tant que fonction de la pression
s'écrit au premier ordre en P, autour de P0 ,

P
Or, (P0 ) = 0 donc (P) - 0 = µ. Puisque P - P0 = p, on a finalement
(P) = (P0 ) + (P - P0 )

µ

= = S  ' S 0
P
p
Finalement, l'équation (6) linéarisée est
µ = S 0 p
4 Avec µ = S 0 p, l'équation de conservation de la masse linéarisée donne
p
-
0 div 
v + S 0
=0
t
Dérivons cette relation par rapport au temps. D'après le théorème 
d'interversion des
dérivées partielles de Schwarz,
!
-

v

-
div v = div
t
t
!
-

v
2p
On arrive alors à
0 div
+ S 0 2 = 0
t
t
--
Avec l'équation d'Euler linéarisée et div (grad p) = p, on obtient
p = 0 S
p -

c'est-à-dire

1 2p
=0
ca 2 t2

2p
t2

avec

ca = 

1
0 S

5 D'après la figure 3, la seconde onde arrive avec un retard correspondant à 2,5
divisions sur l'oscilloscope, c'est-à-dire au bout d'un temps t = 0,5 ms. On en
déduit la célérité du son expérimentale cs,exp :
cs,exp =

17 × 10-2
17
drec
=
=
× 102 = 3,4 × 102 m.s-1
-4
t
5 × 10
5

Avec les données numériques de l'énoncé, la valeur théorique cs,th vaut
1
cs,th = p
= 8,4-0,5 × 103 = 3,45 × 102 m.s-1
1,2 × 7 × 10-6
Les deux valeurs coïncident aux arrondis numériques près : le modèle proposé
est légitime.
6 À l'équilibre, tous les ressorts ont la même longueur a, qui correspond à leur
longueur à vide. L'atome n est soumis à deux forces :
· la force de rappel du ressort de gauche de longueur instantanée xn (t)-xn-1 
(t) :
-

-
Tg = -K (xn - xn-1 - a) 
ex
· la force de rappel du ressort de droite de longueur instantanée xn+1 (t) - xn 
(t) :
-

-
Td = K (xn+1 - xn - a) 
ex