X/ENS Physique PSI 2019

Thème de l'épreuve Ressorts : Conception, caractérisation, milieu de propagation
Principaux outils utilisés mécanique, thermodynamique, physique des ondes, cristallographie, oxydo-réduction
Mots clefs ressort, raideur, module de Young, traitement thermique, protection contre la corrosion, équation de d'Alembert, dispersion, électrochimie

Corrigé

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X/ENS Physique PSI 2019 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Émilie Frémont (professeur en CPGE) ; il a été relu
par Thomas Dupic (ENS Ulm) et Stéphane Ravier (professeur en CPGE).

Ce sujet est consacré à l'étude de problématiques physico-chimiques intervenant
dans la conception et l'utilisation de ressorts. Il est constitué de deux 
parties indépendantes, elles-mêmes scindées en sous-parties peu liées.
· Dans la première partie, la conception et la fabrication des ressorts sont au
coeur du questionnement. L'objectif est tout d'abord de relier les propriétés
mécaniques d'un ressort à ses dimensions géométriques. Puis on s'intéresse à
plusieurs aspects des traitements thermique et électrochimique appliqués à ces
pièces lors de leur fabrication.
· La seconde partie traite de la propagation d'ondes mécaniques au sein d'un
ressort. La première sous-partie suit un cheminement classique en physique des
ondes : établissement de l'équation de propagation puis étude de la dispersion 
et
de l'atténuation dans le milieu. La suite, plus originale, est consacrée à 
l'étude
de deux situations concrètes dans lesquelles ces ondes interviennent.
Ce problème de longueur raisonnable est de difficulté relativement modeste pour 
le
concours X/ENS. Son énoncé bien construit et progressif en fait un excellent 
problème
de révisions pour tous les étudiants de deuxième année, quels que soient leurs 
objectifs
aux concours.
Quelques maladresses, notamment dans le choix des notations, sont à déplorer,
sans que cela nuise à la compréhension des attentes du sujet. Les questions 
d'applications numériques, à réaliser sans calculatrice, constituent un bon 
entraînement en
vue des épreuves écrites et orales.
Enfin, rappelons que plus une épreuve est « simple », plus les correcteurs sont
exigeants sur la rédaction.

Indications
Partie I
1 Pour établir l'expression de k, penser à effectuer un développement limité de 
U
au voisinage de la longueur à l'équilibre a0 .
2 Déterminer le nombre de ressorts liant les plans P1 et P2 , puis la force 
exercée
par chacun d'entre eux.

-
6 Remarquer que la force F exercée par l'opérateur et la force exercée par la 
partie
inférieure du ressort forment un couple.
9 Il faut bien réfléchir à l'algébrisation de la loi de Newton avant de 
l'utiliser dans
un bilan énergétique.
10 Attention à ne pas confondre la surface de contact métal-air avec la section 
droite
du fil considérée dans les questions 6 à 8.
14 Quelle demi-réaction souhaite-t-on forcer au niveau de l'électrode 
constituée par
le ressort ?
16 Ne pas oublier que le pH de la solution électrolytique étudiée vaut 5.
Partie II
17 Lorsque deux ressorts sont associés en série, la force de rappel est 
uniforme dans
tout le système.
18 Le signe - figurant dans l'expression fournie par l'énoncé doit être 
justifié précisément, par un argument physique simple.
19 L'équation à établir est évidemment
1 2
2
- 2 2=0
2
x
c t
20 L'énergie E f correspond à l'opposé du travail de la force de frottement 
fluide sur
une oscillation.
21 On peut tout à fait, pour simplifier l'étude, raisonner à l'instant t = 0.
23 Expliciter la force de frottement fluide en exploitant les notations 
complexes.
28 Comparer les effets des pertes structurales sur les différentes composantes 
spectrales du signal créneau.
30 La condition aux limites en x = 0 est l'équation du mouvement de la masse m.
31 Pour la résolution graphique, essayer de se ramener à une construction 
faisant
intervenir l'intersection d'une droite avec la courbe d'une fonction usuelle.
34 Même si ce n'est pas dit explicitement, il faut désormais prendre en compte 
l'influence de la pesanteur.
35 Au niveau d'une extrémité libre, la force de tension s'annule.
37 On pourra supposer que le régime est stationnaire pour t < 0.
39 La condition initiale peut être rapprochée d'une série de Fourier.
40 Il y a une erreur de signe dans la relation à établir.

I. Caractérisations et traitements
1 La distance a0 entre 2 atomes voisins correspond à la distance qui permet de
minimiser l'énergie potentielle d'interaction entre ces deux atomes. Si, à un 
instant
donné, les deux atomes sont tels que a < a0 , alors la répulsion 
électrostatique des
nuages électroniques va tendre à repousser les deux atomes l'un de l'autre, à la
manière d'un ressort que l'on aurait comprimé. À l'inverse, si les deux atomes 
sont
tels que a > a0 , le caractère attractif de la liaison covalente va tendre à 
rapprocher
les deux atomes, à la manière d'un ressort que l'on aurait préalablement étiré.
Évidemment, la modélisation de la liaison par un ressort suppose que la relation
entre la force de « rappel » et l'allongement algébrique de la liaison puisse 
être considérée comme linéaire, ce qui restreint l'application de ce modèle aux 
déformations de
faible amplitude, pour lesquelles
|a - a0 |  a0

Dans ce cadre, en notant U (a) l'énergie d'interaction entre deux atomes, on 
peut
effectuer un développement limité de U au voisinage de la position d'équilibre 
a0 .
Sachant que U (a0 ) = 0, on obtient au premier ordre non nul en a - a0
2

(a - a0 )
× U (a0 )
2
Par analogie avec l'expression de l'énergie potentielle élastique d'un ressort 
de raideur k, on identifie alors la raideur de la liaison à
U (a)  U (a0 ) +

k = U (a0 )
2 Dans les plans P1 et P2 , chaque atome occupe la surface a0 2 ; il y a ainsi 
N = S/a0 2

-
ressorts entre les deux plans. La force F appliquée au fil se répartit 
équitablement
entre ces N ressorts, de sorte que l'on peut écrire
F
= k (a - a0 )
N
Par suite, l'énergie élastique Eel emmagasinée entre les plans P1 et P2 est 
donnée par
1
2
Eel = N × k (a - a0 )
2  2
1 F
= N×
2k N
a0 2
F2
Eel =
×
S
2k
Conformément aux indications de l'énoncé, le fil se rompt lorsque cette énergie 
devient
supérieure ou égale à l'énergie 2S nécessaire pour créer deux interfaces 
métal-air
d'aire S. En se plaçant à la limite de la rupture, on obtient donc

2S k
Fmax =
a0
On vérifie que Fmax augmente avec la section S du fil, l'énergie surfacique 
et la raideur k du ressort modélisant chaque liaison, ce qui est cohérent
physiquement. En ce qui concerne l'influence du paramètre a0 , on peut 
raisonnablement considérer que les liaisons sont d'autant plus fortes que a0 est
petit, ce qui permet d'expliquer pourquoi Fmax diminue quand a0 augmente.

3 La contrainte  est définie comme le rapport F/S. En présence de cette 
contrainte,
et en supposant que le fil est uniformément déformé sur toute sa longueur, 
l'allongement relatif  vaut
L - L0
a - a0
=
=
L0
a0
1
F
a0
F
×
=
×
soit encore
=
a0
Nk
k
S
On en déduit par identification avec la loi de Hooke  = E  que
k = Ea0
ce qui permet de réécrire le résultat de la question précédente sous la forme
r
E
Fmax = 2S
a0
4 Commençons par déterminer un ordre de grandeur de la distance a0 en raisonnant
sur la structure cristalline du fer à température ambiante. Dans un réseau 
cubique
centré, chaque maille présente un volume a0 3 et contient deux atomes (1 atome 
au
centre de la maille et 8 atomes au niveau des sommets du cube, qui comptent 
chacun
pour 1/8). La masse volumique du fer s'exprime alors selon
2 MFe
NA a0 3
On en déduit l'expression, puis l'estimation numérique, du paramètre de maille
r
r
2MFe
2 × 56
a0 = 3
= 3
 23 · 10-30
 3 · 10-10 m
23
6
NA Fe
6 · 10 × 7,9 · 10
Fe =

en se limitant à un seul chiffre significatif.
À partir de l'expression établie à la question 3, on calcule ensuite
r
Fe EFe
Fmax = 2S
a0
r
2,0 × 2,1 · 1011
-6
= 2 × 5 · 10 ×
3 · 10-10

-5
20 1/2
= 10 × 14 · 10

soit

Fmax  4 · 105 N

Ce dernier résultat laisse entendre que l'on peut soulever une masse d'environ
40 tonnes à l'aide d'un fil de fer de section S = 5 mm2 , ce qui paraît 
surestimé.
Typiquement, les câbles en acier qui équipent les grues de chantier ont une
« résistance » à la traction de l'ordre de 200 kg.mm-2 . Avec cet ordre de
grandeur, on obtient plutôt une force maximale de l'ordre de 104 N.
5 Plusieurs éléments du modèle peuvent être remis en cause pour tenter 
d'expliquer
l'écart observé entre les valeurs théorique et expérimentale de Fmax :
· Toutes les liaisons interatomiques sollicitées lors de l'application de la 
force

-
F ne sont pas nécessairement exactement parallèles à la direction de cette

-
dernière. Par suite, la force F ne se répartit pas uniformément entre les
différentes chaînes d'atomes et certaines chaînes sont davantage sollicitées
que d'autres. Ces chaînes rompront donc plus tôt que ne le prévoit le modèle.